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% The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées
% Tome II: 1837, by Various                                               %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837         %
%        Recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques
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% Author: Various                                                         %
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% Editor: Joseph Liouville                                                %
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% Release Date: February 16, 2010 [EBook #31295]                          %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES ***
%                                                                         %
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%% Mathématiques Pures et Appliquées, Vol. II, by Joseph Liouville       %%
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%%                                                                       %%
%% PDF Pages: 390                                                        %%
%%                                                                       %%
%% 2 includegraphics calls for 1 object                                  %%
%%            - img001.png in the images directory.                      %%
%%                                                                       %%
%% Compile sequence:                                                     %%
%%         pdflatex x 2                                                  %%
%%                                                                       %%
%% Compile History:                                                      %%
%%                                                                       %%
%% Feb 15: Laverock. Compiled with pdflatex:                             %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.1415926-1.40.9 (MiKTeX 2.7)]              %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% February 2010: pglatex.                                               %%
%%   Compile this project with:                                          %%
%%   pdflatex 31295-t.tex ..... TWO times                                %%
%%                                                                       %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                      %%
%%                                                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[greek,francais]{babel}[2005/05/21]
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[leqno]{amsmath}[2000/07/18]
\usepackage{amssymb}[2002/01/22]
\usepackage{graphicx}[1999/02/16]		% basic graphics for images.
\usepackage{needspace}[2003/02/18]		% support testing for enough room at end of page for new section
\usepackage{rotating}[1997/09/26]		% provides a rotate environment
\usepackage{yfonts}[2003/01/08]			% for Olde English M
\usepackage{calligra}[1996/07/18]		% for calligraphic r
\usepackage{verbatim}[2003/08/22]               % preformated text

\DeclareMathAlphabet{\mathcalligra}{T1}{calligra}{m}{n}
\DeclareFontShape{T1}{calligra}{m}{n}{<->s*[2.2]callig15}{}

\renewcommand{\dotsb}{\ldots}			% use lower dots after +-
\newcommand{\dotsbsmall}{\ldot\!\ldot\!\ldot}
\newcommand{\tabentrx}[3]{\multispan{2}{#1\leaderfill Page}  #3 \pdf{#2}\\[0.5ex]}
\newcommand{\tabentry}[3]{\parbox[b]{28em}{\hspace*{-1em}#1\leaderfill} & #3 \makebox[2em]{\hfill(\emph{\pageref{#2}})}\\[0.5ex]}
\newcounter{originalpage}
\newcommand{\marginpage}{\marginpar{\centering\footnotesize{[JMPA 1837:\arabic{originalpage}]}}\addtocounter{originalpage}{1}}
\def\leaderfill{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hskip0pt plus1filll\ }	% dot fill at 1em spacing

%% Format the heading of each article
\newcommand{\jmpapaper}[5]{%
\newpage\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex}\setcounter{footnote}{0}
\begin{center}
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\end{center}
}
%% Variant with justification on long main description (therefore #3 sure to be present)
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\newcommand{\jmpafin}{\bigskip\par\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}}

% centred image - file name, width pixels
\newcount \Zw
\newcommand\pngcent[2]{
\Zw=#2 \divide \Zw by 2
\begin{center}
\includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1}
\end{center}}

\newcommand{\mysection}[1]{\begin{center}#1\end{center}}
\newcommand{\qtext}[1]{\quad\text{#1}\quad}
\newcommand{\qqtext}[1]{\qquad\text{#1}\qquad}
\newcommand{\down}[1]{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize #1}} % very rough text subscript, only used for subscripted tags as follows...
\newcommand{\stag}[2]{\tag*{(#1)\down{#2}}}
\newcommand{\pdf}[1]{(\emph{PDF:\pageref{#1}})}		% internal PDF page reference (PDF:nnn)
\newcommand{\signit}[1]{\hfill {#1}\hspace*{2em}}	% signature (usually J.L.), indented from right margin
\newcommand{\dethoriz}[2]{[\,#1,#2\,]}			% 1 row determinant
\newcommand{\detquad}[2]{\Big[\begin{aligned}\multispan{1}{$\scriptstyle #1$}\\[-1ex]\multispan{1}{$\scriptstyle #2$}\end{aligned}\,\Big]}
%							% 2 row determinant
\newcommand{\ldot}{\mathbin{.}}				% dot with math spacing
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}			% override integral size to displaystyle
\newcommand{\tint}{{\!\textstyle\int\!}}		% override integral size to textstyle (only - not the rest of an equation)
\newcommand{\psum}{{\!\textstyle\int\!}}		% semantic use of textstyle integral sign as discrete sum
\renewcommand{\sum}{\Sigma}				% use ordinary Sigma as summation sign
\newcommand{\arctang}{\operatorname{arc\,tang}}		% additional trig etc. commands
\renewcommand{\arcsin}{\operatorname{arc\,sin}}
\newcommand{\tang}{\operatorname{tang}}
\newcommand{\arc}{\operatorname{arc}}
\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}
%
\newcommand{\scriptr}{\mathcalligra{r}}			% unusual characters
\newcommand{\gothicM}{\textgoth{M}}
%
\newcommand{\primop}{1\up{o}}				% primo etc. with no trailing space
\newcommand{\secundop}{2\up{o}}
\newcommand{\tertiop}{3\up{o}}
\newcommand{\quartop}{4\up{o}}
\newcommand{\x}{{\rm x}}				% upright x distinuished from italic
\newcommand{\f}{{\rm f}}				% upright f likewise
\renewcommand{\d}{{\rm d}}				% upright d as partial differential
\newcommand{\me}{\up{me}}				% variant abbreviations for ieme
\newcommand{\ime}{\up{\it me}}
\newcommand{\ie}{\up{\it e}}
\newcommand{\iieme}{\up{\it i\hspace{-1pt}e\hspace{-1pt}m\hspace{-1pt}e}}
\newcommand{\rieme}{\raisebox{2ex}{\scriptsize\it i\hspace{-1pt}e\hspace{-1pt}m\hspace{-1pt}e}}	% raised ieme after math expression
\renewcommand{\etc}{\text{etc.}}			% text etc. in math environment
\newcommand{\rotxc}[1]{\begin{sideways}#1\end{sideways}}	% concoct subscript prime and double prime
\newcommand{\invert}[1]{\rotxc{\rotxc{#1}}}
\newcommand{\subprime}{_{\invert{$\scriptstyle\prime$}}}
%\newcommand{\subprime}{_{\prime}}
\newcommand{\subdprime}{_{\invert{$\scriptstyle\prime\prime$}}}
%\newcommand{\subdprime}{_{\prime\prime}}
%\newcommand{\eqqless}{\mathbin{\begin{array}{@{}c@{}}=\\[-1.5ex]<\end{array}}}	% eqqless symbol = over <
\newcommand{\eqqless}{\mathbin{\invert{$\geqq$}}}	% eqqless symbol = over <
\newcommand{\strxx}{\rule{0in}{1.8ex}}			% strut for slight raise of sqrt
\newcommand{\IV}{^\text{\tiny IV}}			% very small superscript IV and V as 4th & 5th primes
\newcommand{\V}{^\text{\tiny V}}

% Use upright Roman capitals in math mode
\DeclareSymbolFont{upletters} {T1}{cmr} {m}{n}
\SetSymbolFont{upletters} {bold}{T1}{cmr} {b}{n}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathnormal}{upletters}

\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{upletters}{`A}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{upletters}{`B}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{upletters}{`C}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{upletters}{`D}
\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{upletters}{`E}
\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{upletters}{`F}
\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{upletters}{`G}
\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{upletters}{`H}
\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{upletters}{`I}
\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{upletters}{`J}
\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{upletters}{`K}
\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{upletters}{`L}
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\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{upletters}{`Z}

\makeatletter
% For sensible insertion of boilerplate/licence
% overlong lines will wrap and be indented 0.25in
% and text is set in "small" size
\def\@makeschapterhead#1{%
  \vspace*{10\p@}%
  {\parindent \z@ \centering
    \normalfont
    \interlinepenalty\@M
    \huge \bfseries  #1\par\nobreak
    \vskip 20\p@
  }}
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{0pt}{2.3em}}
\renewcommand\@pnumwidth{2.55em}
\def\@xobeysp{~\hfil\discretionary{}{\kern\z@}{}\hfilneg}
\renewcommand\verbatim@processline{\leavevmode
  \null\kern-0.25in\the\verbatim@line\par}
\addto@hook\every@verbatim{\@totalleftmargin0.25in\small}

% ability to override tag positioning (default is left because of usepackage[leqno]{amsmath})
% Doesn't work in \[ environment - the non-default right side uses of this have been changed to gather*
\def\Gauche{\tagsleft@true}\def\Droit{\tagsleft@false}
% (mod. ...) with good enough spacing
\newcommand{\moddot}[1]{\mkern4mu({\operator@font mod.}\mkern4mu#1)}
% extra margin text with first line hanging left. Only used in jmpapaperl
\newenvironment{bbg}
               {\list{}{\listparindent-\parindent
                        \itemindent-\parindent
                        \rightmargin\z@
                        \leftmargin\parindent
                        \parsep        \z@ \@plus\p@}%
                \item\relax}
               {\endlist}
\makeatother
\begin{document}
%\nonfrenchspacing
\frenchspacing
\mainmatter
\pagestyle{empty}
\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées
Tome II: 1837, by Various

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837
       Recueil mensuel de mémoires sur les diverses parties des mathématiques

Author: Various

Editor: Joseph Liouville

Release Date: February 16, 2010 [EBook #31295]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES ***


Produced by Paul Murray, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images generously made available
by the Bibliothèque nationale de France (BnF/Gallica) at
http://gallica.bnf.fr)
\end{verbatim}

\bigskip\bigskip
\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} The original page numbers of this Journal have been preserved in the margin,
in the form ``[JMPA 1837:144]''. Internal page references (mostly in the Table des Matières) give both this number
and the corresponding PDF page number, as ``page 144 \pdf{ref144}''.
Numerous typographical errors in the original were discovered during the preparation of this edition:
these have here been corrected and noted at the end of the text.
The plates for M. Combes' Mémoire on ``frottement'' were not available for this edition. \normalsize

%\pagestyle{empty}
%\frontmatter
%\pagestyle {empty}

% *** File: 001.png
%\begin{center}
%\quad\vfill

%{\Large JOURNAL}

%\medskip

%{\tiny DE }

%\medskip

%{\Huge MATHÉMATIQUES }

%\medskip

%PURES ET APPLIQUÉES.

%\vfill
%\end{center}
%\clearpage
% *** File: 002.png
%\quad\vfill

%\hfill
%\begin{minipage}{16em}
%\begin{center}
%\rule{16em}{2pt}

%IMPRIMERIE DE BACHELIER,

%{\footnotesize RUE DU JARDINET, \no 12.}
%\end{center}
%\end{minipage}

%\clearpage
\newpage
% *** File: 003.png
\begin{center}
\textbf{\huge JOURNAL}

\vspace{1em}

\textsc{\small de}

\vspace{1em}

\textbf{\Huge MATHÉMATIQUES}

\vspace{0.5em}

PURES ET APPLIQUÉES,

\vspace{1em}

\textsc{\small ou}

\vspace{1em}

\textbf{\Large RECUEIL MENSUEL}

\textsc{de mémoires sur les diverses parties des mathématiques;}

\vspace{2em}

\emph{\textbf{\small Publié}}

\vspace{1em}

\textbf{\small PAR JOSEPH LIOUVILLE,}

{\small Ancien Elève de l'École Polytechnique, répétiteur d'Analyse à cette École.}

\vspace{3em}

\rule{10em}{1pt}

\textbf{\small TOME DEUXIÈME.}

\vspace{-0.3em}\rule{2em}{1pt}

\textbf{\small ANNÉE 1837.}\vspace{-0.3em}

\rule{10em}{1pt}\vspace{2em}


\textbf{PARIS,}

\textbf{\small BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE}

\textbf{\textsc{\small de l'école polytechnique, du bureau des longitudes, etc.}}

\textsc{\textbf{\small quai des augustins, \no 55.}}

\rule{1em}{1pt}

\textbf{1837}
\end{center}
% *** File: 004.png
%[Blank Page]
% *** File: 005.png

\newpage
\begin{center}{\Huge TABLE DES MATIÈRES.}

\rule{1in}{0.5pt}
\end{center}

\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}}
\tabentrx{Solution d'un Problème d'Analyse; par M.~\emph{Liouville}.}{art1}{1}

\tabentry{Solution d'une question qui se présente dans le calcul des Probabilités; par
M.~\emph{Mondésir}.}{art2}{3}

\tabentry{Note sur les points singuliers des courbes; par M.~\emph{Plucker}.}{art3}{11}

\tabentry{Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions
en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même
équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable,
par M.~\emph{Liouville}.}{art4}{16}

\tabentry{Extrait d'une lettre de M.~\emph{Terquem} à M.~\emph{Liouville}.}{art5}{36}

\tabentry{Note sur les équations indéterminées du second degré. --- Formules d'Euler
pour la résolution de l'équation $Cx^2 \mp A = y^2$. --- Leur identité avec
celles des algébristes indiens et arabes. --- Démonstration géométrique de
ces formules; par M.~\emph{Chasles}.}{art6}{37}

\tabentry{Mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l'impossibilité d'exprimer
les racines de certaines équations en fonction finie explicite des
coefficients; par M.~\emph{Liouville}.}{art7}{56}

\tabentry{Sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$; par MM.~\emph{Ivory} et \emph{Jacobi}.}{art8}{105}

\tabentry{Sur la sommation d'une série; par M.~\emph{Liouville}.}{art9}{107}

\tabentry{Mémoire sur une méthode générale d'évaluer le travail dû au frottement
entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble en se pressant mutuellement. --- Application
aux engrenages coniques, cylindriques, et à la
vis sans fin; par M.~\emph{Combes}.}{art10}{109}

\tabentry{Note sur une manière simple de calculer la pression produite par les parois
d'un canal dans lequel se meut un fluide incompressible; par M.~\emph{Coriolis}.}{art11}{130}

\tabentry{Sur la mesure de la surface convexe d'un prisme ou d'un cylindre tronqué;
par M.~\emph{Paul Breton}.}{art12}{133}

\tabentry{Note sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac12}$; par M.~\emph{Liouville}.}{art13}{135}

\tabentry{Note sur un passage de la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques;
par M.~\emph{Poisson}.}{art14}{140}

\tabentry{Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en
équilibre de température; par M.~\emph{Lamé}.}{art15}{147}

\tabentry{Note de M.~\emph{Poisson} relative au mémoire précédent.}{art16}{184}
% *** File: 006.png

\tabentry{Addition à la note de M.~Poisson insérée dans le numéro précédent de ce
Journal; par l'Auteur}{art17}{189}

\tabentry{Mémoire sur l'interpolation; par M.~Cauchy}{art18}{193}

\tabentry{Note sur un passage de la Mécanique céleste relatif à la théorie de la figure
des planètes; par M.~Liouville}{art19}{286}

\end{tabular}\newpage\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}}
\tabentry{Extrait d'un mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les
différents termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle
linéaire, contenant un paramètre variable; par MM.~Sturm et Liouville}{art20}{220}

\tabentry{Remarques sur les intégrales des fractions rationnelles; par M.~Poisson}{art21}{224}

\tabentry{Mémoire sur le degré d'approximation qu'on obtient pour les valeurs numériques
d'une variable qui satisfait à une équation différentielle, en employant,
pour calculer ces valeurs, diverses équations aux différences plus
ou moins approchées; par M.~Coriolis}{art22}{229}

\tabentry{Sur une lettre de d'Alembert à Lagrange; par M.~Liouville}{art23}{245}

\tabentry{Observations sur des théorèmes de Géométrie énoncés, page 160 \pdf{ref160} de ce volume
et page 222 du volume précédent; par M.~Binet}{art24}{248}

\tabentry{Recherches sur les nombres; par M.~Lebesgue}{art25}{253}

\tabentry{Note sur un cas particulier de la construction des tangentes aux projections
des courbes, pour lequel les méthodes générales sont en défaut; par
M.~Chasles}{art26}{293}

\tabentry{Théorèmes sur les contacts des lignes et des surfaces courbes; par M.~Chasles}{art27}{299}

\tabentry{Note relative à un passage de la Mécanique céleste; par M.~Poisson}{art28}{312}

\tabentry{Remarques sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique;
par M.~Poisson}{art29}{317}

\tabentry{Thèses de Mécanique et d'Astronomie; par M.~Lebesgue}{art30}{337}

\tabentry{Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut
se résoudre avec la règle et le compas; par M.~Wantzel}{art31}{366}

\tabentry{Solution d'un problème de Probabilité; par M.~Poisson}{art32}{373}

\tabentry{Mémoire sur diverses manières de généraliser les propriétés des diamètres
conjugués dans les sections coniques.--Nouveaux théorèmes de Perspective
pour la transformation des relations métriques des figures.--Principes
de Géométrie plane analogues à ceux de la Perspective. Manière de
démontrer, dans le cône oblique, les propriétés des foyers des sections
coniques; par M.~Chasles}{art33}{388}

\tabentry{Note sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique;
par M.~Cauchy}{art34}{406}

\tabentry{Sur quelques propriétés générales des surfaces gauches; par M. Chasles}{art35}{413}

\tabentry{Troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions
en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même
équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable;
par M.~Liouville}{art36}{418}
\end{tabular}\newpage\noindent\begin{tabular}{@{\quad}l@{\ \ }r@{}}
% *** File: 007.png

\tabentry{Note sur une propriété des sections coniques; par M.~Pagès}{art37}{437}

\tabentry{Solution nouvelle d'un problème d'Analyse relatif aux phénomènes thermo-mécaniques;
par M.~Liouville}{art38}{439}

\tabentry{Note sur l'intégration d'un système d'équations différentielles du second
ordre, entre un nombre quelconque de variables, analogues à celles du
mouvement d'un point libre autour d'un centre fixe, sollicité par une
force fonction de la distance au centre; par M.~Binet}{art39}{457}

\tabentry{Solution d'un problème de Probabilité relatif au jeu de rencontre; par
M.~Catalan}{art40}{469}

\tabentry{Sur la formule de Taylor; par M.~Liouville}{art41}{483}

\tabentry{Errata}{art42}{485}
\end{tabular}

\begin{center}FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.\end{center}

% *** File: 008.png
%[Blank Page]
% *** File: 009.png

\Gauche\newpage\setcounter{originalpage}{1}\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex}
%\mainmatter
\pagestyle{plain}

\begin{center}
{\Huge JOURNAL}\par\vspace{\baselineskip}
{\huge DE MATHÉMATIQUES}\par\vspace{\baselineskip}
{\Large PURES ET APPLIQUÉES.}\vspace{\baselineskip}

\rule{1in}{0.5pt}\par\vspace{\baselineskip}

{\large SOLUTION D'UN PROBLÈME D'ANALYSE;}\par\vspace{\baselineskip}
\textbf{\textsc{Par Joseph LIOUVILLE}}\par\vspace{0.5\baselineskip}
\rule{1in}{0.5pt}
\end{center}

\label{art1}

1.~Soient $x$ une variable indépendante comprise entre deux limites
réelles $\x$, $X$, et $\phi (x)$ une fonction de $x$ déterminée, mais inconnue,
qui ne devienne jamais infinie lorsque $x$ croît de $\x$ à $X$. Cela posé,
le problème que je veux résoudre est le suivant: quelle doit être la
valeur de la fonction $\phi (x)$ pour que l'on ait constamment
\[
\tag{1}
\int_{\x}^X x^n \phi(x) dx = 0,
\]
$n$ étant un quelconque des nombres entiers 0, 1, 2, 3,\dots? Je dis
que la fonction $\phi (x)$ qui résout ce problème est identiquement
nulle, en sorte que l'on a $\phi (x) = 0$ depuis $x = \x$ jusqu'à $x = X$.
En effet, si la fonction $\phi (x)$ n'est pas nulle depuis $x = \x$ jusqu'à
$x = X$, il faut que dans cet intervalle elle change de signe un certain
nombre de fois, sans quoi les éléments de l'intégrale placée au
premier membre de l'équation (1) seraient tous de même signe et ne
pourraient avoir zéro pour somme. Supposons donc que la fonction
$\phi (x)$ change de signe $m$ fois, et soient $x_1$, $x_2$,\dots $x_m$, les $m$ valeurs
de $x$ pour lesquelles ce changement s'effectue. Faisons
$\psi(x) = (x - x_1)(x - x_2)\ldots(x -x_m)$: en développant le produit des facteurs
\marginpage % *** File: 010.png
binômes, $\psi(x)$ prendra la forme $x^m + A_1x^{m-1} + \dotsb + A_{m-1}x + A_m$.
Si donc on fait, dans l'équation (1), successivement $n = m$,
$n = m - 1$,\dots\ $n = 1$, $n = 0$, et qu'on ajoute membre à membre
les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par les facteurs
respectifs 1, $A_1$,\dots $A_{m-1}$, $A_m$, on obtiendra
\begin{align*}
\int_\x^X \psi(x)\phi(x)dx=0: \tag{2}
\end{align*}
or l'équation (2) est absurde, puisque les deux fonctions $\phi (x)$ et
$\psi(x)$ changeant de signe en même temps, l'élément $\psi(x) \phi (x) dx$
doit au contraire conserver toujours le même signe. Ainsi, lorsque $x$
croît de x à X, il est absurde d'attribuer à $\phi (x)$ une valeur autre
que zéro, C. Q. F. D\@. Cette démonstration subsiste même lorsqu'on
attribue à $\phi (x)$ une valeur imaginaire $P + Q \sqrt{-1}$, car alors l'équation
(1) se décompose en deux autres équations qui donnent séparément
$P = 0$, $Q = 0$\footnote{%
Soient $B_0$, $B_1$, \ldots $B_n$,\dots\
des constantes données à volonté. Si l'on cherche
une fonction $\phi(x)$ qui satisfasse à l'équation (3) ${\dint_\x^X} x^n\phi(x)dx=B_n$, $n$ étant un
quelconque des nombres compris dans la série 0, 1, 2, 3,\dots, ce problème
n'aura jamais plusieurs solutions. En effet si toutes les équations contenues dans
la formule (3) sont satisfaites en prenant $\phi (x)= f(x)$, on pourra poser en
général $\phi(x) = f (x)+ \varpi(x),$ et il en résultera ${\dint_\x^X} x^n\varpi(x)dx=0$, et par
suite $\varpi(x) = 0$, ce qui démontre notre théorème.}.

\par{2.} Si l'équation (1) est satisfaite, non pas pour toutes les valeurs
de $n$, mais seulement pour les valeurs suivantes 0, 1, 2,\dots $(p - 1)$,
je dis que la fonction $\phi (x)$ (supposée réelle) change de signe au
moins $p$ fois; car si elle ne changeait de signe que $m$ fois, $m$ étant $< p$,
on arriverait comme ci-dessus à l'équation (2) dont l'absurdité vient
d'être démontrée. L'analyse précédente est fondée sur un principe semblable
à celui dont j'ai fait usage dans un de mes mémoires (tome 1\ier\ de
ce Journal, page 253); mais il m'a paru qu'il était utile de donner
de ce principe une application nouvelle et simple.

\jmpafin

% *** File: 011.png

\jmpapaper{SOLUTION}{}{D'une question qui se présente dans le calcul des probabilités;}{Par M.~É. MONDÉSIR,}
{Elève ingénieur des Ponts-et-Chaussées.}
\label{art2}

\emph{Si une urne contient $b$ boules blanches et $n$ boules noires, et
qu'on en tire $p$ au hasard, la probabilité de tirer parmi les boules restantes
soit $q$ blanches, soit $q$ noires, n'est point altérée et reste la
même qu'avant la soustraction des $p$ boules.}

Il y aura trois cas à examiner, suivant que $p$ sera à la fois plus
petit que $b$ et que $n$, ou compris entre les deux, ou plus grand en
même temps que $b$ et que $n$.


\begin{center}
1\ier\ cas: $p < b$, $p < n$.
\end{center}

Il y aura dans ce cas $(p+1)$ hypothèses à faire sur la composition des
$p$ boules, savoir:

\[\begin{tabular}{r*{3}{@{\ }l}}
1\iere\            & hyp. & \dotfill     & $p$ blanches,\\
2\ieme\:\          & hyp. & $(p-1)$ bl., & 1 noire,\\[-1ex]
&\multispan{3}{\leaderfill\qquad}  \\
$(p+1)$\ime & hyp. & \dotfill     & $p$ noires.
\end{tabular}\]

Dans chacune de ces hypothèses, la probabilité pour amener $q$
blanches, par exemple, parmi les $(b+n-p)$ boules restantes serait,
\[
\left\{\quad\begin{alignedat}{2}
&\text{Dans la\ \,1\iere\ \,hypothèse }&& \tfrac{(b-p)(b-p-1)\ldots[b-p-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]},\\
&\text{Dans la\ \ 2\ieme\ \ hypothèse }&& \tfrac{(b-p+1)(b-p+1-1)\ldots[b-p+1-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]},\\[-1ex]
&\multispan{3}{\quad\leaderfill\quad}\\
&\text{Dans la $(p+1)$\ime\ hyp. }&& \tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)(b+n-p-1)\ldots[b+n-p-(q-1)]}.\\
\end{alignedat}\right.\tag{1}
\]

Cherchons maintenant la probabilité de chaque hypothèse. Soit $N$
le nombre d'arrangements possibles avec $(b+n)$ lettres, en les prenant
$p$ à $p$: ce nombre sera
\marginpage % *** File: 012.png
\begin{align*}
N=(b+n)(b+n-1) \ldots [b+n-(p-1)];
\end{align*}
il exprimera toutes les manières possibles de faire le tirage des $p$
boules, en supposant qu'on les tire de l'urne une à une.

Nous aurons d'un autre côté toutes les manières possibles de faire
le tirage de $p$ blanches, en prenant le nombre d'arrangements de $b$
lettres $p$ à $p$. Nommons ce nombre $A_0$: il sera
\begin{align*}
A_0 &= b(b-1)(b-2) \ldots [b-(p-1)].
\end{align*}

Nous aurons $A_1$, ou le nombre de manières possibles de tirer
$(p-1)$ blanches et 1 noire, en observant que l'on peut former ce
nombre en prenant chacun des arrangements de $b$ boules $(p-1)$ à
$(p-1)$, y ajoutant chacune des $n$ boules noires, et permutant cette
boule aux $p$ places qu'elle peut occuper dans chacun des arrangements:
nous aurons donc
\begin{align*}
A_1 &= b(b-1) \ldots [b-(p-2)]p\ldot n.
\end{align*}
Pour obtenir $A_2$, prenons chaque arrangement de $b$ lettres $(p-2)$ à
$(p-2)$; ajoutons-y chaque combinaison de $n$ lettres 2 à 2: la permutation
de la première lettre aux $(p-1)$ places de l'arrangement de
$(p-2)$ lettres donnera lieu à $(p-1)$ arrangements nouveaux de
$(p-1)$ lettres, et la permutation de la 2\up{me} lettre transformera chaque
arrangement de $(p-1)$ lettres en $p$ arrangements de $p$ lettres. On a
évidemment de cette manière tous les arrangements possibles de
$(b-2)$ boules blanches et de a boules noires: écrivons donc
\begin{align*}
A_2 &= b(b-1) \ldots [b-(p-3)]p(p-1) \tfrac{n(n-1)}{1\ldot2},
\end{align*}
nous aurons de même

\begin{align*}
A_3 = b(b&-1) \ldots [b-(p-4)]p(p-1)(p-2) \tfrac{n(n-1)(n-2)}{1\ldot2\ldot3},\\
\multispan{2}{\qquad\leaderfill\qquad} \\
A_{p-2} &= b(b-1)p(p-1) \tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-3)]}{1\ldot2},\\
A_{p-1} &= bp \tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-2)]}{1},\\
A_p &= n(n-1)(n-2) \ldots [n-(p-1)].
\end{align*}
\marginpage % *** File: 013.png
$A_0$ exprimant le nombre de manières possibles de tirer $p$ blanches, et
$N$ le nombre de manières possibles de tirer $p$ boules quelconques, $A_0$
étant, en d'autres termes, le nombre de coups favorables à la première
hypothèse, et $N$ le nombre de coups possibles, $\dfrac{A_0}{N}$ doit exprimer
la probabilité de la première hypothèse: de même les probabilités
des hypothèses suivantes seront exprimées par les fractions
\begin{align*}
\frac{A_1}{N},\quad \frac{A_2}{N},\quad \ldots\quad \frac{A_{p-1}}{N},\quad \frac{A_p}{N}.
\end{align*}

Si nous multiplions la probabilité de chaque hypothèse par la
probabilité correspondante (1), et si nous faisons la somme, nous
aurons pour la probabilité de tirer $q$ blanches parmi les $(b + n - p)$
boules restantes, la série suivante
\begin{align*}
&\frac{1}{N}\left\{A_0\tfrac{(b - p)(b - p - 1)\ldots[b - p - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]} + A_1\tfrac{(b - p + 1)(b - p + 1 - 1)\ldots[b - p + 1 - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\right.\\
&+ A_2\tfrac{(b - p+ 2)(b - p + 2 - 1)\ldots[b - p + 2 - (q - 1)]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]} + \dotsb \\
&\qquad\qquad\left.+ A_p\tfrac{b(b - 1)\ldots(b - q - 1]}{(b + n - p)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\right\}.
\end{align*}
Remplaçons dans cette série $A_0$, $A_1$,\dots\ $A_p$, par leurs valeurs, ainsi
que $N$ et remarquons que le facteur suivant $\frac{b(b - 1)\ldots[b - (q - 1)]}{(b + n)(b + n - 1)\ldots[b + n - (q - 1)]}$
est commun à tous les termes; la probabilité cherchée sera
\begin{align*}
&\tfrac{b(b - 1)\ldots[b - (q - 1)]}{(b + n)(b + n - 1)\ldots[b + n - (q - 1)}\Big\{\tfrac{(b - q)\ldots[b - p - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\\
+{}&\tfrac{(b - q)\ldots[b - p + 1 - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,pn\\
+{}&\tfrac{(b - q)\ldots[b - p + 2 - (q - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p(p - 1)\tfrac{n(n-1)}{1\ldot2} + \dotsb \ldots\\
+{}&\tfrac{(b - q)(b - q - 1)}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p(p - 1)\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 3)]}{1\ldot2}\\
+{}&\tfrac{b - q}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\,p\,\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 2)]}{1}\\
+{}&\tfrac{n(n - 1)\ldots[n - (p - 1)]}{(b + n - q)\ldots[b + n - p - (q - 1)]}\Big\}.
\end{align*}
\marginpage % *** File: 014.png
Examinons la signification et la valeur de la quantité contenue entre
les crochets: tous les termes de la série ont un dénominateur commun
$(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)] = (b+n-q)(b+n-q-1) \ldots
[b+n-q-(p-1)]$: ce dénominateur est le nombre d'arrangements
possibles avec $(b+n-q)$ lettres prises $p$ à $p$; il ne diffère du
dénominateur N que par le changement de $(b+n)$ en $(b+n-q)$;
il doit donc exprimer le nombre de coups possibles, quand on tire $p$
boules d'une urne qui en contient $(b+n-q)$.

Considérons chaque expression de la série, à part ce dénominateur
commun, par exemple l'expression
\begin{align*}
(b-q) \ldots [b-p+2-(q-1)] p(p-1) \tfrac{n(n-1)}{1 \ldot 2},
\end{align*}
on peut l'écrire ainsi
\begin{align*}
(b-q)(b-q-1) \ldots [b-q-(p-3)] p(p-1) \tfrac{n(n-1) }{1 \ldot 2}.
\end{align*}
Comparée à l'expression $A_2$, on voit que cette formule n'en diffère
que par le changement de $b$ en $(b-q)$; elle doit exprimer toutes les
manières possibles de tirer $(p-2)$ boules blanches et 2 noires d'une
urne qui contient $(b-q)$ boules blanches et $n$ noires. On verrait de
même que les autres expressions contenues entre les crochets ne
diffèrent des autres expressions $A_0$, $A_1$, etc., que par le même changement
de $b$ en $(b-q)$. La somme de ces expressions, sauf leur dénominateur
commun, indique donc toutes les manières possibles de
tirer $p$ boules d'une urne qui contient $(b-q)$ blanches et n noires,
comme la somme des expressions $A_0$ etc., indique toutes les manières
possibles de tirer $p$ boules d'une urne qui contient $b$ blanches et $n$
noires. Cette somme d'expressions est donc égale à son dénominateur
commun, et la série entière comprise entre les crochets égale à l'unité,
ce qui réduit la probabilité cherchée à
\[
\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n) (b+n-1)\ldots[b+n-(q-1)]},
\]
c'est-à-dire à ce qu'elle était avant le tirage de $p$ boules.

\Needspace*{3\baselineskip}
\begin{center}
2\me\ cas. $p > b$\qtext{et}$< n$.
\end{center}

\marginpage % *** File: 015.png
Dans ce cas, au lieu des $(p+1)$ hypothèses du cas précédent, nous
n'en aurons que $(b+1)$: les probabilités de ces hypothèses formées
comme précédemment seront
\begin{align*}
\frac{1}{N}A_0 &=\left\{b(b-1)\ldots3\ldot2\ldot1(b+1)(b+2)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)}\right\}\frac{1}{N},\\
\frac{1}{N}A_1 &=\left\{b(b-1)\ldots3\ldot2b(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)+1}\right\}\frac{1}{N},\\
\frac{1}{N}A_2 &=\left\{b(b-1)\ldots3(b-1)b\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+2)}\right\}\frac{1}{N};\\
&\makebox[20em]{\leaderfill}\\[-1ex]
&\makebox[20em]{\leaderfill}\\
\frac{1}{N}A_{b-1}&=\left\{bp\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-2)]}{1}\right\}\frac{1}{N};\\
\label{err015}
\frac{1}{N}A_b&=\left\{n(n-1)(n-2)\ldots[n-(p-1)]\right\}\frac{1}{N};
\end{align*}
dans ces diverses hypothèses, les probabilités de tirer $q$ blanches sont
\begin{gather*}
\text{1\iere\ hyp} \ldots\ 0,\\
\text{2\ieme\:\ hyp} \ldots\ 0,\\[-1ex]
\makebox[12em]{\leaderfill}\\
\text{$(q+1)$\ime\ hyp}\ldots\ \tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]};\\[-1ex]
\makebox[18em]{\leaderfill}\\
\text{$(b+1)$\ime\ hyp}\ldots\ \tfrac{b(b-1)\ldots(b-q-1)}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}.
\end{gather*}
En multipliant respectivement ces hypothèses l'une par l'autre, et
faisant la somme, nous aurons pour la probabilité cherchée
\begin{align*}
&\frac{1}{N}\left\{A_q\tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}+A_{q+1}\tfrac{(q+1)q\ldots2}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right.\\
&\left.+A_{q+2}\tfrac{(q+2)(q+1)\ldots3}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}+ \dotsb +A_b\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right\},
\end{align*}
Or remarquons qu'on peut mettre en facteur commun
$\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ chaque terme contenant en numérateur le
\marginpage % *** File: 016.png
produit de la suite des nombres depuis $b$ jusqu'à 1, ou jusqu'à 2, etc.,
et au moins jusqu'à $[b-(q-1)]$, et en dénominateur la suite
$(b+n)\ldots[b+n-(p-1)](b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]$:
écrivons donc pour la probabilité demandée
\begin{flalign*}
&\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b_n-p-(q-1)]}&\\
&\qquad\left\{\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1)\right.
\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q-1)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots (p-b+q)}\\
&\qquad+ \tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q)
\ldots  p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)}\\
&\qquad+\tfrac{(b-q)\ldots3}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q-1)
\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+2)}\\[-1ex]
&\qquad\qquad\makebox[22em]{\leaderfill}\\
&\qquad\left.\!+\tfrac{1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}n(n-1(n-2)\ldots[n-(p-1)]\right\}.
\end{flalign*}

La série comprise entre les crochets se compose de $(b-q+1)$
termes correspondants aux $(b-q+1)$ hypothèses possibles sur la
composition de $p$ boules tirées d'une urne qui contiendrait $(b-q)$
blanches et $n$ noires, et en employant ainsi le raisonnement appliqué
déjà dans le cas précédent, on voit aisément que cette série doit se
réduire a 1, puisque d'un côté le dénominateur commun
$(b+n-q)\ldots [b+n-1-(p-1)]$ exprime toutes les manières
possibles de tirer $p$ boules d'une urne qui en contient $(b+n-q)$,
que de l'autre la somme des numérateurs exprime exactement la
même chose. La probabilité cherchée est donc, comme dans le $1^{\text {er}}$ cas,
la même qu'avant le tirage de $p$ boules.

\begin{center}
3\me\ cas. $p > b$\qtext{et}$> n$.
\end{center}

Le nombre d'hypothèses possibles sur la composition des $p$ boules
sera alors égal a un certain nombre $(k+1) = (b+n-p+1)$: nous
obtiendrons toujours la probabilité des diverses hypothèses comme
précédemment, et nous aurons pour les valeurs de ces probabilités
\marginpage\begin{align*}
\frac{1}{N}A_0&=\left\{b(b-1)\ldots 3\ldot 2\ldot 1(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b)}\right\}\frac{1}{N},&\\
\frac{1}{N}A_1&=\left\{b(b-1)\ldots 3\ldot 2\ b(b+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+1)}\right\}\frac{1}{N},&
\\
\frac{1}{N}A_2&=\left\{b(b-1)\ldots 3(b-1)b\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+2)}\right\}\frac{1}{N},&\\[-1ex]
&\makebox[22em]{\leaderfill}\\
\frac{1}{N}A_{k-2}&=\left\{b(b-1)\ldots (k-1)(b-k+3)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-3)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots(p-b+k-2)}\right\}\frac{1}{N},&\\
\frac{1}{N}A_{k-1}&=\left\{b(b-1)\ldots k(b-k+2)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-2)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k-1)}\right\}\frac{1}{N},&\\
\frac{1}{N}A_{k\hphantom{-1}}&=\left\{b(b-1)\ldots (k+1)(b-k+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-1)]}{1\ldot 2 \ldot 3 \ldots(p-b+k)}\right\}\frac{1}{N},&
\end{align*}
dans ces diverses hypothèses, les probabilités de tirer $q$ blanches sont
\begin{gather*}
1\iere\   \text{hyp.}\dots\ \ 0,\\
2\ieme\:\ \text{hyp.}\dots\ \ 0,\\[-1ex]
\makebox[8em]{\leaderfill}\\
\text{$(q+1)$\iieme\ hyp.}\ \ \tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots [b+n-p-(q-1)]};\\[-1ex]
\makebox[14em]{\leaderfill}\\
\text{$(k+1)$\iieme\ hyp.}\ \ \tfrac{k(k-1)\ldots [k-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots [b+n-p-(q-1)]}.
\end{gather*}
Nous aurons donc pour la probabilité cherchée
\begin{align*}
& \frac{1}{N}\left\{A_q\tfrac{q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right.
+A_{q+1}\tfrac{(q+1)q\ldots3\ldot2}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]} &\\
&\left.+ \dotsb \ldots+A_k\tfrac{k(k-1)\ldots[k-(q-1)]}{(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}\right\}\\
& =\tfrac{b(b-1)\ldots q(q-1)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1)
\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+q-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q)} \\
&+\tfrac{b(b-1)\ldots (q+1)q\ldots3\ldot2}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q)
\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)} \\
&+\makebox[24em]{\leaderfill} \\
&+\tfrac{b(b-1)\ldots (k+1)k\ldots[k-(q-1)]}{(b+n)\ldots(b+n-p)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-k+1)
\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots [n-(p-b+k-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k)}.
\end{align*}
Le facteur $\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ est évidemment commun a tous
les termes de la série, car $[k-(q-1)] = b+n-p-(q-1)
= [b-(q-1)]-(p-n),$ est plus petit que $b-(q-1)$; on
\marginpage % *** File: 018.png
peut donc mettre ce facteur en évidence, et écrire la série ainsi qu'il
suit
\label{err018}
\begin{align*}
&\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}\left\{\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2\ldot1}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q)}\right.\\
&+\tfrac{(b-q)\ldots3\ldot2}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+1)}\\
&+\tfrac{(b-q)\ldots3}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-q-1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+q+1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+q+2)}\\
&\qquad\makebox[23em]{\leaderfill}\\
&\left.+\tfrac{(b-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}{(b+n-q)\ldots[b+n-p-(q-1)]}(b-k+1)\ldots p\tfrac{n(n-1)\ldots[n-(p-b+k-1)]}{1\ldot2\ldot3\ldots(p-b+k)}\right\}.
\end{align*}

La série comprise entre les crochets se compose évidemment de
$[b+n-p-(q-1)]$ termes ou de $(k-q+1)$ termes, chacun des
termes exprime la probabilité d'une des $(b+n-q-p+1)$ hypothèses
que l'on peut faire sur la composition de p boules, que l'on
tire d'une urne qui en contient $(b+n-q)$, dans le cas où $p$ est à la
fois plus grand que $(b-q)$ et que $n$; or, comme la somme des probabilités
de toutes les hypothèses possibles, doit être égale à 1, il
s'ensuit que la probabilité cherchée est réduite au premier facteur
$\tfrac{b(b-1)\ldots[b-(q-1)]}{(b+n)\ldots[b+n-(q-1)]}$ comme dans les deux cas précédents.

Le théorème que nous venons de démontrer est encore vrai pour une
urne qui renfermerait des boules de plusieurs couleurs: on le démontrerait
en séparant les boules en deux groupes, dont l'un renfermerait les
boules d'une même couleur, et l'on prouverait que la probabilité de tirer
une boule de cette couleur n'est point changée: on ferait de même
pour les autres couleurs. Ce théorème peut donc être énoncé ainsi dans
toute sa généralité: Si une urne renferme des boules de plusieurs
couleurs, et qu'on en tire au hasard un certain nombre, la probabilité
d'amener, parmi les boules restantes, $q$ boules d'une couleur
quelconque, n'est point changée par cette soustraction et reste la
même qu'auparavant. Il est tout-à-fait semblable à celui dont
M.~Poisson s'est servi dans son mémoire \emph{sur l'avantage du banquier
au jeu de trente et quarante} (\emph{Annales de Chimie et de Physique},
t.~XIII, p.~177-178), et on le regardera peut-être comme évident \emph{à
priori}, mais il était bon d'en vérifier analytiquement l'exactitude.

\jmpafin

% *** File: 019.png

\jmpapaper{NOTE}{}{Sur les points singuliers des Courbes;}{Par M.~PLUCKER.}{}
\label{art3}


Une courbe quelconque étant proposée, je désignerai

\primop.~Par $n$ son degré, ou le nombre de ses points d'intersection avec
une ligne droite;

\secundop.~Par $m$ sa classe (mot introduit par M.~\emph{Gergonne}) ou le nombre
de ses tangentes, passant par un même point;

\tertiop.~Par $x$ le nombre de ses points doubles;

\quartop.~Par $y$ celui de ses points de rebroussement;

5\up{o}.~Par $u$ le nombre de ses tangentes doubles; et enfin

6\up{o}.~Par $v$ celui de ses tangentes (ou points) d'inflexion.

Dans ce qu'on va lire, je supposerai en outre que la courbe n'a ni
points multiples, ni tangentes multiples.

I\@. Pour toutes les courbes algébriques quelconques, il existe une
équation générale et unique, qui lie entre eux les nombres \primop.~des
points doubles ($x$), \secundop.~des points de rebroussement ($y$), \tertiop.~des tangentes
doubles (communes à deux branches différentes de la courbe) ($u$),
et \quarto des points d'inflexion ($v$). Cette équation est la suivante:
\begin{multline*}
(v-y)^4 - 9(v-y)^2 [6(v+y)+4(u+x)-45]\\+756(v-y)(u-x)+324(u-x)^2 = 0.
\end{multline*}

II\@. Les courbes générales d'un degré quelconque, n'ont ni point
double ni point de rebroussement. Pour elles on obtient, en posant
$y = 0$ et $x = 0$,
\begin{align*}
v^4 - 54v^3 - 36uv^2 + 405v^2 + 756uv + 324u^2 = 0.
\end{align*}

III\@. On obtient pour les courbes générales d'une classe quelconque
\marginpage % *** File: 020.png
(qui n'ont tangentes doubles ni points d'inflexion) l'équation analogue
suivante:
\begin{align*}
y^4 - 54y^3 - 36xy^2 + 405y^2 + 756xy + 324x^2 = 0.
\end{align*}

IV\@. Si le nombre des points de rebroussement est égal à celui des
points d'inflexion, le nombre des points doubles est nécessairement
égal à celui des tangentes doubles. De plus la courbe est coupée alors
par une ligne droite en autant de points qu'il y a des tangentes de la
courbe aboutissant à un même point. On a simultanément
\begin{align*}
v = y,\quad u = x,\quad n = m,\quad 2x + 3y = n(n - 2).
\end{align*}
Pour obtenir les différents cas où les courbes d'un degré donné n sont
de la même classe, on n'a qu'à résoudre la dernière équation en nombres
entiers, en satisfaisant en même temps à la condition
\begin{align*}
x + y \eqqless \frac{(n - 1)(n -2)}{1\quad\ldot\quad2}.
\end{align*}

V\@. Dans le cas général, on a
\begin{align*}
(v - y) &= 3(m - n),\\
(u - x) &= \tfrac{1}{2}(m - n)(m + n - 9),
\end{align*}
équations simples, qui donnent encore la suivante:
\begin{align*}
(m + n) - 6\Big(\frac{u - x}{v - y}\Big) = 9.
\end{align*}

VI\@. L'un des deux nombres $n$ et $m$ étant donné l'on peut prendre
l'autre entre les deux limites déterminées par les deux équations
\[
m \leqq n(n - 1),\quad n \leqq m(m - 1);
\]
excepté toutefois qu'on n'a jamais ni $m = n(n-1) - 1$ ni $n = m(m - 1) - 1$.
On a généralement,
\begin{alignat*}{2}
m &= \:n(n &- 1) - 2x - 3y,\\
n &= m(m &- 1) - 2u - 3v.
\end{alignat*}

VII\@. Enfin l'on a les quatre équations suivantes:
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{2}
v &= \:3n(n &- 2) - 6x - 8y,\\
y &= 3m(m &- 2) - 6u - 8v,
\end{alignedat}\\
\begin{alignedat}{6}
& u = \tfrac{1}{2}& n&(n&{-}2)&(n^2&{-}9) - &[n&&(n&{-}1) - 6](2x{+}3y) + 2x(x{-}1) + 6xy + \tfrac{9}{2}y(y{-}1),\\
& x = \tfrac{1}{2}& m&(m&{-}2)&(m^2&{-}9) - &[m&&(m&{-}1) - 6](2u{+}3v) + 2u(u{-}1) + 6uv + \tfrac{9}{2}v(v{-}1).
\end{alignedat}
\end{gather*}

\marginpage % *** File: 021.png
L'interprétation géométrique de ces équations est facile. Ainsi, la
première d'entre elles, par exemple, indique que, si par une détermination
spéciale des constantes de l'équation générale d'un degré quelconque,
la courbe correspondante acquiert des points doubles ou de
rebroussement, le nombre des points d'inflexion diminue de \emph{six} unités
pour chaque point double et de \emph{huit} pour chaque point de rebroussement.
J'ajouterai que sur les six points d'inflexion qui disparaissent,
il y a \emph{deux} de réels et \emph{quatre} d'imaginaires, si c'est un point double
proprement dit et supposé réel, qui les remplace; mais que tous
sont imaginaires, si c'est un point conjugué. Dans le cas d'un point
réel de rebroussement, il y a, sur les huit points d'inflexion qui
disparaissent, \emph{deux} de réels et \emph{six} d'imaginaires.

VIII\@. Les courbes des degrés 3, 4, 5, offrent les différents cas suivants,
les seuls possibles, par rapport au nombre des points et tangentes
singulières, dont il est question ici.

{\fboxrule=2pt
\hfill
\parbox[t]{12em}{\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
$n=3$.  \\[1ex]
\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r}
$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[1ex]
\hline
6  & --- & --- & --- & \ 9\rule{0pt}{3ex}  \\
4  &  1  & --- & --- &  3  \\
3  & --- &  1  & --- &  1  \\
\end{tabular}}

\vspace{3em}
$n=4$.  \\[1ex]
\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r}
$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[1ex]
\hline
12  & --- & --- & 28  & 24\rule{0pt}{3ex} \\
10  &  1  & --- & 16  & 18  \\
9  & --- &  1  & 10  & 16  \\
8  &  2  & --- &  8  & 12  \\
7  &  1  &  1  &  4  & 10  \\
6  &  3  & --- &  4  &  6  \\
{.}\,  & --- &  2  &  1  &  8  \\
5  &  2  &  1  &  2  &  4  \\
4  &  1  &  2  &  1  &  2  \\
3  & --- &  3  &  1  & --- \\
\end{tabular}}
\end{center}}
\hfill
\parbox[t]{12.6em}{\begin{center}
$n=5$.  \\[1ex]
\fbox{\begin{tabular}{*{4}{r|}r}
$m$ & $x$ & $y$ & $u$ & $v$ \\[.5ex]
\hline
20  & --- & --- & 120 & 45\rule{0pt}{2.5ex} \\
18  &  1  & --- &  92 & 39  \\
17  & --- &  1  &  78 & 37  \\
16  &  2  & --- &  68 & 33  \\
15  &  1  &  1  &  56 & 31  \\
14  &  3  & --- &  48 & 27  \\
{.}\,  & --- &  2  &  45 & 29  \\
13  &  2  &  1  &  38 & 25  \\
12  &  4  & --- &  32 & 21  \\
{.}\,  &  1  &  2  &  29 & 23  \\
11  &  3  &  1  &  24 & 19  \\
{.}\,  & --- &  3  &  21 & 21  \\
10  &  5  & --- &  20 & 15  \\
{.}\,  &  2  &  2  &  17 & 17  \\
9  &  4  &  1  &  14 & 13  \\
{.}\,  &  1  &  3  &  11 & 15  \\
8  &  6  & --- &  12 &  9  \\
{.}\,  &  3  &  2  &   9 & 11  \\
{.}\,  & --- &  4  &   6 & 13  \\
7  &  5  &  1  &   8 &  7  \\
{.}\,  &  2  &  3  &   5 &  9  \\
6  &  4  &  2  &   5 &  5  \\
{.}\,  &  1  &  4  &   2 &  7  \\
5  &  3  &  3  &   3 &  3  \\
{.}\,  & --- &  5  & --- &  5  \\
4  &  2  &  4  &   2 &  1
\end{tabular}}
\end{center}}
\hfill\;

}%end span of \fboxrule=2pt
\marginpage % *** File: 022.png

On peut dans les tableaux qui précèdent changer réciproquement
$n$ en $m$, $x$ en $u$, $y$ en $v$.

IX\@. En représentant une courbe par une équation entre deux
coordonnées ordinaires, on la regarde comme engendrée par le mouvement
d'un point, dont les différentes positions sont données par
l'équation. Soient $p$ et $q$ des fonctions linéaires des deux coordonnées
et
\[
\psi (p,q) = \Omega = 0,
\]
l'équation d'une courbe quelconque, ou algébrique, ou transcendante.
On sait qu'un point double de la courbe est alors indiqué par les
deux équations suivantes
\[
\frac{d \Omega}{dp} = 0, \quad \frac{d \Omega}{dq} = 0.
\]
De plus ce point double est, ou l'intersection de deux branches réelles
de la courbe, ou un point conjugué, ou enfin (en général) un point
de rebroussement, selon qu'on a\label{err022}
\[
\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} > 0,\;
\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} < 0,\;
\Big( \frac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2\!\! - \frac{d^{2} \Omega}{dp^{2}} \ldot \frac{d^{2} \Omega}{dq^{2}} = 0.
\]

De ces équations l'on déduit facilement pour les courbes du troisième
degré, le théorème suivant que j'ai démontré avec d'autres
théorèmes semblables, dans un autre endroit: «Les trois asymptotes
étant données, le lieu géométrique des points de rebroussement de
ces courbes est l'ellipse \emph{maximum}, inscrite au triangle formé par les
trois asymptotes; le lieu des points conjugués est l'intérieur, et le
lieu des points doubles, proprement dits, l'extérieur de cette ellipse
{\it maximum}.»

X. L'équation générale de la ligne droite renferme deux constantes,
que nous supposons y entrer au premier degré seulement. Nous
désignerons deux fonctions linéaires quelconques de ces deux constantes
par $r$ et $s$. Alors des valeurs données de $r$ et $s$ déterminent
une ligne droite unique, et l'équation
\[
\Psi (r, s) = \Psi = 0,
\]
\marginpage % *** File: 023.png
en y considérant $r$ et $s$ comme variables, représente une courbe:
cette courbe est regardée comme enveloppée par une ligne droite en
mouvement, dont les différentes positions sont données par l'équation
précédente. Pour une tangente double l'équation de la courbe doit
subsister simultanément avec les deux équations suivantes
\[
\frac{d\Psi}{dr} =0, \quad \frac{d\Psi}{ds}=0
\]
De plus, cette tangente double touche deux branches réelles de la
courbe, ou elle est isolée de la courbe (conjuguée), ou enfin elle
touche la courbe dans un point d'inflexion, selon qu'on a
\begin{align*}
\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}>0,\;
\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}<0,\;
\Big(\frac{d^2\Psi}{drds}\Big)^2\!\!\! - \frac{d^2\Psi}{dr^2}.\frac{d^2\Psi}{ds^2}=0.
\end{align*}

\vspace{\baselineskip}\hspace*{2em}Paris, 12 mars 1836.

\jmpafin

% *** File: 024.png

\jmpapaperl{SECOND MÉMOIRE}{}
{Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions
en séries dont les divers termes sont assujettis à satisfaire
à une même équation différentielle du second ordre
contenant un paramètre variable;}
{Par J. LIOUVILLE}
{}
\label{art4}

\mysection{I.}

Dans un premier mémoire sur ce sujet\footnote{%
Tome I\ier\ de ce Journal, page 253.},
j'ai eu pour but de
trouver par un procédé direct et rigoureux la valeur de la série
\[
\sum \left(\dfrac{V{\dint_\x^X} gVf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV^2dx}\right)\tag{1}
\]
dans laquelle le signe $\sum$ s'étend à toutes les racines réelles et positives
d'une certaine équation transcendante $\varpi (r) = 0$; $V$ est une fonction
de $x$ et du paramètre $r$, assujettie à satisfaire à %[** errata]
la fois à l'équation différentielle
\[
\dfrac{d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big)}{dx}+(gr-l)V=0,\tag{2}
\]
dans laquelle les fonctions $g$, $k$, $l$ de $x$ sont supposées positives, et
\marginpage % *** File: 025.png
aux conditions définies
\begin{alignat*}{2}
\dfrac{dV}{dx} &-{} &hV &= 0\qtext{pour} x = \x,\tag{3}\\
\dfrac{dV}{dx} &+{} &HV &= 0\qtext{pour} x = X:\tag{4}
\end{alignat*}
les coefficients constants $h$, $H$ sont positifs, nuls ou infinis: lorsqu'on
a $h = \infty$, l'équation (3), dont on peut diviser les deux membres
par $h$, se réduit à
\[
V = 0\qtext{pour} x = \x;
\]
de même, lorsqu'on a $H = \infty$, l'équation (4) se réduit à
\[
V = 0\qtext{pour} x = X:
\]
enfin $f(x)$ est une fonction arbitraire de $x$, assujettie pourtant aux
conditions suivantes
\begin{alignat*}{2}
\dfrac{df(x)}{dx} &-{} &hf(x) &= 0\qtext{pour} x = \x,\tag{5}\\
\dfrac{df(x)}{dx} &+{} &Hf(x) &= 0\qtext{pour} x = X.\tag{6}
\end{alignat*}

La fonction $V$ se présente utilement dans la théorie de la chaleur
et dans une foule de questions physico-mathématiques; et M.~Sturm
en a développé les propriétés avec beaucoup de soin dans ses deux
mémoires sur les équations différentielles et sur les équations aux
différences partielles\footnote{%
Tome I\ier\ de ce Journal, page 106 et page 173.}.
A l'aide de ces propriétés que j'ai moi-même
étudiées dans le mémoire cité plus haut et dans une note particulière,
j'ai fait voir que la valeur de la série (1), lorsque cette série est convergente,
ne peut qu'être égale à $f(x)$, du moins quand la variable $x$
reste comprise entre les limites x, $X$. Dans cette hypothèse de la convergence
de la série (1) et entre les limites x, $X$ de $x$, on a donc
\[
f(x) = \sum\left(\dfrac{V{\dint^X_\x} gVf(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right)\tag{7}
\]

\marginpage % *** File: 026.png
L'équation $\varpi(r) = 0$ dont le paramètre $r$ dépend n'a pas de racines
négatives, comme on le reconnaît à l'inspection seule de cette équation.
Elle n'a pas non plus de racines imaginaires; c'est ce que
M.~Poisson a prouvé depuis long-temps par un procédé très ingénieux.
Mais il est bon d'observer que la méthode dont j'ai fait usage pour
sommer la série (1) n'exige en aucune manière la connaissance du
théorème de M.~Poisson. Si l'équation $\varpi(r) = 0$ avait des racines
imaginaires, on n'en tiendrait pas compte dans le second membre de
l'équation (7), et cette équation subsisterait encore et se démontrerait
par la même analyse. Pour l'exactitude de la démonstration que j'en
ai donnée, il suffit en effet que les diverses fonctions $V_1$, $V_2$,\dots\ qui
répondent aux racines réelles et positives $r_1$, $r_2$,\dots\ de l'équation
$\varpi(r) = 0$ jouissent des propriétés que M.~Sturm a reconnu leur appartenir.
Au surplus, la réalité de toutes les racines de l'équation
$\varpi(r) = 0$ résulte des propriétés mêmes de ces fonctions $V_1$, $V_2$,\dots\
qui répondent aux valeurs réelles et positives du paramètre $r$: c'est
ce que je prouverai à la fin du présent mémoire.

Si nous revenons à la série (1), nous voyons qu'elle doit être encore
l'objet d'une recherche nouvelle dont l'importance a été signalée par
M.~Sturm dans son dernier mémoire\footnote{%
Tome I\ier\ de ce Journal, page 411.}:
il s'agit de prouver que cette
série (1) est convergente; et j'ai eu le bonheur d'y parvenir il y a
quelque temps, du moins dans le cas très étendu où les fonctions
$g$, $k$, $f(x)$ et leurs dérivées premières et secondes conservent toujours
des valeurs finies, lorsque $x$ croît de x à $X$. Ma démonstration,
quoique très simple, sera sans doute appréciée par les géomètres qui
ont traité des questions semblables et qui savent combien en général
elles offrent de difficultés. Elle consiste à prouver que si l'on désigne
par n un indice très grand, par $u_n$ la valeur absolue du $n$\iieme\ terme de
la série (1) et par $M$ un certain nombre indépendant de $n$ et facile à
calculer, on a $u_n < \dfrac{M}{n^2}$. Or, la série qui a pour terme général $\dfrac{M}{n^2}$ est
convergente; donc à \emph{fortiori} la série (1) l'est aussi, ce qu'il fallait démontrer.
On peut trouver en outre une limite supérieure de l'erreur
\marginpage % *** File: 027.png
commise lorsque l'on prend pour valeur de $f(x)$ les $n$ premiers
termes de la série seulement.

La convergence de la série
\[
\sum\left(\dfrac{Ve^{-rt}{\dint^X_\x} gVf(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right),
\]
où l'on suppose $t > 0$, et qui représente l'état variable des températures
dans une barre hétérogène, résulte aussi de notre analyse;
cette dernière série est même plus facile à traiter que la série (1), et
c'est par elle que nous commencerons.

En terminant cette introduction, je dois dire qu'ayant communiqué
mon travail à M.~Sturm, il a trouvé presque sur-le-champ une
seconde démonstration de la convergence de la série (1), aussi simple
que la mienne, et fondée sur ses propres principes.

\mysection{II.}

Cherchons d'abord à exprimer en série convergente la fonction $V$,
qui satisfait à l'équation indéfinie (2) et aux conditions définies (3),
(4). Pour cela désignons par $k'$ ce que devient $k$ lorsqu'on y pose
$x = \x$, et faisons
\begin{align*}
p_0&=A\Big(1+hk'\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\Big),\\
p_1&=\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_{\x}(l-gr)p_0dx,\\
\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad}\\
p_{n+1}&=\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_{\x}(l-gr)p_ndx,\\
\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad}
\end{align*}


Quelque soit le paramètre $r$, on satisfait évidemment aux équations
(2) et (3) en posant
\[
V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_n + \dotsb ;
\]
$A$ désigne une constante dont la valeur est tout-à-fait arbitraire, et
\marginpage % *** File: 028.png
que l'on peut prendre égale à l'unité, ou mieux encore égale à $\dfrac{1}{1 + h}$,
pour avoir une expression de $V$ qui convienne même au cas où $h = \infty$.
En adoptant cette dernière valeur de $A$, on a, pour $x = \x$,
\[
V = \dfrac{1}{1+h},\quad \dfrac{dV}{dx} = \dfrac{h}{1+h}:
\]
en général ces valeurs de $V$ et $\dfrac{dV}{dx}$ sont différentes de zéro; $V$ se
réduit à zéro lorsque $h = \infty$, mais alors $\dfrac{dV}{dx} = 1$; au contraire $\dfrac{dV}{dx}= 0$,
quand $h = 0$, mais alors on a $V = 1$. On voit par là que la fonction
$V$ ne devient identiquement nulle pour aucune valeur déterminée
de $r$, tant que $x$ reste indéterminée.

La série $p_0 + p_1 + \etc$ est convergente: prenons en effet les divers
termes de cette série, abstraction faite de leurs signes, et désignons
les par $P_0$, $P_1$, etc.; représentons par $P$ et $G$ les valeurs absolues
les plus grandes des deux fonctions $P_0$ et $l - gr$ pour des valeurs
de $x$ croissantes depuis x jusqu'à $X$; représentons aussi par $k_0$ la
plus petite valeur de $k$. En remplaçant partout sous le signe $\int$ (dans
les intégrales multiples $P_0$, $P_1$, etc.) $l - gr$ par $G$, $P_0$ par $P$, $k$ par $k_0$,
les valeurs de ces intégrales augmenteront évidemment. On aura
donc
\begin{align*}
P_1&<\dfrac{GP}{k_0}\ldot \dfrac{(x-\x)^2}{1\ldot 2},\\
P_2&<\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^2\ldot \dfrac{(x-\x)^4}{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4},\\
\multispan{2}{\leaderfill\qquad}\\
P_n&<\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^n\ldot \dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots2n},\\
\multispan{2}{\leaderfill\qquad}\\
\end{align*}
Or la série qui a pour terme général
\[
\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)^n\ldot \dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots2n},
\]
est convergente; donc à \emph{fortiori} les séries $P_0 + P_1 +\etc$ et $p + p_2 +\etc$
sont aussi convergentes, ce qu'il fallait démontrer. De plus l'erreur
\marginpage % *** File: 029.png
commise, lorsque l'on prend pour $V$ les $n$ premiers termes seulement
de la série, $p_0 + p_1 +\etc$, est plus petite que la quantité
\[
\Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)\ldot\dfrac{(x-\x)^{2n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots 2n}+\etc %[** errata]
\]
dont il est aisé de trouver une limite supérieure.

On peut obtenir d'une autre manière une limite supérieure de la
valeur absolue de l'erreur $R_n$ commise en prenant
\[
V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_{n - 1}.
\]
En effet, l'équation (2) et la condition (3) sont satisfaites en posant
\[
V = p_0 +\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx \tag{8}
\]
Si, dans le second membre de cette équation, on remplace $V$ par sa
valeur que fournit précisément ce même second membre, on trouve
ensuite
\[
V=p_0+p_1+\int^x_{\x}\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)dx\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx:
\]
remplaçant de nouveau, dans le second membre, $V$ par sa valeur
(8), et continuant indéfiniment cette opération, conformément à la
méthode connue des approximations successives, on a enfin
\[
V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_{n-1} + R_n,
\]
le reste $R_n$ étant exprimé par l'intégrale multiple
\[
\int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx\ldots \int^x_\x\dfrac{dx}{k}\int^x_\x(l-gr)Vdx,
\]
dans laquelle le signe $\int$ se trouve $2n$ fois.

La fonction $V$ ne devenant jamais infinie, il est clair qu'elle est
susceptible d'un maximum absolu $W$: en remplaçant, dans l'intégrale
multiple ci-dessus, $V$ par $W$, $l - gr$ par $G$, $k$ par $k_0$, on en
augmentera donc la valeur numérique: d'après cela on a
\[
R_n<W\ldot \Big(\dfrac{GP}{k_0}\Big)\ldot
\dfrac{(x-{\x})^{2n}}
{1\ldot  2\ldot  3 \ldots 2n},
\]
\marginpage % *** File: 030.png
ce qu'il fallait trouver et ce qui démontre de nouveau la convergence
de la série $p_0 + p_1 + \etc$

Jusqu'ici nous avons laissé le paramètre $r$ indéterminé. Mais si
l'on veut satisfaire à la condition (4), il faudra prendre pour ce paramètre
une quelconque des racines de l'équation
\[
\frac{dV}{dx} + HV = 0\qtext{pour} x = X,
\]
laquelle, en mettant pour $V$ sa valeur, devient
\[
\frac{dp_0}{dx} + \frac{dp_1}{dx} + \dotsb + H(p_0 + p_1 + \dotsb ) =0\qtext{pour} x = X:
\]
cette équation est celle que nous avons désignée par
\[
\varpi(r) =0,
\]
dans notre premier mémoire. Les quantités $p_0$, $p_1$, etc., et leurs
dérivées étant essentiellement positives lorsqu'on prend $r < 0$, il en
résulte que cette équation n'a pas de racines $< 0$. M.~Sturm a
prouvé et tout-à-l'heure nous prouverons aussi qu'elle a un nombre
infini de racines positives $r_1$, $r_2$,\dots\ qui sont de plus en plus grandes
et croissent jusqu'à l'infini. Quant aux racines imaginaires, nous
n'avons pas besoin de nous en occuper pour le moment.

\mysection{III.}

On peut transformer l'équation (2) de plusieurs manières et arriver
ainsi à d'autres développements de la fonction $V$. Pour le montrer,
je fais par exemple
\[
z=\int_\x^x\sqrt{\frac{g}{k}}\ldot dx,
\]
$z$ désignant une nouvelle variable qui croît depuis 0 jusqu'à un certain
maximum $Z = {\dint_\x^X}\sqrt{\dfrac{g}{k}}dx$, lorsque $x$ croît depuis x jusqu'à $X$.
Je prends cette variable $z$, au lieu de $x$, pour variable indépendante,
et l'équation (2) devient
\marginpage % *** File: 031.png
\[
\frac{d\Big(\sqrt{gk}\ldot\dfrac{dV}{dz}\Big)} {dz} + \Big(r\sqrt{gk}- l\sqrt{\frac{k}{g}}\Big)V = 0,
\]
ou bien
\[
\sqrt{gk}\ldot\frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d\ldot\sqrt{gk}}{dz}\ldot\frac{dV}{dz} +\Big(r\sqrt{gk}- l\sqrt{\frac{k}{g}}\Big)V=0.
\]
Maintenant si l'on pose
\[
V = \theta U,
\]
$\theta$ étant $= \dfrac{1}{\sqrt[4]{gk}}$, le coefficient de $\dfrac{dU}{dz}$ sera égal à zéro dans l'équation
transformée, laquelle, en faisant $r = \rho^2$, et
\[
l\sqrt{\frac{k}{g}}\ldot\theta-\frac{d\ldot\sqrt{gk}}{dz}\ldot\frac{d\theta}{dz} - \sqrt{gk}\ldot\frac{d^2\theta}{dz^2} = \sqrt{gk}\ldot\theta\ldot\lambda,
\]
sera de la forme
\[
\frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2U = \lambda U;\tag{9}
\]
quant aux équations (3) et (4), si on leur applique les mêmes transformations,
elles prendront la forme
\begin{alignat*}{2}
\frac{dU}{dz} &-{} &h'U &= 0\qtext{pour} z = 0,\tag{10}\\
\frac{dU}{dz} &+{} &H'U &= 0\qtext{pour} z = Z,\tag{11}
\end{alignat*}
$h'$, $H'$ désignant deux constantes différentes de $h$, $H$ et qui ne sont
pas assujetties comme ces dernières à la condition d'être positives.

L'équation (9) étant de même forme que l'équation (2), on pourrait
l'intégrer de la même manière: en désignant par $A$ une constante
arbitraire, et posant $p_0 = A(1 + h'z)$, puis en général
\[
p_{n+1} = \int_0^zdz\int_0^z(\lambda-\rho^2)p_ndz,
\]
on aurait en série convergente
\[
V = p_0 + p_1 + \dotsb + p_n + \dotsb
\]
Mais il est préférable de procéder de la manière suivante.
\marginpage % *** File: 032.png

En multipliant par $\sin \rho zdz$ les deux membres de l'équation (9)
puis intégrant et observant que
\[
\Big(\sin\rho z\frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2U\sin\rho z\Big)dz = d\Big(\sin\rho z\frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z\Big),
\]
on a
\[
\sin\rho z\frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z = A + \int_0^z \lambda U \sin\rho zdz.
\]

En posant $z = 0$, on trouve la valeur de la constante arbitraire
$A = - \rho U$: la valeur de $U$, pour $z = 0$, est tout-à-fait arbitraire
à moins que l'on ait $h' = \infty$, auquel cas elle est nécessairement nulle,
en excluant d'abord ce cas particulier, nous la supposerons égale à
l'unité, ce qui nous donnera $A = - \rho$; en même temps, nous désignerons
par $\lambda'$, $U'$ ce que deviennent $\lambda$, $U$ lorsqu'on y change $z$
en $z'$; et nous aurons
\[
\int_0^z\lambda U\sin\rho zdz = \int_0^z\lambda'U'\sin\rho z'dz'.
\]
L'équation précédente deviendra donc
\[
\sin\rho z \frac{dU}{dz} - \rho U\cos\rho z = -\rho + \int_0^z\lambda'U'\sin\rho z'dz'.\tag{12}
\]
En multipliant l'équation (9) par $\cos \rho zdz$, intégrant et observant que,
pour $z = 0$, on a [d'après la condition (10)],
\[
\frac{dU}{dz} = h'U =h',
\]
on obtiendra de même
\[
\cos\rho z \frac{dU}{dz} + \rho U\sin\rho z =h' + \int_0^z\lambda'U'\cos\rho z'dz'.\tag{13}
\]
Des deux équations (12) et (13), on tire\label{p24eq14}
\[
U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho}
+ \frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz',\tag{14}
\]
\marginpage % *** File: 033.png
et
\[
\frac{dU}{dz}= -\rho\sin\rho z + h'\cos\rho z + \int_0^z \lambda'U'\cos\rho(z-z')dz'.\tag{15}
\]
Si maintenant on change $z$ en $z'$, $U$ se changera en $U'$: on pourra,
dans le second membre de l'équation (14), mettre au lieu de $U'$ sa valeur,
et en continuant ainsi comme au \no II, on obtiendra la valeur
de $U$ exprimée par une série d'autant plus convergente que $\rho$ sera plus
grand.

\mysection{IV.}

Lorsque $\rho$ n'est pas très grand, on trouve sans difficulté, par les
méthodes de M.~Sturm, les valeurs de $z$ qui rendent $V$ un maximum
et les valeurs correspondantes de $V$. Il est donc facile de trouver alors
la limite supérieure que nous avons désignée au \no II par la lettre $W$.
Mais l'emploi des méthodes de M.~Sturm étant trop pénible quand $\rho$
est très grand, voici comment on peut y suppléer.

Soit $Q$ la plus grande valeur que $U$ puisse prendre lorsque $z$ varie
de $0$ à $Z$, et $L$ la plus grande valeur de $\lambda$ dans le même intervalle;
nous considérons les quantités $Q$ et $L$, abstraction faite de leur signe.
La valeur absolue de l'intégrale
\[
\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz',
\]
dans laquelle $z$ est compris entre $0$ et $Z$, est donc toujours moindre
que $LQ{\dint_0^z}dz'$ et à \emph{fortiori} moindre que $LQZ$. D'un autre côté le
maximum de $\cos\rho z + \dfrac{h'\sin\rho z}{\rho}$ est $\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}$: donc le second
membre de l'équation (10) est constamment plus petit que
\[
\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{LQZ}{\rho},
\]
ce qui exige que l'on ait
\[
Q < \sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{LQZ}{\rho}.
\]
\marginpage % *** File: 034.png
Pour des valeurs de $\rho$ plus grandes que $LZ$, il vient donc
\begin{align*}
Q< \frac{\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}} {1-\dfrac{LZ}{\rho}}.
\end{align*}
Lorsque l'on prend le paramètre $\rho$ suffisamment grand et tel que l'on
ait
\begin{align*}
\rho > 2LZ,
\end{align*}
ce que nous admettrons désormais, il vient par conséquent
\begin{align*}
Q&< 2\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}.
\end{align*}
Mais on a $V = \theta U$, et par suite $V < \Theta Q$, si $\Theta$ désigne le maximum
absolu de $\theta$: donc pour des valeurs de $\rho$ suffisamment grandes, et en
considérant seulement la valeur absolue de $V$, on a

\begin{align*}
V< 2\Theta\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}:
\end{align*}
semblablement, si l'on désigne par $F$ ou $F_1$ le maximum d'une fonction
donnée de $x$, savoir, $f(x)$ ou $f_1(x)$, on aura pour de très grandes
valeurs de $\rho$,

\begin{align*}
V\int_\x^X gVf(x)dx &< 4F\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-\x)\ldot\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big],\\
V\int_\x^X Vf_1(x)dx &< 4F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-\x)\ldot\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big]:
\end{align*}
$G$ représente ici, comme au \no II, le maximum de $g$.

\mysection{V.}

Occupons-nous maintenant de l'intégrale ${\dint_\x^X} gV^2dx$, qui entre en
\marginpage % *** File: 035.png
dénomin\-ateur dans le terme général de la série (1). En remplaçant la
variable $x$ par la variable $z$, on a
\begin{align*}
\int_\x^X gV^2 dx & = \int_0^Z \left(g\theta^2 \frac{dx}{dz}\right) U^2dz;
\end{align*}
mais, d'après les valeurs de $\theta$ et de $\dfrac{dx}{dz}$, savoir
\begin{align*}
\theta = \frac{1}{\sqrt[4]{gk}},\quad \frac{dx}{dz} = \sqrt{\frac{k}{g}},
\end{align*}
on a
\begin{align*}
g\theta^2 \frac{dx}{dz} = 1.
\end{align*}
Il vient donc
\begin{align*}
\int_\x^X g^2Vdx = \int_0^Z U^2dz.\tag{16}
\end{align*}
Posons
\begin{align*}
\int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz' = \epsilon,
\end{align*}
l'équation (14) prendra la forme
\begin{align*}
U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{\epsilon}{\rho};\tag{17}
\end{align*}
il est clair que pour des valeurs de $\rho$ suffisamment grandes la fraction
$\dfrac{\epsilon}{\rho}$ devient plus petite que tout nombre donné, et il est même
aisé de se convaincre qu'elle possède alors une valeur numérique
inférieure à
\begin{align*}
\frac{2LZ}{\rho}\sqrt{1+ \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2}.
\end{align*}
Maintenant, en mettant an lieu de $U$ sa valeur, l'équation (16) devient
\begin{align*}
\int_\x^X gV^2dx = \int_0^Z dz \Big(\cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{\epsilon}{\rho}\Big)^2.
\end{align*}
\marginpage % *** File: 036.png
comme on a d'ailleurs
\begin{align*}
\int_0^Z \cos^2\rho zdz = \frac{Z}{2} + \frac{\sin2\rho Z}{4\rho},\\
\int_0^Z \sin^2\rho zdz = \frac{Z}{2} - \frac{\sin2\rho Z}{4\rho},
\end{align*}
il en résulte que l'intégrale ${\dint_\x^X} gV^2dx$ a une valeur de la forme
\begin{align*}
\int_\x^X gV^2 dx = \frac{Z}{2}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big] + \frac{\eta}{\rho},
\end{align*}
$\dfrac{\eta}{\rho}$ représentant une quantité que l'on rendra aussi petite que l'on
voudra et par exemple plus petite que la moitié du premier terme
\begin{align*}
\frac{Z}{2}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big],
\end{align*}
en prenant $\rho$ suffisamment grand: pour des valeurs de $\rho$ très grandes,
on a donc
\begin{align*}
\int_\x^X gV^2 dx > \frac{Z}{4}\Big[1 + \Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big].
\end{align*}

\mysection{VI.}

Revenons maintenant aux formules (14) et (15), lesquelles peuvent
s'écrire ainsi
\begin{align*}
U &= \cos\rho z\Big(1-\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\sin\rho z'dz'\Big)\\
&\qquad\qquad+ \sin\rho z\Big(\frac{h'}{\rho}+\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda'U'\cos\rho z'dz'\Big),\\
\frac{dU}{dz} &= -\sin\rho z\Big(\rho-\int_0^z \lambda'U'\sin\rho z'dz'\Big)\\
&\qquad\qquad+ \cos\rho z\Big(h'+\int_0^z \lambda'U'\cos\rho z'dz'\Big):
\end{align*}
nous en déduirons aisément la valeur de $\dfrac{dU}{dz} + H'U$ relative à $z = Z$,
\marginpage % *** File: 037.png
et en égalant cette valeur à zéro (conformément à la condition (11)),
nous aurons l'équation dont les valeurs de $\rho$ dépendent. En posant
\begin{align*}
P &= h' +H' + \int_0^Z \lambda'U'\Big(\cos\rho z' - \frac{H'\sin\rho z'}{\rho}\Big)dz',\\
P' &= \frac{H'h'}{\rho} + \int_0^Z \lambda'U' \Big(\frac{H'\cos\rho z'}{\rho} + \sin\rho z'\Big)dz',
\end{align*}
cette équation sera
\begin{align*}
P\cos\rho Z - (\rho-P')\sin\rho Z =0,
\end{align*}
d'où l'on tire
\begin{align*}
\tang\rho Z &= \frac{P}{\rho-P'}:\tag{18}
\end{align*}
$P$ et $P'$ sont deux fonctions de $\rho$, la première paire, la seconde
impaire: les racines de l'équation (18) sont donc deux à deux
égales et de signes contraires, ce qui doit être, puisque l'on a posé
$r = \rho^2$, d'où résulte $\rho = \pm \sqrt{r}$: il est aisé de voir en outre que
l'équation (18) a une infinité de racines réelles: on s'en convaincra
en regardant $\rho$ comme une abscisse variable, et construisant les
deux courbes qui ont respectivement pour équations $y = \tang \rho Z$,
$y = \dfrac{P}{\rho - P'}$, courbes dont la seconde a pour asymptote l'axe des abscisses.

Les grandes valeurs de $\rho$ ou $\sqrt{r}$ s'obtiennent sans difficulté puisque
l'équation (18) résolue donne
\begin{align*}
\rho Z &= (n-1)\pi + \arctang\frac{P}{\rho-P'},
\end{align*}
$n$ désignant un nombre entier quelconque que nous supposerons très
grand. Cette expression générale de $\rho$ fournit, à très peu près,
\begin{align*}
\rho\qtext{ou} \sqrt{r} = \frac{(n-1)\pi}{Z},
\end{align*}
ou plus exactement,
\begin{align*}
\rho\qtext{ou} \sqrt{r} = \frac{(n-1)\pi}{Z} + \frac{P_0}{(n-1)\pi},
\end{align*}
\marginpage % *** File: 038.png
$P_0$ étant $= h'+H'+\dfrac{1}{2}{\dint^Z_0}\lambda dz$. Je ne m'arrêterai pas à démontrer
cette dernière formule dont nous n'aurons jamais besoin.

En général les grandes valeurs de $\sqrt{r}$ sont de la forme
\[
\rho\qtext{ou}\sqrt{r}=\dfrac{(n-1)\pi}{Z} + i_n,
\]
$i_n$ désignant une très petite quantité. Quand on donne à $n$ une valeur
déterminée très grande, la racine correspondante est précisément la
$n$\iieme\  des racines $r_1$, $r_2$,\dots\ rangées par ordre de grandeur. Pour
constater ce fait, il suffit d'observer que lorsque $\rho$ est très grand
\Big(auquel cas on a à très peu près $\rho=\dfrac{(n-1)\pi}{Z}$\Big), $U$ se réduit sensiblement
à
\[
U=\cos\rho z = \cos\frac{(n-1)\pi z}{Z}:
\]
par suite $V$ devient
\[
V=\frac{1}{\sqrt[4]{gk}}\cos\frac{(n-1)\pi z}{Z},
\]
et s'évanouit précisément $(n - 1)$ fois lorsque $z$ croît de 0 à $Z$, c'est-à-dire
lorsque $x$ croît de x à $X$. En vertu d'un théorème de M.~Sturm,
cette valeur de $V_n$ est donc celle qui répond à la $n$\iieme\ racine $r_n$. D'après
cette démonstration qu'il serait aisé de rendre plus rigoureuse
en tenant compte des quantités infiniment petites qui ont été négligées,
on a pour un indice $n$ très grand\label{p30eqrn}
\[
\sqrt{r_n}=\frac{(n-1)\pi}{Z}+i_n=\frac{3n}{Z}+\frac{(\pi -3)n}{Z}-\frac{\pi}{Z}+i_n,
\]
et par suite
\[
\sqrt{r_n} > \frac{3n}{Z},
\]
puisque $\pi$ est $> 3$, et que $- \dfrac{\pi}{Z} + i_n$, n'a jamais une valeur considérable.
De là résulte finalement
\[
r_n > \frac{9n^2}{Z^2}.
\]

\marginpage % *** File: 039.png
\mysection{VII.}

En combinant ensemble les deux inégalités
\[
V\int^X_\x gV f(x)dx<4F \ldot G \ldot \Theta^2.(X-{\x})\Big[1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2\Big],
\]
\[
\int^X_\x gV^2dx>\dfrac{Z}{4}\Big[1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2\Big],
\]
que nous avons obtenues l'une au \no IV, l'autre au \no V, il vient
\[
\dfrac{V{\dint^X_\x} gV(f(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}<\frac{16\ldot F \ldot G \ldot \Theta^2\ldot (X-\x)}{Z}:
\]
le terme général de la série formant le second membre de l'équation
\[
u=\sum\left(\dfrac{V e^{-rt} {\dint^X_\x} gV(f(x)dx}{{\dint^X_\x} gV^2dx}\right)\tag{19},
\]
a donc une valeur absolue plus petite que
\[
\dfrac{16 F \ldot G \ldot \Theta^2\ldot (X-\x)e^{-rt}}{Z}:
\]
or, quand on suppose $t > 0$, la série qui a pour terme général cette
dernière quantité est évidemment convergente: donc à \emph{fortiori} la
série (19) est aussi convergente.

Lorsqu'on a $t = 0$, la série (19) se change dans la série (1), et il
faut une autre démonstration. En multipliant par $f(x)$ les deux
membres de l'équation (2), on en déduit
\[
gVf(x)dx=\frac{1}{r}lVf(x)dx-\frac{1}{r}\ldot d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big):
\]
\marginpage % *** File: 040.png
intégrant ensuite à partir de $x = \x$ jusqu'à $x = X$, il vient
\begin{align*}
\int_\x^X gVf(x)dx = \frac{1}{r}\int_\x^X lVf(x)dx - \frac{1}{r}\int_\x^X f(x)d\Big(k\frac{dV}{dx}\Big).\tag{20}
\end{align*}
Une double intégration par parties donne
\begin{align*}
\int f(x)d\Big(k\frac{dV}{dx}\Big) &= k\Big(f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx}\Big)\\
&\qquad\qquad+ \int Vd\Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big).
\end{align*}
Mais à la limite x de $x$ on a
\begin{align*}
\frac{dV}{dx}-hV=0, \qquad\frac{df(x)}{dx} - hf(x)=0,
\end{align*}
d'où résulte, en éliminant $h$,
\begin{align*}
f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx} =0;
\end{align*}
\label{err040}cette même quantité
\begin{align*}
f(x)\frac{dV}{dx} - V \frac{df(x)}{dx} %[** errata]
\end{align*}
est nulle aussi à l'autre limite $X$ par une raison semblable. D'après
cela, on obtient
\begin{align*}
\int_\x^X f(x)d\Big( k\frac{dV}{dx}\Big) = \int_\x^X Vd \Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big),
\end{align*}
moyennant quoi l'équation (20) se réduit à
\begin{align*}
\int_\x^X gVf(x)dx = \frac{1}{r} \int_\x^X Vf_1(x)dx,
\end{align*}
$f_1(x)dx$ représentant la fonction
\begin{align*}
lf(x)dx - d \Big(k\frac{df(x)}{dx}\Big).
\end{align*}
\marginpage % *** File: 041.png
Le terme général de la série (1) peut donc être mis sous la forme
\begin{align*}
\frac{V {\dint_\x^X} Vf_1(x)dx} {r{\dint_\x^X} gV^2dx}:
\end{align*}
en supposant que ce terme général soit le $n$\iieme\ ($n$ étant un indice très
grand) et désignant par $u_n$ sa valeur absolue, il suffira maintenant
de combiner les inégalités
\begin{align*}
V \int_\x^X Vf_1(x)dx  &< 4F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot(X-{\x})\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], \\
\int_\x^X gV^2dx &>\frac{Z}{4}\Big[1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2\Big], \quad r_n > \frac{9n^2}{Z^2},
\end{align*}
et de poser
\[
\frac{16F_1\ldot G\ldot\Theta^2\ldot({X}-{\x})}{9}=M,
\]
pour en conclure $u_n < \dfrac{M}{n^2}$. Or la série qui a pour terme général $\dfrac{M}{n^2}$
est convergente: donc la série (1) l'est aussi, ce qu'il fallait prouver.
De plus l'erreur commise en égalant $f(x)$ à la somme des n premiers
termes de cette série est moindre que
\begin{align*}
M\sum \Big(\frac{1}{\mu^2}\Big),
\end{align*}
quantité dont il est aisé de trouver une limite supérieure et dans laquelle
$\mu$ prend successivement toutes les valeurs entières comprises
entre $n$ et $\infty$.

La valeur de $u$ fournie par la série placée au second membre de
l'équation (19) représente au bout du temps $t$, dans une barre hétérogène,
la température du point dont l'abscisse est $x$\footnote{%
Tome I\ier\ de ce Journal, page 411.}.
La vitesse
de refroidissement $- \dfrac{du}{dt}$ est donc exprimée par la série
\begin{align*}
\sum \left[\frac{Ve^{-rt}\ldot r\ldot{\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx}\right].
\end{align*}
\marginpage % *** File: 042.png
Pour des valeurs positives de $t$, la convergence de cette série résulte
évidemment de l'analyse précédente.

On démontrerait de la même manière la convergence des deux
séries
\begin{align*}
\sum \frac{V \cos(t\sqrt{r}){\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx},\qquad
\sum \frac{V \sin(t\sqrt{r}){\dint_\x^X} gVf(x)dx} {{\dint_\x^X} gV^2dx},
\end{align*}
qui servent à résoudre plusieurs problèmes de mécanique.

Nous avons dans tout ce qui précède considéré les deux constantes
$h'$, $H'$ comme ayant des valeurs finies. Quand une d'elles est infinie,
on doit donc un peu modifier notre analyse; mais les modifications
qu'il faut y apporter sont tellement légères que je regarde comme
entièrement inutile de les développer ici.

\mysection{VIII.}

Revenons maintenant à l'équation $\varpi(r) = 0$ qui détermine le paramètre
$r$, et prouvons que cette équation a toutes ses racines réelles.
Pour cela rappelons un lemme que j'ai démontré dans mon premier
mémoire\footnote{%
Tome I\ier\ de ce Journal, page 261.},
et que l'on peut énoncer ainsi: \emph{soit $V_n$ une quelconque
des fonctions $V_1$, $V_2$, etc., qui se déduisent de $V$ en y remplaçant
$r$ successivement par les racines réelles $r_1$, $r_2$, etc., de
l'équation $\varpi(r) = 0$: si une fonction $\phi(x)$ est telle qu'on ait}
\begin{align*}
\int_\x^X V_n\phi(x)dx = 0,\tag{21}
\end{align*}
\emph{l'indice $n$ restant indéterminé, cette fonction $\phi(x)$ sera égale à zéro
pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $\x$ et $X$}.

Ce lemme ne cesse pas d'être exact quand la fonction $\phi(x)$ est
imaginaire et de la forme \label{err042}$f(x) + \sqrt{-1}\ldot F(x)$; car alors l'équation
\marginpage % *** File: 043.png
(21) se décompose dans les deux suivantes
\begin{align*}
\int_\x^X V_nf(x)dx = 0, \qquad \int_\x^X V_nF(x)dx = 0,
\end{align*}
qui donnent séparément $f(x) = 0$, $F(x) = 0$ et par suite $\phi(x) = 0$.

Maintenant soit, s'il est possible, $r'$ une racine imaginaire de l'équation
$\varpi(r) = 0$ et $V'$ la valeur de $V$ correspondante: aucune des
différences $r' - r_1$, $r' - r_2$,\dots\ ne sera nulle: par une formule connue
on aura donc, quel que soit l'indice $n$,
\begin{align*}
\int_\x^X gV'V_ndx = 0,
\end{align*}
d'où l'on conclura $gV' = 0$, et par suite $V' = 0$, pour toutes les valeurs
de $x$ comprises entre x et $X$. Or cela est absurde: en effet on
peut toujours se donner arbitrairement et supposer, par exemple, égale
à l'unité, pour $x = \x$, soit la valeur de $V'$, soit celle de $\dfrac{dV'}{dx}$, ces deux
valeurs étant assujetties à la seule relation $\dfrac{dV'}{dx} - hV' = 0$; d'où il
résulte que pour des valeurs de $x$ très rapprochées de x et un peu
plus grandes, la fonction $V'$ est différente de zéro. Donc l'équation
$\varpi(r) = 0$ n'a pas de racines imaginaires, C. Q. F. D.

\jmpafin

% *** File: 044.png

\jmpapaper{}{}
{Extrait d'une lettre de \emph{\sc M.~Terquem} à \emph{\sc M.~Liouville}.}{}{}
\label{art5}

«Il me semble que dans la discussion générale des courbes du second
ordre, nos auteurs élémentaires négligent à tort un cas assez important:
c'est celui où $B^2 - 4AC$ devient $\pm\infty$: alors l'ellipse se réduit
à une droite de grandeur finie ou à deux droites parallèles, et l'hyperbole
à une droite illimitée ou à deux droites parallèles. On a
égard à cette réduction dans la \emph{Mécanique Céleste} (liv.~II, p.~197,
à la fin du \no 27). Elle se présente aussi dans la discussion de la surface
qu'on obtient, lorsque dans l'équation générale en $x$, $y$, on
considère les cinq coefficients comme des fonctions données d'une troisième
variable. Quelles que soient ces fonctions, les sections parallèles
au plan $xy$, sont des coniques dont la construction exige que l'on
admette l'équation $B^2 - 4AC = \pm\infty$. L'omission de cette équation
entraîne d'autres imperfections: ainsi l'on dit que la parabole est la
limite d'une ellipse variable qui a un sommet et un foyer voisin
fixes, et dont le centre décrit une droite en s'éloignant du foyer fixe;
mais si le centre s'en approche, en prenant la direction opposée, on
obtient successivement un cercle, une droite limitée, une hyperbole
qui coupe la parabole limite, ensuite une droite tangente à cette parabole,
et finalement une série d'hyperboles extérieures à la parabole
et qui vont sans cesse en se rétrécissant et finissent par se confondre
avec cette courbe, de sorte que la parabole doit être considérée
comme ayant à l'infini deux centres, l'un dans son intérieur et l'autre
à l'extérieur. Cette considération est souvent utile pour se rendre
compte de diverses transitions de fonctions: on peut s'en servir aussi
pour démontrer que des deux paramètres qui correspondent à un
système de diamètres conjugués, l'un reste fini et l'autre devient infini
lorsque l'ellipse ou l'hyperbole deviennent des paraboles; on ne
démontre ordinairement cette proposition que pour les axes principaux.»

Paris, 4 octobre 1836.

\jmpafin

% *** File: 045.png

\jmpapaperl{NOTE}
{SUR LES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES DU SECOND DEGRÉ.}
{Formules d'Euler pour la résolution de l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$.---Leur identité avec celles des algébristes
indiens et arabes.---Dém\-onstration géométrique de ces
formules.}
{Par M.~CHASLES.}{}
\label{art6}


L'un des faits les plus étonnants que nous présente l'histoire des
sciences, et l'un des plus importants, comme monument de l'ancienne
civilisation de l'Orient, est sans contredit la résolution des équations
indéterminées du deuxième degré, que contient le traité d'algèbre de
Brahmegupta\footnote{%
\emph{Algebra, with arithmetic and mensuration, from the sanscrit, of Brahmegupta
and Bhascara, translated by Colebrooke}, in-4\up{o}, 1817.}.

Diophante, dont les six livres de \emph{Questions arithmétiques} qui nous
sont parvenus, roulent sur l'analyse indéterminée, a résolu beaucoup
d'équations du second degré, à deux ou plusieurs inconnues. Dans
toutes, ce grand analyste de l'école d'Alexandrie a montré beaucoup
d'adresse et de génie; mais ses solutions sont diverses, appropriées à des
questions particulières, et ne mettent pas sur la voie des méthodes
générales dont cette partie de l'analyse était susceptible. Aussi a-t-il
fallu en quelque sorte a créer de nouveau dans les temps modernes.
Fermat en est regardé comme le premier inventeur; et les questions
qu'il a proposées ou résolues, mais dont malheureusement les solutions
\marginpage % *** File: 046.png
ne nous sont pas parvenues, ont depuis occupé les plus célèbres
géomètres.

La question qui paraît être plus particulièrement l'origine de la
théorie des équations indéterminées du second degré, est celle de
trouver les valeurs de $x$, rationnelles, en nombres entiers, qui rendent
le binome $Cx^2 + 1$ un carré, ou en d'autres termes, c'est de
résoudre l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en valeurs rationnelles et entières
de $x$ et de $y$.

Cette question avait été proposée, en quelque sorte comme défi,
aux géomètres anglais. Lord Brouncker et Wallis la résolurent, en
donnant à $x$ et à $y$ des expressions générales de la forme $\dfrac{2m}{m^2-c}$, et
$\dfrac{m^2+c}{m^2-c}$. Frénicle trouva aussi cette solution. Et Ozanam, ainsi que
Prestet, la donnèrent comme ayant été celle de Fermat.

Mais ces géomètres n'aperçurent pas toute l'importance de l'équation
$Cx^2 + 1 = y^2$, qui était indispensable pour la résolution en
nombres entiers, de l'équation plus générale $Cx^2 \pm A = y^2$, à laquelle
se ramène la résolution de toutes les autres équations indéterminées
du second degré. C'est à Euler qu'est due cette double remarque, qui
a été l'origine des progrès de l'analyse indéterminée. Cependant «il
est naturel de croire que Fermat, qui s'était principalement occupé
de la théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d'ailleurs
laissé de très beaux théorèmes, avait été conduit au problème dont il
s'agit (la résolution de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$) par les recherches
qu'il avait faites sur la résolution générale des équations de la forme
$Cx^2 + A = y^2$, auxquelles se réduisent toutes les équations du second
degré à deux inconnues\footnote{%
Nous citons ici textuellement les paroles de Lagrange (parag.~VIII, des
\emph{Additions aux Éléments d'Algèbre} d'Euler).}.»
Mais la perte des manuscrits de Fermat
a retardé de près d'un siècle la résolution des équations indéterminées
du second degré, qui est due à Euler, et que Lagrange a
complétée aussitôt, en ce qui regarde la condition de nombres entiers.

La solution d'Euler pour l'équation
\begin{align*}
Cx^2 + A = y^2
\end{align*}
\marginpage % *** File: 047.png
suppose, d'une part, que l'on connaisse un premier système de racines
$x'$, $y'$, de cette équation, et ensuite qu'on sache résoudre l'équation
\begin{align*}
Cx^2 + 1 = y^2.
\end{align*}
Soient $a$ et $b$ les racines de cette équation: les expressions des racines
de la proposée seront
\begin{align*}
x &= ay' + bx',\\
y &= Cax' + by'.
\end{align*}
Telle est la solution qu'Euler a obtenue par des considérations analytiques.

Eh bien! cette solution, dont aucune trace ne s'est trouvée dans
Diophante, qui a échappé aux recherches d'habiles géomètres modernes
pendant près d'un siècle, et qui enfin a fait honneur au grand
Euler, cette solution, dis-je, se trouve dans les ouvrages indiens,
depuis plus de douze siècles, et a probablement une origine encore
plus reculée. On conçoit d'après cela, qu'un célèbre analyste ait pu
dire dernièrement, que si les ouvrages mathématiques hindous que
de savants orientalistes de l'Angleterre nous ont fait connaître depuis
une vingtaine d'années, eussent été apportés en Occident 60 ou 80
ans plus tôt, «leur apparition, même après la mort de Newton et
du vivant d'Euler, aurait pu hâter parmi nous les progrès de l'analyse
algébrique\footnote{%
\emph{Histoire des Sciences mathématiques en Italie}, t.~I\ier\ p.~133.}.»

Bien que la solution des géomètres indiens soit la même que celle
d'Euler, on verra peut-être avec intérêt sous quelle forme ils la présentent.
Elle fait l'objet, dans l'ouvrage de Brahmegupta, de deux
règles seulement, qui y sont énoncées de la manière la plus concise
et la plus générale. En voici le sens, exprimé en langage algébrique:

Première règle. Pour la résolution de l'équation
\begin{align*}
Cx^2 + 1 =y^2.
\end{align*}

\marginpage % *** File: 048.png
\emph{On prend un système de racines de l'équation}
\begin{align*}
Cx^2 \pm A = y^2,
\end{align*}
\emph{où $A$ est indéterminé; soient $l$ et $g$ ces racines, de sorte que l'on ait}
$Cl^2 \pm A = g^2$, \emph{les racines de la proposée seront}
\begin{align*}
y = \frac{Cl^2 + g^2 }{A},\qtext{et}x = \frac{2lg }{A}.
\end{align*}
Remplaçant $A$ par $g^2 - Cl^2$, et faisant $l = 1$, on aura précisément
les expressions trouvées par Fermat, Brouncker, etc.

Seconde règle. Pour la résolution de l'équation
\begin{align*}
Cx^2 \pm A = y^2,
\end{align*}
quand on connaît un premier système de racines $L$, $G$ de cette
équation:

\emph{On prend un système de racines de l'équation}
\begin{align*}
Cx^2 + 1 = y^2;
\end{align*}
\emph{soient $l$ et $g$ ces racines;}

\emph{Les expressions générales des racines de la proposée seront}
\begin{align*}
x &= Lg + lG,\\
y &= CLl + Gg\footnotemark
\end{align*}
\footnotetext{%
Pour donner un exemple du style et de la forme des ouvrages mathématiques
des Indiens, qui sont encore peu connus, nous rapportons ici le texte
même de Brahmegupta, suivant la traduction de M.~Colebrooke. On y verra
combien il serait difficile de les comprendre, si des applications numériques ne
venaient au secours du lecteur.

La résolution des équations indéterminées du second degré, est l'objet des
sections VI et VII de l'algèbre de Brahmegupta, appelée \emph{Cuttaca}.

Dans la section VI, intitulée: \emph{Equation involving a factum}, on résout l'équation
$Ax + By + C = Dxy$.

La règle est ainsi énoncée, dès le début et sans aucune explication préliminaire:

«61. Rule: The (product of) multiplication of the factum and absolute
number, added to the product of the (coefficients of the) unknown, is divided by
an arbitrarily assumed quantity. Of the arbitrary divisor and the quotient,
whichever is greatest is to be added to the least (coefficient), and the least to
the greatest. The two (sums) divided by the (coefficient of the) factum are
reversed.»

Ce qui signifie que les racines de l'équation proposée sont de la forme
\begin{align*}
y &= \frac{A + n }{D},\\
x &= \frac{B + \dfrac{C\ldot D + A\ldot B }{n }}{D}.
\end{align*}
La section VII, où l'on résout l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$, est intitulée: \emph{Square
affected by coefficient}, et commence ainsi:

«65-66. Rule: A root (is set down) two-fold, and (another, deduced) from
the assumed square multiplied by the multiplier, and increased or diminished
by a quantity assumed. The product of the first (pair), taken into the multiplier,
with the product of the last (pair) added, is a ``last'' root. The sum
of the products of oblique multiplication is a ``first'' root. The additive is the
product of the like additive or subtractive quantities. The roots (so found),
divided by the (original) additive or subtractive quantity, are (roots answering)
for additive unity.»

Puis vient un exemple numérique, et ensuite la seconde règle, que voici:

«68. Rule: Putting severally the roots for additive unity under roots for
the given additive or subtractive, ``last'' and ``first'' roots (thence deduced
by composition) serve for the given additive or subtractive.»

Nous avons donné ci dessus le sens de ces deux règles, dont la première s'applique
à l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, et la seconde à l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$.

Les mots entre parenthèses, dans le texte anglais, ont été ajoutés par M.~Colebrooke.
On voit quelle difficulté présentait, par sa concision extrême, le texte
original.

Bhascara est moins concis que Brahmegupta, il dit en plusieurs paragraphes
ce que celui-ci avait exprimé en un seul; mais il n'est guère plus intelligible.
Nous parlerons dans un autre écrit des différences notables, sous le rapport
scientifique, que nous avons remarquées dans la partie géométrique des deux
ouvrages, et qui nous portent à regarder Brahmegupta comme ayant été supérieur
à Bhascara, qui n'est, par rapport à lui, qu'un scoliaste qui ne l'a pas
toujours compris.}
\marginpage % *** File: 049.png

Après ces deux règles, qui sont identiques à la solution d'Euler,
Brahmegupta donne plusieurs règles particulières pour les cas où $A$
et $C$ sont des carrés, ou bien sont le produit de carres par d'autres
nombres. Et il résout ensuite plusieurs équations doubles.

\marginpage % *** File: 050.png
En parlant des géomètres qui, après Diophante, et depuis Fermat
jusqu'à Lagrange, ont concouru au perfectionnement de l'analyse
indéterminée, nous nous sommes renfermé dans les citations historiques
que l'on a coutume de faire au sujet de cette partie de l'algèbre.
Mais il paraît qu'on a toujours commis sur ce point une omission,
qu'il est d'autant plus à propos de réparer ici, en parlant de
l'analyse indienne, que cette omission porte précisément sur une
solution qui nous paraît dériver des ouvrages hindous; solution qui
aurait suppléé ces ouvrages, et aurait mis aussitôt sur la voie des
découvertes réservées à Euler les géomètres qui en auraient eu connaissance.
Nous voulons parler de quelques questions d'analyse indéterminée,
résolues par Fibonacci (appelé communément Léonard de
Pise) dans son traité d'algèbre, ouvrage original, resté manuscrit au
grand regret des géomètres. Ces questions ont été reproduites par
Lucas de Burgo, dans sa \emph{Summa de Arithmetica, Geometria, etc}.,
et par Cardan dans son traité d'Arithmétique\footnote{%
Viète est le premier qui ait démontré les formules de Fibonacci, pour l'équation
$x^2 + y^2 = A$, au commencement du livre IV, de ses \emph{Zététiques}. Peu
de temps après, Alexandre Anderson s'est occupé de la même question; mais
seulement pour donner une démonstration géométrique des formules de Diophante.}.

Celle qui se rapporte à l'équation $Cx^2 \pm A = y^2$, et qui en contient
virtuellement la solution donnée par Euler, est celle-ci: \emph{étant donnés
deux nombres carrés, diviser leur somme en deux autres nombres
carrés}, ou en d'autres termes

\emph{Résoudre en nombres rationnels, l'équation}
\[
x^2 + y^2 = A,
\]

\marginpage % *** File: 051.png

\emph{quand on connaît un premier système de racines, $x'$, $y'$ de cette
équation}.

On prendra deux nombres quelconques $a$, $b$, dont la somme des
carrés, soit un carré $c^2$; ce qui peut se faire d'une infinité de manières.
[Le premier nombre $a$ étant pris arbitrairement, le second
sera de la forme $\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{a^2}{n} - n\Big)\Big]$.

On a donc
\begin{flalign*}
&&x'^2 + y'^2 &= A,& \\
&\text{et} \\
&&a^2 + b^2 &= c^2.
\end{flalign*}

D'après cela, les expressions générales des racines de l'équation
proposée seront
\begin{align*}
x& = \dfrac{ay' + bx' }{c},\\
y &= \dfrac{ax' - by' }{c}.
\end{align*}
Telle est la solution rapportée sans démonstration et appliquée à
plusieurs exemples numériques par Lucas de Burgo et Cardan\footnote{%
Lucas de Burgo et Cardan annoncent que cette solution est de Léonard
de Pise; et le premier ajoute qu'elle se trouve dans sou \emph{Traité des nombres
carrés}, et qu'elle y est démontrée \emph{par la considération des figures géométriques}.
Ce traité, malheureusement, n'existe plus (Montucla, \emph{Histoire des Mathématiques},
t.~II, \emph{Additions}, p.~715). M.~Cossali l'a rétabli avec succès, d'après les
fragments qui s'en trouvent dans Lucas de Burgo (Colebrooke, \emph{Brahmegupta and
Bhascara, Algebra}, Dissertation; p.~LVII). Mais il n'a pas rétabli la démonstration
géométrique. (Voir \emph{Origine, trasporto in Italia, primi progressi in essa
dell' Algebra}, t.~I\ier, ch.~V, p.~96).

M.~Colebrooke, en parlant des questions d'analyse indéterminée, traitées par
Lucas de Burgo, cite un passage de la \emph{Summa de Arithmetica}, où il est question
de Fibonacci; mais ce n'est pas celui où est résolue l'équation $x^2 + y^2 = A$,
et où il est dit que Fibonacci employait des considérations de géométrie. M.~Colebrooke
paraît n'avoir pas remarqué ce passage, ni, surtout, l'analogie que présentent
les formules de Fibonacci avec celles de Brahmegupta.}.

Ces formules auraient dû attirer l'attention des analystes, ne fût-ce
\marginpage % *** File: 052.png
que par la différence qu'elles présentent avec la solution de Diophante.
Celle-ci en effet, exposée algébriquement et sous la forme la
plus générale, conduit aux formules suivantes
\begin{align*}
x &= \dfrac{(n^2 - 1)x' + 2ny'}{n^2 + 1},\\
y &= \dfrac{2nx' - (n^2 - 1)y'}{n^2 + 1},
\end{align*}
qui ne contiennent qu'une indéterminée $n$, et qui, ne faisant point
usage de l'équation auxiliaire $a^2 + b^2 = c^2$, ne sont pas propres à la
solution de la question en nombres entiers. On voit donc quel avantage
présentaient les formules des géomètres italiens.

On reconnaît, à la première vue de ces formules, toute leur analogie
avec celles d'Euler et de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'un
cas particulier. Mais ce qu'il y a de remarquable c'est que, de ce cas
particulier, on peut s'élever naturellement et sans aucune difficulté
au cas général, ainsi que nous le verrons, de sorte que cette équation,
si elle avait fixé les regards des géomètres, les aurait conduits
depuis long-temps à la solution générale, propre à la condition de
nombres entiers, telle que nous la trouvons chez les Indiens, et telle
que Euler l'a découverte dans le siècle dernier.

Nous avons dit que cette solution de Lucas de Burgo et de Cardan,
nous paraissait dériver de celle des Indiens. En effet, Fibonacci, qui
l'a fait connaître en Europe, avait rapporté ses connaissances mathématiques
de chez les Arabes; c'est donc à eux que paraît due cette
solution; or, les Arabes, placés entre l'Inde et l'Égypte, avaient
emprunté leur science des Grecs d'Alexandrie et des Hindous. Les
Grecs, comme nous le voyons par les solutions de Diophante, n'ont
point connu celle dont il est question. Elle est donc venue des Hindous\footnote{%
La manière dont Lucas de Burgo et Cardan disposent sur le papier, les
quantités connues, pour effectuer le calcul des racines cherchées, a la plus
grande ressemblance avec la manière des Indiens, et dénote l'origine de leur
méthode.

Les Indiens placent les deux racines données $x'$, $y'$, l'une à côté de l'autre
sur une ligne horizontale; et au-dessous d'elles sur une seconde ligne horizontale,
ils placent les deux racines $a$, $b$, de l'équation auxiliaire, de sorte que $x'$
et $a$ sont sur une ligne verticale, et $y'$ et $b$ sur une seconde ligne verticale. Puis
ils multiplient l'une par l'autre, les deux $x'$ et $a$ qui sont sur la première ligne
verticale, et ensuite les deux autres. Ils font la différence des deux produits, et
la divisent par $c$; c'est l'une des racines. Pour former l'autre, ils multiplient les
quatre nombres \emph{en croix}, et font la somme des deux produits, qui, divisée par
$c$, donne la seconde racine.

Les géomètres italiens opèrent de même, si ce n'est qu'ils placent l'une à côté
de l'autre, les deux racines $x'$ et $a$, et au-dessous d'elles les deux $y'$ et $b$. Ils
emploient, comme les Indiens, l'expression de multiplication \emph{en croix}.},
qui la possédaient depuis plusieurs siècles. Les ouvrages des
\marginpage % *** File: 053.png
Arabes, qui nous sont connus en trop petit nombre, et auxquels on
a fait peu d'attention, parce qu'on a cru n'y trouver qu'un faible
écho de l'École grecque, doivent inspirer plus d'intérêt, aujourd'hui
que l'on y reconnaît des traces prononcées d'un autre foyer de lumières.

Les ouvrages indiens ne contiennent aucune démonstration. A la
faveur de cette circonstance, quelques écrivains, encore tout pleins
de l'étonnement que leur avait causé la vue des théories savantes et
des questions difficiles qu'ils renferment, et peut-être un peu préoccupés
de l'intérêt des Grecs qui n'avaient point eu de rivaux jusqu'ici,
ont cru pouvoir attribuer les découvertes analytiques des Hindous à
quelques rencontres dues au hasard, et provoquées seulement par des
essais isolés et faits sans méthode ni intelligence. Mais une telle opinion
ne pouvait se soutenir, et nous devons reconnaître dans les
ouvrages indiens les vestiges d'une science depuis long-temps cultivée,
et parvenue, dans de certaines limites, à une grande perfection.

Nous n'avions nullement l'intention de chercher à rétablir quelques
démonstrations qui pourraient répondre aux théories algébriques
des Hindous, quand une remarque à laquelle nous a conduit l'examen
de la partie géométrique que contiennent leurs ouvrages, nous
a mis sur la voie d'une solution \emph{géométrique} des équations indéterminées
du second degré, qui donne précisément les formules de
Brahmegupta. Cela nous a fait supposer que c'était aussi par des
\marginpage % *** File: 054.png
considérations géométriques que cet auteur était parvenu à cette
solution; et en effet, on sait que les Indiens, et à leur imitation les
Arabes, employaient toujours concurremment la géométrie et l'analyse\footnote{%
Colebrooke, \emph{Algebra of Brahmegupta and Bhascara;} Introduction historique,
p.~15, Libri, \emph{Histoire des Sciences mathématiques en Italie}, t.~I\ier, p.~136},
celle-ci pour résoudre leurs questions géométriques; et la
première pour démontrer leurs règles d'analyse, et interpréter et
peindre aux yeux les résultats de l'algèbre. Cela nous expliquerait
aussi la présence, dans les ouvrages de Brahmegupta, de cette partie
géométrique, à laquelle on a fait peu d'attention, et sur laquelle,
généralement on s'est mépris, je crois, en la regardant comme formant
les éléments de géométrie des Hindous ou du moins le résultat des
connaissances géométriques dont ils se servaient. Dans un autre écrit,
j'entrerai dans quelques développements à ce sujet, en donnant l'interprétation
des propositions de géométrie de Brahmegupta dont on
n'a point encore parlé, et qui avaient besoin d'être devinées. Si je ne
me trompe, elles roulent presque toutes sur une seule théorie géométrique,
qui est celle du quadrilatère inscrit au cercle, et résolvent la
question de construire un quadrilatère inscriptible, dont l'aire, les
diagonales et plusieurs autres lignes, ainsi que le diamètre du cercle,
soient exprimés en nombres rationnels.

C'est dans cette question même que nous avons trouvé une méthode
géométrique pour la résolution des équations indéterminées du
second degré, méthode que nous supposons avoir pu être celle de
Brahmegupta. Nous l'exposerons dans l'écrit dont nous venons de
parler; mais ces considérations nous ont conduit à une méthode plus
directe et plus élémentaire. C'est celle que nous allons présenter.

Question. \emph{Connaissant un premier système de racines $x'$, $y'$, de
l'équation $x^2 + y^2 = A$, on demande de trouver d'autres racines
rationnelles de cette équation.}

\emph{Solution géométrique}. Que l'on forme un triangle rectangle $COD$,
qui ait pour côtés de l'angle droit $OC = x'$, $OD= y'$, la question
sera de construire sur l'hypoténuse $CD$ un autre triangle $CFD$, dont
les côtés $CF$, $FD$ soient rationnels.

\marginpage % *** File: 055.png
%[Illustration]
\pngcent{img001.png}{317}

Prolongeons les côtés $CO$, $DF$, jusqu'à leur rencontre en $A$; on a
le triangle $CAD$, dans lequel les perpendiculaires $DO$, $CF$, sont en
raison inverse des côtés $CA$, $DA$. Si donc ces côtés sont rationnels,
la perpendiculaire $CF$, qui est l'une des racines de l'équation proposée,
le sera aussi; le segment $DF$, qui est l'autre racine, sera aussi
rationnel, suivant son expression connue en fonction de trois côtés
$(FD = \dfrac{\overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - \overline{AC}^2}{2AD})$. Or on a $CA = AO + CO$; $CO$ est rationnel,
par hypothèse; donc il faut que $AO$ soit rationnel. Donc la question
se réduit à construire sur le côté $DO$ un triangle rectangle $AOD$, dont
les côtés soient rationnels. On sait former un tel triangle d'une infinité
de manières, par la formule suivante, très connue et fort usitée
en analyse et en géométrie
\[
\overline{OD}^2 + \tfrac{1}{4}\Big(\frac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)^2 = \tfrac{1}{4}\Big(\frac{\overline{OD}^2}{n} - \overset{.}{n}\Big)^2;\footnotemark
\]
\footnotetext{%
Cette formule est d'un grand usage dans les ouvrages de Brahmegupta et
de Bhascara. Elle est une généralisation des deux règles imaginées par Pythagore
et Platon, pour construire sur un côté donné un triangle rectangle en nombres
rationnels et entiers.

Si le côté donné est un nombre impair, il faut supposer $n = 1$, et l'on a la
règle de Pythagore; si le côté est pair, on suppose $n = 2$, et l'on a la règle de
Platon.

C'est d'après Proclus (\emph{In primum Euclidis elementorum librum commentariorum
Libri} IV, proposition 47), que l'on attribue ces deux règles à Pythagore
et à Platon; mais Boece, antérieur de près d'un siècle à Proclus, donne la seconde
dans le second livre de sa Géométrie, comme étant d'Archytas, célèbre
pythagoricien, dont Platon avait suivi les leçons en Italie.
}
\marginpage % *** File: 056.png
c'est-à-dire qu'on prendra le côté $OA$ égal à $\tfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)$, et l'hypoténuse
$AD$ égale à $\tfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\overline{OD}^2}{n} - n\Big)$; $n$ étant un nombre arbitraire.

Ayant construit ce triangle $AOD$, on abaissera du point $C$ la perpendiculaire
$CF$ sur son hypoténuse, cette perpendiculaire $CF$, et
le segment $DF$ qu'elle détermine, seront les deux racines cherchées.

Ainsi la question est résolue \emph{par une construction géométrique}.

%[Illustration]
\pngcent{img001.png}{317}

Pour passer de cette solution géométrique aux formules de l'analyse,
il suffit de chercher les expressions de $CF$ et $DF$, en fonction
des lignes qui servent à construire ces racines.

La comparaison des triangles semblables $ACF$, $ADO$, donne
\begin{align*}
CF = DO \ldot\frac{AC}{AD}, \quad &AF = AO \ldot \frac{AC}{AD}.\\[-4ex]
\intertext{Or}\\[-5ex]
DF = AD - AF, \qtext{et} &AC = AO + OC;
\end{align*}
on conclut de là
\begin{align*}
CF &= \frac{DO \ldot AO + DO \ldot OC }{AD},\\
DF &= \frac{\overline{OD}^2 - OA \ldot OC }{AD}.
\end{align*}
Telles sont les expressions des racines de l'équation proposée: elles
sont rationnelles, puisque $CO$ et $DO$ le sont par hypothèse, et $OD$,
$DA$ par construction.

Pour donner à ces formules la forme de celles de Léonard de
\marginpage % *** File: 057.png
Pise, faisons
\begin{alignat*}{2}
CO &= x',\quad &OD &= y',\quad CF = x,\quad DF = y,\\
OA &= a,       &AD &= c;
\end{alignat*}
il viendra
\begin{align*}
x &= \dfrac{ay' + y' x'}{c},\\
y &= \dfrac{ax' - y'^2 }{c}.
\end{align*}
On a entre $a$, $c$ et $y'$ la relation
\begin{align*}
c^2 - a^2 &= y'^2;\\[-4ex]
\intertext{ou}\\[-5ex]
\dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{y'^2}{a^2} &= 1.
\end{align*}
Représentons $\dfrac{a}{c}$ par $\dfrac{\alpha }{\gamma}$, $\dfrac{y'}{c}$ par $\dfrac{\beta}{\gamma}$; les trois indéterminées $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
seront liées par l'équation
\[
\alpha ^2 + \beta ^2 = \gamma ^2;
\]
et les formules deviendront
\begin{align*}
x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x' }{\gamma},\\
y &= \dfrac{\alpha x' - \beta y'}{\gamma}.
\end{align*}
Elles sont les mêmes que celles d'Euler, pour le cas particulier
$x^2 + y^2 = A$.

Il est facile de passer de là à la résolution de l'équation $Cx^2 + y^2 = A$.

En effet, dans l'équation $x^2 + y^2 = A$, et dans les deux équations
de condition
\begin{align*}
x'^2 + y'^2 &= A,\\
\alpha ^2 + \beta ^2 &= \gamma ^2,
\end{align*}
\marginpage % *** File: 058.png
remplaçons $x$ par $x\sqrt{C}$, $x'$ par $x'\sqrt{C}$, $\alpha$ par $\alpha\sqrt{C}$; elles deviendront
\begin{align*}
Cx^2\phantom{'} + y^2\phantom{'} &= A,\\
Cx'^2 + y'^2 &= A,\\
\alpha ^2 + \beta ^2\, &= \gamma ^2.
\end{align*}
Et les expressions des racines $x$ et $y$, trouvées ci-dessus, deviendront
\begin{align*}
x\sqrt{C}& =\dfrac{\alpha y'\sqrt{C} + \beta x'\sqrt{C}}{\gamma},\\
y &= \dfrac{C \alpha x' - \beta y'}{\gamma},\\[-3ex]
\intertext{ou}\\[-5ex]
x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x'}{\gamma},\\
y &= \dfrac{C \alpha x' - \beta y'}{\gamma}.
\end{align*}
Ce sont les racines qui répondent à l'équation
\[
Cx^2 + y^2 = A.
\]

Maintenant, ces racines rendant identique cette équation, quelles
que soient les valeurs des deux nombres $C$ et $A$, on peut les supposer
négatives; de sorte que l'équation peut prendre la forme
\[
Cx^2 \pm A = y^2,
\]
et ses racines deviennent
\begin{align*}
x &= \dfrac{\alpha y' + \beta x'}{\gamma},\\
y &= \dfrac{C \alpha x' + \beta y'}{\gamma}.
\end{align*}
Nous donnons le signe $+$ à la valeur de $y$, parce que cette variable
n'entrant qu'au carré dans l'équation, son signe est indifférent.

Les équations de condition pour $x'$, $y'$, et pour $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont
\[
Cx'^2\pm A = {y'}^2,
\]
\marginpage % *** File: 059.png
et
\[
C \alpha^2 + 1 = \beta^2.
\]
C'est-à-dire que $x'$ et $y'$ sont un système de racines de l'équation
proposée, et $\dfrac{\alpha}{\gamma}$, $\dfrac{\beta}{\gamma}$, sont un système de racines de l'équation
$C x^2 + 1 = y^2$.

Nous avons donc obtenu précisément la solution de Brahmegupta
et d'Euler, et nous l'avons déduite, ainsi que nous l'avions annoncé,
de pures considérations de géométrie, qui n'ont demandé aucune
connaissance de l'algèbre.

Mais nous devons observer que l'introduction du coefficient $C$, et
le changement de son signe, dans l'équation de condition primitive
$\alpha^2 + \beta^2=\gamma^2$, dont nous savions construire géométriquement les
racines rationnelles, exige que nous sachions résoudre l'équation
$Cx^2 + 1 = y^2$, qui remplace cette équation primitive.

Pour résoudre cette équation, il se présente deux procédés. D'abord
nous pouvons nous servir de la même formule
\begin{align*}
4m^2n^2 + (m^2 - n^2)^2 &= (m^2 + n^2)^2,
\end{align*}
qui nous a déjà servi pour former les racines de l'équation $a^2 + b^2 = c^2$.

A cet effet, nous l'écrirons sous la forme
\label{err059}
\begin{align*}
\frac{4m^2n^2}{(m^2-n^2)^2} +1 &= \frac{(m^2+n^2)^2}{(m^2-n^2)^2};
\intertext{faisons $n = \sqrt{C}$, il vient}
\frac{4Cm^2}{(m^2-C)^2} + 1&=\frac{(m^2+C)^2}{(m^2-C)^2};
\intertext{comparant cette identité à l'équation}
Cx^2+1&=y^2,
\end{align*}
\marginpage % *** File: 060.png
on voit que les racines de celle-ci sont de la forme
\[
x =\frac{2m}{m^2-C},\quad y=\frac{m^2+C}{m^2-C}.
\]
Conséquemment, les valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$, dans l'équation de condition
$C\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$, seront
\[
\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{2m}{m^2-C}, \quad \frac{\beta}{\gamma} =\frac{m^2+C}{m^2-C}.
\]

La seconde manière d'obtenir ces valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$, résulte des formules
mêmes que nous avons trouvées pour les racines de l'équation
$Cx^2\pm A=y^2$.

En effet ces formules, si l'on y regarde $\dfrac{\alpha}{\gamma}$, $\dfrac{\beta}{\gamma}$ comme les inconnues,
donneront des valeurs rationnelles de ces quantités, qui seront des
racines de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en fonction de deux systèmes
de racines de l'équation $Cx^2 \pm  A = y^2$.

Voici quelles sont ces valeurs
\[
\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{xy'-yx'}{y'^2-Cx'^2}, \quad \frac{\beta}{\gamma} =\frac{yy'+Cxx'}{y'^2-Cx'^2},
\]
$x$, $y$ et $x'$, $y'$, sont deux systèmes quelconques de racines de l'équation
$Cx^2 \pm  A = y^2$. On peut supposer $x' = - x$, et $y' = y$.
Alors les valeurs de $\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\dfrac{\beta}{\gamma}$ deviennent
\[
\frac{\alpha}{\gamma} =\frac{2xy}{y^2-Cx^2}, \quad  \frac{\beta}{\gamma} = \frac{y^2+Cx^2}{y^2-Cx^2}.
\]
Ce sont les racines de l'équation $Cx^2 + 1 = y^2$, en fonction d'un
système de racines de l'équation $Cx^2 \pm  A = y^2$.

Dans celle-ci $A$ est arbitraire; on pourra donc prendre pour $x$ et
$y$ deux nombres quelconques, et alors $A$ se trouvera déterminé.
\marginpage % *** File: 061.png

Cela nous donne lieu aux deux observations suivantes:

D'abord $x$ et $y$ pouvant être quelconques, faisant $x = 1$, et remplaçant
$y$ par $m$, on a précisément les expressions de $\dfrac{\alpha }{\gamma}$, $\dfrac{\beta }{\gamma}$ que nous
avions trouvées ci-dessus.

En second lieu, si l'on considère $x$ et $y$ comme racines de l'équation
$Cx^2 \pm A = y^2$, et qu'on remplace $y^2 - Cx^2$ par $A$, les expressions
de $\dfrac{\alpha }{\gamma}$ et $\dfrac{\beta }{\gamma}$ deviennent
\[
\frac{\alpha }{\gamma} = \frac{2xy }{\pm A}, \quad\frac{\beta }{\gamma} = \frac{y^2 + Cx^2 }{\pm A}.
\]

Ces expressions répondent parfaitement à la première des deux règles
qui comprennent, dans Brahmegupta, la résolution des équations
indéterminées du second degré.

On pourrait donc supposer, jusqu'à un certain point, que ce sont
des considérations géométriques, analogues à celles que nous avons
employées, qui ont conduit le géomètre indien à la solution de ce
problème d'analyse; ajoutons, pour justifier une telle supposition,
que c'est dans la partie géométrique même de l'ouvrage de Brahmegupta,
que nous avons puisé l'idée de recourir à la géométrie, pour
résoudre les questions précédentes; ce que nous exposerons dans un
autre écrit.

Nous avons appliqué d'abord la solution géométrique à l'équation
particulière $x^2 + y^2 = A$, pour montrer comment on pouvait s'élever
naturellement, et sans calcul, de ce cas particulier au cas général, et
pour prouver qu'ainsi que nous l'avions avancé, la solution de Lucas
de Burgo et de Cardan comprenait virtuellement les formules d'Euler.
Mais la solution géométrique peut s'appliquer directement à
l'équation $Cx^2 + y^2 = A$.

Pour cela, $x'$ et $y'$ étant les deux racines données, on construira
le triangle rectangle $COD$, en prenant $CO = x'\sqrt{C}$, et $DO = y'$; de
manière qu'on aura
\[
\overline{CO}^2 + \overline{OD}^2 = A.
\]
\marginpage % *** File: 062.png
Soit un second triangle rectangle $CFD$, on aura
\[
\overline{CF}^2 + \overline{DF}^2 = \overline{DC}^2 = A.
\]
Donc, si l'on prend
\[
x = \frac{CF}{\sqrt{C}}\qtext{et} y = DF,
\]
on aura
\[
Cx^2 + y^2 = A;
\]
de sorte que $x$ et $y$ seront deux racines cherchées, pourvu toutefois
que $x$ soit rationnelle, ce qui exige que $CF$ soit de la forme $a\sqrt{C}$.

Or on a dans le triangle $CAD$
\begin{align*}
\frac{CF}{DO} &= \frac{CA}{DA};
\end{align*}
donc $CF$ aura la forme $a\sqrt{C}$, si $CA$ est égal à $n\sqrt{C}$, et $DA$ un
nombre.

Or
\[
CA = CO + OA = x'\sqrt{C} + OA.
\]

Il faut donc que $OA$ soit de la forme $\alpha\sqrt{C}$: c'est-à-dire qu'il faut
construire sur le côté $DO$ un triangle rectangle dont le second côté
$OA$ soit $\alpha\sqrt{C}$, et dont l'hypoténuse soit rationnelle. Ce qu'on fait
par la formule
\[
4m^2n^2 + (m^2 - n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2,\hspace*{2.5em}
\]
ou
\[
\frac{4m^2n^2\ldot\overline{OD}^2}{(m^2 - n^2)^2} + \overline{OD}^2 = \frac{(m^2 + n)^2 }{(m^2 - n^2)^2} \ldot\overline{OD}^2,
\]
où l'on fait $n^2 = C$, ce qui donne
\[
\frac{4Cm^2\ldot\overline{OD}^2 }{(m^2 - C)^2} + \overline{OD}^2 = \frac{(m^2 + C)^2 }{(m^2 - C)^2 } \ldot\overline{OD}^2.
\]
Ainsi l'on prendra
\[
OA = \frac{2m\ldot OD }{m^2 - C }\sqrt{C},\qtext{et} DA = \frac{m^2 + C }{m^2 - C} \ldot OD.
\]
\marginpage % *** File: 063.png
De sorte que $OA$ et $DA$, ont les valeurs voulues.

D'après cela, $CF$ aura une expression de la forme $N \sqrt{C}$, et $DF$
sera rationnel, parce que son expression connue dans la géométrie
élémentaire, ne contient que les carrés des deux côtés $CD$, $CA$.

Ainsi $\dfrac{CF}{\sqrt{C}}$ et $CD$ seront rationnelles, or ce sont les racines de l'équation
$Cx^2 + y^2 = A$: cette équation est donc résolue géométriquement.

Cherchant les expressions des lignes $CF$ et $DF$, comme nous l'avons
déjà fait, on obtiendra les formules d'Euler.

Remarquons que cette solution consiste uniquement à construire
le triangle $AOD$, dont le côté $OA$ soit de la forme $\alpha\sqrt{C}$, et dont
l'hypoténuse $DA$ soit rationnelle, égale à $\beta$. Cela répond en analyse,
à résoudre l'équation
\[
C\alpha^2 + \overline{OD}^2 = \beta^2,
\]
ou
\[
\frac{C\alpha^2}{\overline{OD}^2} + 1 = \frac{\beta^2}{\overline{OD}^2},
\]
ou
\[
Cx^2 + 1=y^2.
\]

Les considérations géométriques montrent donc bien comment
cette équation auxiliaire s'introduit dans la question, et y joue le
rôle important que Brahmegupta et Euler lui ont reconnu.

\jmpafin

% *** File: 064.png

\jmpapaperl{MÉMOIRE}{}
{Sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilité
d'exprimer les racines de certaines équations en fonction
finie explicite des coefficients;}
{Par J. LIOUVILLE.}
{(Lu à l'Académie des Sciences de Paris, le 8 juin 1835.)}
\label{art7}

\mysection{INTRODUCTION.}

Les six opérations fondamentales de l'arithmétique, savoir, l'addition,
la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux
puissances entières et positives, l'extraction des racines, lorsqu'on les
applique à de simples lettres, représentant des nombres tout-à-fait
indéterminés, donnent naissance aux fonctions algébriques les plus
élémentaires; mais elles sont loin de comprendre toutes les quantités
renfermées sous cette dernière dénomination. En effet le mot \emph{fonction
algébrique}, dans le sens que les géomètres lut attribuent aujourd'hui,
s'applique à toute quantité déterminée par une équation d'un degré
quelconque, dont les coefficients sont rationnels par rapport à la variable
indépendante. L'équation à laquelle satisfait une fonction de
cette espèce prend à son tour le nom d'équation algébrique. Or on
sait que les équations algébriques se partagent en deux grandes classes.
Quelques-unes, telles que les équations des quatre premiers degrés,
sont résolubles par radicaux, ou, autrement dit, la fonction dont
elles déterminent la valeur, peut être écrite en employant un nombre
limité de fois les signes $+$, $-$, etc., adoptés par les géomètres
comme indiquant les six opérations arithmétiques dont j'ai parlé
\marginpage % *** File: 065.png
plus haut. Mais dès qu'on s'élève à l'équation complète du cinquième
degré, et \emph{à fortiori} aux équations complètes de degré supérieur, il
arrive que leur résolution générale est impossible à moins qu'on ne
veuille recourir aux séries et aux intégrales définies; d'où il faut
conclure que les fonctions algébriques sont de deux sortes, les unes
exprimables et les autres non exprimables par des combinaisons de
radicaux. Le problème si fameux de la résolution des équations algébriques
consiste à distinguer ces deux genres de fonctions dans chaque
cas particulier: on est loin de l'avoir résolu, et ce n'est même
que par des démonstrations très délicates et très compliquées, que l'on
est parvenu à établir l'impossibilité des racines de l'équation du cinquième
degré en quantités purement radicales.

Si nous considérons actuellement, outre les fonctions algébriques,
les exponentielles et les logarithmes, ce qui comprend, comme cas
particuliers, d'une part les arcs de cercle et leurs sinus, d'autre part
les puissances à base variable, dont l'exposant est irrationnel, imaginaire
ou variable, en combinant à notre gré les signes relatifs à ces
opérations algébriques ou transcendantes, nous obtiendrons toutes les
fonctions finies explicites, fonctions dont le caractère propre consiste
d'après cela, en ce qu'on peut en écrire la valeur à l'aide d'un nombre
limité d'opérations algébriques, exponentielles et logarithmiques.

Une fonction finie implicite, sera au contraire une fonction déterminée
par une ou plusieurs équations finies, non résolubles explicitement.

Mais ici l'on voit naître une question semblable à celle qui s'est
présentée tout-à-l'heure, quand nous parlions des fonctions algébriques.
En effet, on a cru d'abord que toutes les équations algébriques
se résoudraient à l'aide de radicaux; et, d'après cette idée, on a
cherché long-temps à en obtenir les racines sous la forme indiquée.
Les efforts réitérés des plus grands géomètres n'ayant conduit à
aucun résultat général, on a été porté ensuite à soupçonner que le
problème proposé était impossible, au moins pour l'équation complète
du cinquième degré et des degrés supérieurs, et on est parvenu
à établir en toute rigueur cette impossibilité: semblablement, quand il
s'agit d'équations transcendantes, il est naturel de chercher d'abord à
les résoudre, en exprimant les inconnues par des fonctions finies
\marginpage % *** File: 066.png
explicites des coefficients, et comme on ne peut pas y réussir dans la
plupart des cas, il faut en second lieu prouver que les valeurs des
inconnues ne sont pas exprimables par cette sorte de fonctions. Dèslors
on aura épuisé complétement la question dans le sens où elle était
proposée; car tout ce que peut faire une méthode, c'est de conduire
à la solution, quand cette solution est possible, ou d'en prouver sans
équivoque l'impossibilité.

Dans le mémoire que j'ai l'honneur de soumettre au jugement de
l'Académie, je suis bien loin d'avoir envisagé la chose sous un point
de vue aussi étendu. Je me suis contenté de traiter certaines équations
particulières, et par un procédé direct et uniforme, qu'il serait facile
de présenter d'une manière abstraite et générale, je suis parvenu soit
à les résoudre, soit à démontrer l'impossibilité de leurs racines en
fonction finie explicite des coefficients.

J'ai considéré, par exemple, l'équation qu'on obtient en égalant le
logarithme de l'inconnue au produit de cette inconnue par un paramètre
indéterminé: la racine de l'équation ainsi formée n'est point
exprimable explicitement sous forme finie, en fonction de ce paramètre
indéterminé: on ne peut l'obtenir qu'en série ou en intégrale
définie. La même chose arrive dans la plupart des cas, et spécialement
pour l'équation de laquelle dépend en Astronomie le problème
de Képler ou le calcul de l'anomalie excentrique en fonction de
l'anomalie moyenne: l'anomalie excentrique n'est donc point exprimable
par une fonction finie explicite de l'anomalie moyenne. Cela
s'accorde avec le théorème énoncé par Lambert dans les Mémoires de
Berlin (année 1767); mais il était plus facile d'énoncer ce théorème
que de le démontrer.

Dans certains exemples choisis, que je traite en détail, l'équation
transcendante proposée est résoluble, et ma méthode en fait trouver
la racine. Le principe de cette méthode paraît avoir la généralité
désirable: toutefois pour qu'on pût donner une théorie complète de
la résolution des équations transcendantes en quantités finies explicites,
il faudrait que l'on eût étudie avec plus de soin qu'on ne l'a fait
jusqu'ici, la théorie des équations différentielles ordinaires. Il faudrait
surtout, qu'étant donnée une équation différentielle d'un ordre quelconque,
on pût décider par une règle certaine, si elle a ou n'a pas
\marginpage % *** File: 067.png
une intégrale algébrique, et quelle est la valeur exacte de cette intégrale,
lorsqu'on en a démontré l'existence.

L'analyse établit un rapport singulier entre la détermination, sous
forme finie explicite, des racines des équations transcendantes, et la
détermination, sous cette même forme, des intégrales indéfinies des
fonctions d'une seule variable. Non-seulement, comme je viens de
l'expliquer, la difficulté principale de la théorie consiste dans l'un et
l'autre cas à déterminer les solutions algébriques de certaines équations
différentielles; mais l'analogie entre ces deux classes de questions
se soutient, pour ainsi dire, jusque dans les derniers détails,
tellement que la méthode dont je me sers dans cet écrit peut être
regardée comme une simple extension ou mieux comme une application
nouvelle de la méthode dont j'ai fait usage dans le vingt-troisième
cahier du Journal de l'École Polytechnique, pour découvrir la
forme dont l'intégrale d'une fonction algébrique donnée est susceptible,
lorsqu'on peut en obtenir la valeur en quantités finies explicites.

Dans le Journal de l'École Polytechnique, comme dans le présent
mémoire, et dans plusieurs autres relatifs, soit à l'intégration d'une
classe de fonctions transcendantes, soit à l'impossibilité des fonctions
elliptiques sous forme finie, soit à l'intégration, sous forme finie, des
équations différentielles linéaires, on fait un continuel usage de la
classification des transcendantes, dont je crois avoir le premier montré
l'utilité. D'après cette classification, une fonction transcendante de
première espèce, est celle où les signes relatifs aux opérations transcendantes,
portent sur de simples fonctions algébriques, tandis que
dans une transcendante de $n$\iieme\ espèce les signes dont il s'agit
peuvent porter sur toutes les quantités d'espèce inférieure. Cette
classification paraît d'abord bien peu de chose, et néanmoins je ne
vois pas qu'il soit possible de s'en passer dans les recherches relatives à
l'intégration des formules différentielles et à la résolution des équations
sous forme finie explicite. En rédigeant donc ce nouvel écrit,
j'ai dû profiter de l'occasion pour exposer dans le plus grand détail
les principes sur lesquels cette classification est fondée, car jusqu'ici
je m'étais pour ainsi dire contenté de l'indiquer, vu qu'il n'était pas
\marginpage % *** File: 068.png
nécessaire de l'approfondir davantage dans les questions dont je m'occupais
alors.

Voici l'énoncé succinct des problèmes qu'il a fallu résoudre pour
éclaircir entièrement les idées à ce sujet.

D'abord je passe en revue les diverses fonctions simples dont la
combinaison dans un ordre quelconque produit toutes les quantités
finies explicites. Ces fonctions simples sont de trois sortes, algébriques,
logarithmiques, exponentielles: le logarithme d'une variable $x$, savoir
$\log x$, et l'exponentielle la plus simple $e^x$ ne peuvent en aucune
manière s'écrire en indiquant sur la variable $x$ un nombre limité
d'opérations algébriques. Ce théorème était connu depuis long-temps;
mais on avait coutume de le démontrer en s'appuyant sur la nature
du développement des fonctions algébriques en série. Après l'avoir
établi d'une manière entièrement rigoureuse, je passe à des propositions
plus générales: je fais voir, par exemple, que la fonction $\log x$
ne peut être écrite, sous forme finie explicite, par aucune combinaison
quelle qu'elle soit des signes exponentiels et des signes algébriques,
et de même la fonction $e^x$ n'est équivalente à aucune fonction purement
algébrique et logarithmique. Il résulte de là que les fonctions
exponentielles et les fonctions logarithmiques sont essentiellement
différentes entre elles, en sorte que les signes dont nous faisons usage
dans notre classification des transcendantes sont réellement réduits
au moindre nombre possible.

Nous avons dit tout-à-l'heure qu'une fonction transcendante de
seconde espèce était celle où les signes exponentiels et logarithmiques
se trouvaient appliqués sur des transcendantes de première espèce;
mais comme, dans certains cas, cette complication de la fonction
n'est qu'apparente, puisque le logarithme d'une exponentielle
qui semble, par exemple, appartenir, d'après cette définition, à la
seconde espèce, n'est en réalité qu'une simple fonction algébrique, il
est visible qu'avant de classer la fonction dont on s'occupe, il faut
d'abord en supposer l'expression simplifiée autant que possible. Aussi
dans an des paragraphes de notre mémoire, traitons-nous cette question:
\emph{Étant donnée une fonction finie explicite de $x$, comment pourra-t-on
reconnaître d'une manière certaine, à quelle espèce cette fonction
appartient?}
\marginpage % *** File: 069.png

La méthode dont nous proposons de faire usage pour résoudre le
problème dont on vient d'écrire l'énoncé nous prouve en outre qu'il
existe (quelque grand que soit le nombre $n$) des transcendantes de
$n$\iieme\ espèce, irréductibles à une espèce inférieure; en effet, si l'on
considère les quantités successives $\log \log x$, $\log \log \log x$, etc., on
les trouve de seconde, de troisième espèce, etc., sans que jamais
elles puissent s'abaisser.

L'existence des fonctions finies, véritablement \emph{implicites}, se prouve
d'une manière semblable, en faisant voir que certaines équations finies
ne se résolvent pas explicitement, et c'est ainsi que je me trouve ramené
au problème de la résolution des équations dont j'ai parlé plus
haut.

Enfin, je m'occupe des fonctions diverses que l'on rencontre dans
les éléments: toutes ces fonctions peuvent être écrites sous forme
finie explicite: par conséquent ma classification leur est immédiatement
applicable. J'ai surtout étudié avec soin la quantité formée en
élevant une base variable à une puissance irrationnelle, et j'ai fait
voir que cette quantité doit être rangée parmi les transcendantes de
seconde espèce, tandis qu'elle se réduirait à une simple expression
algébrique, si l'exposant était rationnel.

Les propositions contenues dans mon Mémoire ont beaucoup
d'analogie avec celles dont on s'occupe dans la théorie des nombres;
mais tandis que, dans cette dernière théorie, on considère spécialement
les valeurs numériques des fonctions, nous nous attachons au
contraire à leur forme analytique par rapport à certaines variables
$x$, $y$, etc., sans faire en général aucune attention à la nature des
coefficients constants que ces fonctions renferment. La considération
des valeurs successives que nos fonctions peuvent prendre, lorsqu'on
fait croître $x$, $y$, etc., d'une manière continue, nous est d'une
grande utilité dans nos calculs et multiplie beaucoup les moyens de
transformation. Néanmoins les géomètres, qui voudront se livrer
à des recherches semblables aux nôtres, verront que la matière est
encore très délicate, et qu'il faut partout un soin extrême pour
donner aux raisonnements cette rigueur absolue, indispensable dans
un pareil sujet.

\Needspace*{5\baselineskip} % *** File: 070.png
\mysection{§ I\up{\it er}.}\marginpage

\begin{center}\emph{Des fonctions algébriques, logarithmiques et exponentielles.}\end{center}

1.~Dans les recherches de calcul intégral, lorsqu'il s'agit d'obtenir
des solutions exprimées sous forme finie, on a souvent besoin de la
classification des transcendantes, dont j'ai d'abord montré l'usage au
paragraphe I\ier\ de mon Mémoire sur les fonctions elliptiques\footnote{%
\emph{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier XXIII, page 42.
}. Aujourd'hui
je me propose de considérer cette classification en elle-même,
indépendamment des applications dont elle est susceptible. Je serai
ainsi conduit à traiter plusieurs questions incidentes qui se présentent
naturellement et dont il était bon de donner une solution exacte. L'analyse
employée dans mon travail est très simple et surtout très
uniforme. Je me suis attaché à donner aux raisonnements cette rigueur
absolue sans laquelle les théorèmes du genre de ceux que je
démontre ici deviennent insignifiants; et peut-être sous ce rapport,
ai-je droit d'espérer un moment d'attention de la part des géomètres.

Avant d'entrer en matière, je poserai quelques définitions assez
généralement connues, mais qu'il sera utile de rappeler pour bannir
toute équivoque.

Un polynome $A + Bx + Cx^2 + \dotsb + Hx^\mu$, dans lequel $\mu$ désigne
un nombre entier positif, et où les coefficients $A$, $B$, $C$,\dots $H$, sont
des quantités constantes, est ce qu'on nomme une fonction entière
de $x$ du degré $\mu$.

On sait qu'un pareil polynome peut toujours se décomposer en
facteurs simples, sous la forme
\[
H(x-a)^m (x-b)^n \ldots (x-c)^p,
\]
$m$, $n$,\dots $p$, désignant des nombres entiers positifs, et $a$, $b$,\dots $c$,
les racines inégales de l'équation
\[
A + Bx + Cx^2 + \dotsb + Hx^\mu = 0.
\]
\marginpage % *** File: 071.png
Une fonction est rationnelle, quand on l'obtient en divisant l'un
par l'autre deux polynomes entiers $U$, $V$.

Toute fonction rationnelle $\dfrac{U}{V}$ ou $X$ pourra donc se mettre sous la
forme
\[
X=M(x-a)^\alpha (x-b)^\beta\ldots (x-c)^\gamma,
\]
$M$ désignant une constante; $\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$, des nombres entiers positifs
ou négatifs, et $a$, $b$,\dots $c$, les racines inégales des équations $U = 0$,
$V = 0$.

Si, dans un même calcul, on doit employer à la fois deux fonctions
rationnelles $X = \dfrac{U}{V}$, $Y = \dfrac{W}{T}$, on nommera $a$, $b$,\dots $c$, les diverses
racines inégales des quatre équations $U = 0$, $V = 0$, $W = 0$, $T = 0$,
et l'on écrira
\begin{align*}
X&=M(x-a)^\alpha (x-b)^\beta \ldots (x-c)^\gamma,\\
Y&=N(x-a)^{\alpha'} (x-b)^{\beta'} \ldots (x-c)^{\gamma'},
\end{align*}
$M$ et $N$ étant des constantes. Mais alors $\alpha$, $\beta$,\dots $\gamma$, $\alpha'$, $\beta'$,\dots $\gamma'$,
seront regardés comme représentant des nombres entiers positifs,
négatifs ou nuls: on aura par exemple $\alpha = 0$, si le facteur $x - a$ ne
doit se trouver ni au numérateur, ni au dénominateur de $X$.

Je nomme fonction algébrique de $x$ toute fonction $u$ qui peut être
regardée comme la racine d'une équation de la forme
\[
Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru +S=0,
\]
$n$ étant un nombre entier positif, et les lettres $P$, $Q$,\dots $R$, $S$, représentant
des fonctions entières de $x$. Il importe peu que l'équation
soit ou non résoluble par radicaux. Si donc on dénote par $\varpi(x)$
la racine de cette équation, la quantité $u = \varpi(x)$ représentera une
fonction algébrique quelconque, et au moyen de ce signe $\varpi(x)$
toutes les fonctions algébriques pourront être regardées comme
explicites.

Ces définitions s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions de plusieurs
variables. En les rapprochant des théories exposées dans les livres
élémentaires, on voit que l'on doit regarder comme algébriques
toutes les fonctions où la variable $x$ est engagée avec des constantes
\marginpage % *** File: 072.png
seulement par addition, soustraction, multiplication, division, élévation
aux puissances entières et positives, extraction de racines, c'est-à-dire
toutes les fonctions que l'on écrit sous forme finie, à l'aide
des simples signes des six opérations fondamentales que je viens
d'indiquer; mais la réciproque n'est pas vraie, par la raison qu'en
se bornant à ces mêmes signes, les racines de la plupart des équations
de la forme
\[
Pu^\mu + Qu^{\mu-1} + \dotsb + Ru + S = 0,
\]
seraient impossibles en quantités finies: en effet, si les équations des
quatre premiers degrés sont résolubles par radicaux, l'équation générale
du cinquième degré, n'est pas résoluble de cette manière.

De là deux classes de fonctions algébriques, les unes exprimables,
et les autres non exprimables par des radicaux; mais, dans les recherches
de calcul intégral, ces deux classes de fonctions jouissent à peu
près des mêmes propriétés, et il y a rarement de l'avantage à les
distinguer dans le discours, et à les représenter par des notations différentes.

2.~Non-seulement les fonctions algébriques se partagent en deux
grandes classes; mais chacune de ces classes peut encore se subdiviser
en espèces distinctes. En considérant les fonctions exprimables
par radicaux, j'ai proposé\footnote{%
\emph{Journal de l'École Polytechnique}, XXII\ieme\ cahier, page 128.}
de les nommer \emph{irrationnelles de
première espèce} lorsque les radicaux dont elles se composent portent
sur des fonctions rationnelles, \emph{irrationnelles de seconde espèce} quand
ces mêmes radicaux portent sur des quantités rationnelles ou sur des
irrationnelles de première espèce, et ainsi de suite. Par exemple, les
trois fonctions irrationnelles que voici $\sqrt{x}$, $x+\sqrt{1+\sqrt{x}}$, $\sqrt[3]{x+\sqrt{1+\sqrt{x}}}$,
appartiennent respectivement à la première, à
la seconde et à la troisième espèce. Il est aisé de comprendre que la
forme la plus générale d'une irrationnelle de première espèce se
compose d'une partie rationnelle et d'un nombre quelconque de
radicaux ajoutés entre eux et portant sur diverses quantités rationnelles:
\marginpage % *** File: 073.png
si donc $P_1$ désigne une fonction quelconque irrationnelle de
première espèce, la valeur de $P_1$ sera de la forme
\[
P_1 = P + \sqrt[m]{Q} + \sqrt[n]{R} + \dotsb + \sqrt[q]{S},
\]
$P$, $Q$, $R$,\dots $S$ désignant des expressions rationnelles. Et l'on peut
déterminer semblablement la forme la plus générale de chaque espèce
d'irrationnelles. Mais cette distinction des fonctions algébriques en
classes et en espèces que j'ai cru devoir indiquer en deux mots comme
étant quelquefois utile, n'est point indispensable pour notre théorie.
Ce qu'il est essentiel de ne pas oublier, c'est que le mot \emph{fonction algébrique
s'applique} à toutes les fonctions u déterminées par une équation
de la forme
\[
Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = 0,
\]
$P$, $Q$,\dots $R$, $S$ désignant des polynomes entiers en $x$. Dire qu'une
fonction algébrique $u$ est donnée c'est dire que l'on possède l'équation
à coefficients entiers qui la détermine ou du moins une expression
irrationnelle qui permette de remonter à cette équation par la
méthode développée dans les traités d'Algèbre.

3.~On dit que l'équation algébrique
\[
Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = 0
\]
est \emph{irréductible} lorsque nulle de ses racines ne peut satisfaire à une
équation moins élevée dont les coefficients soient également des fonctions
entières. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation
soit irréductible, c'est que son premier membre ne se décompose
pas en facteurs rationnels par rapport à $x$ et $u$. %[** errata]

Posons
\[
Pu^n + Qu^{n-1} + \dotsb + Ru + S = U
\]
et soient $u_1$, $u_2$, $u_3$,\dots $u_n$ les racines de l'équation $U = 0$: ces racines
jouiront des propriétés fondamentales suivantes.

On ne pourra avoir ni $u_1=0$, ni $u_1=u_2$; car si deux racines de
l'équation étaient égales entre elles, son premier membre se décomposerait
en deux facteurs rationnels par la méthode connue; et il en
\marginpage % *** File: 074.png
serait de même si l'une des racines était nulle, puisque cette dernière
circonstance exige qu'on ait $S=0$, ce qui rend le polynome $Pu^n+\etc$
divisible par $u$.

Si l'une des racines, savoir $u_1$, satisfait à une seconde équation algébrique
$V=0$, irréductible ou non, de même forme que la proposée,
toutes les autres racines  $u_2$, $u_3$,\dots $u_n$ satisferont aussi à cette
seconde équation. En effet, pour que les deux équations $U=0$, $V=0$
aient une racine commune, il faut que les deux polynomes $U$, $V$
possèdent un commun diviseur. Or si ce commun diviseur n'était pas
égal à $U$, à un coefficient près indépendant de l'inconnue $u$ la fonction
$u$ se décomposerait en deux facteurs rationnels, ce qui est absurde.
Donc $V$ est divisible par $U$, ou du moins peut se mettre sous la
forme
\[
V = \frac{UW}{K},
\]
$K$ dépendant de $x$ seule, tandis que $W$ est une fonction entière de $x$
et $u$ ou de $x$ seule: par conséquent les valeurs $u=u_1$, $u=u_2$,
$u=u_3$,\dots $u=u_n$ qui donnent $U=0$ donnent aussi $V=0$. Toutes
ces propriétés des équations irréductibles subsisteront évidemment
si $u$ devient une fonction de plusieurs variables $x$, $y$, $z$, etc., pourvu
que les coefficients $P$, $Q$,\dots $R$, $S$ ne cessent pas d'être exprimés
par des fonctions entières de ces variables indépendantes.

4.~Après les fonctions algébriques viennent les fonctions logarithmiques
dont la plus simple $\log x$ est ce qu'on nomme le \emph{logarithme
népérien} de $x$. La propriété principale de la fonction $\log x$, pour les
recherches de calcul intégral, est renfermée dans l'équation
$d\log x = \dfrac{dx}{x}$, d'où l'on déduit, abstraction faite de la constante arbitraire,
$\log x = {\dint}\dfrac{dx}{x}$. On pourrait même partir, de cette dernière
égalité comme d'une définition et dire qu'on nomme $\log x$ la fonction
de $x$ qu'on obtient en intégrant $\dfrac{dx}{x}$ et assujétissant l'intégrale à
s'évanouir pour $x=1$, de telle sorte qu'on a, dans la notation de
Fourier, $\log x = {\dint_1^x} {\dfrac{dx}{x}}$. Quant aux logarithmes dont la base n'est
pas le nombre $e=2{,}718,\ldots$, ils se déduisent des logarithmes népériens
\marginpage % *** File: 075.png
en multipliant ceux-ci par un nombre constant convenable. Ils
ne forment donc point une classe nouvelle de fonctions par rapport à
la variable $x$.

En désignant par $X$, $Y$ deux polynomes entiers premiers entre eux
et de la forme
\[
a + bx + cx^2  + \dotsb + hx^m ,
\]
le quotient $\dfrac{X}{Y}$ représentera une fonction algébrique rationnelle quelconque
de $x$. Cela posé, je dis qu'on ne peut pas avoir
\[
\log x = \dfrac{X}{Y}.
\]
En effet, si l'on différentie cette équation, puis qu'on chasse le dénominateur
$Y^2$ on obtient
\[
\frac{Y^2}{x}=YX'-XY',
\]
$X'$, $Y'$ représentant les dérivées $\dfrac{dX}{dx}$, $\dfrac{dY}{dx}$  conformément à la notation
de Lagrange dont nous ferons un continuel usage. Il résulte de
là que $Y$ doit être divisible par $x$ un certain nombre $n$ de fois et que
par conséquent $X$ ne doit pas l'être, puisque $X$ et $Y$ sont premiers
entre eux. Faisons donc $Y = Zx^n$, $Z$ étant un nouveau polynome non
divisible par $x$: nous en conclurons
\[
Y' = nZx^{n - 1}  + Z'x^n.
\]
Je substitue cette valeur et celle de $Y$ dans l'équation précédente qui
devient:
\[
Z^2 x^{2n - 1}  = ZX'x^n  - nZXx^{n - 1}  - XZ'x^n,
\]
et qu'on peut ensuite écrire ainsi
\[
nXZ = x(ZX' - XZ') - Z^2 x^n,
\]
forme sous laquelle l'absurdité de cette équation devient manifeste,
car le second membre est divisible par $x$ et le premier ne l'est pas,
puisque les facteurs qui le composent sont tous les deux non divisibles
par $x$.
\marginpage % *** File: 076.png

On peut aller plus loin et démontrer que l'intégrale ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ ou $\log x$
n'est point exprimable algébriquement en $x$, de telle sorte qu'il
n'existe aucune fonction algébrique de la lettre $x$ qui soit équivalente
à $\log x$. En effet, s'il existe une telle fonction, désignons-la par $y$:
nous aurons ${\dint}\dfrac{dx}{x}=y$, et $y$ devra satisfaire à une certaine équation
algébrique
\[
f(x, y) = 0\tag{1}
\]
$f(x, y)$ désignant une quantité de la forme
\[
Py^n + Qy^{n-1} + \dotsb + Ry + S
\]
dans laquelle les coefficients $P$, $Q$,\dots $R$, $S$ dépendent de $x$ seule et
représentent des polynomes entiers. Il est permis de supposer l'équation
(1) irréductible: en effet, si $y$ pouvait satisfaire à une autre
équation semblable et de degré $< n$, c'est celle-là que nous devrions
employer au lieu de l'équation (1).

Puisqu'on a ${\dint}\dfrac{dx}{x}=y$, on a aussi
\[
\dfrac{dx}{x}=dy.
\]

En différentiant l'équation (1) et remplaçant $\dfrac{dy}{dx}$ par $\dfrac{1}{x}$, il vient
\[
xf'_x(x, y) + f'_y(x, y) = 0 \tag{2}
\]
Pour que l'équation $\dfrac{dx}{x}=y$ soit exacte, il faut et il suffit que les
équations (1) et (2) aient lieu en même temps quel que soit $x$. Mais
l'équation (1) étant irréductible, on sait que si l'une de ses racines
satisfait à l'équation (2) les autres y satisferont aussi. Désignant donc
par $y_1$, $y_2$,\dots $y_n$ les $n$ racines de l'équation $f(x,y) = 0$ résolue par
rapport à $y$, nous voyons que si la différentielle de l'une de ces racines
est égale à $\dfrac{dx}{x}$, les différentielles de toutes les autres seront de même
égales à $\dfrac{dx}{x}$. Il résulte de là que si la quantité ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ est algébrique,
\marginpage % *** File: 077.png
on aura à la fois
\[
\frac{dx}{x}=dy_1,\quad \frac{dx}{x}=dy_2, \ldots \quad \frac{dx}{x}=dy_n,
\]
d'où l'on tire
\[
\frac{ndx}{x}=dy_1 + dy_2 + \dotsb + dy_n;
\]
et par conséquent, abstraction faite de la constante arbitraire, il
viendra
\[
\int\frac{dx}{x} = \frac{y_1+y_2+ \dotsb +y_n}{n} = -\frac{Q}{nP},
\]
c'est-à-dire que ${\dint}\dfrac{dx}{x}$ sera une fonction rationnelle de $x$, ce dont j'ai
déjà prouvé l'impossibilité.

La quantité $\log x$ n'est donc point une fonction algébrique de $x$; et
il en est de même de la quantité $\log F(x)$, quelle que soit la fonction
algébrique $F(x)$. En effet si l'on avait $\log F(x) = f(x)$, $f(x)$ étant
une autre fonction algébrique, en posant $F(x) = z$, ce qui donne
pour $x$ une valeur algébrique en $z$ telle que $x = \varpi(z)$, on en déduirait
$\log z = f[\varpi(z)]$, c'est-à-dire $\log z = \emph{une fonction algébrique
de } z$, ce qui est absurde.

5.~La fonction inverse de $\log x$ donne l'exponentielle $e^x$, dont la
définition par conséquent est comprise dans l'égalité $\log (e^x) = x$. Il
est aisé de démontrer que $e^x$ n'est point exprimable algébriquement
en $x$, car si l'on avait $e^x = F(x)$, $F(x)$ désignant une fonction algébrique,
on en conclurait $\log F(x) = x$, équation impossible d'après
ce qu'on a démontré à la fin du numéro précédent. En général si $p$
et $q$ désignent deux fonctions algébriques, on n'aura jamais $e^p = q$;
car il en résulterait $\log q = p$, ce qui est inadmissible.

Soient maintenant $P$, $Q$, $R$,\dots $T$, des fonctions algébriques de
la variable indépendante $x$ qui ne soient pas identiquement nulles et
$p$, $q$, $r$,\dots\ d'autres fonctions de $x$ algébriques aussi et telles que
nulle des quantités $p$, $q$, $r$,\dots $p - q$, $p - r$, $q - r$,\dots\ ne se réduise
à une simple constante; je dis qu'on prouvera l'impossibilité de toutes
les équations suivantes
\begin{align*}
Pe^p &= T,\\
Pe^p + Qe^q &= T,\\
Pe^p + Qe^q + Re^r &= T,\;\etc,
\end{align*}
\marginpage % *** File: 078.png
quel que soit le nombre des termes placés dans leur premier membre.

D'abord l'équation $Pe^p = T$ est impossible, puisqu'elle conduit au
résultat absurde $\log\dfrac{T}{P} = p$.

Supposons en second lieu qu'on ait
\[
Pe^p + Qe^q = T,
\]
sans que les quantités $P$, $Q$, $T$, soient nulles. En différentiant, il
vient
\[
e^p\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) + e^q\Big(Q \frac{dq}{dx} + \frac{dQ}{dx}\Big) = \frac{dT}{dx}.
\]
Entre cette équation et la précédente, j'élimine $e^p$: je trouve ainsi
\begin{align*}
e^p\Big[P\Big(Q &\frac{dq}{dx} + \frac{dQ }{dx}\Big) - Q\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big)\Big]\\
&= P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big),
\end{align*}
résultat impossible puisqu'il rentre dans la forme $Pe^p = T$, examinée
ci-dessus. Toutefois ce raisonnement se trouverait en défaut, si l'on
avait à la fois
\[
P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0,
\]
et
\[
P\Big(Q \frac{dq}{dx} + \frac{dQ}{dx}\Big) - Q\Big(\frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0.
\]
Mais si l'on avait
\[
P \frac{dT}{dx} - T\Big(P \frac{dp}{dx} + \frac{dP}{dx}\Big) = 0,
\]
on tirerait aisément de là
\[
dp + \frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}, %[** errata]
\]
puis, en intégrant et désignant par $C$ une constante arbitraire, on en
conclurait
\[
Pe^p = CT,
\]
\marginpage % *** File: 079.png
ce qui est absurde. De même, si l'on avait
\[
P\Big(Q \dfrac{dq }{dx} + \dfrac{dQ }{dx}\Big) - Q\Big(P \dfrac{dp }{dx} + \dfrac{dP}{dx}\Big) = 0,
\]
on en déduirait
\[
e^{p - q} = \dfrac{CQ}{P},
\]
ce qui est absurde aussi, puisque $p$ et $q$ sont deux fonctions algébriques
de $x$ dont la différence ne se réduit pas à une simple constante.
Donc, quoi qu'on fasse, on est conduit à une absurdité, dès que
l'on part de l'équation
\[
Pe^p + Qe^q = T:
\]
donc une telle équation ne peut pas exister. Et, d'une manière semblable,
on prouvera l'impossibilité de l'équation
\[
Pe^p + Qe^q + Re^r +\etc= T,
\]
quel que soit le nombre des quantités $p$, $q$, $r$, etc. Le théorème démontré
au numéro II de mon mémoire sur l'intégration d'une classe
de fonctions transcendantes\footnote{Journal de M.~Crelle, tome XIII, p.~93.} est compris comme cas particulier dans
le théorème que je viens d'établir.

\mysection{§ II.}

\begin{center}\emph{Division des fonctions transcendantes en espèces.}\end{center}

6.~Leibnitz et les Bernouilli, qui paraissent avoir donné les premiers
au mot \emph{fonction} l'acception étendue que nous lui attribuons
aujourd'hui, ont distingué les fonctions \emph{algébriques} et les fonctions
\emph{transcendantes}.

Le nombre de ces dernières est infini; mais dans les éléments on
se contente de considérer les exponentielles et les logarithmes, que
l'on doit regarder comme renfermant d'une part les puissances à
\marginpage % *** File: 080.png
exposant irrationnel, imaginaire ou variable, et d'autre part toutes
les fonctions circulaires, tant directes qu'inverses, ainsi qu'on peut
aisément s'en convaincre.

Les caractéristiques particulières aux quantités algébriques, logarithmiques
et exponentielles, sont les trois suivantes $\varpi(x)$, $e^x$, %[** errata]
$\log x$.
Au moyen de ce signe $\varpi(x)$, toutes les fonctions algébriques sont
explicites: il n'en est pas de même des fonctions logarithmiques ou
exponentielles.

L'emploi des signes $\varpi(x)$, $e^x$, $\log x$ donne naissance aux fonctions
finies qui peuvent, suivant les cas, être explicites ou implicites.

Une fonction finie de $x$ est \emph{explicite, lorsqu'on peut en écrire l'expression
en indiquant explicitement sur la variable $x$ un nombre limité
d'opérations algébriques, exponentielles et logarithmiques}. La valeur
d'une telle fonction dépend donc uniquement des signes $\varpi(x)$, $e^x$,
$\log x$.

\emph{Une fonction finie est implicite, lorsqu'elle dépend d'équations
finies, non résolubles explicitement}. Par exemple, la racine $y$ de l'équation
$\log y = xy$ est une fonction finie implicite de $x$.

Quand on emploie le mot \emph{fonction finie}, sans y ajouter d'épithète,
c'est en général d'une fonction finie explicite que l'on entend parler.

7.~Les fonctions finies explicites peuvent être classées en espèces
par une méthode semblable à celle dont j'ai fait usage au \no 2, pour
distinguer les divers ordres d'irrationnalité des quantités algébriques
exprimables par radicaux.

En effet, une fonction finie est algébrique ou transcendante.

Elle est transcendante de première espèce, quand les signes relatifs
aux opérations transcendantes, dont elle dépend, portent sur de
simples fonctions algébriques; par exemple la quantité
\[
\frac{e^x + \sqrt{\strxx\log x}}{1 + \log x},
\]
est une fonction transcendante de première espèce. D'après cette définition,
on conçoit que toute fonction finie de $x$, appartenant à la
première espèce, ne pourra être qu'une fonction algébrique de $x$,
d'un certain nombre de logarithmes, de la forme $\log u$, et d'un certain
nombre d'exponentielles de la forme $e^u$, $u$ étant algébrique.

\marginpage % *** File: 081.png
Une fonction finie transcendante est de deuxième espèce, quand
les signes relatifs aux opérations transcendantes ne portent pas seulement
sur des fonctions algébriques, mais encore sur des fonctions
transcendantes de première espèce, comme dans cet exemple
$\log(1 + \log x)$.

Une fonction finie est transcendante de troisième espèce, quand les
signes relatifs aux opérations transcendantes portent sur des fonctions
de seconde espèce, et ainsi de suite.

Je nomme transcendantes \emph{monomes} les transcendantes formées
d'un seul terme, comme $e^u$, $\log u$, quelle que soit d'ailleurs la fonction
$u$. Par conséquent ${e^x}^2$, $\log(1 + e^x + \log x)$ sont des transcendantes
monomes; ces quantités $e^u$, $\log u$ peuvent d'ailleurs appartenir
à une espèce ou à une autre, suivant la nature de $u$. Elles sont
en général de $n$\iieme\ espèce, lorsque la fonction $u$ est de $(n - 1)$\iieme\
espèce. En supposant que u désigne une fonction quelconque de
$(n - 1)$\iieme\ espèce, je dirai aussi parfois que $e^u$ est une exponentielle,
et $\log u$ un logarithme de $n$\iieme\ espèce.

D'après cela, ${e^x}^2$ est une exponentielle de première espèce, et
$\log(1 + e^x + \log x)$ est un logarithme de seconde espèce.

L'indice $n$ qui désigne l'espèce d'une fonction finie peut diminuer
par la différentiation, mais il n'augmente jamais. Par exemple la
dérivée d'une fonction finie de première espèce est tout au plus de
la première espèce. De plus les transcendantes monomes entrant dans
la fonction primitive sont les seules qui puissent entrer dans la dérivée.
Cette remarque est une conséquence évidente des règles mêmes
du calcul différentiel.

8.~Dans le numéro précédent, nous avons regardé les fonctions
finies comme renfermant ou pouvant renfermer à la fois des exponentielles
et des logarithmes; néanmoins, il est des circonstances, assez
rares à la vérité, où l'on a besoin de considérer des fonctions exponentielles
dépendant des seuls signes $\varpi(x)$, $e^x$, et des fonctions purement
logarithmiques dépendant des seuls signes $\varpi(x)$, $\log x$. La
division des fonctions en espèces ne sera pas moins utile ici que dans
le cas général. On nommera fonction exponentielle de première espèce
celle où les signes exponentiels ne porteront que sur des quantités
algébriques; la fonction exponentielle de première espèce la plus
\marginpage % *** File: 082.png
générale est donc de la forme $f(x, e^u, e^v,\ldots e^w)$, $u$, $v$,\dots $w$, dépendant
algébriquement de $x$, et la caractéristique $f$ étant algébrique
par rapport à $x$, $e^u$, $e^v$,\dots $e^w$. La fonction exponentielle de seconde
espèce sera celle où les signes exponentiels porteront sur des fonctions
de première espèce. Et ainsi des autres. On distinguera de même
en espèces les fonctions purement logarithmiques.

A peine a-t-on besoin d'avertir que notre classification des transcendantes
s'étend aux fonctions de plusieurs variables $x$, $y$, $z$\dots.

9.~Quand le nombre des transcendantes \emph{monomes}, entrant dans une
fonction finie explicite, est supposé le plus petit possible, la fonction
jouit de propriétés semblables à celles des équations algébriques irréductibles.

Considérons d'abord une fonction de première espèce $U$, et soient
$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, les transcendantes monomes dont elle dépend. D'après
nos définitions, la valeur de $U$ sera de la forme
\[
U = f(x, \theta, \eta,\ldots\zeta),
\]
la caractéristique $f$ dénotant une fonction algébrique par rapport aux
lettres comprises entre parenthèses.

Cela posé, si le nombre $\mu$ des transcendantes \emph{monomes}, $\theta$, $\eta$,\dots $\zeta$,
est supposé réduit à son minimum, c'est-à-dire s'il est impossible de
trouver une autre fonction transcendante de première espèce équivalente
à $U$, et contenant moins de transcendantes monomes que
$f(x, \theta, \eta,\ldots\zeta)$, je dis que nulle relation algébrique ne pourra
exister entre la variable indépendante $x$ et les $\mu$ quantités $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$,
à moins qu'elle ne soit identique. En effet une telle relation, si elle
avait lieu, fournirait la valeur de l'une de ces transcendantes, de $\theta$ par
exemple, exprimée algébriquement en fonction de $x$ et des autres,
et dès-lors on pourrait en reportant dans $U$ cette valeur de $\theta$ diminuer
$\mu$ d'une unité, ce qui est impossible.

Pour rendre notre raisonnement plus précis, concevons que l'on
tombe, par une suite quelconque de calculs, sur une équation de la
forme
\[
\phi(x, \theta, \eta,\ldots\zeta) = 0,
\]
dont le premier membre soit algébrique, par rapport à $x$, $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$.
\marginpage % *** File: 083.png
Je dis que cette équation ne pourra contenir $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ qu'en apparence,
de sorte qu'elle subsisterait encore si l'on venait à remplacer
$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, soit par d'autres fonctions de $x$ prises au hasard, soit
par de simples lettres indéterminées. En effet si cette équation n'était
pas identique relativement à $\theta$ par exemple, elle fournirait la valeur
de $\theta$ sous la forme
\[
\theta = \varpi(x, \eta,\ldots\zeta),
\]
$\varpi$ indiquant une fonction algébrique, et en portant cette valeur de $\theta$
dans celle de $U$, on en conclurait
\[
U = f[x, \varpi(x, \eta,\ldots\zeta), \eta, \zeta]:
\]
or cette expression de $U$ est absurde, puisqu'elle renferme une transcendante
\emph{monome} de moins que la précédente, laquelle était pourtant
supposée en contenir le plus petit nombre possible.

Cette démonstration étant générale et rigoureuse pour toutes les
fonctions de première espèce, pourvu que le nombre de leurs transcendantes
monomes soit un minimum, nous avons droit de dire
que, \emph{si, par la marche des calculs, on est conduit à une équation algébrique,
entre la variable $x$ et les transcendantes monomes qui
composent la fonction sus-dite, on ne troublera pas l'égalité en remplaçant
les transcendantes par des fonctions nouvelles prises au
hasard ou par des quantités purement littérales.}

Supposons maintenant que $U$ soit une fonction transcendante de
$n$\iieme\ espèce, et que $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ représentent les $\mu$ transcendantes monomes
de $n$\iieme\ espèce, entrant dans cette fonction. La valeur de $U$,
considérée comme dépendante de $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, sera de la forme
\[
U = f(\theta, \eta,\ldots\zeta),
\]
la fonction $f$ étant algébrique par rapport aux quantités comprises
entre parenthèses et contenant en outre d'autres transcendantes d'ordre
inférieur dont il est inutile de nous occuper.

Maintenant, si le nombre $\mu$ est supposé le plus petit possible, je dis
que nulle relation algébrique ne pourra exister entre la variable $x$,
les transcendantes $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ et d'autres transcendantes d'ordre inférieur
\marginpage % *** File: 084.png
quelles qu'elles soient. En effet, une telle relation, si elle existait,
fournirait la valeur de l'une de ces transcendantes, de $\theta$ par exemple,
en fonction algébrique des autres, et permettrait, en portant la valeur
de $\theta$ dans celle de $U$, de diminuer le nombre $\mu$ d'une unité, ce qui est
absurde.

Ce raisonnement est tout semblable à celui dont nous nous sommes
servis pour établir le théorème relatif aux fonctions de première espèce.
\emph{Nous voyons donc en général que si $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ désignent les
transcendantes monomes de $n$\iieme\ espèce entrant dans une fonction
de $n$\iieme\ espèce, toute relation algébrique entre $x$, $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ et des
transcendantes d'espèce inférieure à la $n^{ieme} $devra être identique en
$\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$, c'est-à-dire devra subsister si l'on remplace $\theta$, $\eta$,\dots$\zeta$ soit
par d'autres fonctions de $x$, soit par de simples lettres indéterminées.}
Ce principe recevra par la suite de nombreuses applications.

\mysection{§ III.}

\begin{center}\emph{Démonstrations de quelques théorèmes relatifs aux fonctions} $\log x$,
$e^x$, $\log \log x$, etc.\end{center}

10.~Non-seulement la fonction $\log x$ ne peut être équivalente à
aucune fonction algébrique de $x$; mais même elle ne peut être exprimée
par aucune combinaison quelle qu'elle soit d'un nombre
limité de signes algébriques avec un nombre limité de signes
exponentiels. Et réciproquement l'exponentielle $e^x$ ne peut être
exprimée par aucune fonction purement algébrique et logarithmique.
Ces théorèmes méritent d'être démontrés d'une manière rigoureuse:
on en conclut que les signes $\varpi(x)$, $e^x$, $\log x$ dont nous faisons
usage dans notre classification des fonctions finies explicites sont
réduits au moindre nombre possible.

Pour rendre notre démonstration plus claire, prouvons d'abord que
la quantité $\log x$ ne peut être équivalente à aucune fonction purement
exponentielle de première espèce: en d'autres termes prouvons qu'en
désignant par $u$, $v$,\dots $w$ des fonctions algébriques et par $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$
les exponentielles $e^u$, $e^v$,\dots $e^w$, on ne peut pas avoir
\[
\log x = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta),
\]
si la fonction représentée par $f$ est une fonction algébrique.
\marginpage % *** File: 085.png
Représentons par m le nombre des exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ qui
entrent dans la valeur précédente de $\log x$. Nous avons évidemment
le droit de supposer ce nombre $m$ réduit à son minimum,
c'est-à-dire de supposer que $\log x$ ne puisse s'exprimer par aucune
autre fonction semblable à la fonction $f$, mais contenant moins d'exponentielles;
car si cette autre valeur de $\log x$ existait, c'est celle-là
que nous choisirions pour y appliquer nos calculs. Dès-lors aucune
relation algébrique entre les quantités $x$, $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ ne pourra avoir
lieu à moins qu'elle ne soit identique par rapport à chacune des
transcendantes. Or, on obtient une telle relation en différentiant la
valeur de $\log x$: la différentiation donne en effet,
\[
\frac{dx }{x} = df(x, \zeta, \eta,\ldots\theta),
\]
ou bien (en observant que l'on a $\dfrac{d\zeta }{dx} = \dfrac{\zeta du }{dx} = \zeta u'$,
$\dfrac{d\eta }{dx} = \eta v'$,\dots $\dfrac{d\theta }{dx} = \theta w')$
\begin{multline*}
\frac{1}{x} = f'_x(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) + f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\zeta u'\\
+ f'_\eta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\eta v' + \dotsb + f'_\theta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)\theta w'.
\end{multline*}
L'équation que je viens d'écrire doit donc subsister si l'on remplace
$\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$ par $\alpha\zeta$, $\beta\eta$,\dots$\gamma\theta$,
$\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$ désignant des quantités
purement littérales. Il résulte de là qu'on a
\begin{multline*}
\frac{1}{x} = f'_x(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) + f'_{\alpha\zeta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\alpha\zeta u'\\
+ f'_{\beta\eta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\beta\eta v' + \dotsb + f'_{\gamma\theta}(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta)\gamma\theta w',
\end{multline*}
c'est-à-dire
\[
\frac{dx }{x} = df(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta).
\]
En égalant cette valeur de $\dfrac{dx}{x}$ à la précédente $df(x, \zeta, \eta,\ldots
\theta)$, puis
intégrant, on a donc
\[
f(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) + C.
\]
\marginpage % *** File: 086.png
Pour déterminer la constante $C$, je nomme $a$, $b$,\dots $c$ les valeurs
respectives de $\zeta$, $\eta$,\ldots$\theta$ pour une valeur déterminée quelconque
$x = g$: il en résulte
\[
f(g, \alpha a, \beta b,\ldots\gamma c) = f(g, a, b,\ldots c) + C.
\]
Éliminant $C$, on a
\begin{flalign*}
&f(x, \alpha\zeta, \beta\eta,\ldots\gamma\theta) - f(g, \alpha a, \beta b,\ldots\gamma c)
= f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) - f(g, a, b,\ldots c).
\end{flalign*}
Je différentie cette équation par rapport à $\alpha$, et après la différentiation,
je pose $\alpha = 1$, $\beta = 1$,\dots$\gamma = 1$: je trouve par là
\[
\zeta f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) = af'_a(g, a, b,\ldots c),
\]
ou simplement,
\[
f'_\zeta(x, \zeta, \eta,\ldots\theta) = \frac{A }{\zeta},
\]
en représentant par $A$ la constante $af'_a(g, a, b,\ldots c)$. L'équation
algébrique précédente subsistera encore (\no 9) si je remplace $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$
par les quantités purement littérales $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$: on a par conséquent,
\[
f'_\lambda(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{A }{\lambda},
\]
et l'on aura de même,
\begin{align*}
f'_\mu(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{B }{\mu},\\[-1ex]
\multispan{2}{\leaderfill}\\
f'_\nu(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = \frac{C}{\nu},
\end{align*}
si l'on représente par $B$,\dots $C$ les constantes $bf'_b(g, a, b,\ldots c)$,
$cf'_c (g, a, b,\ldots c)$. De là il est aisé de conclure
\marginpage % *** File: 087.png
\begin{multline*}
f_\lambda (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\lambda + f'_\mu (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\mu + \dotsb \\
+ f'_\nu (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) d\nu = \frac{Ad\lambda}{\lambda} + \frac{Bd\mu}{\mu} + \dotsb + \frac{Cd\nu}{\nu}:
\end{multline*}
intégrant donc par rapport à $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$, il vient
\[
f(x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = A \log \lambda + B \log \mu + \dotsb + C \log \nu + \text{const}.
\]
La constante est ici une fonction de $x$: pour la déterminer, soient
$\lambda_0$, $\mu_0$,\dots$\nu_0$ des valeurs particulières de $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$: en les substituant,
on obtiendra
\[
f (x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) = A \log \lambda_0 + B \log \mu_0 + \dotsb + C \log \nu_0 + \text{const}.
\]
d'où l'on tire, par la soustraction,
\begin{multline*}
f (x, \lambda, \mu,\ldots\nu) = f (x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) + A(\log\lambda - \log\lambda_0)\\
+ B(\log\mu - \log\mu_0) + \dotsb + C(\log\nu - \log\nu_0).
\end{multline*}
Comme je puis actuellement donner à $\lambda$, $\mu$,\dots$\nu$ les valeurs que je
veux, je pose $\lambda = \zeta$, $\mu = \eta$,\dots $\nu = \theta$: le premier membre devient
$f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta)$ ou $\log x$: en observant que $\log \zeta = u$, $\log \eta = v$,\dots
$\log \theta = w$, j'en tire donc
\begin{multline*}
\log x = f(x, \lambda_0, \mu_0,\ldots\nu_0) + A(u - \log\lambda_0) %[** errata]
\\
+ B (v - \log\mu_0) + \dotsb + C(w - \log\nu_0),
\end{multline*}
équation absurde; car le second membre est une fonction algébrique
de $x$, laquelle ne peut pas être égale à $\log x$, d'après ce qu'on a
démontré ci-dessus.

11.~On peut abréger la démonstration précédente, sans d'ailleurs
en changer l'esprit; il suffit pour cela de considérer à part une des
exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, la première par exemple, au lieu de les
considérer toutes à la fois. Je développerai d'autant plus volontiers
cette seconde méthode, ou plutôt cette autre manière d'envisager
la même méthode, que j'en ferai par la suite un usage continuel
et exclusif. Voici comment il faut raisonner alors.

Il s'agit de prouver l'absurdité de l'équation
\[
\log x = f(x, \zeta, \eta,\ldots \theta),\tag{1}
\]
\marginpage % *** File: 088.png
dont le second membre renferme $m$ exponentielles $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$: le
nombre $m$ est supposé réduit à son minimum: par conséquent si
de l'équation (1) on déduit une autre équation semblable dont le second
membre renferme moins de $m$ exponentielles, l'absurdité de l'équation
(1) sera par cela même rendue manifeste.

Maintenant pour mettre spécialement en évidence l'exponentielle
$\zeta$, j'écrirai
\[
\log x = \phi (x, \zeta),
\]
et j'en déduirai en différentiant
\[
\frac{1}{x} = \phi _x '(x, \zeta ) + \phi _\zeta '(x, \zeta )\zeta u',
\]
$\phi _x '(x,\zeta )$ étant l'expression abrégée de
\[
f'_x (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta ) + f'_\eta
(x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\eta v' + \dotsb + f'_\theta  (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\theta w'
\]
L'équation
\[
\frac{1}{x} = \phi '_x (x,\zeta ) + \phi '_\zeta  (x, \zeta )\zeta u'
\]
remplace l'équation équivalente
\begin{multline*}
\frac{1}{x} = f'_x (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta ) + f'_\zeta  (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\zeta u'\\
+ f'_\eta  (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\eta v' + \dotsb + f'_\theta  (x,\zeta ,\eta ,\ldots\theta )\theta w',
\end{multline*}
dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent, mais elle
est beaucoup plus simple à écrire. Cette équation doit être identique
par rapport à $\zeta$: on peut donc y remplacer $\zeta$ par $\alpha \zeta$, $\alpha$ étant une
quantité numérique quelconque, ce qui donne
\[
\frac{1}{x} = \phi '_x (x,\alpha \zeta ) + \phi '_{\alpha \zeta } (x, \alpha \zeta )\alpha \zeta u',
\]
équation dont le second membre, multiplié par $dx$, fournit pour
résultat la différentielle complète $d\phi (x,\alpha \zeta )$. En égalant cette valeur de
$\dfrac{1}{x}$ à la précédente, et intégrant l'équation qui en résulte, puis déterminant
la constante arbitraire à l'aide d'une valeur particulière $x = g$,
\marginpage % *** File: 089.png
à laquelle répond $\zeta=a$, on obtient
\[
\phi (x, \alpha \zeta ) = \phi (x, \zeta ) + \phi (g,\alpha a) - \phi (g,a).
\]
Je différentie cette équation par rapport à $\alpha$ et je fais ensuite $\alpha = 1$.
En posant $a\phi '_a (g,a) = A$, je trouve ainsi,
\[
\zeta \phi '_\zeta  (x,\zeta ) = A.
\]
Cette équation étant algébrique par rapport à $x$, $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$, doit subsister
si l'on remplace $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$ que l'on pourra
regarder comme une variable indépendante. On a donc
\[
\phi '_i (x,i) = \frac{A}{i}.
\]
Multipliant par $di$ et intégrant, j'obtiens
\[
\phi (x,i) = A\log i + \text{const.}
\]
d'où résulte, en déterminant la constante à l'aide d'une valeur particulière
$i_0$ de $i$,
\[
\phi (x,i) = A\log i + \phi (x,i_0 ) - A\log i_0.
\]
J'ai le droit de donner à $i$ telle valeur qu'il me plaira: je pose donc
$i=\zeta$; le premier membre de mon équation devient $\phi (x,\zeta )$ ou $\log x$:
de là je conclus, en observant que $\log \zeta  = u$:
\[
\log x = Au + \phi (x,i_0 ) - A\log i_0,
\]
équation absurde, car le second membre est une fonction exponentielle de
première espèce où $\zeta$ n'entre plus et qui renferme seulement
$m-1$ exponentielles $\eta$,\dots$\theta$, tandis que la valeur de $\log x$ doit par
hypothèse en contenir au moins $m$. Nous sommes ainsi conduits de
nouveau à la conclusion obtenue dans le numéro précédent, savoir
qu'une équation de la forme (1) est inadmissible. Le lecteur jugera
sans doute avec nous que la démonstration donnée en dernier lieu
est plus simple et aussi rigoureuse que celle du \no 10; elle abrège
surtout considérablement l'écriture.

12.~Faisons voir maintenant que $\log x$ ne peut être exprimé par
aucune fonction exponentielle de $n$\iieme\
espèce, quel que soit $n$. Désignons
\marginpage % *** File: 090.png
en effet par $m$ le nombre des exponentielles de $n$\iieme\ espèce,
et supposons le nombre $m$ réduit à son minimum, en sorte que nulle
relation algébrique ne puisse exister entre ces exponentielles de $n$\iieme\
espèce et d'autres, quelles qu'elles soient, d'espèce inférieure. Soit
$\zeta = e^u$ une quelconque d'entre elles, $u$ étant une fonction exponentielle
de $(n-1)$\iieme\ espèce, et, pour mettre $\zeta$ en évidence, écrivons
\[
\log x = \phi (x, \zeta),
\]
la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\zeta$, et contenant en outre,
algébriquement aussi, \label{err090}d'autres exponentielles monomes dont il est
inutile de faire une mention explicite.

L'équation
\[
\frac{dx}{x} = d\phi(x,\zeta),
\]
ou
\[
\frac{1}{x} = \phi_x'(x,\zeta)+\phi_\zeta'(x,\zeta)\zeta u',
\]
que l'on obtient en différentiant la valeur de $\log x$, est algébrique par
rapport à ces transcendantes aussi bien que par rapport à $\zeta$. Donc elle
doit subsister en remplaçant $\zeta$ par $\alpha \zeta$, $\alpha$ étant une quantité numérique
quelconque; ainsi l'on a
\[
\frac{1}{x} = \phi_x'(x,\alpha\zeta)+\phi_{\alpha\zeta}'(x,\alpha\zeta)\alpha\zeta u',
\]
d'où il est aisé de conclure
\[
\frac{dx}{x} = d\phi(x,\alpha\zeta).
\]
J'égale cette valeur de $\dfrac{dx}{x}$ à la précédente $d\phi (x, \zeta)$, après quoi j'intègre,
et je détermine la constante à l'aide d'une valeur particulière
$x = b$, à laquelle réponde $\theta = a$. Il vient
\[
\phi(x,\alpha\zeta) = \phi(x,\zeta) + \phi(b,\alpha a) - \phi(b,a).
\]
Je différentie par rapport à $\alpha$ l'équation que je viens d'écrire, et posant
$\alpha = 1$ après la différentiation, je trouve
\[
\zeta\phi_\zeta'(x,\zeta) = a\phi_a'(b,a),
\]
\marginpage % *** File: 091.png
équation algébrique par rapport à $\zeta$ et qui doit subsister si l'on remplace
$\zeta$ par une lettre indéterminée $i$: remplaçant donc $\zeta$ par $i$ et
faisant $a\phi'_a(b, a) = A$, j'ai
\[
\phi'_i(x,i) = \frac{A}{i},
\]
ce qui me donne, en intégrant par rapport à $i$,
\[
\phi(x, i) = A \log i + \text{const}.
\]
En déterminant la constante à l'aide d'une valeur particulière $i_0$ de $i$
et posant ensuite $i=\zeta$, on obtient enfin, comme ci-dessus,
\[
\log x = Au + \phi(x, i_0) - A \log i_0,
\]
équation absurde, puisque le nombre des exponentielles de $n$\iieme\
espèce contenues dans le second membre est $< m$, ce qui ne se peut.

13.~Il est rigoureusement établi par là que la fonction $\log x$ ne
peut être équivalente à aucune fonction $\phi$ purement exponentielle ou
dépendante des seuls signes $\varpi(x)$, $e^x$. On peut en dire autant des
fonctions suivantes $\log \log x$, $\log \log \log x$, etc.; car si l'on avait
$\log \log x= \phi$, on en déduirait $\log x=e^\phi$, ce qui est absurde. Réciproquement
nous ferons voir que la quantité $e^x$ ne peut être exprimée
par aucune fonction purement logarithmique.

Supposons, par exemple, qu'il soit possible d'exprimer $e^x$ par une
fonction logarithmique de première espèce, c'est-à-dire de la forme
\[
e^x = f(x, \zeta, \eta,\ldots\theta),
\]
$\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, ayant pour valeurs respectives $\log u$, $\log v$,\dots $\log w$ où
$u$, $v$,\dots $w$, désignent des fonctions algébriques, et le nombre $m$ des
quantités  $\zeta$, $\eta$,\dots $\theta$ étant réduit à son minimum.

Considérons spécialement $\zeta$ par exemple, et remplaçons en conséquence
$f(x, \zeta, \eta, \ldots\theta)$, par $\phi(x, \zeta)$; nous aurons en prenant les
logarithmes des deux membres
\[
x = \log \phi(x, \zeta),
\]
d'où résulte, en différentiant
\[
dx = \frac{d\phi(x, \zeta)}{\phi(x, \zeta)} ,
\]
\marginpage % *** File: 092.png
ou
\[
1 = \frac{\phi'_x(x,\zeta) + \phi'_\zeta(x , \zeta) \dfrac{u'}{u} }{\phi(x,\zeta)} ,
\]
équation purement algébrique par rapport à $\zeta$, $\eta$,\dots$\theta$, qui doit être
identique par rapport à $\zeta$, et où l'on peut en conséquence remplacer
$\zeta$ par $a + \zeta$, $\alpha$ étant un nombre quelconque. On a donc
\[
1 = \frac{\phi'_x(x,\alpha+\zeta) + \phi'_\zeta(x , \alpha+\zeta) \dfrac{u'}{u}}{\phi(x, \alpha+\zeta)} ,
\]
ou
\[
dx = \frac{d\phi(x,\alpha+\zeta)}{\phi(x,\alpha+\zeta) }.
\]
J'égale cette valeur de $dx$ à la précédente, ce qui me donne
\[
\frac{d\phi(x,\alpha+\zeta)}{\phi(x,\alpha+\zeta)}
= \frac{d\phi(x,       \zeta)}{\phi(x,       \zeta)} ;
\]
intégrant donc et déterminant la constante arbitraire à l'aide d'une
valeur particulière $x=b$, à laquelle réponde $\zeta = a$, on obtient
\[
\phi(x, \alpha+\zeta) = \frac{\phi(x,\zeta)}{\phi(b,a)} \phi(b, \alpha+a).
\]
Je différentie maintenant par rapport à $\alpha$, et après la différentiation
je pose $\alpha = 0$: cela me donne
\[
\phi'_\zeta(x, \zeta) = \frac{\phi'_a(b,a)}{\phi(b,a)} \phi(x, \zeta) ,
\]
équation algébrique par rapport à $\zeta$ et qui doit subsister encore si
l'on remplace $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$. On a par conséquent
\[
\phi'_i(x, i) = \frac{\phi'_\alpha(b,a)}{\phi(b,a)} \phi(x,i):
\]
en posant $\dfrac{\phi'_\alpha(b,a)}{\phi(b,a)} = h$, on en conclut
\[
\frac{\phi'_i(x,i) di}{\phi(x,i)} = h di.
\]
\marginpage % *** File: 093.png
Intégrant donc par rapport à $i$, et déterminant la constante que l'intégration
introduit à l'aide d'une valeur particulière $i = i_0$, on tire
aisément de là
\[
\phi(x,i) e^{hi_0} = \phi(x,i_0) e^{hi },
\]
résultat absurde, puisqu'on en déduirait $e^{hi}=$ \emph{une fonction algébrique
de} $i$, ce qui ne se peut. Si $h$ était $=0$, ce raisonnement ne serait plus
possible; mais on aurait alors $\phi(x, i) = \phi(x, i_0)$; d'où, en posant
$i=\zeta$, on conclurait $\phi(x,\zeta)$ ou $e^x = \phi(x,i_0)$, équation absurde,
puisque son second membre renferme seulement $(m- 1)$ logarithmes,
tandis que la valeur de $e^x$ doit, par hypothèse, en contenir au moins $m$.

On prouvera en général que $e^x$ ne peut être exprimé par aucune
fonction purement logarithmique de $n$\iieme\ espèce. En effet soit $\zeta$ une
des $m$ exponentielles de $n$\iieme\ espèce entrant dans la valeur supposée
de $e^x$, et suivant notre usage posons $e^x = \phi(x, \zeta)$. Regardons le
nombre m comme réduit à son minimum: dès-lors aucune relation
algébrique ne pourra exister entre $x$, $\zeta$, les autres logarithmes de $n$\iieme\
espèce contenus dans $\phi(x, \zeta)$ et d'autres logarithmes d'espèce inférieure.
On pourra par conséquent répéter ici mot à mot tout ce que
nous avons dit au commencement de ce numéro, quand la fonction
$\phi(x,\zeta)$ appartenait à la première espèce, et l'on retombera de
nouveau sur l'équation absurde $\phi(x,i) e^{hi_0} = \phi(x,i_0) e^{hi}$. Notre
analyse établit donc en toute rigueur le théorème que nous avions
en vue, savoir que l'exponentielle $e^x$ ne peut être exprimée par
aucune fonction purement logarithmique de la variable $x$.

\mysection{§ IV.}

\begin{center}\emph{Des diverses fonctions que l'on rencontre dans les éléments.}\end{center}

14.~Si nous passons maintenant en revue les diverses fonctions de
$x$ dont on s'occupe dans les éléments d'algèbre, nous verrons que
toutes peuvent s'exprimer sous forme finie, à l'aide des simples
fonctions algébriques, exponentielles et logarithmiques. Et nous n'avons
pas même besoin de comprendre parmi ces dernières les exponentielles
de la forme $a^x$ et les logarithmes $\Log x$ dont la base n'est
\marginpage % *** File: 094.png
pas le nombre $e = 2{,}718 \ldots$; car ou a $a^x=e^{x \log a}$ et $\Log x=M \log x$,
$M$ désignant le module du système des logarithmes désignés par $\Log x$,
par où l'on voit que tous les logarithmes peuvent être transformés en
logarithmes népériens, et toutes les exponentielles transformées en
d'autres exponentielles rapportées au nombre $e$.

15.~Considérons d'abord les puissances dont l'exposant est un
nombre quelconque. Soit $\alpha$ une constante réelle ou imaginaire: la
puissance dont il s'agit sera représentée par $x^\alpha$. Dans le cas très particulier
où le nombre $\alpha$ est réel et rationnel, on sait que $x^\alpha$ est une
fonction algébrique de $x$; car si l'on a $\alpha=\dfrac{m}{n}$, ou $\alpha=-\dfrac{m}{n}$, $m$ et $n$
désignant deux nombres entiers positifs, il en résultera
\[
x^\alpha = x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m},
\]
ou
\[
x^\alpha = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}.
\]
Mais toutes les fois que la constante $\alpha$ est irrationnelle ou imaginaire,
je dis que $x^\alpha$ n'est pas une fonction algébrique de $x$. Pour le prouver,
posons $y=x^\alpha$, ce qui donne
\[
x \frac{dy}{dx} = \alpha y.
\]
Admettons pour un instant que $y$ soit une fonction algébrique de
$x$, déterminée par une équation irréductible de degré $\mu$, savoir
\begin{align*}
f(x,y) &= 0,\tag{1}
\end{align*}
dont le premier membre serait une fonction entière de $x$ et $y$. En
différentiant, il vient
\[
f'_x(x,y) + f'_y(x,y)\frac{dy}{dx} = 0,
\]
équation qui se transforme dans la suivante
\begin{align*}
xf'_x(x,y) + \alpha y f '_y(x,y) &= 0,\tag{2}
\end{align*}
\marginpage % *** File: 095.png
lorsqu'on remplace $\dfrac{dy}{dx}$ par sa valeur $\dfrac{\alpha y}{x}$ et qu'on chasse ensuite le dénominateur
$x$. Pour que l'équation $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$ soit satisfaite, il est
donc nécessaire que les deux équations (1) et (2) aient lieu en
même temps, sans qu'on soit obligé d'attribuer à $x$ une valeur particulière;
et comme l'équation (1) est irréductible, une de ses racines,
$y_1$, par exemple, ne peut satisfaire à l'équation (2), sans que toutes
les autres $y_2$, $y_3$,\dots $y_\mu$, n'y satisfassent aussi, Donc, si l'intégrale particulière
$y = y_1$, vérifie l'équation $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$, les intégrales particulières
$y = y_2$, $y = y_3$,\dots $y = y_\mu$, la vérifieront également. Les racines
$y_1$, $y_2$,\dots $y_\mu$ étant différentes de zéro par la nature même de l'équation
irréductible (1), il résulte de la théorie des équations linéaires
que la valeur de $y$ s'obtiendra en multipliant $y_1$ par une certaine
constante $C_1$, ou bien en multipliant $y_2$,\dots $y_\mu$ par des constantes
$C_2$,\dots $C_\mu$: on voit donc qu'il est permis de poser à la fois
\[
y = C_1y_1,\quad y = C_2y_2,\quad y = C_3y_3,\ldots y = C_\mu y_\mu:
\]
je multiplie ces équations membre à membre, et en représentant par
$C^{\mu}$ le produit $C_1C_2C_3 \ldots C_\mu$, je trouve
\[
y^\mu = C^{\mu} y_1y_2y_3\ldots y_\mu ,
\]
d'où je tire
\[
y = C\sqrt[\mu] {y_1y_2y_3\ldots y_\mu}.
\]
Le produit $y_1y_2y_3\ldots y_\mu$ n'est pas nul, puisque l'équation (1) étant
irréductible, n'a pas de racine nulle; c'est d'ailleurs une fonction rationnelle
et symétrique de $y_1$, $y_2$, etc.\ et par suite une fonction
rationnelle de $x$, que l'on peut représenter par le quotient $\dfrac{X}{Y}$ de deux
polynomes entiers premiers entre eux. Donc si la fonction $y = x^\alpha$
peut s'exprimer algébriquement, sa valeur sera de la forme
\[
y = C \sqrt[\mu]{\dfrac{X}{Y}}.
\]
\marginpage % *** File: 096.png
En différentiant cette valeur, je trouve
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\mu} \ldot \frac{YX'- XY'}{XY},
\]
et, comme j'ai d'ailleurs $x \dfrac{dy}{dx} = \alpha y$, j'en conclus
\[
\frac{x}{\mu}(YX' - XY') = \alpha XY.
\]

Cette équation nous prouve que $XY$ est divisible par $x$, et que
par conséquent un des deux facteurs $X$ ou $Y$ l'est aussi; car ils ne
peuvent pas l'être tous deux à la fois, puisqu'on les suppose premiers
entre eux. Admettons d'abord que $\dfrac{X}{x}$ soit une fonction entière. Il est
alors permis de faire $X = Zx^n$, $n$ étant un nombre entier $> 0$ et $Z$
un nouveau polynome non divisible par $x$: on a donc
\[
X' = nZx^{n-1} + Z'x^n.
\]
Portant cette valeur et celle de $X$ dans l'équation précédente, on
obtient
\[
\frac{x}{\mu}(nYZx^{n-1} + YZ'x^n - ZY'x^n) = \alpha YZx^n,
\]
équation qu'on peut écrire ainsi
\[
\Big(\frac{n}{\mu} - \alpha\Big)YZ = \frac{x}{\mu}(ZY' - YZ'),
\]
et dont l'absurdité est manifeste toutes les fois que $\alpha$ est une constante
irrationnelle ou imaginaire. En effet, dans cette hypothèse, le
coefficient $\dfrac{n}{\mu} - \alpha$, ne peut pas être nul, puisqu'en posant $\alpha = \dfrac{n}{\mu}$ la
valeur de $\alpha$ serait le quotient de deux nombres entiers réels. Par conséquent
le premier membre, où se trouvent les deux facteurs $Y$ et $Z$
premiers avec $x$, est aussi premier avec $x$, tandis que dans le second
membre, ce facteur $x$ est au contraire mis en évidence. En posant
$Y = Zx^n$, on arrivera de même à une équation absurde, savoir,
\[
\Big(\frac{n}{\mu} + \alpha\Big)XZ = \frac{x}{\mu}(ZX' - XZ').
\]
\marginpage % *** File: 097.png
Donc $y$ ou $x^n$ ne peut pas avoir une valeur de la forme $C \sqrt[\mu]{\dfrac{X}{Y}}$: donc
$x^\alpha$ ne peut s'exprimer par aucune fonction algébrique de $x$. Il est
d'ailleurs aisé de voir que cette quantité peut être représentée par des
exponentielles et des logarithmes, puisque l'on a $x^\alpha =  e^{\alpha \log x}$.

16.~Viennent ensuite les exponentielles dont la base et l'exposant
à la fois sont des fonctions de la variable, exponentielles dont la
quantité $x^x$ nous offre un exemple. Il est bien facile de prouver que
l'on n'a pas $x^x = y$, $y$ étant une fonction algébrique; car en différentiant
cette équation, on trouverait
\[
y(1 + \log x) = y' ,
\]
d'où l'on déduirait log $x = \dfrac{y'}{y} - 1 = \textit{fonction algébrique de } x$,
ce qui est absurde. Mais cette fonction $x^x$, et la fonction plus
compliquée $q^p$ dans laquelle $p$ et $q$ sont deux fonctions algébriques
quelconques de $x$, peuvent s'écrire sous forme finie avec les signes
logarithmiques et exponentiels, puisque l'on a
\[
x^x = e^{x \log x},\quad q^p = e^{p \log q}.
\]

17.~Je m'occuperai en dernier lieu des fonctions circulaires. Et d'abord
s'il s'agit du cosinus, on a par une formule connue d'Euler
\[
\cos x = \frac{e^{x\sqrt{-1}} + e^{-x\sqrt{-1}}}{2} :
\]
donc la quantité $\cos x$ s'exprime en exponentielles imaginaires, et il
en est de même de $\sin x$ et des autres lignes trigonométriques,
puisque l'on a
\[
\sin x = \frac{e^{x\sqrt{-1}} - e^{-x\sqrt{-1}}} {2\sqrt{-1}}, \;\etc
\]
Il nous sera aisé de prouver en passant que ces lignes trigonométriques
ne sont point exprimables en fonction algébrique de $x$, car si
l'on avait par exemple $\cos x= f(x)$, $f$ dénotant une fonction algébrique,
\marginpage % *** File: 098.png
on aurait aussi
\[
\frac{e^{x\sqrt{-1}} + e^{-x\sqrt{-1}}}{2} = f(x) ,
\]
et il en résulterait
\[
e^{x\sqrt{-1}} = f(x) \pm  \sqrt{f(x)^2 - 1},
\]
c'est-à-dire $e^{x\sqrt{-1}} = \textit{une fonction algébrique de } x$, ce qui ne se peut.

Les fonctions trigonométriques inverses ne sont pas non plus algébriques, mais elles s'expriment par des logarithmes au moyen des
formules de Jean Bernouilli
\begin{align*}
\arcsin x  &= \frac{1}{\sqrt{-1}} \log (x\sqrt{-1} +\sqrt{1-x^2}),\\
\arctang x &= \frac{1}{2\sqrt{-1}} \log \left(\frac{1+x\sqrt{-1}}{1-x\sqrt{-1}}\right).\\[-0.5ex]
\multispan{2}{\leaderfill}
\end{align*}
En résumé, les fonctions que l'on rencontre dans les éléments
peuvent toutes s'écrire sous forme finie à l'aide des signes algébriques,
exponentiels et logarithmiques; ce que nous nous proposions
d'établir.

\mysection{§ V.}

\begin{center}\emph{Comment on peut reconnaître d'une manière précise à quelle espèce
appartient une fonction finie explicite donnée.}\end{center}

18.~D'après la classification des fonctions finies explicites adoptée
par nous au paragraphe deuxième de ce mémoire, une fonction finie
explicite de la $n$\iieme\ espèce ne peut renfermer dans chacun de ses termes
plus de $n$ opérations transcendantes portant successivement l'une sur
l'autre; mais de ce qu'une fonction finie explicite renferme un ou
plusieurs termes affectés de $n$ opérations transcendantes successives,
il n'en résulte pas nécessairement qu'elle appartienne à la $n$\iieme\ espèce:
\marginpage % *** File: 099.png
au contraire il peut arriver qu'elle appartienne à une espèce inférieure
à la $n$\iieme\ ou même qu'elle soit purement algébrique. Aussi avant
d'affirmer qu'une fonction finie donnée appartient à une espèce ou
à une autre, est-il nécessaire de réduire autant que possible les signes
exponentiels et logarithmiques, qui se succèdent et qui souvent
peuvent s'entre-détruire.

Si vous considérez, par exemple, les fonctions $\log (xe^x)$, $\log ({e^x}^n)$,
qui sous leur forme actuelle paraissent appartenir à la seconde espèce,
vous n'aurez qu'à les écrire ainsi $\log (xe^x) = \log x + x$,
$\log ({e^x}^n) = x^n$, pour reconnaître que l'une d'elles est de première
espèce et que l'autre est purement algébrique.

Ces réflexions conduisent à un problème nouveau difficile autant
qu'utile et dont voici l'énoncé: \emph{Étant donnée une fonction
finie explicite, trouver une méthode exacte qui fasse connaître avec
certitude à quelle espèce cette fonction donnée appartient}. Sans essayer
de traiter ce problème dans toute sa généralité, nous allons montrer,
par des exemples choisis, quels principes on doit employer pour le
résoudre dans chaque cas particulier. Mais, avant d'entrer en matière,
il faut démontrer un théorème dont nous ferons, dans ce qui va
suivre, un fréquent usage.

19.~Soient $A$, $B$,\dots $C$, des constantes quelconques et $x$ une variable
indépendante: je dis qu'il est impossible de trouver des fonctions
$u$, $v$,\dots $w$, algébriques en $x$ et telles que l'on ait
\begin{align*}
A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w = x.\tag{1}
\end{align*}
Pour établir ce théorème, nous ferons voir que l'équation (1), si
elle était admise ($u$, $v$,\dots $w$ désignant des fonctions algébriques de
$x$) conduirait à une absurdité.

En effet soit $\theta$ une fonction algébrique de $x$, telle que toutes les
quantités $u$, $v$,\dots $w$ puissent être regardées comme des fonctions
rationnelles de $x$ et $\theta$, et qu'il en soit de même par conséquent de
leurs dérivées $u'$, $v'$,\dots $w'$. Il existe une infinité de fonctions $\theta$ qui
jouissent de cette propriété, et l'on peut prendre, par exemple,
$\theta = \alpha u + \beta v + \dotsb +\gamma w$, $\alpha$, $\beta$,\dots$\gamma$, étant des constantes arbitraires.
Puisque $\theta$ est algébrique en $x$, on peut regarder cette quantité
comme la racine d'une équation irréductible $f(x,\theta) = 0$, $f(x, \theta)$
\marginpage % *** File: 100.png
désignant un polynome entier par rapport à $x$ et $\theta$, et de degré $\mu$
relativement à cette dernière lettre.

Cela posé, en différentiant l'équation (1), il vient
\[
\frac{Au'}{u} + \frac{Bv'}{v} + \dotsb + \frac{Cw'}{w} = 1.
\]
D'après ce qu'on a dit plus haut, le premier membre de cette équation
est une fonction rationnelle de $x$ et $\theta$, ou peut facilement se transformer
en une telle fonction. Ce premier membre doit être égal à
l'unité, en prenant pour $\theta$ une des racines de l'équation irréductible
$f(x, \theta) = 0$: donc, par le théorème du \no 3, il devra aussi se réduire
à l'unité pour toutes les autres racines.

D'après cela, en nommant $\theta_1$, $\theta_2$,\dots $\theta_{\mu}$ les $\mu$ racines de l'équation
$f(x, \theta) = 0$, puis $u_1$, $v_1$\dots $w_1$, $u'_1$, $v'_1$,\dots $w'_1$ les valeurs correspondantes
de $u$, $v$,\dots $w$, $u'$, $v'$,\dots $w'$, on aura quel que soit $x$:
\begin{alignat*}{4}
&\frac{Au'_1}{u_1}     &&+ \frac{Bv'_1}{v_1}     &&+ \dotsb + \frac{Cw'_1}{w_1}     &&= 1,\\
&\frac{Au'_2}{u_2}     &&+ \frac{Bv'_2}{v_2}     &&+ \dotsb + \frac{Cw'_2}{w_2}     &&= 1,\\
&\frac{Au'_\mu}{u_\mu} &&+ \frac{Bv'_\mu}{v_\mu} &&+ \dotsb + \frac{Cw'_\mu}{w_\mu} &&= 1,
\end{alignat*}
Je multiplie ces équations par $dx$ et je les ajoute, ce qui, en ayant
égard à la relation
\[
\frac{u'_1}{u_1} dx + \frac{u'_2}{u_2} dx + \dotsb + \frac{u'_\mu}{u_\mu} dx = d \log(u_1 u_2 \dots u_\mu) ,
\]
me donne
\[
A d \log (u_1 u_2 \ldots u_\mu)
+ B d \log (v_1 v_2 \ldots v_\mu) + \dotsb
+ C d \log (w_1 w_2 \ldots w_\mu) = \mu dx :
\]
or les produits $u_1 u_2 \ldots u_{\mu}$, $v_1 v_2 \ldots v_{\mu}$, $w_1 w_2 \ldots  w_{\mu}$ sont des fonctions
rationnelles de $\alpha$, $\theta_1$, $\theta_2$\dots $\theta_{\mu}$, symétriques en $\theta_1$, $\theta_2$\dots $\theta_{\mu}$: donc,
par un théorème connu, on peut les exprimer rationnellement en $x$
et les représenter respectivement par $X$, $Y$,\dots $Z$.

D'où l'on voit que si l'équation (1) était possible, on pourrait trouver
\marginpage % *** File: 101.png
des fonctions rationnelles de $x$, savoir $X$, $Y$,\dots $Z$, propres à satisfaire
à l'autre équation
\begin{align*}
Ad\log X + Bd\log Y + \dotsb + Cd \log Z = dx.\tag{2}
\end{align*}
On sait (\no 19) que toute fonction rationnelle $X$ peut se mettre sous
la forme
\begin{align*}
X &= M(x - a)^\alpha(x - b)^\beta \ldots(x - c)^\gamma,
\end{align*}
et on pourra écrire de même
\begin{align*}
Y &= M_1(x - a)^{\alpha_1}(x - b)^{\beta_1}\ldots(x - c)^{\gamma_1},\\[-1ex]
\multispan{2}{\leaderfill}\\
Z &= M_i(x - a)^{\alpha_i}(x - b)^{\beta_i}\ldots(x - c)^{\gamma_i}.
\end{align*}
En posant, pour abréger,\label{err101}
\begin{align*}
A\alpha + B\alpha_1 + \dotsb + C\alpha_i &= N,\\
A\beta + B\beta_1 + \dotsb + C\beta_i &= P,\\[-1ex]
\multispan{2}{\leaderfill}\\
A\gamma + B\gamma_1 + \dotsb + C\gamma_i &= Q,
\end{align*}
l'équation (2) deviendra donc
\[
\frac{N}{x - a} + \frac{P}{x - b} + \dotsb +\frac{Q}{x - c} = 1.
\]
Quelques-uns des coefficients $N$, $P$,\dots $Q$ peuvent être nuls; mais
comme tous ne doivent pas s'annuler à la fois, supposons $N$ différent
de zéro. L'équation précédente peut s'écrire ainsi
\[
\frac{N}{x - a} = 1 - \frac{P}{x - b} - \dotsb - \frac{Q}{x - c}:
\]
je puis représenter la quantité
\[
1 -\frac{P}{x - b} - \dotsb - \frac{Q}{x - c},
\]
par
\[
\frac{U}{(x - b)\ldots(x - c)},
\]
\marginpage % *** File: 102.png
$U$ étant une fonction entière de $x$: j'aurai donc
\[
\frac{N }{x -a} = \frac{U}{(x - b)\ldots(x - c)},
\]
d'où je tire enfin
\[
N(x - b)\ldots(x - c) = U (x - a),
\]
équation absurde, puisque le second membre est divisible et le
premier membre non divisible par $x - a$. Donc, en partant de
l'équation (1) supposée possible, on est inévitablement conduit à une
absurdité: donc une telle équation ne peut pas exister.

En nommant $u$, $v$,\dots $w$, $t$, des fonctions algébriques quelconques
de $x$ dont la dernière ne se réduit pas à une simple constante, on
ne pourra pas davantage avoir l'équation
\[
A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w = t,
\]
car rien n'empêchera de regarder alors $x$ comme une fonction algébrique
de $t$, et par suite $u$, $v$,\dots $w$, comme des fonctions algébriques
de cette même lettre $t$, ce qui réduira la nouvelle équation à la
forme de l'équation (1).

20.~Actuellement considérons la fonction $x^\alpha$, $\alpha$ étant une constante
irrationnelle ou imaginaire: cette fonction, comme nous l'avons vu
\no 15, n'est point algébrique; elle est transcendante. Mais à quelle
espèce appartient-elle? C'est là ce que nous ignorons jusqu'ici. Concevons
donc qu'on nous propose de décider par une méthode certaine
dans quelle classe cette fonction doit être rangée. D'abord, puisque
l'on a $x^\alpha = e^{\alpha \log x}$, la quantité $x^\alpha$ que nous désignerons désormais
par $y$ est tout au plus de seconde espèce, et elle sera vraiment de
seconde espèce si nous montrons qu'elle ne peut pas descendre à la
première. C'est ce que nous allons faire à l'instant.

Pour développer notre démonstration dans laquelle, suivant notre
usage, nous aurons recours au principe de la réduction à l'absurde,
admettons qu'il soit possible de trouver une fonction de première
espèce équivalente à $y$. Réduisons à son minimum le nombre des transcendantes
monomes contenues dans cette fonction, et soit, s'il est possible,
$\theta = \log u$ une de ces transcendantes, $u$ étant algébrique; la valeur
\marginpage % *** File: 103.png
de $y$ dans cette hypothèse sera de la forme
\[
y = \phi (x,\theta ),
\]
la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$ et contenant en outre,
algébriquement aussi, d'autres transcendantes monomes dont il est
inutile de parler ici. Il viendra donc
\[
\frac{dy}{dx} = \phi'_x (x,\theta ) + \phi '_\theta  (x,\theta)\frac{u'}{u}.
\]
Mais l'équation $y = x^\alpha$ nous donne d'autre part \label{nonerr103}$\dfrac{dy}{ydx} = \dfrac{\alpha }{x}$: il en
résulte, en remplaçant $y$ et $\dfrac{dy}{dx}$ par leurs valeurs:
\[
\frac{{\phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta  (x,\theta)\dfrac{{u'}}{u}}}{{\phi (x,\theta )}} = \frac{\alpha }{x}.
\]
Cette équation étant algébrique par rapport à $\theta$ et par rapport aux
autres transcendantes contenues dans $\phi (x,\theta )$, on peut y remplacer $\theta$
par $\mu  + \theta$, $\mu$ étant une constante indéterminée: cela nous donne
\[
\frac{\phi '_x (x,\mu + \theta ) + \phi '_\theta  (x,\mu  + \theta )\dfrac{u'}{u}}{{\phi (x,\mu+\theta )}} = \frac{\alpha }{x}: %[** errata]
\]
ainsi l'on a quel que soit $\mu$
\[
\frac{{d\phi (x,\mu  + \theta )}}{{\phi (x,\mu+\theta )}} = \frac{{\alpha dx}}{x}, %[** errata]
\]
et par suite
\[
\frac{{d\phi (x,\mu  + \theta )}}{{\phi (x,\mu  + \theta )}} = \frac{{d\phi (x,\theta )}}{{\phi (x,\theta )}}.
\]
J'intègre cette dernière équation, et déterminant la constante à l'aide
d'une valeur particulière $x = b$ à laquelle répond $\theta  = a$, j'obtiens
\[
\phi (b,a)\phi (x,\mu  + \theta ) = \phi (x,\theta )\phi (b,\mu  + a).
\]
\marginpage % *** File: 104.png
Cette équation subsistant pour toutes les valeurs de $\mu$, je puis la
différentier par rapport $\mu$ et poser ensuite $\mu = 0$; or l'équation nouvelle
\[
\phi (b,a)\phi'_\theta (x,\theta ) = \phi (x,\theta )\phi'_a (b,a),
\]
qui résulte de cette opération, est algébrique par rapport aux transcendantes
$\theta$, etc., en sorte que l'on peut remplacer $\theta$ par une lettre
indéterminée $i$ considérée comme variable indépendante. Il vient par-là
\[
\phi (b,a)\phi '_i (x,i) = \phi (x,i)\phi '_a  (b,a),
\]
c'est-à-dire
\[
\frac{{\phi '_i (x,i)}}{{\phi (x,i)}} = \frac{{\phi '_a  (b,a)}}{{\phi (b,a)}}.
\]
Multipliant donc les deux membres de l'équation que je viens d'écrire
par $di$, puis intégrant par rapport à $i$ et déterminant la constante
arbitraire produite par l'intégration à l'aide d'une valeur particulière
$i =i_0$, on a
\[
\log \phi (x,i) = \frac{{\phi '_a  (b,a)}}{{\phi (b,a)}}(i - i_0) + \log \phi (x,i_0),
\]
résultat absurde, puisque le logarithme d'une fonction algébrique de
$i$ se trouverait exprimé par une autre fonction algébrique de cette
même lettre $i$. Donc si la quantité $y$ est exprimable par une fonction
transcendante de première espèce, cette fonction ne peut contenir
aucun logarithme, mais seulement des exponentielles.

Continuons à la représenter par $ \phi (x,\theta )$, $\theta$ étant non plus un logarithme,
mais bien une exponentielle de la forme $e^u$, $u$ étant algébrique,
et cette exponentielle entrant algébriquement seule ou avec
d'autres dans la fonction $ \phi (x,\theta )$. L'absurdité de l'équation $ y = \phi (x,\theta )$
ainsi définie sera facile à établir: on en déduit en effet
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta  (x,\theta )\theta u',
\]
\label{err104}à cause de$ \dfrac{{dy}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$ il vient d'après cela
\[
\frac{{\phi '_x (x,\theta ) + \phi '_\theta  (x,\theta )\theta u'}}{{\phi (x,\theta )}} = \frac{\alpha }{x};
\]
\marginpage % *** File: 105.png
équation algébrique par rapport aux exponentielles $\theta$, etc., où l'on
peut changer $\theta$ en $\mu \theta$ ($\mu$ étant une lettre indéterminée), ce qui fournit
\[
\frac{\phi '_x (x,\mu \theta ) + \phi '_{\mu \theta } (x,\mu \theta )\mu \theta u'}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{\alpha}{x},
\]
ou
\[
\frac{d\phi (x,\mu \theta )}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{\alpha dx}{x},
\]
on conclut de là que
\[
\frac{d\phi (x,\mu \theta )}{\phi (x,\mu \theta )} = \frac{d\phi (x,\theta )}{\phi (x,\theta)}.
\]
Intégrant cette dernière équation et nommant $a$ la valeur de $\theta$ qui
répond à une valeur quelconque $x = b$, on obtient
\[
\phi (b,a)\phi (x,\mu \theta ) = \phi (x,\theta )\phi (b,\mu a).
\]
Je différentie par rapport à $\mu$ l'équation que je viens d'écrire; je
fais ensuite $\mu  = 1$, et j'ai
\[
\theta \phi (b,a)\phi '_\theta  (x,\theta ) = a\phi (x,\theta )\phi '_a (b,a),
\]
équation dans laquelle on peut (\no 9) remplacer $\theta$ par une lettre
indéterminée $i$, ce qui donne
\[
\frac{\phi '_i (x,i)}{\phi (x,i)} = \frac{a\phi _a (b,a)}{\phi (b,a)\ldot i}.
\]
Je pose pour abréger
\[
\frac{a\phi'_a (b,a)}{\phi (b,a)} = m,
\]
et je multiplie par $di$ les deux membres de l'équation
\[
\frac{\phi '_i (x,i)}{\phi (x,i)} = \frac{m}{i}:
\]
j'intègre ensuite par rapport à $i$: en représentant par $i_0$ une valeur
particulière quelconque de $i$, j'obtiens
\[
\label{err105}\phi (x,i) = \frac{\phi (x,i_0)}{i_0 ^m }\ldot i^m.
\]
\marginpage % *** File: 106.png
Puisque la lettre $i$ est tout-à-fait indéterminée, et que l'équation
précédente est identique par rapport à cette lettre, rien n'empêche
de faire $i = \theta = e^u$. C'est ainsi que l'on trouve
\[
y \text{ou } \phi(x, \theta) = \frac{\phi(x, i_0)}{i_0^m} \ldot e^{mu}.
\]

Ainsi notre analyse nous fait connaître la seule forme sous laquelle
une exponentielle $e^u$ ou $e^{mu}$ pourra entrer dans l'expression de $\phi (x, \theta)$.
Cette exponentielle s'y trouve nécessairement en facteur à tous les
termes: il en est de même des autres exponentielles  $e^v\dots e^w$, ou si
l'on veut  $e^{nv}$,\dots $e^{pw}$ ($n$,\dots $p$  étant des constantes et  $v$,\dots $w$, des fonctions
algébriques de  $x$), que l'on regardera comme renfermées dans
cette fonction. D'ailleurs en posant  $mu + nv + \dotsb + pw = t$, le
produit  $e^{mu} \ldot e^{nv} \ldots e^{pw}$  sera égal à  $e^t$: donc la fonction  $\phi (x, \theta)$  ne peut
être que de la forme
\[
\phi (x, \theta) = ze^t,
\]
$z$  et  $t$  désignant des fonctions algébriques de $x$: puisque l'on a
à la fois  $\phi (x, \theta) = x^\alpha$ et  $\phi(x, \theta) = ze^t$, il vient
\[
x^\alpha = ze^t,
\]
d'où l'on tire, en prenant les logarithmes,
\[
\alpha \log x - \log z = t:
\]
or on a vu au \no 19 qu'une équation de cette dernière forme est
toujours impossible. A la vérité dans ce \no 19 la fonction $t$ est supposée
ne pas pouvoir se réduire à une simple constante. Mais c'est ce
qui a lieu ici, car si $t$ était une constante, le produit  $ze^t$  et par suite
la fonction  $x^\alpha$  se trouverait fonction algébrique de  $x$,  ce qui n'est pas
(\no 15).

Concluons de cette discussion que, toutes les fois que l'exposant  $\alpha$
est irrationnel ou imaginaire, la fonction  $x^\alpha$  est transcendante de
seconde espèce, en sorte qu'on ne peut espérer de l'exprimer ni par
des quantités algébriques, ni par des transcendantes de première espèce.

Comme second exemple, proposons-nous de chercher à quelle espèce
appartient la fonction  $\log \log x$.

\marginpage % *** File: 107.png
D'abord il est clair qu'on ne peut pas avoir
\[
\log \log x =\textit{une fonction algébrique }f(x),
\]
car on en déduirait par la différentiation
\[
\frac{1 }{x \log x} = f'(x),
\]
et par suite $\log x=$ une fonction algébrique de $x$, ce qui est absurde.

A présent je dis que la quantité $\log \log x$ n'est équivalente à aucune
fonction transcendante de première espèce, ou (ce qui revient au
même) je dis qu'on ne peut pas avoir $\log \log x =$ une fonction
algébrique de $x$, d'une ou de plusieurs exponentielles de la forme $e^u$,
et d'un ou de plusieurs logarithmes de la forme $\log u$, $u$ étant algébrique
en $x$.

Car si une telle équation est possible, nommons $\theta$ ou $e^u$ une
des exponentielles que l'on suppose contenues dans son second membre,
et pour mettre $\theta$ en évidence posons simplement
\[
\log \log x= \phi(x, \theta),
\]
la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$ et contenant en outre,
algébriquement aussi, des exponentielles et des logarithmes dont il est
inutile de faire mention. Nous supposerons (ce qui est permis) le
nombre des exponentielles renfermées dans la fonction $\phi$ réduit à
son minimum, et dès-lors il ne pourra exister entre ces exponentielles,
la variable $x$, et des logarithmes de première espèce, aucune
équation algébrique, à moins que cette équation ne soit identique.

On produira une équation du genre de celle dont nous venons de
parler, en différentiant l'égalité
\[
\log \log x = \phi(x, \theta),
\]
ce qui donnera
\[
\dfrac{1}{x \log x }= \phi'_x(x,\theta) + {\phi'}_\theta(x,\theta) \theta u'.
\]
Dans cette dernière équation qui doit être identique, on pourra
\marginpage % *** File: 108.png
donc remplacer $\theta$ par $\mu \theta$, $\mu$ étant une lettre indéterminée: il viendra
ainsi
\[
\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\theta) + \phi_{\mu\theta}'(x,\mu\theta)\mu\theta u',
\]
d'où l'on conclut aisément
\[
d\phi (x, \mu\theta) = d\phi (x, \theta),
\]
le signe $d$ indique une différentielle totale prise par rapport à $x$
et par rapport à $\theta$ qui est fonction de $x$. Intégrant donc et déterminant
la constante arbitraire à l'aide d'une valeur particulière $x = b$,
à laquelle répond $\theta = a$, on aura
\[
\phi (x, \mu \theta) = \phi (x, \theta) + \phi (b, \mu a) - \phi (b, a),
\]
équation de laquelle je déduis, en différentiant par rapport à $\mu$, et
posant ensuite $\mu = 1$,
\[
\theta \phi'_\theta (x, \theta) = a \phi'_a (b, a).
\]
Ici, puisque l'équation est algébrique par rapport à $\theta$ et aux autres
transcendantes contenues dans la fonction $\phi$, je puis remplacer $\theta$ par
une variable indépendante $i$. J'obtiens de la sorte
\[
\phi_i'(x,i)di = \frac{a\phi_a'(b,a)di}{i},
\]
d'où je conclus, en intégrant par rapport à $i$ et représentant par $i_0$ une
valeur particulière de $i$,
\[
\phi (x, i) = a\phi_a' (b, a)(\log i - \log i_0) + \phi(x, i_0):
\]
or, si la dérivée $\phi_a' (b, a)$ n'est pas nulle, cette équation est absurde,
puisqu'elle fournit pour $\log i$ une valeur algébrique en $i$, et si l'on
suppose $\phi_a' (b, a) = 0$, elle donne
\[
\phi (x, i) = \phi (x, i_0),
\]
c'est-à-dire que la quantité $\phi (x, i)$ est indépendante de $i$: donc l'exponentielle
$\theta$ n'entre pas dans la quantité $\phi (x, \theta)$, d'où résulte immédiatement
\marginpage % *** File: 109.png
que cette quantité ne peut renfermer aucune exponentielle.

Si donc la valeur de $\log \log x$ est exprimable par une transcendante
de première espèce, elle ne pourra contenir que des logarithmes
et point d'exponentielles. Soit $\theta = \log u$ l'un de ces logarithmes,
$u$ étant algébrique. Pour mettre $\theta$ en évidence, nous
écrirons simplement suivant notre usage
\[
\log \log x = \phi(x, \theta),
\]
la fonction $\phi$ étant algébrique par rapport à $\theta$.

Les logarithmes qui entrent dans cette fonction $\phi$ ou portent sur
la simple variable $x$ et sont de la forme $\log x$, ou portent sur des
quantités algébriques différentes de $x$. Rien ne m'empêche de supposer
le nombre de ces derniers réduit à son minimum, et dès-lors il
ne pourra exister aucune relation algébrique entre eux et les deux
quantités $x$ et $\log x$. On s'en convaincra aisément par un raisonnement
analogue à celui du \no 9. Reprenons donc l'équation
$\log \log x = \phi(x, \theta)$, et supposons que $\theta$ soit différent de $\log x$. En
différentiant cette équation, j'en obtiens une autre, savoir
\[
\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\theta) + \phi_\theta'(x,\theta)\frac{u'}{u},
\]
laquelle est algébrique par rapport à $x$, $\log x$, $\theta$ et par rapport aux
autres transcendantes contenues dans la fonction $\phi$, ce qui me permet
de changer, quel que soit $\mu$, $\theta$ en $\mu + \theta$, et me donne
\[
\frac{1}{x\log x} = \phi_x'(x,\mu+\theta) + \phi_\theta'(x,\mu+\theta)\frac{u'}{u}.
\]
J'égale ces deux valeurs de $\dfrac{1}{x\log x}$, et j'obtiens
\[
\phi_x'(x,\mu+\theta) + \phi_\theta'(x,\mu+\theta)\frac{u'}{u} = \phi_x'(x,\theta)+\phi_\theta'(x,\theta)\frac{u'}{u}.
\]
Multipliant les deux membres par $dx$, et intégrant dans l'hypothèse
que pour $x = b$ on a $\theta = a$, je trouve
\marginpage % *** File: 110.png
\[
\phi(x, \mu + \theta) = \phi(x, \theta) + \phi(b, \mu + a) - \phi(b, a).
\]
Je différentie cette équation par rapport à $\mu$ et je pose $\mu = 0$ après
la différentiation: j'ai ainsi
\[
\phi'_\theta (x, \theta) = \phi'_a(b, a),
\]
relation algébrique par rapport à $\log x$, $\theta$, et où je puis remplacer
$\theta$ par une lettre indéterminée $i$. Multipliant donc par $di$ et intégrant
par rapport à $i$ l'équation nouvelle
\[
\phi'_i(x, i) = \phi'_a(b, a)
\]
à laquelle ce raisonnement conduit, puis désignant par $i_0$ une valeur
particulière quelconque de $i$, je trouve
\[
\phi(x, i) = \phi'_a(b, a)(i - i_0) + \phi(x, i_0).
\]
Dans la fonction $\phi(x, i)$ la quantité $i$ entre donc sous forme linéaire
et avec un coefficient indépendant de $x$. Dans la fonction $\phi(x,\theta)$ la
quantité $\theta$ entrera donc aussi sous forme linéaire avec un coefficient
constant: dès-lors si nous désignons par $\log u$, $\log v$,\dots $\log w$, les
logarithmes autres que $\log x$ entrant dans $\phi(x, \theta)$ et par $A$, $B$,\dots $C$
des constantes, la valeur de $\phi(x,\theta)$ ou $\log \log x$ ne pourra être que
de la forme
\[
\log \log x= A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w + \Psi (x, \log x),
\]
$\Psi(x, \log x)$ étant une certaine fonction algébrique de $x$ et $\log x$.

Pour abréger je pose $\log x = \zeta$: il vient
\[
\log \zeta = A \log u + B \log v + \dotsb + C \log w + \Psi(x, \zeta),
\]
d'où je déduis, en différentiant et observant que $d\zeta = \dfrac{dx}{x}$,
\[
\frac{1}{x\zeta} = \frac{Au'}{u}+\frac{Bv'}{v}+ \dotsb +\frac{Cw'}{w}+\Psi'_x(x,\zeta)+\frac{1}{x}\Psi'_\zeta(x,\zeta):
\]
\marginpage % *** File: 111.png
or si cette équation n'est pas identique par rapport à $\zeta$ elle est absurde,
puisqu'elle fournirait alors pour $\zeta$ ou $\log x$ une valeur algébrique
en $x$. Si au contraire elle est identique par rapport à $\zeta$, on
pourra y changer $\zeta$ en $\mu + \zeta$, $\mu$ étant une lettre indéterminée, indépendante
de $x$, et l'on aura
\[
\frac{1}{x(\mu + \zeta)} = A\frac{u'}{u}+ B\frac{v'}{v} + \dotsb + C\frac{w'}{w}
+ \Psi'_x(x, \mu + \zeta) + \frac{1}{x}\Psi'_\zeta(x, \mu + \zeta).
\]
Je multiplie les deux membres de cette équation par $dx$, après quoi
j'intègre par rapport à $x$: je trouve ainsi un résultat de la forme
\begin{align*}
\log(\mu + \zeta) &= A \log\frac{u}{u_0} + B \log\frac{v}{v_0} + \dotsb + C \log\frac{w}{w_0}\\
&+ \Psi(x, \mu +\zeta) - \Psi(b, \mu + a) + \log (\mu + a),
\end{align*}
$b$ désignant une valeur particulière quelconque de $x$, et $a$, $u_0$, $v_0$,\dots $w_0$
étant les valeurs de $\zeta$, $u$, $v$,\dots $w$, pour $x = b$.

Maintenant je différentie par rapport à $\mu$ l'équation que je viens
d'écrire, et posant $\mu = 0$, après la différentiation, j'obtiens
\[
\frac{1}{\zeta} = \Psi'_\zeta (x, \zeta) - \Psi'_a(b, a) + \frac{1}{a},
\]
équation algébrique entre $x$ et $\zeta$, qui doit être identique en $\zeta$ et où
l'on peut par conséquent remplacer $\zeta$ par une lettre indéterminée $i$.
Mais l'équation
\[
\frac{1}{i} = \Psi'_i(x, i) - \Psi'_a (b, a) +\frac{1}{a}
\]
sur laquelle je tombe par le changement de $\zeta$ en $i$, étant multipliée
par $di$ et intégrée par rapport à $i$, me conduit à une autre équation
\[
\log i = \Psi(x, i) - \Psi(x, i_0)- \Big[\Psi'_a(b, a) - \frac{1}{a}\Big](i-i_0) + \log i_0,
\]
dans laquelle $i_0$ est une valeur particulière de $i$, et qui doit être regardée
comme absurde, puisqu'elle fournit pour $\log i$ une valeur
\marginpage % *** File: 112.png
algébrique en $i$. Donc quoi qu'on fasse, on est conduit à une absurdité
en regardant la transcendante $\log\!\log\!x$ %squeeze to avoid overfull line
comme réductible à la première
espèce, ce qu'il fallait démontrer.

Étant donnée une fonction finie explicite quelconque $f(x)$, si l'on
veut décider d'une manière certaine à quelle espèce cette fonction
appartient, il faudra évidemment faire usage d'une méthode semblable
à celle que nous venons d'employer pour les fonctions particulières
$x^x$, $\log \log x$. Cette méthode est fondée sur un principe général: néanmoins,
dans la pratique, il restera à vaincre les difficultés propres à
chaque exemple. Au reste on trouvera là-dessus de nouveaux détails
dans le paragraphe suivant.

\signit{(\emph{La suite à un autre cahier}.)}

\jmpafin

% *** File: 113.png

\jmpapaper{}{}
{Sur le développement de $(1 -2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$;}
{Par MM.~IVORY et JACOBI.}{}
\label{art8}

On a souvent besoin de développer $(1 -2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ en une série ordonnée
suivant les puissances ascendantes de $z$, série dont le terme
général peut être représenté par $X_n z^n$: \label{err113}$x$ et $z$ sont deux variables
comprises entre $-1$ et $+1$. Or M.~Ivory (dans les \emph{Transactions philosophiques})
et ensuite $M$. Jacobi ont mis depuis long-temps la valeur
de $X_n$ sous cette forme très simple
\begin{align*}
X_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldot\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}.\tag{1}
\end{align*}
C'est dans le journal de M.~Crelle (tome II, page 223) que se trouve
le mémoire de M.~Jacobi; mais comme cet excellent recueil est malheureusement
peu répandu en France, nous pensons faire plaisir à nos
lecteurs en transcrivant ici la démonstration de la formule (1).

D'après la formule de Lagrange, en résolvant l'équation
$y- x = zF(y)$ par rapport à $y$, on a
\[
y=x+zF(x)+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n}\ldot\frac{d^{n-1}\ldot F(x)^n}{dx^{n-1}}+ \dotsb ,
\]
d'où résulte
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}=1+z\frac{dF(x)}{dx}+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n}\ldot\frac{d^n\ldot F(x)^n}{dx^2}+ \dotsb.\tag{2}
\end{align*}
Appliquons la formule (2) au cas particulier où $F(y) = \frac{1}{2}(y^2- 1)$:
l'équation dont $y$ dépend devient alors $y - x = \dfrac{z}{2}(y^2- 1)$, et l'on
\marginpage % *** File: 114.png
en déduit $1 - zy = \sqrt{1 - 2xz +z^2}$, puis $\dfrac{dy}{dx}=(1 - 2xz +z^2)^{-\frac{1}{2}}$:
en vertu de la formule (2), on a donc
\[
(1-2xz+z^2)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{z}{2}\ldot \frac{d\ldot(x^n-1)}{dx}\ldot+ \dotsb +\frac{z^n}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n(x^2-1)^n}{dx^n}+ \dotsb.
\]
et par conséquent
\[
X_n=\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n},
\]
C. Q. F. D.

Au reste, la formule (1) étant donnée, on peut en démontrer
l'exactitude de plusieurs manières, et par exemple en faisant usage
de la relation connue $nX_n - (2n - 1)xX_{n - 1} + (n - 1) X_{n - 2} = 0$.

D'après la forme de la fonction $X_n$, les intégrales
$\int\!X_n dx$, $\int\!dx\int\!X_n dx$,\dots\ $\int^n X_n dx^n$, dans lesquelles on prend toujours
$-1$ pour limite inférieure et $x$ pour limite supérieure, s'évanouissent
toutes si l'on pose après l'intégration $x = 1$. Cela étant, soit $y$ une
fonction de $x$ telle que $y$ et ses dérivées ne deviennent pas infinies
lorsque $x$ croît depuis $-1$ jusqu'à $+1$. En intégrant plusieurs fois
par parties, on trouve
\[
\int^{+1}_{-1}yX_ndx = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}\ldot\int^{+1}_{-1}(1-x^2)^n\ldot\frac{d^ny}{dx^n}\ldot dx
\]
équation dont le second membre se réduit à zéro, lorsque $y$ est un
polynome entier de degré inférieur à $n$: si l'on fait en particulier
$y = X_m$, $m$ étant $< n$, on tombe sur la formule bien connue
${\dint^{+1}_{-1}} X_m X_n dx = 0$: en posant $y = X_n$, on a au contraire
${\dint^{+1}_{-1}} X^2_n dx =\dfrac{2}{2n+1}$.

\jmpafin

% *** File: 115.png

\jmpapaper{}{}{Sur la sommation d'une série;}
{Par J. LIOUVILLE.}{}
\label{art9}

En représentant par $X_0 + X_1 z + \etc$ ou par $\sum X_n z^n$ le développement de
$(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$, on sait que $X_0 = 1$ et qu'en général $X_n$
est une fonction entière de $x$ de degré $n$: de plus, si $m$ est différent
de $n$, on a les deux formules connues
\[
\int^{+1}_{-1} X_mX_ndx=0,\quad \int^{+1}_{-1}X_n^2dx=\frac{2}{2n+1}.
\]
Soit $\Psi(x)$ une fonction entière de $x$ de degré $n$: $\Psi(x)$ peut toujours
se mettre sous la forme $A_0 X_0 + \dotsb + A_{n - 1} X_{n - 1} + A_n X_n$, $A_0$,\dots $A_{n-1}$, $A_n$
étant des constantes: cela est évident lorsque $\Psi(x)$ se réduit à une
constante $A_0$, puisque dans ce cas $\Psi(x) = A_0 X_0$: il suffit donc de
prouver que si le théorème énoncé est exact pour les fonctions de
degré $(n - 1)$, il aura lieu pour celles de degré $n$: or en prenant $A_n$,
tel que les coefficients de $x^n$ soient égaux dans $\Psi(x)$ et dans $A_n X_n$,
$\Psi(x) - A_n X_n$ n'étant plus que %[** errata]
de degré $(n - 1)$, devient réductible à la
forme $A_{n - 1} X_{n -1} + \dotsb + A_0 X_0$, d'où résulte $\Psi(x)= A_0 X_0 + $ etc.
En particulier, on peut mettre sous la forme citée $A_0 X_0 + \dotsb + A_n X_n$
une puissance quelconque $x^n$.

Maintenant soit proposé de trouver la valeur $F(x)$ de la série
\[
F(x) = \sum \Big\{\frac{2n+1}{2}\ldot X_n\ldot\int^{+1}_{-1}f(x)X_ndx\Big\},\tag{1}
\]
dans laquelle $n$ est successivement 0, 1, 2, 3,\dots: la variable $x$
\marginpage % *** File: 116.png
reste comprise entre $-1$ et $+1$, et $f(x)$ est une fonction arbitraire
de $x$ qui ne devient jamais infinie. Multiplions par $X_n dx$ et intégrons
de $x = -1$ à $x = +1$ les deux membres de l'équation (1): cette
intégration fera disparaître tous les termes du second membre à l'exception
d'un seul, et l'on trouvera
\[
\int^{+1}_{-1} [F(x) - f(x)] X_n dx = 0 :
\]
en multipliant l'intégrale précédente par une constante $A_n$, il vient
\[
\int^{+1}_{-1} [F(x) - f(x)] A_n X_n dx = 0:
\]
$n$ étant quelconque dans cette équation, on en tire sans peine
\[
\int^{+1}_{-1}[F(x) - f(x)] (A_0 X_0 + \dotsb + A_nX_n)dx = 0,
\]
et par conséquent
\[
\int^{+1}_{-1}[F(x) - f(x)] x^n dx = 0,
\]
d'où par un lemme démontré (page 1 \pdf{art1} de ce volume), on conclut
$F(x) = f(x)$, résultat auquel les géomètres sont arrivés depuis longtemps
par d'autres méthodes moins simples ou moins rigoureuses que
la nôtre. De plus, si l'on désigne par $\sigma$ la somme des $n$ premiers
termes de la série (1), on peut prouver que la différence $f(x) - \sigma$
change de signe au moins $n$ fois lorsque $x$ croît de $-1$ à $+ 1$.

\jmpafin

% *** File: 117.png

\jmpapaperl{MÉMOIRE}{\textsc{sur}}
{Une méthode générale d'évaluer le travail dû au frottement,
entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble,
en se pressant mutuellement.--Application aux engrenages
cylindriques, coniques, et à la vis sans fin;}
{Par M.~COMBES.}
{}
\label{art10}\Droit

Lorsque deux corps $A$ et $B$ se meuvent, en se pressant mutuellement
par des points de leurs surfaces, le travail résistant développé par le
frottement, pendant un temps infiniment petit, est égal à l'intensité
du frottement multipliée par l'étendue du glissement des deux surfaces
l'une sur l'autre, pendant ce même temps. Or l'étendue du
glissement ne sera point changée, si l'on ajoute au mouvement effectif
des deux corps $A$ et $B$, un mouvement commun de translation dans
une direction quelconque, un mouvement de rotation commun autour
d'un axe donné, ou à la fois un mouvement commun de translation
et de rotation. Ce mouvement commun ajouté aux mouvements
effectifs des deux corps ne changera point en effet leur mouvement
relatif, et ne saurait en conséquence altérer l'étendue du glissement.

Cela posé, si l'on connaît d'avance le mouvement de chacun des
corps $A$ et $B$, comme cela a lieu généralement pour les pièces qui
entrent dans la composition des machines, on pourra ajouter au mouvement
effectif, un mouvement commun de translation et de rotation,
égal et directement opposé à celui du corps $A$. Celui-ci sera ainsi réduit
à l'immobilité. Le mouvement du corps $B$, résultant de son mouvement
\marginpage % *** File: 118.png
effectif et du mouvement ajouté, pourra être déterminé,
d'après les lois connues de la composition des mouvements de translation
et de rotation. Le chemin décrit, pendant un instant infiniment
petit, dans ce mouvement composé, par l'élément de la
surface de $B$ en contact avec la surface de $A$, sera aussi déterminé,
sans difficulté, dès que le mouvement résultant sera connu:
et il est évident que ce chemin sera l'étendue du glissement
des deux surfaces l'une sur l'autre, dans le mouvement relatif du
corps $B$ par rapport à $A$ considéré comme immobile, et par conséquent
aussi l'étendue du glissement, dans le mouvement effectif
et simultané des deux corps $A$ et $B$. C'est par ce chemin qu'il
faudra multiplier l'intensité du frottement, pour avoir l'expression
du travail résistant élémentaire dû à cette force.

Cette méthode est d'une application facile, générale et sûre, ainsi
qu'on pourra le voir par l'application que nous en avons faite au cas
de l'engrenage de deux roues d'angle, et d'une vis sans fin avec une
roue. Pour l'appliquer, il faut se familiariser avec les lois de la composition
des mouvements de rotation. On sait que ces lois sont les
mêmes que celles de la composition des forces et des couples de
forces, ce qui peut se démontrer par les notions les plus simples de
la Géométrie. Voici l'énoncé des théorèmes dont chacun de nos
lecteurs pourra facilement trouver la démonstration.

\primop.~Si un corps est animé de deux mouvements de rotation simultanés,
(Pl.~I, fig.~1) autour de deux axes $AB$, $AC$ qui se rencontrent en $A$, et que
des longueurs $Aa$, $Ab$ respectivement proportionnelles aux vitesses
angulaires soient portées sur ces axes, à partir du point $A$, le mouvement
résultant sera un mouvement de rotation autour de l'axe $AD$,
diagonale du parallélogramme construit sur les lignes $Aa$, $Ab$, avec
une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur $Ad$ de cette diagonale.

Les deux axes qui se rencontrent, formant ensemble quatre angles
égaux deux à deux, on portera les longueurs $Aa$ et $Ab$ sur les côtés
comprenant entre eux un de ces quatre angles, choisi de façon qu'un
observateur qui serait placé debout sur le plan des deux axes, et aurait
la face tournée vers l'ouverture de cet angle, vît le corps tourner dans
le même sens, c'est-à-dire de sa gauche à sa droite, ou de sa droite
\marginpage % *** File: 119.png
à sa gauche, autour de chacun d'eux. La rotation du corps autour de
la diagonale, dans le mouvement résultant, sera dans le même sens
que la rotation autour de chacun des axes primitifs, c'est-à-dire de la
gauche à la droite ou de la droite à la gauche de l'observateur.

\secundop.~Si un corps est animé de deux mouvements (Pl.~I, fig.~2) simultanés
de rotation autour de deux axes parallèles $AB$, $CD$, et si ces mouvements
sont dans le même sens, le mouvement résultant est une
rotation autour d'un axe $EF$, parallèle à chacun des deux premiers, situé
dans le même plan, et partageant la distance $IK$ qui les sépare,
en parties $IO$ et $KO$ inversement proportionnelles aux vitesses angulaires
autour des axes $AB$ et $CD$. La vitesse angulaire autour de l'axe
$EF$, dans le mouvement résultant, est égale à la somme des vitesses
angulaires autour des axes primitifs $AB$, $CD$.

(Pl.~I, fig.~3). Si les deux rotations composantes sont de sens contraire,
la rotation résultante a lieu autour d'un axe parallèle à chacun des
deux axes donnés, situé dans leur plan et qui coupe la ligne $IK$ sur
son prolongement au-delà de l'axe, autour duquel la vitesse angulaire
est la plus grande: la vitesse angulaire de la rotation résultante est
égale à la différence entre les vitesses angulaires des rotations composantes.
Elle est dans le même sens que la plus grande de ces vitesses.
Enfin les distances $IO$ et $OK$ sont entre elles dans le rapport inverse
des vitesses angulaires composantes autour des axes $AB$, $CD$.

\tertiop.~Si les deux vitesses angulaires autour de deux axes parallèles
sont égales et de sens contraire, elles forment alors \emph{un couple de
rotations}. Le mouvement résultant est un mouvement de translation,
dans une direction perpendiculaire an plan commun des deux axes,
avec une vitesse égale au produit de la vitesse angulaire, autour
de chacun des axes donnés, par leur distance. Le sens du mouvement
de translation est d'ailleurs donné par le sens des rotations
composantes. Ainsi, si l'on se représente le plan des deux axes
donnés comme horizontal, le mouvement de translation sera vertical
ascendant, ou vertical descendant, suivant que la rotation autour
de l'un des axes tendra à élever au-dessus du plan, ou à abaisser
au-dessous de lui, les points situés sur le second axe.

\quartop.~Une rotation autour d'un axe peut être remplacée par une rotation
\marginpage % *** File: 120.png
égale et de même sens autour d'un axe parallèle, et par un
couple de rotations, équivalent à une translation dans une direction
perpendiculaire au plan des deux axes. Cela permet de composer ensemble
deux rotations autour d'axes non situés dans le même plan,
ou plus généralement, de composer un nombre quelconque de rotations
autour d'axes qui ne se coupent pas, et de les réduire à une
rotation autour d'un axe, et à un couple de rotations équivalent à un
mouvement de translation.

Il est avantageux pour l'étude des machines de se rendre ces théorèmes
familiers; et comme leur démonstration n'exige pas d'autres connaissances
que celles de la Géométrie élémentaire, il serait utile de
les répandre dans l'enseignement inférieur, et de les placer à la suite
des lois de composition des vitesses, ou mouvements de translation.
Nous les avons appliqués au calcul du travail résistant développé par le
frottement, entre des pièces qui entrent habituellement dans la composition
des machines. On pourra comparer cette méthode à celle
suivie par les auteurs qui ont traité le même sujet avant nous. Voir
(Mémoire sur les engrenages, par MM.~Lamé et Clapeyron; \emph{Annales
des Mines}, 1\iere\ série, tome IX, p.~601.---Mémoire sur l'évaluation
du travail dû aux frottements dans les engrenages coniques,
par M.~Coriolis; \emph{Journal de l'École Polytechnique}, cahier
XXV, page 44).

L'évaluation du frottement dans les engrenages cylindriques se
trouve aussi dans les leçons lithographiées de M.~Navier pour l'École
des Ponts et Chaussées, et de M.~Poncelet pour l'École de Metz; j'ai
également donné, depuis quatre ans, dans mes leçons à l'École des
Mines, le frottement dans les engrenages coniques, mais par une méthode
moins simple que celle que j'expose dans ce Mémoire.
\marginpage % *** File: 121.png

\mysection{\emph{Frottement dans les engrenages cylindriques.}}

(Pl.~I, fig.~4). Soient $C$ et $O$ les traces des axes des deux roues d'engrenage
sur le plan commun des deux roues:

$CA=R$ et $OA=R'$ les rayons des circonférences primitives:

$am$, $an$ les contours de deux dents appartenant la première à la
roue ($c$), la seconde à la roue ($o$); ces dents, dans la position actuelle
des roues, se touchent le long de la génératrice dont la trace sur le
plan des roues est en $a$.

La forme des dents doit être telle que, dans le mouvement du système,
les points situés sur les circonférences primitives qui ont pour
rayons $CA$ et $OA$ prennent des vitesses égalés.

Il suit de là, que si nous désignons par $u$ la vitesse d'un point à la
circonférence primitive de l'une et de l'autre roue, \label{err120}la vitesse angulaire
de la roue ($c$) autour de son axe sera $\dfrac{u}{R}$, et la vitesse angulaire de la
roue ($o$) autour de son axe sera $\dfrac{u}{R'}$.

Le mouvement relatif des deux roues ne sera point changé si nous
imprimons à chacune d'elles un mouvement de rotation autour d'un
axe fixe, qui se composera avec le mouvement de rotation qu'elle possède
autour de son axe. Or, si nous imprimons aux deux roues un
mouvement de rotation autour de l'axe $C$, avec une vitesse angulaire
égale à $\dfrac{u}{R}$ dirigée en sens contraire du mouvement de rotation de la
roue ($c$) autour de son axe, cette dernière roue sera réduite au repos,
et la roue ($o$) sera animée de deux mouvements de rotation, l'un autour
de l'axe $C$ avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R}$, et l'autre autour de son
axe propre avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R'}$. Ces deux mouvements
sont de même sens et se composent en un seul. L'axe autour
duquel a lieu le mouvement résultant est parallèle aux deux axes $C$ et
$O$ et sa trace sur le plan des deux roues est en $A$, au point de contact
des deux circonférences primitives; car on a
\marginpage % *** File: 122.png
\[
CA : OA :: \frac{u}{R'} : \frac{u}{R}.
\]
La vitesse angulaire autour de cet axe est égale à la somme $\dfrac{u}{R} + \dfrac{u}{R'}$,
des vitesses angulaires composantes. On voit que le mouvement relatif
de la roue ($o$) par rapport à la roue ($c$) regardée comme immobile,
est un roulement de la circonférence ($o$) sur la circonférence ($c$),
sans glissement, puisque l'axe autour duquel tourne la circonférence
($o$) est toujours au point de contact des deux circonférences.

Il suit de là que la normale commune en $a$ aux deux contours $am$
et $an$ qui se pressent mutuellement, doit passer, pour une position
quelconque du système, par le point de contact $A$ des circonférences
primitives.

En effet, lorsque la roue ($c$) est réduite au repos, sans que le mouvement
relatif soit altéré, l'élément $a$ de la dent $an$ appartenant à la
roue mobile ($o$) doit glisser sur le contour de la dent $am$ appartenant à la
roue fixe ($c$). Or cet élément $a$ de la dent $an$ décrit alors un arc de
cercle infiniment petit dont le centre est en $A$, et dont le rayon est $Aa$.
$Aa$ doit donc être la normale commune en $a$ aux contours des deux
dents en prise, sans quoi elles cesseraient de se toucher, dans le
mouvement relatif, et aussi dans le mouvement effectif du système.
Nous pouvons en outre, connaissant la vitesse angulaire de la roue
mobile ($o$) autour de l'axe instantané $A$, déterminer quelle sera l'étendue
du glissement de l'élément $a$ de la dent $an$ sur le contour de
la dent immobile $an$. En effet, dans un instant infiniment petit $dt$,
l'élément $a$ décrit un arc de cercle égal à
\[
\Big(\frac{u}{R}+\frac{u}{R'} \Big)dt \times Aa = \Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)Aa \times udt.
\]
Or si l'on désigne par $ds$ l'arc infiniment petit de la circonférence
mobile ($o$) qui s'applique pendant l'instant $dt$ sur un arc égal de la circonférence
fixe ($c$), nous aurons $udt = ds$: donc l'étendue du glissement
des contours de deux dents en prise, l'une sur l'autre, pour un arc infiniment
petit $ds$ parcouru par un point de la circonférence primitive
de l'une ou de l'autre roue, est égale à $Aa\Big(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R'}\Big)ds$, expression dans
laquelle $Aa$ est le rayon vecteur variable, qui va du point de contact des
\marginpage % *** File: 123.png
circonférences primitives au point de contact des deux dents en prise.
Si donc nous désignons par $p$ la pression mutuelle des deux contours $am$
et $an$, par $f$ le rapport du frottement à la pression, par $z$ le rayon
vecteur variable $Aa$, l'expression du travail résistant élémentaire dû
au frottement, pour un arc $ds$ dont chacune des circonférences primitives
aura tourné, sera
\[
fp \Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)zds,
\]
et l'intégrale
\begin{gather*}
f\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int^S_0pzds\tag{\emph{a}}
\end{gather*}
exprimera le travail résultant du frottement correspondant à l'arc $S$
dont tourne chacune des circonférences primitives, depuis le moment
où deux dents commencent à se pousser dans la ligne des centres,
jusqu'à ce qu'elles se quittent.

Supposons que la roue ($c$) conduise la roue ($o$), et que la résistance
agissant sur la roue ($o$) soit une force $Q$ agissant tangentiellement
à la circonférence primitive. Appelons $\alpha$
l'angle $aAT$, compris
entre la normale commune $Aa$ et la tangente commune $AT$ aux
deux circonférences primitives, $d$ la distance $Ai$ du point $A$ au point
où la tangente commune en $a$ aux dents en prise coupe la ligne des
centres $OC$; nous aurons, pour déterminer la pression $p$, l'équation
suivante:
\begin{gather*}
Q \times R' = pR' \cos \alpha + fp (R'- d) \sin \alpha,\tag{1}
\end{gather*}
qui exprime que la force $Q$, la pression $p$ et le frottement $fp$ qui résulte
de cette pression, se font équilibre autour de l'axe fixe $O$. $R'-d$
peut être positif, négatif ou nul. Comme l'angle $\alpha$ demeure toujours
très petit, quand les dents des roues sont petites, et comme le rapport $f$
est lui-même une petite fraction, on peut généralement négliger le
dernier terme du second membre de l'équation précédente, et poser
simplement
\[
Q \times R' = pR'\cos \alpha, \qtext{d'où} p = \frac{Q}{\cos \alpha}.
\]
Cette valeur de $p$ portée dans l'expression du travail résistant (\emph{a}) donne
\[
fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big) \int_0^S \frac{zds}{\cos \alpha}.
\]
\marginpage % *** File: 124.png
Si les contours des dents sont de petites portions d'épicycloïdes engendrées
par une circonférence de cercle dont nous désignerons le rayon
par $r$, il est facile de voir que l'on aura
\[
z = 2r \sin \alpha\qtext{et} \alpha = \frac{s}{2r}.
\]
Ces valeurs de $z$ et $\alpha$ étant portées dans l'expression précédente, elle
devient
\[
fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)2r\int_0^S \frac{\sin\dfrac{s}{2r}ds}{\cos\dfrac{s}{2r}} =
-fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)\times 4r^2\log\ldot\cos\frac{S}{2r}.
\]
Or, quand $S$ est un petit arc, on peut développer $\log \cos \dfrac{S}{2r}$ en une
série très convergente, et l'on a
\[
\log \cos \frac{S}{2r} = -\frac{S^2}{8r^2},
\]
en s'en tenant au premier terme de la série, et négligeant la quatrième
puissance et les puissances supérieures de $\dfrac{S}{2r}$.

L'expression du travail résistant dû au frottement devient par la
substitution de cette valeur
\[
\frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R}+\frac{1}{R'}\Big)S^2:
\]
l'arc parcouru par la circonférence de la roue ($o$) correspondant à cette
quantité de travail étant égal à $S$, il s'ensuit que le frottement donne
lieu au même travail résistant qu'une force égale à $\dfrac{1}{2}fQ\Big(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R'}\Big)S$,
qui serait appliquée tangentiellement à la circonférence primitive de
la roue ($o$). La valeur du frottement rapporté à la circonférence de la
roue primitive augmente donc proportionnellement à l'arc $S$ correspondant
à une dent de chaque roue. Si $m$ est le nombre de dents de la
roue ($c$), et $n$ le nombre des dents de la roue ($o$), on a
\marginpage % *** File: 125.png
\[
\begin{aligned}
2\pi R\phantom{'}  &=mS,\vphantom{\frac{0}{0}}\\
2\pi R' &=nS,\vphantom{\frac{0}{0}}
\end{aligned}
\qqtext{d'où}
\begin{aligned}
\frac{1}{R\phantom{'}} &= \frac{2\pi}{mS}, \\
\frac{1}{R'}&= \frac{2\pi}{ns},
\end{aligned}
\]
et
\[
\frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)S = \pi fQ\Big(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\Big).
\]
Telle est l'expression dont on fait usage ordinairement, pour représenter
la force résistante moyenne résultante du frottement, rapportée
à la circonférence de la roue conduite. Elle est généralement trop petite:
mais elle approche d'autant plus d'être exacte que les dents sont
plus petites.

Dans le cas où les contours des dents seraient engendrés, par un
cercle d'un rayon infini, roulant sur l'une et l'autre circonférence,
c'est-à-dire où ils deviendraient des développantes de cercle, le
point de contact serait constamment situé sur la tangente commune
aux deux circonférences primitives. On aurait $\alpha = 0$ et $z = s$: l'expression
\[
fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int_0^S \frac{zds}{\cos\alpha}
\]
deviendrait
\[
fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)\int_0^S sds = \frac{1}{2}fQ\Big(\frac{1}{R} + \frac{1}{R'}\Big)S^2,
\]
c'est-à-dire que la valeur donnée précédemment, pour la force résistante
équivalente au frottement, serait rigoureusement exacte, dans ce
cas, si nous n'avions pas négligé d'abord le second terme du deuxième
membre de l'équation (1).

Il est aisé de voir que, dans le cas dont il s'agit, la valeur exacte
de la pression $p$ est
\[
p = \frac{QR'}{R'-fs}.
\]
L'expression de la force équivalente au frottement est donc encore,
pour ce cas, un peu trop faible.
\marginpage % *** File: 126.png

\mysection{\emph{Engrenage d'une roue et d'une lanterne.}}

(Pl.~I, fig.~5). Soit $O$ l'axe de la lanterne, $c$ le centre, ou la trace de
l'axe de l'un des fuseaux dont nous représenterons le rayon par $r$,
$am$ le contour de la dent qui presse le fuseau. L'élément par lequel
se toucheront la dent et le fuseau, doit être normal au rayon vecteur
$Ac$, mené du point $A$ au centre $c$ du fuseau; ainsi cet élément est
situé en $a$. Conservant d'ailleurs les mêmes notations que dans l'article
précédent, voyons ce que devient l'intégrale ${\dint}\dfrac{zds}{\cos\alpha}$.

L'angle $\alpha$ est la moitié de l'angle $AOc$; la corde
$Ac = z + r = 2 \sin \frac{1}{2} AOc \times R'$: on a donc
\begin{align*}
z + r = 2R'\sin \alpha.\tag{1}
\end{align*}
Si un arc infiniment petit $ds$ de la circonférence ($O$) s'applique sur un
arc égal de la circonférence ($C$), le centre $c$ de la lanterne viendra en
$c'$, $cc'$ étant l'arc infiniment petit $ds$, la corde $Ac$ deviendra $Ac'$, et
si l'on prolonge l'élément $cc'$ suivant la tangente $cb$, il est évident
que l'on aura $dz = Ac' - Ac = ds \cos Acb = ds \cos\alpha$.

D'où
\[
ds=\frac{dz}{\cos\alpha}.
\]
On a donc ${\dint}\dfrac{zds}{\cos\alpha}={\dint}\dfrac{zdz}{\cos^2\alpha}$; et en substituant à $\cos^2 \alpha$ sa valeur\dotfill\\
$\dfrac{4R'^2-(z+r)^2}{4R'^2}$, tirée de l'équation (1), il vient
\[
\int\frac{zds}{\cos\alpha} = 4R'^2\int_0^Z\frac{zds}{4R'^2-(s+r)^2}.
\]
La valeur de cette intégrale est
\[
2R'^2\left[\log\ldot\frac{4R'^2-r^2}{4R'^2-(Z+r)^2}-\frac{r}{R'}\log\ldot\frac{2R'+r+Z}{2R'-r-Z}\times\frac{2R'-r}{2R'+r}\right].
\]
\marginpage % *** File: 127.png
Il est permis de négliger le second terme écrit dans la parenthèse,
d'une part parce que sa valeur est très petite, quand $Z$ est lui-même
petit par rapport à $2R' - r$, et ensuite parce que l'omission de ce
terme donnera pour le frottement une valeur un peu trop grande.

L'expression précédente devient alors
\[
2R'^2 \log\ldot\frac{4R'^2 - r^2}{4R'^2 - (Z + r)^2}.
\]
Pour qu'elle coïncide avec celle obtenue dans le cas des engrenages
épicycloïdaux, il faut, en prenant pour la valeur du logarithme,
le premier terme de son développement en série, qui est
\[
\frac{Z (2r + Z)}{4R'^2 - (r + Z)^2},
\]
négliger au dénominateur $(r + Z)^2$ par rapport à $4R'^2$ et poser au
numérateur
\[
Z(2r + Z) = S^2.
\]
On commet ainsi deux erreurs, généralement dans le même sens, qui
diminuent l'expression du frottement.

Et l'on a
\[
2R'^2 \log \frac{4R'^2 - r^2}{4R'^2 - (Z+r)^2} = \tfrac{1}{2} S^2.
\]
Je ne m'arrêterai pas à discuter l'engrenage d'une roue et d'une crémaillère,
qui est un cas particulier de l'engrenage de deux roues
planes; je passe à l'engrenage de deux roues non situées dans le
même plan, mais dont les axes se rencontrent.

\mysection{\emph{Engrenage de deux roues d'angle.}}

(Pl. 1, fig. 6). Soient $MC$ et $MO$ les deux axes qui se coupent en $M$:
$u$ la vitesse que prennent dans le mouvement du système, les points
situés à la circonférence de l'une et de l'autre roue, $R$, $R'$ les rayons
$CA$ et $OA$ des circonférences primitives:

$\gamma$ l'angle compris entre les plans des deux roues; cet angle $\gamma$ peut
varier de 0 à 180°; il est nul quand les deux roues sont intérieures
\marginpage % *** File: 128.png
l'une à l'autre; il est de 180°, lorsqu'elles sont placées extérieurement
l'une à l'autre dans un même plan,

$\dfrac{u}{R}$, $\dfrac{u}{R'}$, seront les vitesses angulaires des deux roues autour de leurs
axes respectifs.

Si l'on imprime aux deux roues un mouvement de rotation, autour
de l'axe $MC$, avec une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{R}$, et en sens contraire
du mouvement de la roue ($c$), celle-ci sera réduite au repos.
Le mouvement de la seconde roue sera le mouvement résultant
de sa rotation autour de son axe $MO$ et de la rotation autour
de $MC$; portons sur les axes $MC$ et $MO$ deux longueurs $Ma$ et
$Mb$, respectivement proportionnelles aux vitesses angulaires $\dfrac{u}{R}$, $\dfrac{u}{R'}$.
La diagonale du parallélogramme $Maib$, construit sur ces lignes, sera
suivant l'axe autour duquel aura lieu le mouvement de rotation résultant,
et la grandeur de cette diagonale sera égale à la vitesse angulaire
dans ce mouvement; or il est clair que la diagonale sera suivant
la génératrice $MA$, le long de laquelle se touchent les deux surfaces
coniques, ayant leur sommet commun en $M$ et pour bases les circonférences
primitives; en effet les sinus des angles compris entre la
diagonale, et les côtés $Ma$, $Mb$ doivent être entre eux dans le rapport
inverse de ces mêmes côtés, c'est-à-dire dans le rapport de $\dfrac{u}{R'}$ à $\dfrac{u}{R}$,
ou de $R$ à $R'$: or on a $\sin AMC =\dfrac{R}{MA}$, $\sin AMO = \dfrac{R'}{MA}$: ces sinus
étant entre eux comme $R$ est à $R'$, il en résulte que la diagonale du
parallélogramme, ou l'axe du mouvement de rotation résultant, est
suivant $MA$. La vitesse angulaire autour de cet axe est égale à la
longueur $Mi$ de la diagonale, c'est-à-dire à
\begin{align*}
&\sqrt{\overline{Ma}^2+\overline{Mb}^2- 2Ma\times Mb\cos iaM}\\
={}&\sqrt{\frac{u^2}{R^2}+\frac{u^2}{R'^2} - \frac{2u^2}{RR'}\cos\gamma}\\
={}&u\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}.
\end{align*}
On voit donc que le mouvement relatif de la roue ($o$) par rapport à
la roue ($c$), est le même que si le cône ayant son sommet en $M$ et
\marginpage % *** File: 129.png
pour base la circonférence $OA$, roulait, sans glisser, sur le cône ayant
même sommet et pour base la circonférence $CA$.

Il suit de là que si $am$ et $an$ sont les contours de deux dents en
prise (ces dents sont ici des portions de surfaces coniques attachées
aux deux roues, et ayant leur sommet en $M$, lesquelles se touchent
le long d'une génératrice; $am$ et $an$, représentent dans la figure, les
directrices de ces surfaces), la normale commune au point de contact
aux deux contours, devra rencontrer la génératrice $MA$ %[** errata]
par laquelle se touchent les cônes ayant pour bases les cercles primitifs
des deux roues. Appelant z la longueur de la perpendiculaire
abaissée du point $a$, pris au milieu de la longueur de l'élément de
contact, sur $MA$, l'étendue du glissement de la dent $an$ sur la dent
$am$ sera, pendant un instant $dt$, égale à
\[
u\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}\times zdt:
\]
si $ds$ est l'arc infiniment petit de la circonférence ($o$), qui s'applique
pendant l'instant $dt$ sur un arc égal de la circonférence ($c$), l'étendue
du glissement correspondant à l'arc $ds$, dont chacune des circonférences
a tourné dans le mouvement effectif du système, sera exprimée
par
\[
\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}zds;
\]
$p$ désignant la pression mutuelle des dents en prise l'une sur l'autre,
\[
fp\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}zds
\]
sera le travail résistant élémentaire développé par le frottement, et
l'intégrale
\[
f\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2}-\frac{2\cos\gamma}{RR'}}\int_0^Spzds,
\]
sera le travail résistant pour l'arc $S$ parcouru par un point de la circonférence
de l'une ou de l'autre roue, depuis le moment où deux dents
commencent à se pousser dans le plan des axes des roues, jusqu'à
ce qu'elles se quittent.
\marginpage % *** File: 130.png
Soit (Pl. 1, fig. 6 \emph{bis}), le point de contact des deux dents, dans le
plan moyen de la roue conduite ($o$). $Mo$ représentant l'axe de cette
roue, et $MA$ la génératrice de contact des cônes primitifs, $z$ est la
perpendiculaire $am$ abaissée du point $a$ sur $MA$. Or, quand les dents
sont petites, cette ligne $am$ ou $z$ se confond sensiblement avec la
ligne $Aa$, menée du point $a$ au point de contact des circonférences
primitives, et contenue dans le plan moyen de la roue ($o$). En effet, si
nous menons la ligne $ak$, dans le plan de la roue, perpendiculaire au
rayon $Ao$, et si nous joignons les points $m$ et $k$, la ligne $mk$ sera une
perpendiculaire commune aux lignes $MA$ et $ak$. Appelant $\alpha$ l'angle
compris entre la ligne $Aa$, et la tangente commune $AT$ aux deux circonférences
primitives, et $\delta$ le demi-angle au centre du cône $AMo$,
nous aurons les relations
\Gauche
\begin{gather*}
\overline{am\vphantom{k}}^2 = z^2 = \overline{ak}^2 + \overline{mk}^2,\\
mk = Ak \cos\delta = Aa \sin \alpha \cos\delta,\\
ak = Aa cos \alpha,\\
\tag*{d'où}\\
z^2 = \overline{Aa}^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \delta),\\
\tag*{et}\\
\cos aAm= \frac{am}{Aa} = \sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\delta}:
\end{gather*}
\Droit
dans l'engrenage cylindrique, l'angle $\delta = 0$, $\cos \delta = 1$; et l'on a
$z = Aa$, $\cos Aam = 1$; les deux lignes $aA$ et $am$ se confondent.

Dans l'engrenage conique, si les dents sont petites, l'angle $\alpha$ demeurera
toujours très petit. Son sinus sera presque nul et son cosinus
égal à 1, de sorte que les lignes $am$ et $aA$ seront encore très près de
se confondre, et pourront être prises, sans erreur sensible, l'une pour
l'autre la normale commune en $a$ aux dents se confond aussi sensiblement,
dans le même cas, avec $am$ et $Aa$. %[** errata]

Si nous appelons $Q$ la résistance agissant tangentiellement à la
roue conduite ($o$), la valeur approchée de $p$, dans l'hypothèse que la normale commune %[** errata]
se confond avec $Aa$, sera, comme pour l'engrenage cylindrique,
$p = \dfrac{Q}{\cos\alpha}$, et l'expression du frottement sera
\[
fQ\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{R'^2} - \frac{2\cos\gamma}{RR'}}\ldot\int_0^S\frac{zds}{\cos\alpha}.
\]
\marginpage % *** File: 131.png
Cette expression coïncide avec celle obtenue pour l'engrenage plan
de deux roues extérieures l'une à l'autre, lorsque l'on y pose $\gamma = 180°$
et cos $\gamma = -1$.

Dans le cas où les deux roues sont intérieures l'une à l'autre, on
a $\gamma = 0$, $\cos \gamma = 1$, et l'expression précédente devient
\[
fQ \Big(\frac{1}{R} - \frac{1}{R'}\Big) \int_0^S \frac{zds}{\cos\alpha}.
\]
Lorsque les directrices $am$ et $an$ des portions de surfaces coniques,
formant les contours des dents, sont des courbes engendrées par
une circonférence de cercle située dans le plan de la roue ($o$), ce qui
donne pour la courbe $an$ une épicycloïde plane et pour la courbe $am$
une épicycloïde sphérique, on trouvera pour la valeur moyenne du
frottement, considéré comme une force appliquée à la circonférence
primitive de la roue conduite,
\[
\frac{1}{2} fQ \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{R'^2} - \frac{2\cos\gamma}{RR'}} \times S:
\]
$m$ et $n$ étant les nombres de dents des deux roues, on a
\[
\frac{1}{R} = \frac{2\pi}{mS},\quad\frac{1}{R'} = \frac{2\pi}{nS},
\]
et l'expression précédente devient
\[
\pi fQ \sqrt{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} - \frac{2\cos\gamma}{mn}}.
\]
Pour $\gamma = 180°$, $\cos \gamma = -1$, la résistance du frottement est la plus
grande. C'est le cas de l'engrenage de deux roues situées extérieurement
dans le même plan.

Pour $\gamma=0$, $\cos \gamma =1$, la résistance du frottement est la plus petite.
Elle est exprimée par
\[
\pi fQ \Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{m}\Big):
\]
c'est le cas où les deux roues sont dans le même plan, et situées intérieurement
l'une à l'autre.

\marginpage % *** File: 132.png
\mysection{\emph{Frottement dans la vis sans fin.}}

(Pl. 1, fig. 7 et 7 bis). Soient $O$ l'axe de la vis sans fin, que nous
supposerons vertical:

$C$ l'axe horizontal de la roue:

$CA = R$ le rayon de la circonférence primitive de la roue (le point
de contact du filet de la vis et de la dent pressée par ce filet, est toujours
situé sur un point de la tangente $AT$ à cette circonférence, parallèle
à l'axe de la vis).

$OA = r$ le rayon du cylindre sur lequel est enveloppée l'hélice ou
l'élément héliçoïdal, qui presse les dents de la roue: $i$ l'inclinaison
constante de cette hélice sur le plan horizontal.

Le filet serpente sur le noyau de la vis et s'élève en tournant
dans le sens $xy$. Lorsque la vis entière tourne sur son axe dans
ce même sens, le filet de la vis presse successivement les dents de
la roue de haut en bas et fait tourner celle-ci dans le sens $yz$. La
condition de ce mouvement est que la vitesse d'un point de la circonférence
$CA$, soit à la vitesse d'un point du filet situé sur la circonférence
$OA$ comme le pas de la vis est à la circonférence qui a
pour rayon $OA$. Ainsi en désignant par $u$ la vitesse d'un point de
la circonférence $OA$ tournant autour de l'axe vertical $MO$, $u \tang i$ sera
la vitesse d'un point de la circonférence $CA$, tournant autour de
l'axe $C$. Les vitesses angulaires de la vis et de la roue, autour de leurs
axes, seront donc respectivement égales à $\dfrac{u}{r}$ et $\dfrac{u\tang i}{R}$.

Au mouvement de rotation de la roue autour de l'axe $C$, nous
pouvons substituer un mouvement de rotation autour d'un axe parallèle
$OY$ passant par le point $O$, de même sens et avec même vitesse
angulaire, et un couple de rotations équivalent à un mouvement de
translation dans le sens vertical, qui sera ici de haut en bas, avec
une vitesse égale au produit de la distance $CO$ par la vitesse angulaire
$\dfrac{u\tang i}{R}$, c'est-à-dire à $(R + r) \dfrac{u\tang i}{R}$.

Si maintenant nous réduisons la vis au repos, en superposant
aux mouvements effectifs un mouvement commun de rotation autour
de l'axe vertical de la vis, avec une vitesse angulaire égale et
\marginpage % *** File: 133.png
de sens contraire à celle $\dfrac{u}{r}$ que la vis possède, le mouvement de la
roue se composera:

\primop.~Du mouvement de translation de haut en bas, avec une vitesse
égale à $(R+r)\dfrac{u\tang i}{R}$;

\secundop.~D'un mouvement de rotation autour de l'axe horizontal $OY$
avec une vitesse angulaire $\dfrac{u\tang i}{R}$, et dans lequel le corps tournera
de l'axe $OZ$ vers l'axe $OX$;

\tertiop.~D'un mouvement de rotation autour de l'axe vertical $OZ$ avec
une vitesse angulaire égale à $\dfrac{u}{r}$, dans lequel le corps tournera en
sens contraire du mouvement effectif de la vis, c'est-à-dire de $OY$
vers $OX$.

Cela posé, soit $a$, dans la projection verticale, la situation actuelle
du point de contact du filet de la vis et d'une dent de la roue. Ce
point est sur la verticale $AT$ et se projette horizontalement en $A$. Menons
la ligne $aO$, la ligne $mn$ perpendiculaire à $aO$, contenue dans le
plan, passant par l'axe de la vis et perpendiculaire à l'axe de la roue,
enfin la tangente $AU$, projection de la tangente en $a$ à la circonférence
que décrirait le point a s'il tournait autour de l'axe $MOZ$. Posons
$aO=z$, l'angle $aOA= \alpha$.

La vitesse du point $a$ due à la rotation autour de l'axe $oY$ est dirigée
suivant $am$, et égale à
\[
aO \times \frac{u\tang i}{R} = \frac{u\tang i}{R} \times z.
\]
Elle a pour composante horizontale suivant $ao'$
\[
\frac{u\tang i}{R}z\sin\alpha,
\]
pour composante verticale dirigée de bas en haut, suivant $aT$
\[
\frac{u\tang i}{R}z\cos\alpha.
\]
La vitesse du point a due à la rotation autour de l'axe vertical $OZ$ est
\marginpage % *** File: 134.png
égale à $\dfrac{u}{r}\times  ao' = u$. Sa projection horizontale est suivant la tangente
$AU$.

La vitesse verticale du point $a$ de haut en bas due au mouvement
de translation est $(R+r)\dfrac{u\tang i}{R}$. Ainsi, les composantes parallèles aux
trois axes $OX$, $OY$ et $OZ$ de la vitesse du point $a$ sont:
\begin{flalign*}
&\text{\indent Suivant} &  OX \ldots\ldots\qquad & u\dfrac{\tang i}{R}\ldot z\sin \alpha,&\\
&\text{\indent Suivant} &  OY \ldots\ldots\qquad & u &\\
&\text{\indent Suivant} &  OZ \ldots\ldots\qquad & \dfrac{u}{R}\tang i(R + r - z \cos \alpha).&\phantom{\indent Suivant}
\end{flalign*}
Cette dernière composante est dirigée de haut en bas. La vitesse du
point $a$, dans le mouvement relatif du filet de la vis et de la dent de
la roue, est donc
\[
u\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}.
\]
Si $ds$ désigne l'arc infiniment petit que décrit, dans le mouvement
effectif du système, pendant un instant $dt$, un point de la circonférence
qui a pour rayon $CA$, on aura $ds = u \tang idt$ et
\begin{multline*}
udt \sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}\\
=\dfrac{1}{\tang i}\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}ds
\end{multline*}
sera l'étendue du glissement du point a de la roue sur le filet de la vis
correspondant à l'arc infiniment petit $ds$.

Si nous désignons par $p$ la pression mutuelle du filet de la vis et de
la dent de la roue,
\[
\int^S_0\dfrac{fp}{\tang i}\sqrt{1+\dfrac{\tang^2 i}{R^2}[(R+r)^2+z^2-2(R+r)z\cos\alpha]}ds
\]
sera l'expression du travail résistant dû au frottement, pour l'arc $S$ dont
tourne la circonférence $CA$, depuis le moment où le filet de la vis
\marginpage % *** File: 135.png
vient appuyer sur une dent de la roue, jusqu'à ce qu'il cesse de la
presser, ce qui arrive, quand le point de contact mutuel est sur la
ligne $CO$.

Il est d'ailleurs facile de voir que l'on a
\[
z \cos\alpha = r,\quad z^2 = r^2+s^2,
\]
on a, pour déterminer $p$, l'équation
\[
QR = p \cos i \times R, \qtext{d'où} p = \dfrac{Q}{\cos i},
\]
en désignant par $Q$ la résistance appliquée à la roue rapportée à l'extrémité
du rayon $CA$, et négligeant, dans cette relation, l'effet du
frottement, ce qui est permis, lorsque $i$ est un petit angle.

Effectuant ces substitutions et les réductions possibles, le travail du
frottement devient
\[
f \dfrac{Q}{\cos i}\int^S_0\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 i}+\dfrac{s^2}{R^2}} ds.
\]
On sait intégrer l'expression précédente, mais le résultat se présente
sous une forme trop compliquée, pour être de quelque usage dans la
pratique. D'ailleurs on peut remarquer que $i$ est en général un petit
angle, et que par conséquent $\dfrac{1}{\sin^2 i}$ est très grand, tandis que $\dfrac{s^2}{R^2}$, est
une petite fraction, quand la roue a un grand nombre de dents, de
telle sorte que $\dfrac{s^2}{R^2}$ est négligeable par rapport à $\dfrac{1}{\sin^2 i}$. On peut même,
d'après un théorème donné par M.~Poncelet, déterminer dans chaque
cas la limite de l'erreur commise. Supposons par exemple, que
$\sin i$ soit égal à $\frac{1}{3}$; supposons en même temps que le nombre des
dents de la roue, soit égal à 20. On aura $20S=2\pi R$; d'où
$\dfrac{S}{R}=\dfrac{2\pi}{20} = 0.34$: ainsi le rapport de $\dfrac{S}{R}$ à $\dfrac{1}{\sin i}$ sera égal à $\dfrac{0{,}34}{3}= 0.11$.
Comme $S$ est la plus grande valeur de l'arc variable $s$, le rapport de
$\dfrac{s}{R}$ à $\dfrac{1}{\sin i}$ sera constamment inférieur à 0.11; or, d'après le théorème
cité de M.~Poncelet, un radical de la forme $\sqrt{P^2+Q^2}$ a pour expression
\marginpage % *** File: 136.png
linéaire approchée
\[
\frac{2}{1+\cos \dfrac{\phi}{2}} \Big( P \cos \frac{\phi}{2} + Q \sin \frac{\phi}{2} \Big) ,
\]
$\phi$ désignant l'angle dont la tangente est égale à la valeur maximum
que puisse avoir le rapport $\dfrac{Q}{P}$. La limite de l'erreur commise, en substituant
l'expression linéaire ci-dessus au radical, est exprimée par le
radical multiplié par la fraction $\dfrac{1-\cos\dfrac{\phi}{2}}{1+\cos\dfrac{\phi}{2}}$.

Posant donc $P =\dfrac{1}{\sin i}$, $Q = \dfrac{s}{R}$, $\tang \phi = 0.11$: il vient pour la
valeur de $\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 i}+\dfrac{s^2}{R^2}}$,
\[
0{,}999 \times \frac{1}{\sin i} + 0{,}055 \frac{s}{R} ,
\]
et cette valeur est approchée à $\dfrac{7}{10000}$ près. Substituant au radical la
valeur approchée sous le signe $\int$, le travail résistant du frottement
sera
\[
\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999 S}{\sin i} + 0.055 \frac{S^2}{2R} \Big) ;
\]
la valeur moyenne de la force équivalente au frottement, rapportée
à la circonférence primitive de la roue, sera donc
\[
\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999}{\sin i} + 0{,}055 \frac{S}{2R} \Big).
\]
Si $m$ désigne le nombre des dents de la roue, $\dfrac{S}{2R} = \dfrac{\pi}{m}$, et cette expression
devient
\[
\frac{fQ}{\cos i} \Big( \frac{0.999}{\sin i} + 0.055 \frac{\pi}{m} \Big).
\]
Si $m = 20$, on aura $0.055 \dfrac{\pi}{m} = 0.0086$, tandis que $\dfrac{0.999}{\sin i}$ sera
\marginpage % *** File: 137.png
égal à $3$, en supposant que $\sin i = \frac{1}{3}$. En négligeant donc
$0.055 \dfrac{\pi}{m}$ par rapport à $\dfrac{0.999}{\sin i}$, l'erreur commise sera moins de $\dfrac{1}{300}$.
On voit que, généralement, il sera permis d'adopter pour la valeur
moyenne de la force équivalente au frottement, rapportée à la circonférence
primitive de la roue,
\[
\frac{0{,}999fQ}{\sin i\cos i}\qtext{ou simplement} \frac{fQ}{\sin i \cos i}= \frac{2fQ}{\sin2i}.
\]

Lorsque l'inclinaison $i$ de l'élément héliçoïdal, qui presse la dent
de la roue est considérable, la valeur $p = \dfrac{Q}{\cos i}$ n'est pas suffisamment
approchée. Il faut alors, dans l'équation d'équilibre de la roue,
tenir compte de la force produite par le frottement du filet et de la
dent, ce qui donne
\[
Q \times R = (p \cos i - fp \sin i) R,
\]
d'où
\[
p=\frac{Q}{\cos i-f\sin i}.
\]
Cette valeur de $p$ substituée à $\dfrac{Q}{\cos i}$, dans les calculs précédents, donnera
pour l'expression de la résistance moyenne du frottement rapportée
à la circonférence de la roue dont le rayon est $R$,
\[
\frac{fQ}{\cos i-f\sin i}\left(\frac{\alpha}{\sin i} + \frac{T\pi}{m}\right):
\]
$\alpha$ et $T$ sont des coefficients numériques que l'on déterminera par le
théorème de M.~Poncelet.

\jmpafin

% *** File: 138.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur une manière simple de calculer la pression produite
contre les parois d'un canal dans lequel se meut un
fluide incompressible;}
{Par G. CORIOLIS.}{}
\label{art11}

Les sections d'un canal ou filet fluide variant assez peu pour qu'on
puisse admettre le parallélisme des tranches, c'est-à-dire pour qu'on
puisse supposer que les vitesses dans une même section sont parallèles
à la tangente à la courbe qu'on prend pour axe, on peut dans cette
hypothèse exprimer très simplement la pression totale supportée dans
un certain sens par les parois qui forment le canal: il suffit pour cela
de connaître seulement les intensités et les directions des vitesses dans
les deux sections extrêmes qui terminent la masse fluide.

Si $X$, $Y$, $Z$ sont les composantes, dans le sens des trois axes coordonnés,
des forces accélératrices auxquelles le fluide est soumis, on
sait qu'en désignant par $p$ le poids d'une tranche de fluide (les forces
produites contre les parois par cette tranche étant représentées par
$E$, $F$, $G$, dans le sens des axes coordonnés) on aura
\begin{alignat*}{2}
E &= \frac{p}{g}\Big(X &&- \frac{d^2x}{dt^2}\Big),\\
F &= \frac{p}{g}\Big(Y &&- \frac{d^2y}{dt^2}\Big),\\
G &= \frac{p}{g}\Big(Z &&- \frac{d^2z}{dt^2}\Big).
\end{alignat*}

En prenant le poids du mètre cube d'eau pour unité et désignant
par $\omega$ la section dans le filet faite perpendiculairement à son axe et par
\marginpage % *** File: 139.png
$ds$ la différentielle de la longueur de cet axe, on a
\[
p = \omega ds.
\]
La somme des pressions produites sur les parois dans le sens de
l'axe des $x$ pour toute l'étendue du canal, entre les limites $s_0$ et $s_1$ de
la longueur de l'axe, étant désignée par $E$, on aura
\[
E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g}\ldot \frac{d^2z}{dt^2}.
\]
Si l'on désigne par $u$ la vitesse de la tranche $\omega ds$ et par $\alpha$ l'angle que
fait l'élément $ds$ de l'axe du canal avec l'axe des $x$, on a, en vertu de
ce que $u$ est une fonction de $t$ et de $s$,
\[
\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d(u\cos \alpha)}{dt} + u\ldot\frac{d(u\cos\alpha)}{ds}.
\]
Ainsi
\[
E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g} \frac{d(u\cos\alpha)}{dt} - \int_{s_0}^{s_1} \frac{\omega ds}{g} \frac{d(u\cos\alpha)}{ds}:
\]
$\cos \alpha$ étant indépendant de $t$, on a
\[
\frac{\omega ds}{g}\frac{d(u\cos\alpha)}{dt} = \frac{1}{g}\ldot ds\cos\alpha\ldot\omega\frac{du}{dt}=\frac{1}{g}dx\ldot\omega\frac{du}{dt}.
\]

En vertu de l'incompressibilité du fluide, $\omega u$ est constant dans l'étendue
du canal; en désignant par $u_0$ et $\omega_0$ les valeurs de ces variables
à l'origine du canal, il vient donc
\[
\omega u = \omega_0 u_0,
\]
et
\[
\omega\frac{du}{dt} = \omega_0\frac{du_0}{dt}.
\]
Introduisant ces relations dans les formules ci-dessus pour intégrer
dans toute l'étendue du canal et dénotant par les indices $1$ et $0$ les
valeurs des variables pour les deux extrémités du canal, on aura
\[
E=\int_{s_0}^{s_1} X\frac{\omega ds}{g} - \frac{\omega_0}{g}\ldot\frac{du_0}{dt}\ldot(x_1 - x_0) - \frac{\omega_0 u_0}{g} \left[u_1\cos\alpha_1-u_0\cos\alpha_0\right].
\]
\marginpage % *** File: 140.png

Dans les applications, la force $X$ ne sera que la composante de la
gravité, de sorte qu'en désignant par $P$ le poids total du fluide entre
les extrémités du filet et par $a$ l'angle que fait l'axe des $x$ avec la verticale,
on aura
\[
E=P\cos a-\frac{\omega_0}{g}(x_1-x_0) %[** errata]
\frac{du_0}{dt} + \frac{\omega_0 u_0}{g}\cos\alpha_0 - \frac{\omega_0 u_0}{g}u_1\cos\alpha_1,
\]
Si le mouvement est permanent, c'est-à-dire si les vitesses ne varient
pas avec le temps, on aura $\dfrac{du_0}{dt} = 0$, et $E$ se réduira à
\[
E=P\cos a+\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0 -\frac{\omega_0 u_0}{g}u_1\cos\alpha_1.
\]

Ainsi l'effort total $E$ ne dépend nullement de la forme du filet.

Si l'on prend l'axe des $x$ dans un sens perpendiculaire à la vitesse $u_1$,
c'est-à-dire si l'on veut la pression sur les parois dans un sens perpendiculaire
à la vitesse de sortie, on aura $\cos\alpha_1 = 0$: il en résultera
\[
E=P\cos a +\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0 - \frac{\omega_0}{g}\ldot\frac{du_0}{dt}\ldot(x_1-x_0),
\]
et pour le cas de permanence
\[
E=P\cos a +\frac{\omega_0 u^2_0}{g}\cos\alpha_0.
\]

Ces formules ont été données par Euler et reproduites par M.~Navier.
On compliquait inutilement leur démonstration par l'introduction de
la force centrifuge et de la force tangentielle.

On voit qu'il suffit de composer le terme $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ en ses deux dérivées
partielles.

\jmpafin

% *** File: 141.png

\jmpapaper{}{}
{Sur la mesure de la surface convexe d'un prisme ou d'un
cylindre tronqué;}
{Par M.~Paul BRETON,}
{Élève ingénieur des Ponts-et-Chaussées.}
\label{art12}

La surface convexe d'un prisme ou d'un cylindre terminé par deux
plans non parallèles a pour mesure \emph{le produit de la longueur de la
section droite par la parallèle aux arètes qui passe par le centre de
gravité du contour de cette section et se termine aux deux bases.}

En effet, soient $B_1$, $B_0$ les deux bases, et concevons la surface
prolongée jusqu'à la rencontre d'un plan perpendiculaire aux arètes,
lequel détermine la section $B$ qui prend le nom de \emph{section droite}.

La surface qui s'étend de $B_1$ à $B$ se compose de trapèzes dont chacun
a pour mesure le produit de celui de ses côtés qui fait partie de $B$
par sa distance au milieu du côté qui lui correspond sur $B_1$; cette surface
a donc pour expression la somme des produits des côtés de $B$ par
les parallèles à une même direction menées des milieux de ces côtés à
un même plan $B_1$; et l'on démontre \emph{en Statique} que cette somme de
produits est égale au produit du contour de $B$ par la parallèle à la
même direction, menée de son centre de gravité au même plan $B_1$.
On ferait voir de la même manière que la surface comprise entre $B_0$ et
$B$ a pour mesure une expression semblable. La différence entre les
surfaces que nous venons de mesurer, et qui est la surface proposée
elle-même, est donc égale au produit du contour de la section droite
par la longueur de la parallèle aux arètes menée de son centre de gravité
jusqu'aux deux bases. Ce qui est le théorème énoncé.

\mysection{REMARQUES.}

I\@. Si les plans des deux bases se coupaient dans l'intérieur du prisme,
on n'obtiendrait par la proposition précédente que la différence des
\marginpage % *** File: 142.png
aires interceptées par les angles opposés de ces plans. Il faut pour en
avoir la somme appliquer la proposition à chacune des portions séparément,
en cherchant le centre de gravité de l'arc de section droite
auquel elle correspond.

II\@. Lorsque la section droite a un centre, toutes les autres sections
en ont un aussi, et la parallèle aux arêtes menée par le centre de la
section droite passe par les centres de gravité des deux bases; dans le
cas contraire, on ne peut plus affirmer que la parallèle aux arêtes menée
du centre de gravité du contour de la section droite aux deux
bases soit la distance des centres de gravité de leurs contours. Cela est
facile à vérifier en prenant un prisme triangulaire pour exemple.

III\@. La proposition qui fait le sujet de cet article est l'analogue d'une
proposition connue et qui s'énonce ordinairement ainsi:

Le volume d'un prisme ou d'un cylindre à bases planes non-parallèles,
a pour mesure le produit de l'aire de l'une d'elles par la distance
de celle-ci au centre de gravité de la surface de l'autre.

L'analogie dont il s'agit devient parfaite en énonçant la proposition
de la manière suivante:

Le volume d'un prisme ou d'un cylindre terminé par deux plans
non-paral\-lèles, a pour mesure le produit de l'aire de la section droite
par la parallèle aux arêtes qui passe par le centre de gravité de cette
section et se termine aux deux bases.

\jmpafin

% *** File: 143.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur le développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$;}
{Par J. LIOUVILLE.}{}
\label{art13}\Gauche

Représentons par $X_0 + X_1z + \dotsb + X_nz^n + \dotsb $ le développement
du radical $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ ordonné suivant les puissances ascendantes
de $z$: $X_n$ sera une fonction entière de $x$ de degré $n$, et l'on a vu
dans le cahier précédent que la valeur de cette fonction est
\[
X_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n} \ldot \frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}.\tag{1}
\]
A l'aide de la formule (1) on prouve sans peine que, si l'indice $m$ est $<n$, on a
\[
\int_{-1}^{+1}X_mX_ndx=0.\tag{2}
\]
Quand on fait $m = n$, il vient au contraire
\[
\int_{-1}^{+1}X^2_ndx=\frac{2}{2n+1}.\tag{3}
\]
Mais on peut aussi établir les équations (2), (3) sans connaître l'expression
analytique de $X_n$. Pour y parvenir, Legendre considère
l'intégrale\footnote{\emph{Exercices de Calcul intégral}, tome II, page 250.}
\[
P=\int_{-1}^{+1} \frac{dx}{\sqrt{1-2rxz+r^2z^2}\sqrt{1-\dfrac{2xz}{r}+\dfrac{z^2}{r^2}}}.
\]
\marginpage % *** File: 144.png
Si l'on fait $1 + r^2z^2 - 2rxz =y^2$, ou $x = \dfrac{1 + r^2z^2-y^2}{2rz}$, on aura,
dit-il, la transformée
\[
P = -\frac{1}{2} \int \frac{dy}{\sqrt{y^2-1+r^2+z^2-r^2z^2}},
\]
d'où résulte l'intégrale indéfinie
\[
P = C + \tfrac{1}{2} \log(-y + \sqrt{y^2-1+r^2+z^2-r^2z^2}).
\]
Les limites de $x$ étant $x = -1$, $x = + 1$, celles de $y$ sont
$y= 1 + rz$, $y= 1 - rz$: on aura donc l'intégrale cherchée
\begin{flalign*}
&&&P = \frac{1}{z} \log \Big(\frac{r-z-1+rz}{r+z-1-rz}\Big) = \frac{1}{z} \log \Big(\frac{1+z}{1-z}\Big) \\
&\text{ou}&&P = 2+ \frac{2}{3} z^2 + \frac{2}{5} z^4 + \dotsb + \frac{2}{2n+1} z^{2n}+ \dotsb ,&\phantom{ou}
\end{flalign*}
quantité indépendante de $r$.

Cette intégrale est celle de la différentielle
\[
dx (1 + X_1zr + X_2z^2r^2 + \etc) \Big(1 + X_1 \frac{z}{r} + X_2 \frac{z^2}{r^2} + \etc\Big),
\]
et puisque $r$ disparaît entièrement du résultat, il faut qu'on ait généralement,
$m$ et $n$ étant inégaux, ${\dint_{-1}^{+1}} X_mX_n dx = 0$. On voit en
même temps que $m$ et $n$ étant égaux, on aura
\[
\int_{-1}^{+1} X_n^2dx = \frac{2}{2n+1}, \quad \text{C. Q. F. D.}
\]

Maintenant je dis qu'en s'appuyant sur la formule (2), on obtient
aisément l'expression générale de $X_n$, d'où résulte une démonstration
nouvelle de la formule (1). Cette démonstration que je vais exposer
en peu de mots n'est pas indigne, ce me semble, de l'attention des
géomètres.

Pour fixer les idées cherchons par exemple $X_3$. En faisant $n = 3$,
puis successivement $m=0$, $m=1$, $m=2$ dans l'équation (2), on a
\[
\int_{-1}^{+1}X_0 X_3 dx = 0,\quad
\int_{-1}^{+1}X_1 X_3 dx = 0,\quad
\int_{-1}^{+1}X_2 X_3 dx = 0,  %[** errata]
\]
\marginpage % *** File: 145.png
d'où l'on tire
\[
\int_{-1}^{+1}(A_0 X_0 + A_1 X_1 + A_2 X_2) X_3 dx = 0,\tag{4}
\]
quels que soient les coefficients constants $A_0$, $A_1$, $A_2$. Mais un polynome
$y$ du second degré par rapport à $x$ peut toujours être mis sous
la forme $A_0 X_0  + A_1 X_1 + A_2 X_2$. En effet par une détermination convenable
de la constante $A_2$, rendons égaux les coefficients de $x^2$ dans
$y$ et dans $A_2 X_2$: dès-lors $y - A_2 X_2$ ne sera plus que du premier degré
par rapport à $x_1$: de même $y - A_2 X_2 - A_1 X_1$ se réduira à une
simple constante $A_0 X_0$ si l'on attribue au coefficient $A_1$ une valeur
convenable. Finalement on aura donc $y = A_0 X_0 + A_1 X_1 + A_2 X_2$,
et l'équation (4) deviendra
\[
\int_{-1}^{+1}yX_3dx=0.\tag{5}
\]
En intégrant par parties trois fois de suite et se rappelant que $d^3 y=0$,
on trouve
\[
\int_{-1}^{x}yX_3dx=y\int_{-1}^{x}X_3dx-\frac{dy}{dx}\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx+\frac{d^2y}{dx^2}\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx.
\]
Lorsqu'on fait $x = 1$, le résultat de l'intégration doit se réduire à
zéro en vertu de l'équation (5), et comme les valeurs de $y$, $\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
pour $x = 1$ sont arbitraires, cela exige que l'on ait séparément
\[
\int_{-1}^{x}X_3dx=0,\quad \int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=0,\quad \int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=0
\]
\label{err145}pour $x =1$.  En d'autres termes si l'on pose
\[
\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}dx\int_{-1}^{x}X_3dx=\phi(x),
\]
il faut que l'on ait à la fois
\[
\phi(x) = 0,\quad \frac{d\phi(x)}{dx} = 0,\quad \frac{d^2\phi(x)}{dx^2}= 0 \qtext{pour} x = 1:
\]
l'équation algébrique $\phi(x) = 0$ a donc une racine triple égale à $1$ et
\marginpage % *** File: 146.png
son premier membre doit être divisible par $(x - 1)^3$. D'un autre côté
il est évident que l'on a aussi
\[
\phi(x),\quad \frac{d\phi(x)}{dx}=0, \quad\frac{d^2\phi(x)}{dx^2}=0\qtext{pour} x = -1,
\]
en sorte que $\phi(x)$ est divisible par $(x+1)^3$. Or $X_3$ étant du troisième
degré en $x$, $\phi(x)$ est du sixième degré par rapport à cette variable:
il résulte de là que $\phi(x)$ ne peut être que de la forme
\[
\label{err146}\phi(x)\qtext{ou}\int_{-1}^x dx\int_{-1}^x dx\int_{-1}^xX_3dx = H_3\ldot(x^2-1)^3,
\]
ce qui donne
\[
X_3 = H_3\ldot\frac{d^3\ldot(x^2-1)^3}{dx^3},
\]
$H_3$ désignant une constante arbitraire.

En appliquant à la fonction $X_n$ un calcul semblable, on a
\[
X_n = H_n\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}.
\]
L'analyse précédente suppose seulement \primop.~que $X_n$ soit un polynome
entier de degré $n$, \secundop.~que l'équation (2) ait lieu pour toutes les valeurs
de $m < n$. Il importe peu que les fonctions $X_0$, $X_1$,\dots\ proviennent
du développement de $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$. La considération
de ce développement ne devient utile que quand on veut déterminer
$H_n$.

En décomposant $(x^2 - 1)^n$ en ses facteurs $(x + 1)^n \ldot (x - 1)^n$, il vient
par une formule connue
\[
X_n=H_n\left[(x+1)^n\ldot\frac{d^n\ldot(x^2-1)^n}{dx^n}+\frac{n}{1}\ldot\frac{d\ldot(x+1)^n}{dx}\ldot\frac{d^{n-1}(x-1)^n}{dx^{n-1}}+\etc\right],
\]
et, en faisant $x = 1$, il reste simplement,
\[
X_n = 1 \ldot 2 \ldot 3 \ldots n \ldot2^n \ldot H_n.
\]
\marginpage % *** File: 147.png
Or, pour $x = 1$, le radical $(1 - 2xz + z^2)^{-\frac{1}{2}}$ se réduisant à
$(1-z)^{-1}$, c'est-à-dire à $1+z + z^2 + \dotsb $, on a $X_n = 1$: par conséquent
\[
H_n = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n}.
\]
La valeur définitive de $X_n$ est donc
\[
Xn = \frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots n\ldot2^n} \ldot \frac{d^n \ldot (x^2 - 1)^n}{dx^n}, %[** errata]
\]
ce qu'il fallait démontrer.

\jmpafin

% *** File: 148.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur un passage de la seconde partie de la \emph{Théorie des
Fonctions analytiques;}}
{Par M.~POISSON.}{}
\label{art14}


En un point donné $M$ sur une surface aussi donnée, le contact du
second ordre avec une autre surface exige que celle-ci satisfasse à
six conditions: il faut qu'en ce point, l'ordonnée $z$, ses deux dérivées
$z'$ et $z\subprime$ du premier ordre, ses trois dérivées du second ordre $z''$, $z'\subprime$,
$z\subdprime$, soient égales pour les deux surfaces; la quantité $z$ étant considérée
comme une fonction des deux autres coordonnées $x$ et $y$. Or l'équation
générale de la sphère ne contenant que quatre constantes, savoir,
son rayon et les trois coordonnées de son centre, elles ne suffisent
pas pour satisfaire à ces six conditions; en sorte qu'il n'existe pas en
chaque point $M$ d'une surface donnée, une \emph{sphère osculatrice}, ou qui
ait avec cette surface, un contact du second ordre; au lieu qu'il y a
toujours un \emph{cercle osculateur}, pour chaque point d'une courbe, à
simple ou à double courbure. Après avoir fait cette remarque dans
le chapitre VIII, Lagrange ajoute, dans le chapitre suivant, que si
l'on trace une ligne quelconque sur la surface donnée, on pourra toujours
déterminer en chaque point, une sphère osculatrice de cette
ligne, ou de la surface suivant cette ligne: il entend par là une
sphère tangente en $M$ à la surface, et pour laquelle la dérivée seconde
de l'ordonnée $z$ soit la même que pour cette surface, mais
seulement dans la direction de la ligne donnée. Cette ligne sera
déterminée en prenant pour $y$ une fonction de $x$, dont $y'$ et $y''$ désigneront
les deux premières dérivées; la seconde dérivée de $z$, qui
\marginpage % *** File: 149.png
devra être égale pour les deux surfaces, aura alors pour expression
\[
z'' + 2z'\subprime y' + z\subdprime y'' + z\subdprime y'^2 + z\subprime y'';
\]
et de cette égalité, jointe à la condition du plan tangent commun
aux deux surfaces qui fournit trois équations, on déduira les valeurs
du rayon et des trois coordonnées du centre de la sphère demandée.
Dans tout ce chapitre IX, il n'est question que des sphères osculatrices,
ainsi définies, et relatives aux différentes courbes que l'on peut
tracer sur une même surface; les mots \emph{rayon de courbure} et \emph{centre
de courbure}, s'y rapportent à leurs rayons et à leurs centres, et non
pas aux rayons et aux centres des cercles osculateurs de ces diverses
lignes, qui se détermineraient par d'autres conditions exposées dans
le chapitre VII, où l'auteur traite du contact des courbes entre
elles.

Cela posé, Lagrange détermine en un point quelconque $M$ d'une
surface donnée, les directions suivant lesquelles le rayon de courbure
ou de la sphère osculatrice, est un \emph{maximum} ou un \emph{minimum};
il trouve qu'il y en a deux, qui se coupent à angle droit, et dont
l'une répond au \emph{maximum} et l'autre au \emph{minimum}; et de là, il conclut
que l'on peut tracer sur toute surface donnée, deux séries de lignes,
telles que suivant les unes, la courbure de la surface, mesurée par celle
de la sphère osculatrice, soit la plus grande en chaque point, et qu'elle
soit la plus petite suivant les autres. Il cherche ensuite quelles
sont les lignes qui jouissent de cette autre propriété, que les rayons
des sphères osculatrices suivant la direction de chacune d'elles, soient
tangentes à la ligne des centres de ces sphères; il trouve pour ces
lignes, celles-là même qu'il avait d'abord déterminées: \emph{d'où il suit},
dit-il, \emph{que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent
de la courbe des centres, sont les mêmes que celles de la plus
grande ou de la moindre courbure}. D'après le sens que l'auteur attache
à ces expressions, et qu'on vient de rappeler, il n'y a rien dans cette conclusion,
qui ne soit parfaitement exact: cependant M.~Jacobi a pensé
qu'elle était erronée\footnote{Voyez le dernier numéro du Journal de M.~Crelle.}; mais la méprise de cet illustre géomètre
\marginpage % *** File: 150.png
vient de ce qu'il a supposé à la proposition, dont il s'agit, un sens
qu'elle n'a pas et que Lagrange n'a pas voulu lui donner.

Plus loin, Lagrange dit encore: \emph{il n'y aura, sur une surface quelconque,
que ces lignes qui puissent avoir} (et qui aient effectivement
suivant lui), \emph{une développée formée par les rayons de courbure}; ce
que M.~Jacobi considère aussi comme une erreur. Mais il ne faut
pas perdre de vue qu'il s'agit toujours des rayons des sphères osculatrices,
normaux à la surface donnée, et non pas des rayons de
courbure, proprement dits, des lignes dont on parle, qui seraient
compris dans leurs plans osculateurs. Le mot \emph{développée} est pris ici
dans l'acception générale que Monge lui a donnée, et que Lagrange
a indiquée à la fin du chapitre VII: dans ce sens, une développée
d'une courbe plane ou à double courbure, est le lieu des intersections
successives d'un système de normales à cette courbe; chaque
ligne donnée a alors une infinité de développées, qui sont toutes
situées sur la surface développable, formée par les intersections successives
de ses plans normaux; mais ce n'est que dans le cas particulier
d'une courbe plane, que ces développées comprennent le lieu des
centres des cercles osculateurs, et dans tout autre cas, les rayons
de ces cercles ne sont pas tangents à la ligne de leurs centres.

Euler a déterminé le premier, les rayons de courbure des sections
normales des surfaces. Il a fait voir que pour chaque point d'une
surface proposée, les rayons de courbure de toutes les courbes résultantes
de ces sections, sont liés entre eux par des formules qu'il a
données, et qui montrent qu'on peut les déduire tous, soit de trois
quelconques d'entre eux, soit de deux seulement, quand on prend
pour ceux-ci, le plus grand et le plus petit rayon, appartenant à
des sections perpendiculaires l'une à l'autre, dont il a déterminé
les directions. C'est Meunier qui a montré ensuite comment les
rayons de courbure déboutes les sections obliques, faites par une
même tangente à la surface, se déduisent très simplement de celui
de la section normale. D'un autre côté, Monge a considéré les courbes
suivant lesquelles il faut marcher sur une surface donnée, pour que
chaque normale à cette surface soit coupée par la normale infiniment
voisine; lesquelles courbes, qu'il a nommées \emph{lignes de courbure de la
surface}, sont au nombre de deux en chaque point, et se coupent à
\marginpage % *** File: 151.png
angle droit. Par la considération des sphères osculatrices, Lagrange
a rapproché ces deux théories différentes, et fait voir qu'en chaque
point d'une surface, les sections normales de plus grande et de
moindre courbure, qu'Euler a déterminées, sont tangentes aux lignes
dont Monge a considéré les principales propriétés, auxquelles M.~Ch.\
Dupin en a ajouté de nouvelles, dans ses \emph{Développements de géométrie}.
Il restait à examiner plus complétement qu'on ne l'avait fait auparavant,
ce qui arrive aux points particuliers que Monge a nommés
des \emph{Ombilics}; et c'est ce que je me suis proposé dans un mémoire
sur la courbure des surfaces, qui fait partie du tome VIII du Journal
de M.~Crelle, et du XXI\ieme\ cahier du Journal de l'École Polytechnique.

\label{err151}Les lignes de courbures de Monge n'ont pas, en général, leur plan
osculateur en chaque point, perpendiculaire à la surface à laquelle elles
appartiennent. Pour s'en assurer, il suffit de considérer les surfaces de
révolution. Dans ce cas, les deux lignes de courbure sont planes;
l'une est la courbe génératrice, et l'autre un cercle: le plan osculateur
de la première est normal à la surface; mais évidemment, celui
du cercle ne l'est pas. C'est la ligne la plus courte d'un point à un
autre sur une surface donnée, qui jouit, comme on sait, de la propriété
d'avoir, en tous ses points, son plan osculateur normal à cette
surface; et comme le dit très bien M.~Jacobi, une même courbe ne
peut être, à la fois, une ligne de courbure et la ligne la plus courte
entre deux points donnés, à moins qu'elle ne soit une courbe plane.
Par inadvertance, j'ai énoncé, dans mon \emph{Traité de Mécanique}\footnote{Tome~II, page~300.},
cette proposition fausse, que si les deux points donnés se trouvent
sur une même ligne de courbure, cette ligne sera la plus courte;
mais j'ai eu soin, dans mes cours, d'avertir de cette erreur qui m'est
échappée.

L'équation générale de la surface d'un ellipsoïde contient neuf
coefficients constants; si donc on donne un point $M$ sur une surface
aussi donnée, on pourra toujours déterminer une infinité d'ellipsoïdes
qui aient en ce point, un contact du second ordre, avec cette
surface: trois des neuf coefficients resteront indéterminés; mais ils ne
\marginpage % *** File: 152.png
suffiront pas pour élever ce contact au \label{ref144}quatrième ordre, c'est-à-dire,
pour satisfaire aux quatre conditions que le quatrième ordre
exige de plus que le troisième. Au point $M$, le plan tangent, les plans
des sections normales de plus grande et de plus petite courbure, et
les rayons de courbure de ces deux sections, seront communs aux deux
surfaces. Si ce point est aussi donné sur l'ellipsoïde, que ce soit,
par exemple, un de ses sommets; on pourra réduire à
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
\]
l'équation d'un ellipsoïde osculateur, en plaçant l'origine des coordonnées
à son centre; prenant pour axe des $z$, la normale en $M$ à
la surface donnée, et les plans de ses sections de plus grande et de
moindre courbure, pour ceux des $x$ et $z$, et des $y$ et $z$; et désignant
par $a$, $b$, $c$, les trois demi-axes de cet ellipsoïde, dont les deux premiers
sont parallèles au plan tangent en $M$, et le troisième lui est
perpendiculaire. Ses deux rayons de courbure principaux au point $M$,
auront pour valeur $\dfrac{a^2}{c}$ et $\dfrac{b^2}{c}$; en désignant par $\alpha$ et $\beta$ ceux de la
surface donnée en ce même point, on aura donc
\[
a^2 = \alpha c,\quad b^2 = \beta c;
\]
ce qui fera connaître deux des trois demi-axes $a$, $b$, $c$, et laissera le
troisième indéterminé. Par conséquent, en un même point $M$, une
surface donnée a encore un nombre infini d'ellipsoïdes osculateurs,
dont l'un des sommets est au point de contact; et cela aura également
lieu, lorsque la surface donnée sera elle-même un ellipsoïde,
qui aura aussi le point $M$ pour un de ses sommets.

Aux deux équations précédentes, on en pourra joindre une troisième
qui achèvera la détermination des trois quantités $a$, $b$, $c$. On
pourra, par exemple, supposer qu'on ait $c=b$; d'où il résultera
$b=\beta$ et $a= \sqrt{\alpha\beta}$. L'ellipsoïde osculateur sera alors une surface de
révolution dont l'axe de figure se trouvera parallèle au plan tangent
en $M$: il ne pourrait être parallèle à la normale ou perpendiculaire
à ce plan, à moins qu'on n'eût $\alpha=\beta$. Si l'on fait successivement
$c=a$ et $c=b$, il en résultera deux ellipsoïdes osculateurs,
\marginpage % *** File: 153.png
de révolution, mais différents l'un de l'autre; et l'un sera aplati, tandis
que l'autre sera allongé\footnote{%
Peut-être devrait-on, dans la géodésie, prendre pour l'ellipsoïde osculatrice
en chaque point de la Terre, un ellipsoïde de révolution aplati; ce serait
celui qui ressemblerait le plus en général, à la figure du globe, et qui la ferait
le mieux connaître, si l'on déterminait par l'observation, en un grand nombre
de lieux, les deux axes de cet ellipsoïde, et la direction de son équateur: ces
données de l'observation, jointes aux longitudes et aux latitudes, aux longueurs
du pendule à seconde et aux élévations au-dessus du niveau des mers,
formeraient les éléments complets de la Géographie mathématique.}
%
On pourra aussi changer l'ellipsoïde osculateur
en paraboloïde. Pour cela, si l'on transporte l'origine des coordonnées
au point $M$, et qu'on mette, en conséquence, $z - c$ au lieu
de $z$, dans l'équation de l'ellipsoïde, on aura
\[
z^2 - 2cz + c \Big(\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta}\Big) = 0,
\]
en y substituant aussi pour $a^2$ et $b^2$ leurs valeurs; en la résolvant par
rapport à $z$, on en déduit
\[
z = c \pm  c \sqrt{1 - \frac{1}{c}\Big(\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta}\Big)};
\]
et si l'on prend le radical avec le signe inférieur, qu'on le développe
suivant les puissances descendantes de $c$, et qu'on fasse ensuite $c =\infty$,
il vient
\[
z = \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta},
\]
pour l'équation du paraboloïde osculateur. Mais, parmi toutes les
conditions que l'on peut ajouter à celles du \label{err153}contact du second ordre,
l'équation nécessaire pour un contact du troisième ordre suivant une
direction déterminée, ne se trouve pas comprise; car, dans tous les
sens autour du point $M$, la fonction tierce de $z$, qui répond à $x =0$
et $y = 0$, est zéro pour l'ellipsoïde osculateur, et, en général, elle ne
l'est pour la surface donnée, que selon une ou trois directions déterminées
par une équation du troisième degré, que l'on formera sans
difficulté. Cela établit une différence essentielle entre la sphère tangente
\marginpage % *** File: 154.png
et l'ellipsoïde osculateur: la sphère peut toujours être rendue
osculatrice, suivant une direction choisie à volonté; et le contact
de l'ellipsoïde ne saurait être élevé à l'ordre supérieur, suivant
aucune direction pour laquelle il n'est pas naturellement du troisième
ordre.

\jmpafin

\mysection{\emph{Note du rédacteur.}}

La note de M.~Jacobi, imprimée dans le \emph{Journal de M.~Crelle}, a pour
titre: \emph{Nota de erroribus quibusdam geometricis, qui in Theoriâ functionum leguntur.}
Pour la commodité de nos lecteurs, nous la transcrirons ici tout entière.

«Demonstravi in aliâ commentatione, præter curvas planas extare nullas,
quarum radii osculi curvam centrorum curvaturæ tangent, sive superficiem
evolubilem forment. Secùs putabat ill.\ \emph{Lagrange}, qui in Theoriâ functionum
(\emph{pag.}\ 229, \emph{etc., \No}~35) conditionem analyticam exbibet, quæ ad hoc locum
habere %[** errata]
debeat, neque videt ter eam integratam in plani æquationem abire.
Sed vir illustris mox adeo ipsas lineas dupliciter curvas assignat, quæ illâ proprietate
gaudeant, scilicet lineas curvaturæ in data superficie: legimus enim,
(\emph{pag.}~248):

»\emph{D'où il suit que les lignes, suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent
de la courbe des centres, sont les mêmes que celles de la plus grande ou
de la moindre courbure}; \\
»et mox, (\emph{pag}.~245):

»\emph{Il n'y aura sur une surface quelconque que ces lignes} (\emph{les lignes de courbure})
\emph{qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.}

»Scilicet nescio quo factum est, ut vir illustris normales superficiei putaverit
esse linearum curvaturæ radios osculi. Sanè normales ad superficiem, in punctis
lineæ curvaturæ ductae, formant superficiem evolubilem, sed eæ non sunt lineæ
curvaturæ radii osculi. Novimus enim radios osculi curvæ, in superficie datâ
descriptæ, simul superficiei normales non nisi in lineis superficiei brevissimis
esse.

»Sequitur ex antecedentibus, \emph{in datâ superficie lineam curvaturæ simul lineam
brevissimam esse non posse, nisi sit curva plana}. Nam normales ad superficiem
in punctis lineæ curvaturæ ductæ formant superficiem evolubilem,
ideòque, cùm in lineis brevissimis normales superficiei sint curvæ radii osculi,
radii osculi lineæ curvaturæ, quæ simul linea brevissima est, superficiem evolubilem
formant; undè sequitur curvam esse planam. Nam in aliâ commentatione
hujus diarii, t.~XIV (\emph{zur Theorie der Curven}), sicuti suprà adnotavi, demonstratum
est, radios osculi formare superficiem evolubilem non nisi in curvis
planis. Exemplum habemus in meridianis superficierum rotundarum, quæ
sunt curvæ planæ, simulque et linæ brevissimæ et lineæ curvaturæ.»

\jmpafin

% *** File: 155.png

\jmpapaper{MÉMOIRE}{}
{Sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes
en équilibre de température;}
{Par M.~G. LAMÉ,}
{Ingénieur des Mines, Professeur de Physique à l'École Polytechnique\footnotemark.}
\label{art15}
\footnotetext{%
Ce Mémoire est extrait du tome V des \emph{Savans étrangers}. Nous avons cru
devoir le réimprimer ici, parce que le recueil dans lequel il se trouve est peu
répandu et surtout parce que l'analyse ingénieuse dont l'auteur a fait usage ouvre
une route nouvelle dans le calcul des équations différentielles partielles.

\signit{(\textsc{J. Liouville.})}}

\label{err155}\mysection{PREMIÈRE PARTIE.}

\mysection{§ I.}

Lorsqu'un corps solide homogène est en équilibre de température,
sous l'influence de sources constantes de chaleur et de froid, contre
lesquelles sa surface est immédiatement appliquée, la température (V),
constante avec le temps, mais variable d'un point à l'autre de ce
corps, est, comme l'on sait, une fonction des coordonnées $x$, $y$, $z$,
qui satisfait à l'équation aux différences partielles
\[
\frac{d^2 V}{dx^2} + \frac{d^2 V}{dy^2} + \frac{d^2 V}{dz^2} = 0.\tag{1}
\]
Il existe alors dans ce corps des surfaces où la température reste
la même dans toute l'étendue de chacune d'elles. Ces surfaces d'égale
température peuvent être conçues représentées par une même équation,
\marginpage % *** File: 156.png
contenant un paramètre variable de l'une à l'autre, et de la
forme
\[
F(x, y, z) = \lambda;
\]
$\lambda$ étant ce paramètre, ou la fonction des coordonnées dont la valeur
numérique est constamment la même pour tous les points d'une surface
individuelle.

Toute fonction $F$ n'est pas propre à représenter des surfaces d'égale
température pour un de tous les cas d'équilibre calorifique imaginables;
elle doit satisfaire pour cela à une équation aux différences
partielles qu'il est facile de trouver.

Si cette fonction ($F$ ou $\lambda$) était connue, la température $V$ devrait
pouvoir être représentée par une équation de la forme
\[
V = \phi(\lambda),
\]
puisque $V$ et $\lambda$ seraient constants ensemble, variables ensemble, dans
toute l'étendue du corps proposé. On aurait d'après cela
\begin{align*}
\frac{dV}{dx} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dx}, \quad \frac{d^2V}{dx^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dx^2},\\
\frac{dV}{dy} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dy}, \quad \frac{d^2V}{dy^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dy^2},\\
\frac{dV}{dz} = \frac{dV}{d\lambda} \frac{d\lambda}{dz}, \quad \frac{d^2V}{dz^2} = \frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2 + \frac{dV}{d\lambda} \frac{d^2\lambda}{dz^2},
\end{align*}
et par suite l'équation (1) pourrait être mise sous la forme
\[
\frac{d^2V}{d\lambda^2}\Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big] + \frac{dV}{d\lambda}\Big(\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2}\Big) = 0.
\]
Or, $\dfrac{dV}{d\lambda}$ et $\dfrac{d^2V}{d\lambda^2}$ ne contenant d'autre variable que $\lambda$, le quotient
\[
\Big\{\Big(\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2}\Big) : \Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big]\Big\},
\]
devrait jouir de la même propriété. Ainsi la fonction $\lambda$ doit satisfaire
à une équation différentielle de la forme
\begin{gather*}
\frac{d^2\lambda}{dx^2} + \frac{d^2\lambda}{dy^2} + \frac{d^2\lambda}{dz^2} - \psi(\lambda)\Big[\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2 + \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2\Big] = 0,\tag{2}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 157.png
($\psi$ étant une fonction arbitraire de $\lambda$), pour que l'équation ($\lambda = c$)
puisse représenter un système de surfaces isothermes.

En remplaçant $\psi (\lambda)$ par $\dfrac{1}{\phi(\lambda)}\dfrac{d\phi(\lambda)}{d\lambda}$, on aura
\[
\phi(\lambda)\frac{d^2V}{d\lambda^2}+\frac{d\phi(\lambda)}{d\lambda}\frac{dV}{d\lambda}=0,
\]
d'où en intégrant deux fois
\[
V=A\int_{\lambda_0}^\lambda \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A'.
\]

Si le corps proposé est limité par deux surfaces représentées par
les équations $\lambda = a$, $\lambda = a'$, entretenues à des températures données
$T$ et $T'$, on aura, pour déterminer les deux constantes $A$ et $A'$, les
deux équations
\[
T=A\int_{\lambda_0}^a \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A',\quad T'=A\int_{\lambda_0}^{a'} \frac{d\lambda}{\phi(\lambda)}+A',
\]
d'où
\[
A=\frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}} \dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}},
\]
et
\[
A'=T-\frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}}\dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}}\ldot\int_{\lambda_0}^a \frac{d\lambda}{\phi};
\]
en sorte que l'équation
\[
V = T + \frac{T'-T}{{\dint_{\lambda_0}^{a'}}\dfrac{d\lambda}{\phi}-{\dint_{\lambda_0}^a}\dfrac{d\lambda}{\phi}} \Big(\int_{\lambda_0}^\lambda\frac{d\lambda}{\phi}-\int_{\lambda_0}^a\frac{d\lambda}{\phi}\Big)\tag{3}
\]
donnera la température $V$, correspondante à une surface quelconque $\lambda$.

\mysection{§ II.}

On voit que dans le cas particulier d'une enveloppe solide, dont
les parois intérieure et extérieure seraient entretenues à des températures
constantes, mais différentes de l'une à l'autre, la loi des températures
stationnaires serait connue, si l'on pouvait déterminer \emph{à priori}
\marginpage % *** File: 158.png
l'équation générale des surfaces isothermes qui correspondent à ce
cas.

Les surfaces des parois devant être deux d'entre elles, le problème
consisterait à intégrer l'équation (2), et à déterminer les formes ou
constantes arbitraires que contiendrait la fonction $\lambda$, de manière que
pour deux valeurs numériques données au paramètre $c$, l'équation
$\lambda = c$ représentât successivement les surfaces des parois. Mais la solution
analytique de ce problème serait généralement aussi difficile
à trouver que celle qui consisterait à intégrer directement l'équation (1),
et à déterminer les fonctions arbitraires de l'intégrale $V$, de manière
qu'elle devînt numériquement égale à $T$ ou à $T'$ pour tous les
points des parois de l'enveloppe.

Les cas simples d'une sphère creuse et d'un cylindre creux indéfini
à base circulaire, dans lesquels l'épaisseur de l'enveloppe solide serait
partout la même, sont les seuls où la détermination préalable des
surfaces isothermes n'offre aucune difficulté. Pour tout autre cas, les
parois, quoique toujours comprises parmi ces surfaces, doivent le
plus souvent s'en distinguer par quelque propriété singulière, et en
quelque sorte ombilicale, qui n'appartienne pas à toutes les autres
surfaces d'égale température de l'intérieur de l'enveloppe.

Il ne suffirait pas, pour éloigner cette circonstance qui complique
la recherche directe de l'équation générale de ces surfaces, que les
parois appartinssent à la même famille, et que leurs équations, de
même forme et du même degré, continssent le même nombre de
paramètres; car, dans ce cas, qui paraît beaucoup plus simple au
premier abord que celui où les parois seraient dissemblables, on ne
pourrait pas conclure, en général, que les surfaces d'égale température
dussent être directement représentées par des équations de
même forme et du même degré que celles des surfaces qui limitent
l'enveloppe solide. Par exemple, dans un ellipsoïde creux, dont la
paroi interne serait semblable à la surface extérieure, les surfaces
isothermes ne seraient pas nécessairement des ellipsoïdes semblables
aux parois, ni même des ellipsoïdes.
\marginpage % *** File: 159.png

\mysection{§ III.}

Les conditions nécessaires pour que la forme commune des équations
des deux parois soit réellement celle qui appartient aux surfaces
d'égale température, peuvent se déduire analytiquement de la vérification
de l'équation (2).

En prenant cette forme pour l'équation générale des surfaces cherchées,
on regardera toutes les constantes qu'elle contient comme des
fonctions inconnues du paramètre $\lambda$; on en déduira, par des différentiations
convenables, les coefficients différentiels partiels de ce
paramètre; après les avoir substitués dans l'équation (2), on posera
les relations nécessaires pour qu'elle soit satisfaite, quelles que soient
les coordonnées; si ces relations entre les variations des constantes
arbitraires ne sont pas incompatibles, leurs intégrations feront connaître
comment le paramètre $\lambda$ doit entrer dans les constantes de la
forme proposée, pour qu'elle puisse représenter les surfaces d'égale
température; enfin, il faudra que deux valeurs numériques données
à ce paramètre puissent rendre l'équation générale successivement
identique avec les équations des deux parois.

Si cette vérification ne réussit pas, il faudra en conclure que, dans
le cas considéré, les surfaces isothermes de l'intérieur de l'enveloppe
doivent être exprimées par une équation différente, et probablement
plus compliquée que celle des parois; et que ces dernières ne rentrent
dans l'équation générale que par la disparition de certains termes,
essentiels pour toute autre surface individuelle.

\mysection{§ IV.}

J'appliquerai cette méthode au cas où l'enveloppe est limitée par
deux surfaces du second degré ayant même centre, leurs axes principaux
étant de plus situés sur les mêmes droites. Leurs équations
seront de la forme
\[
mx^2 + ny^2 + pz^2 = 1.\tag{4}
\]

Il s'agit de trouver comment les constantes $m$, $n$, $p$, doivent contenir
\marginpage % *** File: 160.png
$\lambda$, pour que l'équation (4) puisse représenter, par la variation
successive de ce paramètre, toutes les surfaces d'égale température de
l'intérieur de l'enveloppe proposée.

On regardera donc $m$, $n$, $p$, comme des fonctions inconnues de $\lambda$,
ce qui donnera
\begin{gather*}
2mx + (m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)\frac{d\lambda}{dx} = 0,\\
\Big(m' = \frac{dm}{d\lambda},\quad m'' = \frac{d^2m}{d\lambda^2},\ldots\Big)\\
\begin{aligned}
2mx + 4m'x \frac{d\lambda}{dx}
&+ (m''x^2 + n''y^2 + p''z^2) \Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2\\
&+ (m' x^2 + n' y^2 + p' z^2) \frac{d^2\lambda}{dx^2} = 0,\ \text{etc}.
\end{aligned}
\end{gather*}
et par suite
\begin{gather*}
\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2
+ \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2
+ \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2
= 4 \frac{m^2x^2 + n^2y^2 + p^2z^2}{(m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)^2},\\
\begin{aligned}
\frac{d^2\lambda}{dx^2}
+ \frac{d^2\lambda}{dy^2}
&+ \frac{d^2\lambda}{dz^2}=\\
& -\frac{\dfrac{m+n+p}{2} (m'x^2 + n'y^2 + p'z^2) - 2(mm'x^2 + nn'y^2 + pp'z^2)}
{(m'x^2 + n'y^2 + p'z^2)^2}\\
& -\frac{(m^2x^2 + n^2y^2 + p^2z^2)(m''x^2 + n''y^2 + p''z^2)}
{(m' x^2 + n' y^2 + p' z^2)^3}.
\end{aligned}
\end{gather*}
L'équation (2) devient alors, en faisant $\psi = \dfrac{\phi'}{\phi}$, et en posant, pour
simplifier, $\dfrac{m+n+p}{2} = L$:
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{5}
&\{\phi [(L - 2m)&&m'^2\,&&+\,&m''m^2  ]\,+\,&&m^2m'\phi'  \}&x^4\\
+\,&\{\phi [(L - 2n)&&n'^2  &&+  &n''n^2\:]\,+\,&&n^2n'\phi'\:\}&y^4\\
+\,&\{\phi [(L - 2p)&&p'^2  &&+  &p''p^2\:]\,+\,&&p^2p'\phi'\:\}&z^4
\end{alignedat} \\
%
\begin{alignedat}{7}
&+ \{\phi [2(L-m-n)&&m'n' &&+ m''n^2 &&+ &n''m^2] &+ (m^2n' &&+ &n^2m')&\phi'\} x^2y^2\\
&+ \{\phi [2(L-n-p)&&n'p' &&+ n''p^2 &&+ &p''n^2] &+ (n^2p' &&+ &p^2n')&\phi'\} y^2z^2\\
&+ \{\phi [2(L-p-m)&&p'm' &&+ p''m^2 &&+ &m''p^2] &+ (p^2m' &&+ &m^2p')&\phi'\} z^2x^2 = 0.
\end{alignedat}
\end{gather*}

Cette dernière équation devant être satisfaite quelles que soient les
\marginpage % *** File: 161.png
valeurs des coordonnées, on devra avoir les six relations
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{5}
&\phi[(L- &2m)&m'^2&&\,+\,&m''m^2]   &+   m^2m'\phi' &&= 0,\\
&\phi[(L- &2n)&n'^2&&\,+\,&n''n^2\;] &+ \:n^2n'\phi' &&= 0,\\
&\phi[(L- &2p)&p'^2&&\,+\,&p''p^2\;] &+ \;p^2p'\phi' &&= 0,
\end{alignedat} \\
%
\begin{alignedat}{7}
&\phi[2(L-m-n)&&m'n' &&+ m''n^2 &&\,+\,&n''m^2]   &+ (m^2n' &&\,+\,&n^2m')  &\phi' = 0,\\
&\phi[2(L-n-p)&&n'p' &&+ n''p^2 &&\,+\,&p''n^2\,] &+ (n^2p' &&\,+\,&p^2n'\,)&\phi' = 0,\\
&\phi[2(L-p-m)&&p'm' &&+ p''m^2 &&\,+\,&m''p^2]   &+ (p^2m' &&\,+\,&m^2p')  &\phi' = 0,
\end{alignedat}
\end{gather*}
Ou bien, en posant $m=\dfrac{1}{a}$, $n=\dfrac{1}{b}$, $p=\dfrac{1}{c}$:
\begin{gather*}
\begin{alignedat}{3}
&\phi La'^2 &&= a''\phi &&+ a'\phi',\\
&\phi Lb'^2 &&= b''\phi &&+ b'\phi',\\
&\phi Lc'^2 &&= c''\phi &&+ c'\phi',
\end{alignedat} \\
%
\begin{alignedat}{4}
&\phi \Big[2La'b' &&+ 2(a'-b') \Big(\frac{a'}{a}-\frac{b'}{b}\Big)\Big]
&&= (a''+b'')\phi &&+ (a'+b')\phi',\\
&\phi \Big[2Lb'c' &&+ 2(b'-c') \Big(\frac{b'}{b}-\frac{c'}{c}\Big)\Big]
&&= (b''+c'')\phi &&+ (b'+c')\phi',\\
&\phi \Big[2Lc'a' &&+ 2(c'-a') \Big(\frac{c'}{c}-\frac{a'}{a}\Big)\Big]
&&= (c''+a'')\phi &&+ (c'+a')\phi'.
\end{alignedat}
\end{gather*}

Les trois premières donnent, par l'élimination de $\dfrac{\phi'}{\phi}$, les relations
\begin{align*}
L(a'-b') &= \frac{a''}{a'} = \frac{b''}{b'} ,\\
L(b'-c') &= \frac{b''}{b'} = \frac{c''}{c'} ,\\
L(c'-a') &= \frac{c''}{c'} = \frac{a''}{a'} ,
\end{align*}
en outre, si l'on retranche chacune des trois dernières d'un couple
convenable des premières, $\phi'$ et $\phi$ se trouvent encore éliminés, et
l'on a
\begin{alignat*}{3}
&L(a'-b')^2 &&= 2(a'-b') &&\Big( \frac{a'}{a}-\frac{b'}{b} \Big) ,\\
&L(b'-c')^2 &&= 2(b'-c') &&\Big( \frac{b'}{b}-\frac{c'}{c} \Big) ,\\
&L(c'-a')^2 &&= 2(c'-a') &&\Big( \frac{c'}{c}-\frac{a'}{a} \Big).
\end{alignat*}
\marginpage % *** File: 162.png

Or, il est aisé de voir que les six dernières relations ne peuvent
admettre d'autre solution que celle indiquée par les équations
\[
a'= b' = c', \qtext{d'où} a'' = b'' = c''.
\]
Tout autre système de valeurs conduirait à des expressions indépendantes
de $\lambda$ pour $m$, $n$, $p$.

Ainsi, les constantes $a$, $b$, $c$, ou $\dfrac{1}{m}$, $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{p}$, doivent être égales à
une même fonction quelconque de $\lambda$, augmentée ou diminuée de
constantes différentes. On aura donc les valeurs les plus générales de
$m$, $n$, $p$, en posant
\[
m = \frac{1}{\lambda^2},\quad
n = \frac{1}{\lambda^2-b^2},\quad
p = \frac{1}{\lambda^2-c^2},
\]
où $b$ et $c$ sont deux lignes déterminées et constantes. On peut supposer,
sans troubler cette généralité, que la constante $c$ soit plus
grande que $b$.

\mysection{§ V.}

Mais l'équation (4) représentant des surfaces très différentes, suivant
que $\lambda$ sera plus grand que $b$ et $c$, plus grand que $b$ mais plus
petit que $c$, ou à la fois plus petit que $c$ et $b$, il convient de séparer
ces trois cas différents. Désignons par $\mu$, $\nu$, $\rho$, les valeurs de $\lambda$ qui
leur correspondent: on aura les équations
\[
\tag{5}\left\{\quad
\begin{aligned}
\dfrac{x^2}{\mu^2 } + \dfrac{y^2}{\mu^2-b^2}  + \dfrac{z^2}{\mu^2-c^2}  &= 1,\\
\dfrac{x^2}{\nu^2 } + \dfrac{y^2}{\nu^2-b^2}  - \dfrac{z^2}{c^2-\nu^2}  &= 1,\\
\dfrac{x^2}{\rho^2} - \dfrac{y^2}{b^2-\rho^2} - \dfrac{z^2}{c^2-\rho^2} &= 1,
\end{aligned}
\right.
\]
pour représenter trois systèmes de surfaces isothermes compris sous
la forme générale (4).

Toutes les surfaces de chaque système, et même celles des trois
systèmes réunis, ont pour éléments constants de l'une à l'autre, les
\marginpage % *** File: 163.png
distances focales $2b$, $2c$, $2\sqrt{\strxx c^2-b^2}$, de leurs sections principales
faites par les mêmes plans coordonnés.

Ainsi, lorsqu'on entretient à des températures constantes les parois
d'une enveloppe solide, terminée par des ellipsoïdes, dont les sections
principales ont les mêmes foyers, les surfaces d'égale température,
dans l'intérieur de cette enveloppe, sont encore des ellipsoïdes
ayant les mêmes foyers que les précédents.

Si l'enveloppe a pour limite deux hyperboloïdes à une nappe
indéfinie, de mêmes foyers, ses surfaces isothermes seront encore
des hyperboloïdes de même espèce et assujettis à la même condition.

Enfin, si les parois indéfinies de l'enveloppe sont les moitiés de
deux hyperboloïdes à deux nappes ayant mêmes foyers, ses surfaces
d'égale température seront toutes des moitiés d'hyperboloïdes de la
même famille.

On peut vérifier, comme on le verra plus bas, que dans chacun
de ces trois cas les parties homologues des surfaces isothermes du
même système sont effectivement traversées par la même quantité de
chaleur dans le même temps. Mais avant d'entreprendre cette vérification,
il convient d'étudier de plus près le système des trois équations (5).


\mysection{§ VI.}

Si l'on imagine sur l'axe des $x$, quatre points $B$, $B'$, $C$, $C'$, distants
du centre ou de l'origine $O$, de quantités $OB = OB' = b$,
$OC=OC'=c$, les points $B$ et $B'$ seront les foyers de toutes les courbes
du second degré, traces sur le plan des $x\;y$, de toutes les surfaces
représentées par les équations (5); et les traces de ces mêmes surfaces
sur le plan des $x\;z$, auront toutes pour foyers les points $C$ et $C'$.
J'appelle les points $B$, $B'$, $C$, $C'$, les foyers des surfaces du second
degré à axes inégaux, représentées par les équations (5). Ces foyers
étant donnés, ainsi que le paramètre $\mu$, $\nu$, ou $\rho$, de l'une de ces
surfaces, elle est entièrement connue de forme et de grandeur.

Un point quelconque de l'espace, correspondant aux coordonnées
orthogonales $x$, $y$, $z$, sera situé sur trois surfaces appartenant respectivement
aux trois systèmes (5), et ayant pour paramètres les
\marginpage % *** File: 164.png
valeurs de $\mu$, $\nu$, $\rho$, que l'on déduirait des équations (5), en fonction
de $x$, $y$, $z$.

Il suit de là que l'on peut regarder les trois paramètres variables
$\mu$, $\nu$, $\rho$, comme composant un nouveau genre de coordonnées. Un
point de l'espace est alors donné par l'intersection d'un ellipsoïde et
de deux hyperboloïdes, l'un à une nappe, et l'autre à deux nappes,
ayant tous trois les mêmes foyers, $B$, $B'$, $C$, $C'$.

Je donnerai aux trois variables $\mu$, $\nu$, $\rho$, le nom de \emph{coordonnées
elliptiques}; et j'appellerai \emph{surfaces homofocales} toutes celles qui sont
représentées par les équations (5).

Les trois coordonnées orthogonales $x$, $y$, $z$, sont liées aux coordonnées
elliptiques, $\mu$, $\nu$, $\rho$, par l'équation (5), ou par les suivantes,
que l'on obtient par des éliminations convenables:
\[
\tag{6}
\left\{\;
\begin{aligned}
bc \ldot  x &= \mu\nu\rho,\\
b \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot  y &= \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}  \sqrt{\strxx\nu^2-b^2}  \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} ,\\
c \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot  z &= \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}  \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}  \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}.
\end{aligned}
\right.
\]

Ces formules démontrent que si l'on imagine, en un point quelconque
de l'espace, les trois surfaces homofocales qui y passent,
chacune des coordonnées orthogonales de ce point sera égale au
produit des trois demi-axes de ces surfaces qui ont la même direction
qu'elle, divisé par le rectangle des deux demi-distances focales
correspondantes à toutes les sections principales de ces mêmes surfaces,
dont les plans sont parallèles à cette coordonnée.

\mysection{§ VII.}

Les plans tangents aux trois surfaces (5), au même point $(x, y, z)$
\label{err164}ou $(\mu, \nu, \rho)$, ont pour équations
\begin{align*}
\frac{xx'}{\mu^2}  + \frac{yy'}{\mu^2-b^2}  + \frac{zz'}{\mu^2-c^2}  &= 1,\\
\frac{xx'}{\nu^2}  + \frac{yy'}{\nu^2-b^2}  - \frac{zz'}{c^2-\nu^2}  &= 1,\\
\frac{xx'}{\rho^2} - \frac{yy'}{b^2-\rho^2} - \frac{zz'}{c^2-\rho^2} &= 1:
\end{align*}
\marginpage % *** File: 165.png
ces trois plans sont perpendiculaires entre eux, car les valeurs de
$x$, $y$, $z$, données en $\mu$, $\nu$, $\rho$, par les équations (6) conduisent aux
identités
\begin{align*}
\frac{x^2}{\mu^2\nu^2} + \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}
- \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)(c^2-\nu^2)} &= 0,\\
\frac{x^2}{\nu^2\rho^2} - \frac{y^2}{(\nu^2-b^2)(b^2-\rho^2)}
+ \frac{z^2}{(c^2-\nu^2)(c^2-\rho^2)} &= 0,\\
\frac{x^2}{\rho^2\mu^2} - \frac{y^2}{(b^2-\rho^2)(\mu^2-b^2)}
- \frac{z^2}{(c^2-\rho^2)(\mu^2-c^2)} &= 0,
\end{align*}
relations qui expriment que les cosinus des angles de ces plans sont
nuls.

Ainsi, une surface quelconque de l'un des systèmes (5) coupe normalement
toutes les surfaces des deux autres systèmes.

\mysection{§ VIII.}

Considérons particulièrement un des ellipsoïdes au paramètre $\mu$,
représenté par la première des équations (5). En un quelconque de
ses points passent deux hyperboloïdes, l'un à une nappe et l'autre à
deux nappes, ayant les mêmes foyers que cet ellipsoïde, qui sont
perpendiculaires à sa surface, et qui se coupent conséquemment suivant
une courbe à double courbure normale à l'ellipsoïde proposé.
Soit $M'$ un point de cette intersection voisin de $M$, et situé sur un
second ellipsoïde infiniment voisin du premier et ayant pour paramètre
$\mu+\delta\mu$; soit $MM' = \delta s$, et représentons par $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, les
projections de cet élément linéaire sur les trois axes. Il est évident
qu'en passant de $M$ à $M'$, $\nu$ et $\rho$ restent constants; $\mu$ est donc la
seule coordonnée elliptique qui varie. D'après cela les équations (6)
donneront
\begin{align*}
bc\delta x &= \nu\rho \delta\mu,\\
b \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot  \delta y &= \frac{\mu \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} ,\\
c \sqrt{\strxx c^2-b^2} \ldot  \delta z &= \frac{\mu \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}.
\end{align*}
On en conclura facilement l'expression de l'élément linéaire\dotfill\\
\marginpage % *** File: 166.png
$MM'=\delta s=\sqrt{\strxx\delta x^2 + \delta y^2 +\delta z^2}$; on trouve ainsi, toute réduction
faite,
\[
\delta s
= \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}  \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} \delta\mu.
\]

Pareillement, si l'on désigne par $\delta s'$ l'élément de la courbe d'intersection
de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes aux mêmes
foyers, qui passent en un même point, on aura
\[
\delta s'
= \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}  \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} \delta\nu.
\]

Enfin, si $\delta s''$ est l'élément de la courbe d'intersection de l'hyperboloïde
à une nappe et de l'ellipsoïde homofocaux correspondants à
un même point de l'espace, on aura
\[
\delta s''
= \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}  \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} \delta\rho.
\]

Si donc $s$, $s'$, $s''$, représentent les longueurs finies variables des
courbes d'intersection aux éléments $\delta s$, $\delta s'$, $\delta s''$, $s$ variant avec $\mu$
seulement, $s'$ avec $\nu$, $s''$ avec $\rho$, on aura pour déterminer ces trois
fonctions les trois intégrales suivantes:
\[
\tag{7}
\left\{\;
\begin{alignedat}{2}
&s   &&= \int_c^\mu  \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}  \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} \delta\mu,\\
&s'  &&= \int_b^\nu  \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}  \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} \delta\nu,\\
&s'' &&= \int_0^\rho \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}\sqrt{\strxx\nu^2-\rho^2}}
{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} \delta\rho.
\end{alignedat}
\right.
\]


\mysection{§ IX.}

Toutes les courbes $s'$, $s''$, suivant lesquelles un même ellipsoïde
est coupé par tous les hyperboloïdes ayant mêmes foyers que lui, ne
sont autres que les lignes de courbure de sa surface. Il s'agit ici de
vérifier ce théorème important: les équations de la normale à l'ellipsoïde,
\marginpage % *** File: 167.png
au point $(x, y, z)$, sont
\begin{align*}
\mu^2 z(x'-x) &= (\mu^2-c^2)x(z'-z),\\
\mu^2 y(x'-x) &= (\mu^2-b^2)y(y'-y),
\end{align*}
si cette droite est rencontrée en $(x', y', z')$, par la normale infiniment
voisine, correspondante au point $(x + dx, y + dy, z + dz)$,
on devra avoir
\begin{align*}
\mu^2(z dx - x dz)x' + c^2x^2 dz &= 0,\\
\mu^2(y dx - x dy)x' + b^2x^2 dy &= 0;
\end{align*}
car ces dernières équations s'obtiennent en combinant les équations
de la normale, avec celles qu'on en déduit par la différentiation de
$x$, $y$, $z$. L'élimination de l'abscisse $x'$ du point de concours supposé
des deux normales voisines conduit à la relation
\[
b^2\Big(\frac{z dx - x dz}{dz}\Big) = c^2\Big(\frac{y dx - x dy}{dy}\Big),
\]
ou
\[
b^2\Big(\frac{z}{dz}-\frac{x}{dx}\Big)=c^2\Big(\frac{y}{dy}-\frac{x}{dx}\Big),
\tag{8}
\]
à laquelle doivent satisfaire les différentielles $dx$, $dy$, $dz$, pour que
les normales voisines soient dans le même plan. Cette relation,
combinée avec l'équation différentielle de l'ellipsoïde, représente,
comme on le sait, les lignes de courbure de sa surface.

Maintenant, lorsqu'on chemine sur une des courbes $s'$, $\mu$ et $\rho$ conservent
les mêmes valeurs, et $\nu$ varie seul; alors on a par les équations (6)
\[
\frac{dx}{x}=\frac{d\nu}{\nu},\quad
\frac{dy}{y}=\frac{\nu}{\nu^2-b^2},\quad
\frac{dz}{z}=\frac{\nu}{\nu^2-c^2};
\]
or ces valeurs de $\dfrac{dx}{x}$, $\dfrac{dy}{y}$, $\dfrac{dz}{z}$, rendent identique l'équation (8); les
courbes $s'$ forment donc un des systèmes de lignes de courbure de
l'ellipsoïde.

Pareillement lorsqu'on suit une même courbe $s''$, $\mu$ et $\nu$ restent
constants, et $\rho$ varie seul; les équations (6) donnent alors
\marginpage % *** File: 168.png
\[
\frac{dx}{x}=\frac{d\rho}{\rho},\quad
\frac{dy}{y}=\frac{\rho}{\rho^2-b^2},\quad
\frac{dz}{z}=\frac{\rho}{\rho^2-c^2};
\]
expressions qui rendent encore identique l'équation (8); les courbes $s''$
forment donc le second système de lignes de courbure de l'ellipsoïde.

\label{ref160}On peut énoncer ces propriétés d'une manière plus générale, en
disant que \emph{toutes les surfaces homofocales de deux quelconques des
trois systèmes \emph{(5)} rencontrent normalement une surface courbe quelconque
du troisième système, et tracent sur elle toutes ses lignes de
courbure}.

\mysection{§ X.}

Revenons maintenant à la question physique, et cherchons quelle
sera la loi des températures stationnaires d'une enveloppe solide dans
laquelle les surfaces d'égale température seront représentées par l'une
des trois équations (5). Considérons d'abord le cas où ces surfaces
sont des ellipsoïdes. Il faut d'abord trouver la valeur de la fonction $\psi (\lambda )$,
qui rend identique l'équation (2). Si l'on pose dans l'équation (4),
et dans les relations que nous en avons déduites par la
différentiation
\[
\lambda = \mu ,\quad
m = \frac{1}{\mu^2},\quad
n = \frac{1}{\mu^2-b^2},\quad
p = \frac{1}{\mu^2-c^2},
\]
on trouve
\begin{gather*}
m' = -\frac{2}{\mu^3},\quad
n' = -\frac{2\mu}{(\mu^2-b^2)^2},\quad
p' = -\frac{2\mu}{(\mu^2-c^2)^2},\\
%
m^2 = -\frac{1}{2\mu}m',\quad
n^2 = -\frac{1}{2\mu}n',\quad
\label{err168}p^2 = -\frac{1}{2\mu}p',
\end{gather*}
et par suite
\begin{alignat*}{5}
&(L-2m)&&m'^2 &&+   m''m^2 &&= m'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\
&(L-2n)&&n'^2 &&+ \:n''n^2 &&= n'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\
&(L-2p)&&p'^2 &&+ \:p''p^2 &&= p'^2&&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),
\end{alignat*}\vspace{-4ex}
\marginpage % *** File: 169.png
\begin{alignat*}{6}
&2(L - m - n) &&m'n' &&+  m''n^2 &&+\,n''p^2 &&=\,&2m'n'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\
&2(L - n - p) &&n'p' &&+\,n''p^2 &&+\,p''n^2 &&=  &2n'p'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),\\
&2(L - p - m) &&p'm' &&+  p''m^2 &&+  m''p^2 &&=  &2p'm'&\Big(\frac{n+p}{2}\Big),
\end{alignat*}
d'où l'on conclut
\begin{gather*}
\Big(\frac{d\lambda}{dx}\Big)^2
+ \Big(\frac{d\lambda}{dy}\Big)^2
+ \Big(\frac{d\lambda}{dz}\Big)^2
= \frac{1}{\mu^2\Big(\dfrac{x^2}{\mu^4}
+ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}\Big)},\\
\frac{d^2\lambda}{dx^2}
+ \frac{d^2\lambda}{dy^2}
+ \frac{d^2\lambda}{dz^2}
= \Big(\frac{1}{\mu^2-b^2} + \frac{1}{\mu^2-c^2}\Big)
\frac{1}{\mu \Big(\dfrac{x^2}{\mu^4}
+ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2} \Big)},
\end{gather*}
ce qui donne, pour $\psi(\lambda)$ ou $\psi(\mu)$:
\[
\psi(\mu) = \frac{\mu}{\mu^2-b^2} + \frac{\mu}{\mu^2-c^2}.
\]

La fonction $\psi$ étant connue, on en déduira la fonction $\phi$ en intégrant
l'équation
\[
\frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{d\mu} = \psi
= \frac{\mu}{\mu^2-b^2} + \frac{\mu}{\mu^2-c^2},
\]
ce qui donne
\[
\phi(\mu) = \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}.
\]

La température $V$ sera enfin donnée, soit par l'équation différentielle
\[
\frac{dV}{d\mu}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} = A,
\stag{9}{0}
\]
soit par l'équation intégrale
\[
V = A \int_c^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} + B.
\stag{10}{0}
\]

On trouvera aussi que pour le second des trois systèmes de surfaces
\marginpage % *** File: 170.png
d'égale température représentées par les équations (5), on a
\begin{gather*}
\psi(\nu) = \frac{\nu}{\nu^2-b^2} - \frac{\nu}{c^2-\nu^2},\\
\phi(\nu)     = \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\\
\frac{dV}{d\nu} \sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A,
\stag{9}{1}\\
V = A \int_b^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} + B.
\stag{10}{1}
\end{gather*}

Enfin, dans le cas où l'enveloppe solide aurait pour surfaces d'égale
température les hyperboloïdes à deux nappes représentés par la
troisième des équations (5), on aura
\begin{gather*}
\psi(\rho) = -\frac{\rho}{b^2-\rho^2} - \frac{\rho}{c^2-\rho^2},\\
\phi(\rho)     = \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\\
\frac{dV}{d\rho} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2} = A,
\stag{9}{2}\\
V = A\int_0^\rho \frac{d\rho}{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}} + B.
\stag{10}{2}
\end{gather*}

Ainsi la température stationnaire, et variable d'un point à l'autre,
dans les trois genres d'enveloppe dont les surfaces isothermes sont du
second degré et homofocales, est exprimée par une transcendante
elliptique de la première espèce; et les trois variétés de cette transcendante
correspondent respectivement aux trois cas que nous avons
considérés.

\mysection{§ XI.}

Nous pouvons maintenant vérifier que dans chacun de ces cas
toutes les surfaces isothermes sont traversées par la même quantité
de chaleur dans le même temps, lorsque la température varie de
l'une à l'autre, suivant les lois qui viennent d'être trouvées.

Considérons d'abord l'enveloppe ellipsoïdale. La quantité de chaleur
qui traverse l'élément de volume compris entre deux ellipsoïdes
infiniment voisins, ayant pour paramètres $\mu$ et $\mu + d\mu$, et les
courbes $s$, correspondantes aux différents points du périmètre d'un
\marginpage % *** File: 171.png
élément $d\omega^2$, de la surface de l'ellipsoïde $(\mu)$, aura évidemment pour
expression
\[
K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta\mu}{\delta s} d\omega^2;
\]
$K$ étant le coefficient de la conductibilité intérieure, de la matière
dont l'enveloppe est composée.

Il s'agit d'intégrer cette expression pour toute la surface de l'ellipsoïde $\mu$;
or, cette intégration peut se faire de deux manières: en
exprimant l'élément $d\omega^2$ en coordonnées orthogonales, ou en coordonnées
elliptiques.

En employant les coordonnées orthogonales, on remarquera d'abord
que $\delta s$ est égal à la partie de la normale à l'ellipsoïde $(\mu)$
comprise entre les deux ellipsoïdes qui limitent la couche considérée,
en sorte que si $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, sont les projections de $\delta s$ sur les axes,
on a
\[
\frac{z}{\mu^2-c^2} \delta x = \frac{x}{\mu^2} \delta z,\quad
\frac{y}{\mu^2-b^2} \delta x = \frac{x}{\mu^2} \delta y,
\]
d'où
\[
\delta s
= \frac{\mu^2}{x} \delta x
\sqrt{\frac{x^2}{\mu^4}
+ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}},
\]
ou, en remarquant que $\dfrac{\delta x}{x} = \dfrac{\delta\mu}{\mu}$, comme l'indiquent les équations (6),
puisque sur la courbe $s$, $\nu$ et $\rho$ restent constants
\[
\delta s
= \mu \sqrt{\frac{x^2}{\mu^4}
+ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}} \delta\mu,
\]
ce qui donnera
\[
\frac{\delta\mu}{\delta s}
= \frac{1}{\mu\sqrt{\dfrac{x^2}{\mu^4}
+ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}}}.
\]

Quant à l'élément de surface $d\omega^2$, sa valeur est
\[
d\omega^2
= \frac{\mu^2-c^2}{z} dx dy
\sqrt{\frac{x^2}{\mu^4}
+ \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}};
\]
\marginpage % *** File: 172.png
on peut donc poser
\[
K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta \mu}{\delta s} d\omega^2
= K \frac{dV}{d\mu} \frac{\mu^2-c^2}{\mu} \frac{dx dy}{z}.
\]
Ou bien, en remarquant que l'équation de l'ellipsoïde donne
\[
\frac{z}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}} = \sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}-\frac{y^2}{\mu^2-b^2}},
\]
on aura
\[
K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta \mu}{\delta s} d\omega^2
= K\frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu}
\frac{dx dy}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{\mu^2}-\dfrac{y^2}{\mu^2-b^2}}}.
\]

L'intégration de cette expression, par rapport à $y$, conduit à l'intégrale
indéfinie
\[
K \frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu}
\Bigg(\arcsin\frac{\dfrac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}}
{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{\mu^2}}} + \text{const.}\Bigg)dx,
\]
qui doit être prise de
\[
\bigg(\frac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} = -\sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}}\bigg)\text{à }
\bigg(\frac{y}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}} = +\sqrt{1-\frac{x^2}{\mu^2}}\bigg),
\]
ce qui donne
\[
\pi K \frac{dV}{d\mu} \frac{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{\mu} dx.
\]

Enfin l'intégration par rapport à $x$, de $(x = -\mu)$ à $(x = +\mu)$,
donne définitivement, en doublant le résultat, pour la quantité de
chaleur cherchée
\[
4\pi K \frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2},
\]
ou, en vertu de l'équation (9),
\[
4\pi KA.
\]
Cette quantité de chaleur est donc constante, quel que soit $\mu$, ou
quelle que soit la couche ellipsoïdale considérée.
\marginpage % *** File: 173.png
\mysection{§ XII.}

En employant les coordonnées elliptiques, on substituera à l'élément $d\omega^2$,
le rectangle $\delta s' \delta s''$, et l'on aura [équations (7)],
\[
K \frac{dV}{d\mu} \frac{\delta\mu}{\delta s} \delta s' \delta s''{=}
K \frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}
\frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho}
{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}.
\]
Cette expression devra être intégrée de $\nu= b$ à $\nu= c$, de $\rho=0$ à
$\rho= b$, et ensuite multipliée par 8, pour avoir la quantité de chaleur
cherchée, qui sera, en vertu de l'équation (9)\down{0},
\[
8KA \int^b_0\int^c_b
\frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho}
{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}.
\]
Sous cette forme cette quantité totale de chaleur est encore indépendante
de $\mu$, ou de la couche ellipsoïdale considérée.

Son expression différentielle
\[
KA \frac{(\nu^2-\rho^2) \delta\nu \delta\rho}
{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2} \sqrt{\strxx c^2-\rho^2}},
\]
est elle-même indépendante de $\mu$. Ainsi, si l'on considère à travers
l'enveloppe proposée, un canal infiniment délié, ayant pour axe une
courbe $s$, et pour section normale le rectangle $\delta s' \delta s''$, dont la
grandeur varie avec $\mu$, ou d'une couche ellipsoïdale à la suivante,
ce canal laissera écouler une même quantité de chaleur dans le
même temps, par toutes ses sections normales; et ses parois, qui
appartiennent à quatre hyperboloïdes aux mêmes foyers, infiniment
voisins deux à deux, ne seront traversés par aucune molécule calorifique.
Sous ce point de vue, on peut appeler ce canal \emph{un filet de
chaleur}, et la différentielle qui précède donne la \emph{dépense de ce filet}
pendant l'unité de temps.

\Needspace*{3\baselineskip}\mysection{§ XIII.}

Soit toujours $d\omega^2$ un élément de la surface de l'ellipsoïde $(\mu)$;
la quantité $(\Delta Q)$ qui le traverse sera égale à la dépense du filet de
\marginpage % *** File: 174.png
section $\delta s' \delta s''$, multipliée par le rapport $\dfrac{d\omega^2}{\delta s' \delta s''}$; elle est donc, d'après
les équations (7), égale à
\[
\Delta Q = \frac{KA d\omega^2}{\sqrt{\strxx\mu^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\mu^2-\rho^2}}.
\]

Si l'élément $d\omega^2$, conservant toujours la même grandeur, est successivement
placé aux extrémités des trois axes de l'ellipsoïde $(\mu)$,
l'expression précédente prendra les trois formes suivantes:

\primop.~A une des extrémités du grand axe $2\mu$, où $x = \mu$, $y = 0$,
$z = 0$, et $\nu = c$, $\rho = b$, elle devient
\[
\Delta'Q = \frac{KA d\omega^2}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}};
\]

\secundop.~A l'extrémité de l'axe moyen, où $x = 0$, $y = \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}$, $z = 0$,
et $\nu = c$, $\rho = 0$,
\[
\Delta''Q = \frac{KA d\omega^2}{\mu\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}};
\]

\tertiop.~Enfin à l'extrémité du petit axe, où $x = 0$, $y = 0$, $z = \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}$,
et $\nu = b$, $\rho = 0$,
\[
\Delta'''Q = \frac{KA d\omega^2}{\mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}.
\]

On déduit de là
\[
\Delta'Q : \Delta''Q : \Delta'''Q :: \mu  : \sqrt{\strxx\mu^2-b^2} : \sqrt{\strxx\mu^2-c^2},
\]
c'est-à-dire que \emph{les flux de chaleur aux extrémités des axes d'une
même surface ellipsoïdale d'égale température ont des intensités respectivement
proportionnelles à ces axes}.

\mysection{§ XIV.}

En égalant les deux expressions trouvées pour la quantité totale de
chaleur qui traverse une surface ellipsoïdale quelconque d'égale température,
on obtient
\marginpage % *** File: 175.png
\[
\int_0^b\int_b^c
\frac{(\nu^2-\rho^2) d\nu d\rho }
{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }
= \frac{\pi}{2},
\]
ou
\begin{align*}
\int_0^b \frac{d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }
&\int_b^c \frac{\nu^2 d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }\\
-{}&\int_0^b \frac{\rho^2 d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }
\int_b^c\frac{d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }
= \frac{\pi}{2},
\end{align*}
ou bien encore
\begin{align*}
\int_0^b \frac{d\rho }{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }
&\int_b^c \frac{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2} }{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} } d\nu\\
+{}&\int_0^b \frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2} }{\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} } d\rho
\int_b^c \frac{d\nu }{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }
= \frac{\pi}{2}.
\end{align*}
Ces relations peuvent se démontrer directement (\emph{voyez} la note placée
à la fin de ce mémoire); toutefois la facilité avec laquelle elles se déduisent
de l'analyse précédente mérite d'être remarquée.

Le genre de coordonnées $\mu$, $\nu$, $\rho$, auquel on est conduit en traitant
la question physique qui nous occupe, paraît même devoir fournir
les éléments d'une sorte de trigonométrie elliptique, dont l'objet serait
de démontrer géométriquement, et d'une manière simple, quelques
formules qui lient entre elles les différentes espèces de transcendantes
elliptiques. Et, comme un autre exemple de ce nouveau
mode de démonstration, on remarquera que le volume d'un ellipsoïde $(\mu)$,
ou le produit $\mu \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}$ de ses trois axes, multiplié
par $\frac{4}{3} \pi$, doit être égal à huit fois l'intégrale triple
$\iiint\delta s \delta s' \delta s''$, prise entre les limites extrêmes des variables indépendantes
$\mu$, $\nu$, $\rho$; ce qui conduit à l'intégrale suivante, définie en $\nu$
et $\rho$, indéfinie en $\mu$,
\begin{multline*}
\int_0^b\int_b^c\int_b^\mu
\frac{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2) d\mu d\nu d\rho }
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}
\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }\\
= \frac{\pi }{6 }\mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2};
\end{multline*}
laquelle peut se décomposer en une somme algébrique de triples produits
de transcendantes elliptiques.
\marginpage % *** File: 176.png

\mysection{§ XV.}

Dans le cas de l'enveloppe dont les parois sont deux hyperboloïdes
à une nappe, ayant mêmes foyers, la quantité de chaleur qui traverse,
dans l'unité de temps, le parallélépipède $\delta s \delta s''$, compris entre
deux surfaces d'égale température infiniment voisines, a pour expression
\[
K\frac{dV}{d\nu} \frac{\delta\nu}{\delta s'} \delta s \delta s'';
\]
ou, en substituant les valeurs de $\delta s$, $\delta s'$, $\delta s''$,
\[
K\frac{dV}{d\nu}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}
\frac{(\mu^2-\rho^2) \delta\mu \delta\rho }
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} },
\]
ou enfin, en ayant égard à l'équation (9),
\[
KA\frac{(\mu^2-\rho^2) \delta\mu \delta\rho }
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }:
\]
elle est donc indépendante de $\nu$, et par conséquent de la surface isotherme
considérée.

Ainsi, dans le canal infiniment délié dont l'axe et les arètes sont
des courbes $s'$, les sections $\delta s \delta s''$, perpendiculaires à ses parois et de
grandeur variable, sont toutes traversées par la même quantité de
chaleur dans le même temps. Ce canal forme un filet de chaleur dont
la différentielle qui précède exprime la dépense.

Enfin dans le cas de l'enveloppe terminée par deux moitiés d'hyperboloïdes
à deux nappes aux mêmes foyers, la quantité de chaleur
qui traverse, dans l'unité de temps, le parallélépipède $\delta s \delta s'$ est
\begin{multline*}
K\frac{dV}{d\rho} \frac{\delta\rho}{\delta s''} \delta s \delta s'\\
= K\frac{dV}{d\rho} \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}
\frac{(\mu^2-\nu^2) \delta\mu \delta\nu }
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} },
\end{multline*}
ou enfin, d'après l'équation (9)\down{2}:
\marginpage % *** File: 177.png
\[
KA\frac{(\mu^2-\nu^2) \delta\mu \delta\nu }
{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} }.
\]
Cette quantité est indépendante de $\rho$, ou de ce qui particularise la
surface isotherme. Ainsi, dans le canal aux arètes $s''$ toutes les sections
$\delta s' \delta s$, quoique différentes, sont cependant toutes traversées par le
même flux de chaleur. Ce canal est donc un filet de chaleur dont la dépense
est exprimée par la différentielle précédente.

Il résulte de ces vérifications que les équations (10)\down{0}, (10)\down{1}, (10)\down{2},
représentent réellement les températures stationnaires dans trois genres
d'enveloppes dont les parois sont des surfaces du second degré
ayant mêmes foyers, et entretenues chacune à une température constante
dans toute son étendue, mais différente de l'une à l'autre de ces
parois.

\mysection{§ XVI.}

Si l'espace solide en équilibre de température était terminé par
deux paraboloïdes de même espèce, dont les axes seraient dirigés sur
la même droite, et dont les sections principales auraient les mêmes
foyers, il résulte évidemment des différents cas qui viennent d'ètre
traités, et des transformations connues pour passer d'une espèce de
surface du second ordre à une autre, que les surfaces d'égale température
dans le solide proposé seraient des paraboloïdes de même espèce
que les parois, et assujettis aux mêmes relations de forme et de
position.

\mysection{§ XVII.}

Si $b = c$ dans les équations (5), la première représente des ellipsoïdes
de révolution autour de leur grand axe, et les ellipses méridiennes
de tous ces ellipsoïdes ont les mêmes foyers; la troisième équation
représente des hyperboloïdes de révolution à deux nappes ayant
mêmes foyers; quant à la seconde, $\nu$ devant toujours être compris
entre $b$ et $c$, on posera $c^2 = b^2 + \Delta b^2$, $\nu^2= b^2+\Delta\nu^2$, $\Delta\nu^2$ et $\Delta b^2$
étant des quantités infiniment petites, dont le rapport fini peut varier
\marginpage % *** File: 178.png
avec $\Delta \nu^2$; la seconde des équations (5) deviendra alors
\[
y^2 = z^2\raisebox{-2ex}{\Bigg(}\frac{1 }{\dfrac{\Delta b^2}{\Delta \nu^2}-1 }\raisebox{-2ex}{\Bigg)},
\]
et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution
des deux autres systèmes.

En posant $b = c$ dans les équations (9)\down{0} et (10)\down{0}, elles deviennent
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\mu} (\mu^2-c^2) = A,\\
V = \frac{A}{c}\log \sqrt{\frac{\mu-c }{\mu+c }} + B,
\end{gather*}
pour la température stationnaire des différents points d'une enveloppe
terminée par deux ellipsoïdes de révolution autour de leur grand
axe, ayant mêmes foyers, et entretenus chacun à une température
constante.

En faisant $b = c$ dans les équations (9)\down{2} et (10)\down{2}, elles donnent
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\rho} (c^2-\rho^2) = A,\\
V = \frac{A}{c} \log \sqrt{\frac{c+\rho}{c-\rho}} + B,
\end{gather*}
pour exprimer la température variable d'un point à l'autre d'une
enveloppe solide terminée par les moitiés de deux hyperboloïdes de
révolution à deux nappes, ayant mêmes foyers.

\mysection{§ XVIII.}

Si $b=0$ dans les équations (5), la première représente des ellipsoïdes
de révolution autour de leur petit axe, dont les ellipses méridiennes
ont toutes les mêmes distances focales; la seconde représente
des hyperboloïdes de révolution à une seule nappe, assujettis à la
même relation de forme et de position; quant à la troisième, $\rho$ devant
toujours être moindre que $b$, on y substituera à $b^2$ et $\rho^2$ deux
\marginpage % *** File: 179.png
quantités infiniment petites $\Delta b^2$ et $\Delta\rho^2$; elle deviendra alors
\[
\Big(\frac{\Delta b^2 }{\Delta\rho^2 } - 1\Big)x^2 = y^2,
\]
et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution
des deux \label{err179}autres systèmes.

En posant $b=0$ dans les équations (9)\down{0} et (10)\down{0}, elles deviennent
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\mu} \mu \sqrt{\strxx  \mu^2-c^2} = A,\\
V = \frac{A}{c} \arc\Big(\cos=\frac{c}{\mu}\Big) + B.
\end{gather*}
Telle est la loi des températures dans une enveloppe solide terminée
par deux ellipsoïdes de révolution autour de leur petit axe, dont les
coupes méridiennes ont les mêmes foyers, lorsque chacune de ces
parois est entretenue à une température constante, mais différente de
l'une à l'autre paroi.

En faisant $b = 0$ dans les équations (9)\down{1} et (10)\down{1}, elles donnent
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\nu} \nu \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A,\\
V = A \log\Big(\frac{\nu }{c+\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}} + B\Big),
\end{gather*}
pour la loi des températures stationnaires d'une enveloppe solide
terminée par deux hyperboloïdes de révolution à une nappe, assujettis
aux mêmes relations de température et de forme que les parois
du cas précédent.

Il est remarquable que dans l'enveloppe ellipsoïdale de révolution
autour du grand axe, dont la surface est évaluable en arc de cercle,
la température soit exprimée par un logarithme; tandis qu'au contraire,
dans l'enveloppe formée par la révolution de deux ellipses
homofocales autour de leurs petits axes, dont la surface est donnée
par logarithmes, la température est inversement exprimée par un
arc de cercle.
\marginpage % *** File: 180.png

\mysection{§ XIX.}

Si l'on considère le cône comme la limite d'un hyperboloïde à une
nappe ou à deux nappes, on peut déduire de l'analyse précédente la
loi des températures stationnaires de tous les points d'une enveloppe
dont les parois seraient deux cônes obliques du second degré, ayant
le même sommet et leurs sections principales situées sur les mêmes
plans, lorsque ces deux parois, entretenues chacune à une température
uniforme et constante, ont entre elles cette relation de forme,
qu'elles sont asymptotiques à deux hyperboloïdes aux mêmes foyers.
Les surfaces d'égale température seraient alors des cônes de la même
famille, ou des cônes asymptotiques à des hyperboloïdes ayant les
mêmes foyers que ceux avec lesquels les parois coniques se confondent
infiniment loin du sommet.

Mais comme il est impossible de réaliser des circonstances physiques
semblables, à cause du flux de chaleur qui devrait avoir lieu au sommet,
sur une épaisseur nulle, et qui serait infiniment grand comparativement
au flux qui traverserait toute autre partie de l'enveloppe, je
me dispenserai de discuter plus longuement ce cas particulier; je ne
l'offre ici que comme une limite offerte par l'analyse, et qui pourra
jeter quelque jour sur la manière de considérer le cône, toutes les
fois qu'on voudra étudier l'équilibre et le mouvement des agents
physiques dans son intérieur.

Pour représenter analytiquement ce cas singulier, il faut supposer
$b$ et $c$ nuls dans équations (5), sans que le rapport $\dfrac{b}{c}$ le soit; la première
de ces équations représente alors des sphères concentriques,
mais que l'on doit considérer ici comme les limites d'ellipsoïdes à axes
inégaux, dont les quatre foyers sont infiniment rapprochés, sans se
confondre cependant: la seconde et la troisième des équations (5),
dans lesquelles on pourra remplacer $\nu$, $\rho$, $b$, $c$, par $\epsilon\nu_1$, $\epsilon\rho_1$, $\epsilon b_1$, $\epsilon c_1$,
$\epsilon$ étant infiniment petit ou nul, et $\nu_1$, $\rho_1$, $b_1$, $c_1$, des \label{err180}longueurs finies,
représenteront alors des cônes asymptotiques à \label{err180b}des hyperboloïdes à
une et à deux nappes, ayant les mêmes plans de sections principales
et les mêmes foyers.
\marginpage % *** File: 181.png

Il suit de là que si l'on imagine les deux séries d'hyperboloïdes à
une et à deux nappes représentées par les deux dernières équations (5),
les traces de leurs cônes asymptotiques sur une même surface sphérique,
ayant son centre à leur sommet commun, formeront deux
systèmes de courbes à double courbure qui se couperont à angle
droit.

\mysection{§ XX.}

Pour traiter le cas de l'équilibre de température d'une enveloppe
cylindrique, dont les parois et les surfaces isothermes, coupées perpendiculairement
aux arètes, donneraient des courbes du second degré,
il faut chercher la relation qui doit exister entre les fonctions $m$ et $n$
du même paramètre variable $\lambda$, pour que l'équation
\[
mx^2 + ny^2 = 1
\]
représente un système de surfaces d'égale température. On est alors
conduit aux deux systèmes suivants:
\[
\stag{5}{1}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{x^2}{\mu^2} + \frac{y^2}{\mu^2-c^2} &= 1,\\
\frac{x^2}{\nu^2} + \frac{y^2}{c^2-\nu^2} &= 1,
\end{aligned}
\right.
\]
qui représentent deux séries de cylindres, les uns à base elliptique,
les autres à base hyperbolique, qui ont cela de commun que leurs traces
sur un même plan perpendiculaire à leurs arêtes sont toutes des courbes
du second degré ayant les mêmes foyers. Les traces hyperboliques
coupent à angle droit toutes les traces elliptiques, etc.

On trouve alors pour la loi des températures de l'enveloppe cylindrique
indéfinie à base elliptique,
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\mu} \sqrt{\strxx\mu^2-c^2} = A,\\
V = A\log(\mu + \sqrt{\strxx\mu^2-c^2}) + B,
\end{gather*}
et pour le cas de la base hyperbolique
\begin{gather*}
\frac{dV}{d\nu} \sqrt{\strxx c^2-\nu^2} = A,\\
V = A\arc\Big(\sin=\frac{\nu}{c}\Big) + B.
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 182.png

Je crois inutile d'entrer dans plus de détails sur ces nouveaux
exemples; la discussion du cas plus général que j'ai traité le premier
ne permet pas de douter de l'exactitude des lois indiquées par les
équations précédentes.


\mysection{SECONDE PARTIE.}

\mysection{§ XXI.}

Les coordonnées elliptiques, qui sont indiquées par l'analyse mathématique
de l'équilibre de la chaleur dans les corps que j'ai considérés,
donnent le moyen de traiter le cas plus général des températures
stationnaires d'un corps plein ou d'une enveloppe solide creuse,
dont les parois seraient des surfaces du second degré, auxquelles seraient
immédiatement appliqués des foyers connus, mais variables d'un
point à l'autre de ces parois; ainsi que le cas du refroidissement de
ce corps ou de cette enveloppe, lorsqu'elle est exposée à des circonstances
calorifiques de même nature.

En exprimant l'équation générale au moyen des coordonnées dont
il s'agit, on parvient, comme dans les cas traités jusqu'ici, à ramener
la solution complète de la question à l'intégration d'équations aux
différences ordinaires; en sorte que la seule difficulté qui s'oppose
encore à l'évaluation numérique des températures ne consiste plus
qu'à intégrer ces dernières équations au moyen de séries suffisamment
convergentes.

Ces équations aux différences ordinaires prennent leur forme la
plus simple et la plus commode, en substituant aux coordonnées elliptiques
un autre genre de coordonnées, qui a encore un rapport
plus direct avec la question physique. Si l'on considère séparément
les trois systèmes conjugués et orthogonaux de surfaces isothermes
comprises parmi les surfaces du second degré, la température est
exprimée, dans chacun de ces systèmes, par une transcendante elliptique
de première espèce. Or, les nouvelles coordonnées dont il s'agit
\marginpage % *** File: 183.png
sont les trois transcendantes elliptiques qui expriment les températures
stationnaires dans les trois cas.

L'objet de cette seconde partie est de démontrer les deux propositions
que je viens d'énoncer.

\mysection{§ XXII.}

Je considérerai d'abord le cas général de l'équilibre des températures
dans un corps solide homogène, terminé par des surfaces du second
degré homofocales.

Soient $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, les intégrales qui constituent les parties variables
de la température, dans les équations (10)\down{0}, (10)\down{1}, (10)\down{2}, de la première
partie de ce mémoire, lorsque les surfaces isothermes sont
ou des ellipsoïdes, ou des hyperboloïdes à une nappe, ou des hyperboloïdes
à deux nappes, tous ayant les mêmes foyers. Soit de plus
$\mu_0 > c$, $\nu_0 > b$ et $< c$, $\rho_0 < b$, les limites inférieures des intégrales $\epsilon$,
$\eta$, $\xi$, ou les valeurs des variables pour lesquelles ces intégrales sont
nulles, on aura
\[
\tag{11}
\left\{
\begin{aligned}
\epsilon &= \int_{\mu_0}^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} },\\
\eta     &= \int_{\nu_0}^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} },\\
\xi      &= \int_{\rho_0}^\rho \frac{d\rho}{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} }.
\end{aligned}
\right.
\]

Il s'agit maintenant de prendre $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, pour les trois variables
indépendantes de la température $V$, qui rapportée aux coordonnées
$x$, $y$, $z$, doit vérifier l'équation (1). Pour cela, il faut d'abord transformer
cette dernière équation en coordonnées elliptiques, $\mu$, $\nu$, $\rho$.

En effectuant cette transformation, on se rappellera que les équations
obtenues en égalant à des constantes les trois fonctions $\mu$, $\nu$, $\rho$,
représentent (en coordonnées rectangulaires) trois surfaces qui se
coupent orthogonalement, en sorte que l'on doit poser\label{err184}
\marginpage % *** File: 184.png
\begin{align*}
\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\nu} {dx} + \frac{d\mu}{dy}\ldot\frac{d\nu} {dy} +\frac{d\mu}{dz}\ldot\frac{d\nu} {dz}&=0,\\
\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + \frac{d\mu}{dy}\ldot\frac{d\rho}{dy} +\frac{d\mu}{dz}\ldot\frac{d\rho}{dz}&=0,\\
\frac{d\nu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + \frac{d\nu}{dy}\ldot\frac{d\rho}{dy} +\frac{d\nu}{dz}\ldot\frac{d\rho}{dz}&=0.
\end{align*}
On a, en regardant $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme des fonctions de $x$, $y$, $z$,
\begin{align*}
&\qquad\qquad\frac{dV}{dx} = \frac{dV}{d\mu}\frac{d\mu}{dx} + \frac{dV}{d\nu}\frac{d\nu}{dx} +\frac{dV}{d\rho}\frac{d\rho}{dx}, \\
\frac{d^2V}{dx^2} &= \frac{d^2V}{d\mu^2}\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2
\begin{aligned}[t] &+ \frac{d^2V}{d\nu^2}\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2 + \frac{d^2V}{d\rho^2}\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2\\
		   &+ \frac{dV}{d\mu}\frac{d^2\mu}{dx^2} + \frac{dV}{d\nu}\frac{d^2\nu}{dx^2} +\frac{dV}{d\rho}\frac{d^2\rho}{dx^2}\end{aligned}\\
&+ 2\frac{d^2V}{d\mu d\nu}\ldot\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\nu}{dx} + 2\frac{d^2V}{d\mu d\rho}\ldot\frac{d\mu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx} + 2\frac{d^2V}{d\nu d\rho}\ldot\frac{d\nu}{dx}\ldot\frac{d\rho}{dx}
\end{align*}
et par suite, en omettant les termes qui se détruisent,
\[
\tag{12}\left\{
\begin{alignedat}{3}
&&&\frac{d^2V}{dx^2}+\frac{d^2V}{dy^2}+\frac{d^2V}{dz^2}\\
&= \frac{dV}{d\mu} &\Big(&\frac{d^2\mu} {dx^2}+\frac{d^2\mu} {dy^2}+\frac{d^2\mu} {dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\mu^2} \Big[\Big(\frac{d\mu} {dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\mu} {dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\mu} {dz}\Big)^2\Big]\\
&+ \frac{dV}{d\nu} &\Big(&\frac{d^2\nu} {dx^2}+\frac{d^2\nu} {dy^2}+\frac{d^2\nu} {dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\nu^2} \Big[\Big(\frac{d\nu} {dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\nu} {dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\nu} {dz}\Big)^2\Big]\\
&+ \frac{dV}{d\rho}&\Big(&\frac{d^2\rho}{dx^2}+\frac{d^2\rho}{dy^2}+\frac{d^2\rho}{dz^2}\Big) &&+ \frac{d^2V}{d\rho^2}\Big[\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2+\Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2+\Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2\Big]=0.
\end{alignedat}\right.
\]
Or, les fonctions $\mu$, $\nu$, $\rho$, vérifient l'équation (2) en prenant pour
$\psi(\mu)$, $\psi(\nu)$, $\psi(\rho)$, les expressions qui conduisent aux équations (9),
et qui sont,
\begin{align*}
\psi(\mu) &= \frac{\mu} {\mu^2-b^2} +\frac{\mu} {\mu^2-c^2},\\
\psi(\nu) &= \frac{\nu} {\nu^2-b^2} -\frac{\nu} {c^2-\nu^2},\\
\psi(\rho)&=-\frac{\rho}{b^2-\rho^2}-\frac{\rho}{c^2-\rho^2}.
\end{align*}
On a donc
\marginpage % *** File: 185.png
\[
\tag{13}\left\{\begin{alignedat}{2}
&\frac{d^2\mu}{dx^2}{+}
\frac{d^2\mu}{dy^2}{+}
\frac{d^2\mu}{dz^2} =
&\Big(\frac{\mu}{\mu^2{-}b^2}
{+} \frac{\mu}{\mu^2{-}c^2}\Big)
&\Big[\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2\Big], \\
%
&\frac{d^2\nu}{dx^2}{+}
\frac{d^2\nu}{dy^2}{+}
\frac{d^2\nu}{dz^2} =
&\Big(\frac{\nu}{\nu^2{-}b^2}
{-} \frac{\nu}{c^2{-}\nu^2}\Big)
&\Big[\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\nu}{dy}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\nu}{dz}\Big)^2\Big], \\
%
&\frac{d^2\rho}{dx^2}{+}
\frac{d^2\rho}{dy^2}{+}
\frac{d^2\rho}{dz^2} =
&{-}\Big(\frac{\rho}{b^2{-}\rho^2}
{+} \frac{\rho}{c^2{-}\rho^2}\Big)
&\Big[\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2
{+} \Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2\Big]. \\
\end{alignedat}\right.
\]

On a de plus
\[
\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2+
\Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2+
\Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2 =
\frac{1}{\mu^2\Big(\dfrac{x^2}{\mu^4}
+ \dfrac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}
+ \dfrac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2}\Big)},
\]
et en vertu des équations (6)
\[
\frac{x^2}{\mu^4} + \frac{y^2}{(\mu^2-b^2)^2}+\frac{z^2}{(\mu^2-c^2)^2} =
\frac{(\mu^2-\nu^2)(\mu^2-\rho^2)}{\mu^2(\mu^2-c^2)(\mu^2-b^2)},
\]
d'où enfin
\[
\tag{14}
\left\{
\begin{aligned}
\Big(\frac{d\mu}{dx}\Big)^2+
\Big(\frac{d\mu}{dy}\Big)^2+
\Big(\frac{d\mu}{dz}\Big)^2 =
\frac{(\mu^2-c^2)\hfill(\mu^2-b^2)}{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)},\\
%
\Big(\frac{d\nu}{dx}\Big)^2+
\Big(\frac{d\nu}{dy}\Big)^2+
\Big(\frac{d\nu}{dz}\Big)^2 =
\frac{(\nu^2-b^2)\hfill(c^2-\nu^2)}{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)},\\
%
\Big(\frac{d\rho}{dx}\Big)^2+
\Big(\frac{d\rho}{dy}\Big)^2+
\Big(\frac{d\rho}{dz}\Big)^2 =
\frac{(b^2-\rho^2)\hfill(c^2-\rho^2)}{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2)}.
\end{aligned}
\right.
\]

Les équations (13) et (14) donnent le moyen d'éliminer $x$, $y$, $z$,
dans l'équation (12), qui devient alors
\[
\tag{15}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}
\dfrac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} \dfrac{dV}{d\mu}}{d\mu} }
{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\
&\qquad+ \frac{\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}
\dfrac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2} \dfrac{dV}{d\nu}}{d\nu} }
{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\
&\qquad\qquad+\frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}
\dfrac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2} \dfrac{dV}{d\rho}}{d\rho} }
{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2) } = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
\marginpage % *** File: 186.png

Ou enfin, en rapportant la température $V$ aux coordonnées $\epsilon$,
$\eta$, $\xi$,
\[
(\nu^2-\rho^2) \frac{d^2V}{d\epsilon^2} +
(\mu^2-\rho^2) \frac{d^2V}{d\eta^2} +
(\mu^2-\nu^2)  \frac{d^2V}{d\xi^2} = 0.
\tag*{(15)\emph{bis}.}
\]

On doit considérer dans cette équation $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme des fonctions
de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$, données par les formules (11). Il s'agit maintenant
d'intégrer cette dernière équation (15)\emph{bis}.

\mysection{§ XXIII.}

Les formules (11) donnent
\begin{alignat*}{3}
\frac{d\mu}{d\epsilon} &= \sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\sqrt{\strxx\mu^2-c^2},\quad
& \frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}{d\epsilon} &= \mu\sqrt{\strxx\mu^2-c^2},&&\\
&&\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{d\epsilon} &= \mu\sqrt{\strxx\mu^2-b^2};\\
%
\frac{d\nu}{d\eta} &= \sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\quad
& \frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta} &=  \nu\sqrt{\strxx c^2-\nu^2},\\
&&\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta} &= -\nu\sqrt{\strxx\nu^2-b^2};\\
%
\frac{d\rho}{d\xi} &= \sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\quad
& \frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi} &= -\rho\sqrt{\strxx c^2-\rho^2},\\
&&\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi} &= -\rho\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}.\\
\end{alignat*}
D'où l'on conclut les identités qui suivent, lesquelles sont importantes
pour la question qui nous occupe:
\[
\tag{16}
\left\{
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
(\nu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\mu}{d\epsilon}\Big)^2 +
(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\nu}{d\eta}\Big)^2 +
&(\mu^2-\nu^2) \Big(\frac{d\rho}{d\xi}\Big)^2\\
&= (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2),
\end{aligned} \\
%
&\begin{aligned}
(\nu^2-\rho^2)&\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}}{d\epsilon}\Big)^2 +
(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta}\Big)^2 \\
&- (\mu^2-\nu^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2
= (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2),
\end{aligned} \\
%
&\begin{aligned}
\label{err186}(\nu^2-\rho^2)&\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}{d\epsilon}\Big)^2 -
(\mu^2-\rho^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta}\Big)^2 \\
&- (\mu^2-\nu^2)\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2
= (\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)(\mu^2-\nu^2).
\end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]
\marginpage % *** File: 187.png

Il résulte de là que si $E$, $Y$, $X$, sont des fonctions, la première
de $\epsilon$ seulement, la seconde de $\eta$, la troisième de $\xi$, satisfaisant aux
équations différentielles linéaires du second ordre suivantes:
\[
\tag{17}
\left\{\quad
\begin{alignedat}{4}
\frac{d^2E}{d\epsilon^2}
&+ \Big[P\Big(\frac{d\mu}{d\epsilon}\Big)^2
&&+ Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-b^2} }{d\epsilon }\Big)^2
&&+ R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2} }{d\epsilon }\Big)^2 &\Big]&E = 0,\\
%
\frac{d^2Y}{d\eta^2}
&+ \Big[P\Big(\frac{d\nu}{d\eta}\Big)^2
&&+ Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}}{d\eta}\Big)^2
&&- R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}}{d\eta}\Big)^2 &\Big]&Y = 0,\\
%
\frac{d^2X}{d\xi^2}
&+ \Big[P\Big(\frac{d\rho}{d\xi}\Big)^2
&&- Q\Big(\frac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2
&&- R\Big(\frac{d\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}}{d\xi}\Big)^2 &\Big]&X = 0,\\
\end{alignedat}
\right.
\]
où $P$, $Q$, $R$, sont des paramètres indéterminés et constants. L'équation
(15)\emph{bis} deviendra en y posant $V = EYX$,
\[
(\nu^2 - \rho^2)(\mu^2 - \rho^2)(\mu^2 - \nu^2)(P + Q + R) = 0,
\]
et sera satisfaite si l'on établit entre $P$, $Q$, $R$, la relation
\[
\tag{18}
P + Q + R = 0.
\]

On pourra donc prendre pour une intégrale, la plus générale de
l'équation (15)\emph{bis}, une série de la forme
\[
V = \sum A\ldot EYX,
\]
$A$ étant un coefficient constant, et chaque terme de cette série correspondant
à un système particulier de valeurs de $P$, $Q$, $R$, vérifiant
l'équation (18).

\mysection{§ XXIV.}

Les parois du corps solide proposé sont représentées par des équations
très simples dans le système de coordonnées actuel, puisque
ces parois sont par hypothèse des surfaces sur lesquelles une des
\marginpage % *** File: 188.png
coordonnées est constante. L'intégrale (19) de $V$ se prêtera donc facilement
à l'introduction des conditions données de la surface.

Il est aisé de voir, d'après cela, que tous les cas d'équilibre de température
des corps ou des enveloppes solides terminés par des surfaces
du second degré soumises à des sources connues de chaleur et de
froid, sont ramenés à l'intégration des équations aux différences ordinaires (17),
qui, en vertu de l'équation (18), peuvent se mettre
sous la forme
\[
\tag*{(17)\emph{bis}}
\left\{\quad
\begin{alignedat}{2}\label{err188}
&\frac{d^2E}{d\epsilon^2} + [\, Qb^2(\mu^2-c^2)    &&+ Rc^2(\mu^2-b^2) ]E=0,\\
&\frac{d^2Y}{d\eta^2}     + [\, Qb^2(c^2-\nu^2)    &&- Rc^2(\nu^2-b^2) ]Y=0,\\
&\frac{d^2X}{d\xi^2}      + [{-}Qb^2(c^2{-}\rho^2) &&- Rc^2(b^2-\rho^2)]X=0,
\end{alignedat}
\right.
\]
en y regardant $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme respectivement fonction de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$,
d'après les formules (11); ou en $\mu$, $\nu$, $\rho$:
\[
\tag*{(17)\emph{ter}}
\left\{\quad
\begin{aligned}
(\mu^2-c^2)(\mu^2-b^2)&\frac{d^2E}{d\mu^2}
+ \left[\mu(\mu^2-b^2) + \mu(\mu^2-c^2)\right]\frac{dE}{d\mu}\\
&+ \left[Qb^2 (\mu^2-c^2) + Rc^2(\mu^2-b^2)\right] E = 0, \\
%
(c^2-\nu^2)(\nu^2-b^2)&\frac{d^2Y}{d\nu^2}
+ \left[-\nu(\nu^2-b^2) + \nu(c^2-\nu^2)\right]\frac{dY}{d\nu}\\
&+ \left[Qb^2(c^2-\nu^2) - Rc^2(\nu^2-b^2)\right] Y = 0,\\
%
(c^2-\rho^2)(b^2-\rho^2)&\frac{d^2X}{d\rho^2}
+ \left[-\rho(b^2-\rho^2) - \rho(c^2-\rho^2)\right]\frac{dX}{d\rho}\\
&+ \left[-Qb^2(c^2-\rho^2) - Rc^2(b^2-\rho^2)\right] X = 0.\\
\end{aligned}
\right.
\]

\mysection{§ XXV.}

Le cas du refroidissement d'un corps solide homogène terminé
par des surfaces du second degré homofocales, peut pareillement se
ramener à l'intégration d'équations aux différences ordinaires.

La formule générale connue
\[
\frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d^2V}{dy^2} + \frac{d^2V}{dz^2} = K\frac{dV}{dt},
\]
devient en $\mu$, $\nu$, $\rho$
\marginpage % *** File: 189.png
\begin{multline*}
\frac{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\,
\dfrac{d\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}\sqrt{\strxx\mu^2-b^2}\, \dfrac{dV}{d\mu}}{d\mu} }
{(\mu^2-\nu^2)(\mu^2-\rho^2) }\\
+\frac{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\,
\dfrac{d\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}\sqrt{\strxx\nu^2-b^2}\, \dfrac{dV}{d\nu}}{d\nu} }
{(\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2) }\\
+\frac{\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}\,
\dfrac{d\sqrt{\strxx b^2-\rho^2}\sqrt{\strxx c^2-\rho^2}\, \dfrac{dV}{d\rho}}{d\rho} }
{(\mu^2-\rho^2)(\nu^2-\rho^2) } = K\frac{dV}{dt},
\end{multline*}
et en $\epsilon$, $\eta$, $\xi$
\begin{multline*}
(\nu^2-\rho^2)\frac{d^2V}{d\epsilon^2} + (\mu^2-\rho^2)\frac{d^2V}{d\eta^2} -
(\mu^2+\nu^2)\frac{d^2V}{d\xi^2}\\
= (\mu^2-\nu^2)(\nu^2-\rho^2)(\mu^2-\rho^2)K\, \frac{dV}{dt};
\end{multline*}
en regardant ici $\mu$, $\nu$, $\rho$, comme respectivement fonction de $\epsilon$, $\eta$, $\xi$,
d'après les équations (11).

Or on satisfera évidemment à cette dernière équation, en posant
\[
V=\sum A e^{-\tfrac{\theta^2}{K}t} \ldot  EYX.
\]
Les fonctions $E$, $Y$, $X$, vérifiant les équations différentielles (17),
dans lesquelles les constantes $P$, $Q$, $R$, seront liées au paramètre $\theta^2$,
par l'équation
\[
P + Q + R + \theta^2 =0.
\]

Il est facile, si on le trouve convenable, de rétablir dans ces
équations les coordonnées $\mu$, $\nu$, $\rho$; elles prennent alors des formes
analogues aux équations (17)\emph{ter}; les derniers termes sont seuls plus
compliqués.
\marginpage % *** File: 190.png
\mysection{§ XXVI.}

Dans l'état actuel de l'analyse mathématique, toutes les équations
différentielles (17) ne sont pas intégrables d'une manière assez
simple, ni assez commode, pour qu'il pût être intéressant de pousser
ici plus loin la discussion des cas généraux qui précèdent. Je me
contenterai d'avoir fait voir que l'analyse de ces questions physiques
ne dépend plus que de l'intégration d'équations aux différences ordinaires\label{err190}
linéaires et du second ordre.

\mysection{§ XXVII.}

Les équations aux différences ordinaires auxquelles on est conduit
en cherchant à traiter les cas plus particuliers de l'équilibre
et du mouvement de la chaleur dans les ellipsoïdes de révolution,
ou dans un prisme à base elliptique, se déduisent facilement de
calculs plus simples, mais analogues aux précédents; je me dispenserai
de les présenter ici.

Je ferai remarquer toutefois que le cas de l'équilibre des températures
de l'ellipsoïde de révolution autour de son grand axe,
lorsque les foyers de chaleur et de froid auxquels il est exposé sont
placés symétriquement par rapport à cet axe, est exprimé par l'équation
\[
\frac{d(\mu^2-c^2)\dfrac{dV}{d\mu} }{d\mu } +
\frac{d(c^2-\rho^2)\dfrac{dV}{d\rho} }{d\rho } =0,
\]
qui peut s'intégrer assez facilement, comme M.~Poisson l'a fait voir
dans un de ses mémoires sur le son.

\mysection{§ XXVIII.}

Le cas de l'équilibre calorifique d'un cylindre indéfini à base elliptique
se présente sous une forme très simple, en employant pour
coordonnées les fonctions
\marginpage % *** File: 191.png
\[
\epsilon = \int_{\mu_0}^\mu \frac{d\mu}{\sqrt{\strxx\mu^2-c^2}}, \quad \eta = \int_{\nu_0}^\nu \frac{d\nu}{\sqrt{\strxx c^2-\nu^2}},
\]
qui expriment les lois des températures stationnaires sur les cylindres
elliptiques et hyperboliques, homofocaux et isothermes, que j'ai
considérés à la fin de la première partie de ce mémoire; l'équation
que la fonction $V$ doit vérifier se réduit alors à
\[
\frac{d^2V}{d\epsilon^2} + \frac{d^2V}{d\eta^2} = 0.
\]
En sorte que le cas général du cylindre à base elliptique ou hyperbolique,
en équilibre de température, peut se traiter avec la
même facilité que celui correspondant du prisme à base rectangulaire,
dont la solution est connue.

\mysection{§ XXIX.}

Ainsi, la connaissance des surfaces isothermes du second ordre,
et celle des lois qui lient les températures stationnaires sur ces surfaces,
indiquent à l'analyse le genre de coordonnées qu'il convient
d'employer pour traiter les cas plus généraux de l'équilibre et du mouvement
de la chaleur, dans les corps ou les enveloppes solides, terminés
par des surfaces du second ordre en contact avec des sources
constantes de chaleur et de froid. C'est ce que je m'étais proposé de
démontrer dans cette seconde partie.

\jmpafin

% *** File: 192.png

\jmpapaper{NOTE DE M.~POISSON}{RELATIVE AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.}
{}
{}{}
\label{art16}

La première équation du paragraphe XIV, savoir:
\[
\int_0^b \int_c^b \frac{(y^2-x^2)dydx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2) } } = \tfrac{1}{2}\pi,\tag{1}
\]
peut se changer en celle-ci,
\begin{multline*}
\int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } \int_b^c \frac{y^2dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2) } }\tag{2}\\
-\int_0^b \frac{x^2dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } \int_b^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{2}\pi
\end{multline*}
Pour la vérifier, je fais d'abord
\[
x = b \sin \phi,\qquad dx = b \cos \phi d\phi,\qquad b = ac;
\]
les limites relatives à $\phi$, qui répondent à $x=0$ et $x=b$, seront $\phi=0$ et $\phi=\frac{1}{2}\pi$;
et d'après les notations connues de Legendre, il en résultera
\begin{align*}
\int_0^b \frac{dx}{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}} ={}&\frac{1}{c} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } = \frac{1}{c} F_1a,\\
\int_0^b \frac{x^2dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } = c &\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }\\
&-c \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi = c(F_1a-E_1a).
\end{align*}
Je fais ensuite
\begin{align*}
&\frac{y^2-b^2}{c^2-y^2} = \cot^2\theta,\qquad y^2 = c^2 - (c^2-b^2) \sin^2 \theta,\\
&dy = -\frac{(c^2-b^2)\sin\theta \cos\theta d\theta}{\sqrt{c^2-(c^2-b^2)\sin^2\theta}},\qquad c^2-b^2 = c^2 \alpha^2
\end{align*}
\marginpage % *** File: 193.png
les limites relatives à $y$, qui répondent à $y = b$ et $y = c$, seront $\theta=\frac{1}{2} \pi$ et
$\theta=0$; en les intervertissant et changeant le signe de l'intégrale, on aura
\begin{align*}
\int_b^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2 -b^2)(c^2-y^2)}}
&= \frac{1}{c} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2 \sin^2\theta}}
= \frac{1}{c} F_1\alpha,\\
\int_b^c \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)}}
&= c \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} d\theta
= cE_1\alpha.
\end{align*}
Au moyen de ces transformations, l'équation (2) devient
\[
\tag{3}
F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha = \tfrac{1}{2}\pi;
\]
et en observant que les modules $a$ et $\alpha$ sont complémentaires, on voit qu'elle
coïncide avec une équation trouvée par Legendre\footnotemark.
\footnotetext{\emph{Traité des fonctions elliptiques}, tome~I\ier, page~60.}

La dernière équation du paragraphe XIV devant subsister pour toutes les valeurs
de $\mu$, et ayant lieu évidemment pour $\mu = 0$, il suffira de vérifier sa différentielle
par rapport à $\mu$, ou, ce qui est la même chose, l'équation
\[
\int_0^b \int_b^c
\frac{(\mu^2-x^2)(\mu^2-y^2)(y^2-x^2) dy dx }
{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }
= \tfrac{1}{2}\pi\mu^4 - \tfrac{1}{3}\pi\mu^2(b^2+c^2) + \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2.
\]
Elle se décompose en trois autres, savoir:
\begin{gather*}
\int_0^b \int_b^c \frac{(y^2-x^2) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{2}\pi,\\
\int_0^b \int_b^c \frac{(y^4-x^4) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\
\int_0^b \int_b^c \frac{x^2y^2(y^2-x^2) dy dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2.
\end{gather*}
La première est la même que l'équation (1), qu'on vient de vérifier; les deux
autres peuvent s'écrire ainsi:
\marginpage % *** File: 194.png
\[
\tag{4}
\left\{\quad
\begin{aligned}
& \int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} }
\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }\\
%
& - \int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} }
\int_0^c \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\
%
& \int_0^b \frac{x^2 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} }
\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }\\
%
& - \int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} }
\int_b^c \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2.
\end{aligned}
\right.
\]

D'après les transformations précédentes, on a
\begin{gather*}
\int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} }
= a^4c^3 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} },\\
%
\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} }
= c^3 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-a^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}} d\theta.
\end{gather*}
En intégrant par parties, et ayant égard aux limites, on a aussi
\[
\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi \cos^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
= \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (\cos^2\phi - \sin^2\phi)\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi,
\]
et, par conséquent,
\begin{multline*}
\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
= \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }\\
\shoveright{- \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi}
\frac{(1-2\sin^2\phi)(1-a^2\sin^2\phi) d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }} \\
\shoveleft{= \frac{2(1+a^2)}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
- \frac{1}{a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }}\\
- 2 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} },
\end{multline*}
d'où l'on déduit
\marginpage % *** File: 195.png
\begin{align*}
&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
= \frac{2(1+a^2)}{3a^2}
\begin{aligned}[t]&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\phi d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} } \\
&- \frac{1}{3a^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
\end{aligned}\\
%
&= \frac{2+a^2 }{3a^4} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\phi }{\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} }
- \frac{2(1+a^2)}{3a^4} \int_0^{\frac{1}{2}\pi}\sqrt{1-a^2\sin^2\phi} d\phi.
\end{align*}
En même temps, on a
\begin{multline*}
\qquad\int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-\alpha^2\sin^2\theta)^\frac{3}{2} d\theta
= \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }\\
\shoveright{- 2\alpha^2 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }
+  \alpha^4 \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} },} \\
\shoveleft{\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^4\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }
= \frac{2(1+\alpha^2)}{3\alpha^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }}\\
- \frac{1}{3\alpha^2} \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} };
\end{multline*}
d'où l'on conclut\label{err195}
\begin{align*}
&
\int_0^{\frac{1}{2}\pi} (1-\alpha^2\sin^2\theta)^\frac{3}{2} d\theta
= \frac{3-\alpha^2 }{3 }
\begin{aligned}[t]&\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }\\
&+ \frac{2\alpha^2(\alpha^2-2) }{3 } \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{\sin^2\theta d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }
\end{aligned} \\
&= \frac{2(1+a^2) }{3 }  \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} d\theta
- \frac{a^2 }{3 } \int_0^{\frac{1}{2}\pi} \frac{d\theta }{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta} }.
\end{align*}
Cela étant, en employant les notations de Legendre, on aura
\begin{align*}
\int_0^b \frac{x^4 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= \frac{c^3(2+a^2) }{3 } F_1 a - 2 \frac{c^3(1+a^2) }{3 } E_1 a,\\
\int_b^c \frac{y^4 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= \frac{2c^3(1+a^2) }{3 } E_1 \alpha - \frac{a^2c^3 }{3 } F_1 \alpha;
\end{align*}
et comme on a trouvé précédemment
\marginpage % *** File: 196.png
\begin{align*}
\int_0^b \frac{dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= \frac{1}{c} F_1a,\\
\int_0^b \frac{x^2 dx }{\sqrt{(b^2-x^2)(c^2-x^2)} } &= c(F_1a-E_1a),\\
\int_b^0 \frac{dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= \frac{1}{c}F_1\alpha,\\
\int_b^0 \frac{y^2 dy }{\sqrt{(y^2-b^2)(c^2-y^2)} } &= cE_1\alpha
\end{align*}
les équations (4) deviendront
\begin{align*}
&\frac{c^2}{3}(1+a^2)(F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha) = \tfrac{1}{3}\pi(b^2+c^2),\\
&\frac{c^4a^2}{3}(F_1a E_1\alpha + F_1\alpha E_1a - F_1a F_1\alpha) = \tfrac{1}{6}\pi b^2c^2;
\end{align*}
ce qui coïncide, à cause de $b = ac$, avec l'équation (3) citée plus haut.


\jmpafin

% *** File: 197.png

\jmpapaper{}{}{Addition à la Note de \bsc{M.~Poisson}, insérée dans le Numéro
précédent de ce journal\footnote{%
La première partie de cette \emph{Addition} a été écrite à l'occasion des remarques
qu'un membre de l'Académie a faites dans la séance du 17~avril dernier, sur la note
dont il s'agit.}; par l'Auteur.}{}{}
\label{art17}

L'article du Journal de M.~Crelle, auquel cette note se rapporte, a
pour titre: \emph{Nota de erroribus quibusdam geometricis, qui in theoriâ
fonctionum leguntur}. Parmi \emph{ces erreurs}, on cite textuellement deux
passages du neuvième chapitre de la seconde partie de la \emph{Théorie des
fonctions analytiques}. Or, j'ai dit dans ma note, et je maintiens, que
ces deux passages sont parfaitement exacts; et je pense que c'est en se
méprenant sur leur véritable signification qu'on a pu les croire erronés.
Bien entendu, je suis loin d'attacher une grande importance
soit à cette méprise d'un illustre géomètre, soit à la remarque que
j'en ai faite.

Avant de citer, dans son article, ces deux passages du chapitre~IX,
l'auteur avait d'abord rappelé le numéro~35 du chapitre~VII\@. Mais ce
qui est contenu dans ce numéro, exact ou non, n'a aucun rapport
avec les propositions du chapitre~IX\@. Celles-ci sont relatives aux lieux
des centres des sphères osculatrices d'une surface, suivant la direction
et dans toute la longueur d'une ligne tracée sur cette surface; dans
les numéros 35 et 36 du chapitre~VII, Lagrange considère, au contraire,
les lieux des centres des cercles osculateurs d'une ligne plane
ou à double courbure; et ces deux lieux géométriques sont, en
général, essentiellement distincts, et ne coïncident, pour une même
ligne donnée, que dans des cas particuliers.

Ayant seulement voulu montrer dans ma note qu'il n'y a aucune
\marginpage % *** File: 198.png
erreur dans les deux passages cités du chapitre~IX, je n'ai point eu à
m'occuper du numéro~35 du chapitre~VII, et je me suis dispensé d'en
parler. Mais il est vrai de dire que l'analyse contenue dans ce numéro
et dans le suivant, présente quelque chose d'incomplet, et même
d'équivoque. Lagrange détermine la condition pour que les centres
des cercles osculateurs d'une courbe donnée forment une développée
proprement dite, c'est-à-dire une ligne dont les tangentes coupent à
angle droit la courbe proposée; puis il dit que les courbes planes
satisfont toujours à cette condition; mais il n'ajoute pas qu'elle n'est
remplie que pour elles seules; et cette omission pourrait faire croire
qu'il ne serait pas impossible qu'une ligne à double courbure eût pour
développée, le lieu de ses centres de courbure. Or, non-seulement on
voit, par des considérations géométriques très simples, que cette
propriété n'appartient qu'à des courbes planes; mais Lagrange pouvait
aussi le conclure de différentes manières, de sa propre analyse, et,
par exemple, en montrant, comme M.~Lacroix dans son \emph{Traité du
Calcul différentiel}\footnote{Voyez la première édition publiée en 1797, ou le \no 353 de la seconde
édition.},
que l'équation différentielle du troisième ordre,
qui doit être satisfaite pour que cette propriété ait lieu, revient à
celle qui exprime que trois éléments consécutifs quelconques de la
courbe proposée sont dans un même plan, ou que cette courbe est
plane. A la fin du chapitre~VII, Lagrange se borne à renvoyer, pour
de plus grands détails sur ce qui concerne les développées, au Mémoire
de Monge, où leur théorie est exposée dans toute sa généralité.

En un point donné $M$ sur une surface quelconque, le \label{err198}parabole de
osculateur, qui a son sommet en ce point, est \emph{elliptique} ou \emph{hyperbolique},
selon que les deux courbures principales de la surface en ce
même point, sont tournées dans le même sens ou en sens contraires.
Les rayons de ces deux courbures étant représentés par $\alpha$ et $\beta$, et en
prenant leurs plans et le plan tangent pour ceux des coordonnées $x$,
$y$, $z$, la normale pour axe des $z$, le point $M$ pour origine; l'équation
du paraboloïde sera
\[
z = \frac{x^2}{\alpha} \pm  \frac{y^2}{\beta};
\]
\marginpage % *** File: 199.png
le signe supérieur ayant lieu quand il est elliptique, et le signe inférieur
quand il sera hyperbolique. Il se changera en un cylindre, lorsque
l'une des deux sections de courbure principale sera une ligne
droite, c'est-à-dire lorsque $\alpha$ ou $\beta$ sera infini, et en un plan, quand
ces deux sections seront rectilignes, ou qu'on aura $\alpha = \infty$ et $\beta=\infty$.

L'expression de l'ordonnée $z$ d'un point de la surface différent de $M$,
pourra, en général, se développer en série ordonnée suivant les
puissances et les produits de $x$ et $y$. Pour les cas d'exception, je renverrai
à mon Mémoire cité dans la note. En désignant par $\Delta$, la
différence entre cette ordonnée et celle du paraboloïde, qui répondent
aux mêmes valeurs de $x$ et $y$, on aura
\[
\Delta = gx^3 + hx^2y + kxy^2 + ly^3 + R;
\]
$g$, $h$, $k$, $l$, étant des coefficients constants qui dépendront de la
forme de la surface, et $R$ étant une série de termes de quatre ou d'un
plus grand nombre de dimensions, par rapport à $x$ et $y$. Pour qu'il y
ait contact du troisième ordre, suivant une section normale, entre la
surface donnée et le paraboloïde, il faudra que la somme des quatre
premiers termes de la valeur de $\Delta$, soit zéro suivant cette direction.
Si l'on appelle $m$ la tangente de l'angle compris entre ce plan et
celui de $x$ et $z$, et en faisant $y = mx$, on aura donc
\[
gm^3 + hm^2 + km + l = 0,
\]
pour l'équation du troisième degré, dont il a été question à la fin de
la note. Lorsque ses trois racines seront réelles, il y aura au point $M$
de la surface donnée, trois directions pour lesquelles le contact parabolique
du second ordre s'élèvera au troisième~\footnotemark;
\footnotetext{Par erreur, on a mis troisième et quatrième ordre, en haut de la page~144 \pdf{ref144}
de la note, au lieu de deuxième et troisième.}
il y en aura une seule,
quand l'équation n'aura qu'une racine réelle; une seule aussi, lorsque
ses trois racines seront égales, et deux dans le cas de deux racines
égales. Dans tous les cas, le contact du troisième ordre aura lieu également,
suivant ces directions particulières, entre la surface donnée
\marginpage % *** File: 200.png
et un ellipsoïde osculateur, quelle que soit la grandeur de son troisième
axe, qui reste indéterminée.

En changeant l'origine et la direction des coordonnées, et mettant
ensuite dans l'équation précédente, à la place de chacun des coefficients
$g$, $h$, $k$, $l$, sa valeur en fonction des nouvelles coordonnées,
tirée de l'équation de la surface donnée, et pour $m$ le rapport entre les
différentielles de deux de ces coordonnées, on obtiendra l'équation différentielle
des lignes tracées sur cette surface et suivant lesquelles elle
a un contact du troisième ordre avec les ellipsoïdes osculateurs. Il
serait intéressant de connaître la figure de ces lignes à la surface de la
terre, et de savoir s'il en existe trois ou une seule dans les différentes
parties du globe. Quoique le sphéroïde terrestre diffère peu d'une
sphère, ces lignes peuvent s'écarter beaucoup des méridiens; car leur
direction en chaque point ne dépend pas des grandeurs absolues de $g$,
$h$, $k$, $l$, qui sont de très petites quantités, mais des rapports de ces
coefficients, qui peuvent être des nombres quelconques.


\jmpafin

% *** File: 201.png

\jmpapaper{MÉMOIRE}{}
{Sur l'interpolation;}
{Par M.~Aug.~CAUCHY~\footnotemark.}{}
\label{art18}

\footnotetext{Ce Mémoire a été autographié en septembre 1835 et envoyé à cette époque
à l'Académie des Sciences. On l'imprime ici pour la première fois, du consentement
de l'auteur. (J.~L.)}

Dans les applications de l'analyse à la Géométrie, à la Physique,
à l'Astronomie\ldots\ deux sortes de questions se présentent à résoudre,
et il s'agit \primo de trouver les lois générales des figures et des phénomènes,
c'est-à-dire la forme générale des équations qui existent entre
les diverses variables, par exemple, entre les coordonnées des courbes
et des surfaces, entre les vitesses, les temps, les espaces parcourus
par les mobiles, etc\ldots; \secundo de fixer en nombres les valeurs des paramètres
ou constantes arbitraires qui entrent dans l'expression de ces
mêmes lois, c'est-à-dire les valeurs des coefficients inconnus que
renferment les équations trouvées. Parmi les variables on distingue
ordinairement, comme l'on sait, celles qui peuvent varier indépendamment
les unes des autres, et que l'on nomme pour cette raison
variables indépendantes, d'avec celles qui s'en déduisent par la
résolution des diverses équations, et qui se nomment fonctions des
variables indépendantes. Considérons en particulier une de ces fonctions,
et supposons qu'elle se déduise des variables indépendantes par
une équation ou formule qui renferme un certain nombre de coefficients.
Un pareil nombre d'observations ou d'expériences, dont
chacune fournira une valeur particulière de la fonction correspondante
\marginpage % *** File: 202.png
à un système particulier de valeurs des variables indépendantes,
suffira pour la détermination numérique de tous ces coefficients; et,
cette détermination faite, on pourra obtenir sans difficulté de nouvelles
valeurs de la fonction correspondantes à de nouveaux systèmes
de valeurs des variables indépendantes, et résoudre ainsi ce qu'on
appelle le problème de l'interpolation. Par exemple, si l'ordonnée
d'une courbe se trouve exprimée en fonction de l'abscisse par
une équation qui renferme trois paramètres, il suffira de connaître
trois points de la courbe, c'est-à-dire trois valeurs particulières de
l'ordonnée correspondantes à trois valeurs particulières de l'abscisse,
pour déterminer les trois paramètres; et, cette détermination effectuée,
on pourra sans peine tracer la courbe par points en calculant
les coordonnées d'un nombre aussi grand que l'on voudra de nouveaux
points situés sur les arcs de cette courbe compris entre les
points donnés. Ainsi, envisagé dans toute son étendue, le problème
de l'interpolation consiste à déterminer les coefficients ou constantes
arbitraires que renferme l'expression des lois générales des figures
ou des phénomènes, d'après un nombre au moins égal de points
donnés, ou d'observations, ou d'expériences. Dans une foule de
questions les constantes arbitraires entrent au premier degré seulement
dans les équations qui les renferment. C'est précisément ce qui
arrive lorsqu'une fonction est développable en une série convergente
ordonnée suivant les puissances ascendantes ou descendantes d'une
variable indépendante, ou bien encore suivant les sinus ou cosinus
des multiples d'un même arc. Alors il s'agit de déterminer les coefficients
de ceux des termes de la série que l'on ne peut négliger sans
avoir à craindre qu'il en résulte une erreur sensible dans les valeurs
de la fonction. Dans le petit nombre de formules qui ont été proposées
pour cet objet, on doit distinguer une formule tirée du calcul
des différences finies, mais applicable seulement au cas où les diverses
valeurs de la variable indépendante sont équidifférentes entre elles,
et la formule de Lagrange applicable, quelles que soient ces valeurs,
à des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable
indépendante. Toutefois cette dernière formule elle-même se complique
de plus en plus à mesure que l'on veut conserver dans le
développement de la fonction en série un plus grand nombre de
\marginpage % *** File: 203.png
termes; et ce qu'il y a de plus fâcheux, c'est que les valeurs approchées
des divers ordres correspondantes aux divers cas où l'on conserverait
dans la série un seul terme, puis deux termes, puis trois
termes\ldots s'obtiennent par des calculs à peu près indépendants les
uns des autres, en sorte que chaque nouvelle approximation, loin
d'être rendue facile par celles qui la précèdent, demande au contraire
plus de temps et de travail. Frappé de ces inconvénients, et conduit
par mes recherches sur la dispersion de la lumière à m'occuper de
nouveau du problème de l'interpolation, j'ai eu le bonheur de
rencontrer pour la solution de ce problème une nouvelle formule
qui, sous le double rapport de la certitude des résultats et de la
facilité avec laquelle on les obtient, me paraît avoir sur les autres
formules des avantages tellement incontestables, que je ne doute
guère qu'elle ne soit bientôt d'un usage général parmi les personnes
adonnées à la culture des sciences physiques et mathématiques.

Pour donner une idée de cette formule, je suppose qu'une fonction
de $x$, représentée par $y$, soit développable en une série convergente
ordonnée suivant les puissances ascendantes ou descendantes de $x$,
ou bien encore suivant les sinus ou cosinus des arcs multiples de $x$,
ou même plus généralement suivant d'autres fonctions de $x$ que je
représenterai par
\[
\phi(x) = u,\quad \chi(x) = v,\quad \psi(x) = w,\ldots,
\]
en sorte qu'on ait
\[
y = au + bv + cw + \dotsb ,\tag{1}
\]
$a$, $b$, $c\ldots$ désignant des coefficients constants. Il s'agit de savoir,
\primo combien de termes on doit conserver dans le second membre de
l'équation (1) pour obtenir une valeur de $y$ suffisamment approchée,
dont la différence avec la valeur exacte soit insensible et comparable
aux erreurs que comportent les observations; \secundo de fixer en nombres
les coefficients des termes conservés, ou, ce qui revient au même,
de trouver la valeur approchée dont nous venons de parler. Les
données du problème sont un nombre suffisamment grand de valeurs
de $y$ représentées par
\[
y_1,\ y_2,\ldots y_n,
\]
\marginpage % *** File: 204.png
et correspondantes à un pareil nombre $n$ de valeurs de $x$ représentées
par $x_1$, $x_2$,\dots $x_n$, par conséquent aussi à un pareil nombre de
valeurs de chacune des fonctions $u$, $v$, $w$,\dots, valeurs que je représenterai
de même par
\[
u_1,\ u_2,\ldots u_n
\]
pour la fonction $u$, par
\[
v_1,\ v_2,\ldots v_n
\]
pour la fonction $v$, etc\dots. Ainsi, pour résoudre le problème, on aura
entre les coefficients inconnus $a$, $b$, $c$,\dots\ les $n$ équations du premier
degré
\[
\tag{2}
\left\{\quad
\begin{aligned}
y_1 &= au_1 + bv_1 + cw_1 + \dotsb ,\\
y_2 &= au_2 + bv_2 + cw_2 + \dotsb ,\\[-1ex]
\vdots\; & \\[-1ex]
y_n &= au_n + bv_n + cw_n + \dotsb ,
\end{aligned}
\right.
\]
qui, si l'on désigne par $i$ l'un quelconque des nombres entiers
\[
1,\ 2,\ldots n,
\]
se trouveront toutes comprises dans la formule générale
\[
y_i = au_i + bv_i + cw_i + \dotsb.\tag{3}
\]
On effectuera la première approximation en négligeant les coefficients
$b$, $c$,\dots, ou, ce qui revient au même, en réduisant la série à son
premier terme. Alors la valeur générale approchée de $y$ sera
\[
y = au;\tag{4}
\]
et, pour déterminer le coefficient $a$, on aura le système des équations
\[
y_1 = au_1,\quad y_2 = au_2,\ldots y_n = au_n.\tag{5}
\]
Les diverses valeurs de $a$ que l'on peut déduire de ces équations (5)
considérées chacune à part, ou combinées entre elles, seraient toutes
précisément égales si les valeurs particulières de $y$, que nous supposons
données par l'observation, étaient rigoureusement exactes. Mais il
\marginpage % *** File: 205.png
n'en est pas ainsi dans la pratique où les observations comportent des
erreurs renfermées entre certaines limites; et alors il importe de combiner
entre elles les équations (5) de manière que, dans les cas les
plus défavorables, l'influence exercée sur la valeur du coefficient $a$
par les erreurs commises sur les valeurs de $y_1$, $y_2$,\dots, $y_n$ soit la
moindre possible. Or, les diverses combinaisons que l'on peut faire des
équations (5) pour en tirer une nouvelle équation du premier degré,
par rapport à $a$, fournissent toutes des valeurs de $a$ comprises dans la
formule générale
\[
a=\frac{k_1y_1+k_2y_2+ \dotsb k_ny_n}{k_1u_1 + k_2u_2+ \dotsb k_n u_n},\tag{6}
\]
que l'on obtient en ajoutant membre à membre les équations (5) après
les avoir respectivement multipliées par des facteurs constants $k_1$, $k_2$,\dots,
$k_n$. Il y a plus; comme la valeur de $a$ déterminée par l'équation (6) ne
varie pas quand on fait varier simultanément les facteurs $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$
dans le même rapport, il est clair que parmi ces facteurs, le plus
grand (abstraction faite du signe) peut toujours être censé réduit à
l'unité. Remarquons enfin que, si l'on nomme
\[
\epsilon_1,\ \epsilon_2,\ldots,\ \epsilon_n,
\]
les erreurs respectivement commises dans les observations sur les
valeurs de
\[
y_1,\ y_2,\ldots,\ y_n,
\]
la formule précédente (6) fournira pour $a$ une valeur approchée, dont
la différence avec la véritable sera
\[
\frac{k_1\epsilon_1\hfill+k_2\epsilon_2\hfill+ \dotsb + k_n\epsilon_n\hfill}{k_1u_1+k_2u_2+ \dotsb +k_nu_n}.\tag{7}
\]
Il faut maintenant choisir $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$ de telle sorte que, dans les
cas les plus défavorables, la valeur numérique de l'expression (7) soit
la moindre possible.

Représentons par
\[
Su_i
\]
la somme des diverses valeurs numériques de $u_i$, c'est-à-dire ce que
\marginpage % *** File: 206.png
devient le polynome
\[
\pm  u_1 \pm  u_2 \pm  \ldots \pm  u_n
\]
quand on y dispose de chaque signe de manière à rendre chaque
terme positif. Représentons par $S\epsilon_i$ non la somme des valeurs numériques
$\epsilon_1$, $\epsilon_2$,\dots, $\epsilon_n$, mais ce que devient la somme $Su_i$, quand on
y remplace chaque valeur de $u_i$ par la valeur correspondante de $\epsilon_i$. Si
l'on réduit à $+1$ ou à $-1$ chacun des coefficients $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$,
en choisissant les signes de manière que, dans le dénominateur de la
fraction
\[
\frac{k_1\epsilon_1\hfill + k_2\epsilon_2\hfill + \dotsb + k_n\epsilon_n\hfill}{k_1u_1 + k_2u_2 + \dotsb + k_nu_n}
\]
tous les termes soient positifs, cette traction sera réduite à
\[
\frac{S\epsilon_i}{Su_i};\tag{8}
\]
et elle offrira une valeur numérique tout au plus égale au rapport
\[
\frac{E}{Su_i}
\]
si l'on désigne par $E$ la somme des valeurs numériques de $\epsilon_i$ ou, ce
qui revient au même, la valeur numérique de $S\epsilon_i$ dans le cas le plus
défavorable. D'autre part, en attribuant à $k_1$, $k_2$,\dots, $k_n$ des valeurs
inégales dont la plus grande (abstraction faite des signes) soit l'unité,
on obtiendra pour dénominateur de la fraction une quantité dont la
valeur numérique sera évidemment inférieure à $Su_i$, tandis que la
valeur numérique du numérateur pourra s'élever jusqu'à la limite $E$;
ce qui arrivera effectivement si les erreurs $\epsilon_1$, $\epsilon_2$,\dots, $\epsilon_n$ sont toutes
nulles, à l'exception de celle qui sera multipliée par un facteur égal,
au signe près, à l'unité. Il en résulte que la plus grande erreur à
craindre sur la valeur de $a$ déterminée par la formule
\[
a=\frac{k_1y_1\hfill + k_2y_2\hfill + \dotsb k_ny_n\hfill}{k_1u_1+k_2u_2 + \dotsb k_nu_n}
\]
sera la moindre possible si l'on pose généralement
\[
k_i = \pm 1,
\]
\marginpage % *** File: 207.png
en choisissant les signes de manière que dans le polynome
\[
k_1u_1 + k_2u_2 + \dotsb + k_nu_n
\]
tous les termes soient positifs. Alors cette formule donnera
\[
a = \frac{Sy_i}{Su_i},\tag{9}
\]
$Sy_i$ étant ce que devient la somme $Su_i$ quand on y remplace chaque
valeur de $u_i$ par la valeur correspondante de $y_i$, et l'équation $y = au$
deviendra
\[
y = \frac{u}{Su_i} Sy_i.\tag{10}
\]

Si l'on fait pour abréger
\[
\alpha = \frac{u}{Su_i},\tag{11}
\]
on aura simplement
\[
y = \alpha Sy_i.\tag{12}
\]

Si l'on supposait généralement $u = 1$, l'équation  $y = au$, réduite à
\[
y = a,
\]
exprimerait que la valeur de $y$ est constante; et comme on aurait
alors
\[
\alpha = \frac{u}{Su_i} = \frac{1}{n},
\]
la formule $y = \alpha Sy_i$ donnerait
\[
y = \frac{1}{n}Sy_i.
\]
Donc alors on devrait prendre pour valeur approchée de $y$ la
moyenne arithmétique entre les valeurs observées; et la plus grande
erreur à craindre serait plus petite pour cette valeur approchée que
pour toute autre. Cette propriété des moyennes arithmétiques, jointe
à la facilité avec laquelle on les calcule, justifie complétement
l'usage où l'on est de leur accorder la préférence dans l'évaluation des
\marginpage % *** File: 208.png
constantes arbitraires qui peuvent être déterminées directement par
l'observation.

Soit maintenant $\Delta y$ le reste qui doit compléter la valeur approchée
de $y$ fournie par l'équation
\[
y = \alpha Sy_i,\tag{12}
\]
en sorte qu'on ait
\[
y = \alpha Sy_i + \Delta y.\tag{13}
\]
Posons de même
\[
v = \alpha Sv_i + \Delta v,\quad w = \alpha Sw_i + \Delta w,\ \etc\ldots.\tag{14}
\]
On tirera de la formule $y_i = au_i + bv_i + cw_i + \etc$\dots,
\[
Sy_i = aSu_i + bSv_i + cSw_i + \etc\ldots;\tag{15}
\]
puis de cette dernière, multipliée par $\alpha$, et soustraite de l'équation
(1),
\[
\Delta y = b \Delta v + c \Delta w + \etc\ldots.\tag{16}
\]

Soient d'ailleurs $\alpha_i$, $\Delta y_i$, $\Delta v_i$, $\Delta w_i$,\dots\ ce que deviennent les
valeurs de $\alpha$, $\Delta y$, $\Delta v$, $\Delta w$,\dots\ tirées des équations (11), (13) et (14),
quand on y remplace $x$ par $x_i$, $i$ étant l'un des nombres entiers
1, 2,\dots $n$. Si les valeurs de
\[
\Delta y_1,\ \Delta y_2 \ldots,\ \Delta y_n
\]
sont très petites, et comparables aux erreurs que comportent les
observations, il sera inutile de procéder à une seconde approximation,
et l'on pourra s'en tenir à la valeur approchée de $y$ fournie par
l'équation $y = \alpha Sy_i$. Si le contraire a lieu, il suffira, pour obtenir
une approximation nouvelle, d'opérer sur la formule (16) qui donne
$\Delta y = b\Delta v + \etc$, comme dans la première approximation l'on a opéré
sur la formule (1) $y = au + \etc$

Cela posé, désignons par
\[
S'\Delta v_i
\]
la somme des valeurs numériques de $\Delta v_i$, et par
\marginpage % *** File: 209.png
\[
S'\Delta y_i,\ S'\Delta w_i,\ \etc\ldots
\]
les polynomes dans lesquels se change la somme $S'\Delta v_i$, quand on y
remplace chaque valeur de $\Delta v_i$, par la valeur correspondante de $\Delta y_i$ ou
de $\Delta w_i \ldots$; soit enfin
\[
\beta=\frac{\Delta v}{S'\Delta v_i},
\]
si l'on peut, sans erreur sensible, négliger dans la série (1) le coefficient
$c$ du troisième terme et ceux des termes suivants, on devra
prendre pour valeur approchée de $\Delta y$
\[
\Delta y =\beta S'\Delta y_i.\tag{18}
\]
Soit $\Delta^2y$ le reste du second ordre qui doit compléter cette valeur
approchée, et faisons en conséquence
\[
\Delta y=\beta S'\Delta y_i + \Delta^2y.\tag{19}
\]
Posons de même
\[
\Delta w=\beta S'\Delta w_i + \Delta^2w,\ \etc\ldots:\tag{20}
\]
on tirera successivement, de la formule (16),
\begin{gather*}
\Delta y_i = b\Delta v_i + c\Delta w_i + \etc\ldots\tag{21}\\[1ex]
S'\Delta y_i = bS'\Delta v_i + cS'\Delta w_i + \etc\ldots;\tag{22}
\end{gather*}
puis cette dernière, multipliée par $\beta$ et retranchée de l'équation (19),
\[
\Delta^2y = c\Delta^2w + \etc\ldots\tag{23}
\]
Soient d'ailleurs $\beta_i$, $\Delta^2y_i$, $\Delta^2 w_i$,\dots, ce que deviennent les valeurs de
$\beta$, $\Delta^2y_i$, $\Delta^2 w_i$,\dots, tirées des équations (17), (19) et (20), quand on y
remplace $x$ par $x_i$, $i$ étant l'un des nombres entiers 1, 2,\dots, $n$. Si
les valeurs de
\[
\Delta^2y_1,\ \Delta^2y_2, \ldots,\ \Delta^2y_n
\]
sont très petites et comparables aux erreurs que comportent les observations,
il sera inutile de procéder à une nouvelle approximation, et
\marginpage % *** File: 210.png
l'on pourra s'en tenir à la valeur approchée de $\Delta y$ fournie par l'équation (18).
Si le contraire a lieu, il suffira, pour obtenir une troisième
approximation, d'opérer sur la formule (23) qui donne $\Delta^2y$, comme l'on
a opéré dans la première approximation sur la formule (1). En continuant
de la sorte, on obtiendra la règle suivante:

L'inconnue $y$, fonction de la variable $x$, étant supposée développable
en une série convergente
\[
au + bv + cw + \dotsb \tag{I}
\]
où $u$, $v$, $w$,\dots, représentent des fonctions données de la même
variable, si l'on connaît $n$ valeurs particulières de $y$ correspondantes
à $n$ valeurs particulières
\[
x_1,\ x_2,\ldots,\ x_n
\]
de $x$, si d'ailleurs on nomme $i$ l'un quelconque des nombres entiers
1, 2,\dots, $n$, et $y_i$, $u_i$, $v_i$,\dots, ce que deviennent $y$, $u$, $v$,\dots,
quand on y remplace $x$ par $x_i$; alors, pour obtenir la valeur générale
de $y$ avec une approximation suffisante, on déterminera d'abord le
coefficient $\alpha$ à l'aide de la formule
\[
u = \alpha Su_i,\tag{II}
\]
dans laquelle $Su_i$ désigne la somme des valeurs numériques de $u_i$,
et la différence du premier ordre $\Delta y$ à l'aide de la formule
\[
y=\alpha Sy_i + \Delta y.\tag{III}
\]
Si les valeurs particulières de $\Delta y$, représentées par $\Delta y_1$, $\Delta y_2$,\dots\ $\Delta y_n$,
sont comparables aux erreurs d'observation, on pourra négliger $\Delta y$
et réduire la valeur approchée de $y$ à
\[
\alpha Sy_i.
\]
Dans le cas contraire, on déterminera $\beta$ à l'aide des formules
\[
v=\alpha Sv_i + \Delta v, \quad \Delta v=\beta S'\Delta v_i,\tag{IV}
\]
$S'\Delta v_i$ étant la somme des valeurs numériques de $\Delta v_i$, et la différence
\marginpage % *** File: 211.png
du second ordre $\Delta^2 y$ à l'aide de la formule\label{err211}
\[
\Delta y= \beta S' \Delta y_i + \Delta^2y.\tag{V}
\]
Si les valeurs particulières de $\Delta^2y$, représentées par $\Delta^2 y_1$, $\Delta^2y_2$,\dots,
$\Delta^2 y_n$, sont comparables aux erreurs d'observation, l'on pourra
négliger $\Delta^2y$ et réduire en conséquence la valeur approchée de $y$ à
$\alpha Sy_i + \beta\alpha S'\Delta y_i$.

Dans le cas contraire, on déterminera $\gamma$ par les formules
\[
w = \alpha Sw_i+\Delta w,\quad \Delta w=\beta S'\Delta w_i+\Delta^2w,\quad \Delta^2w=\gamma S''\Delta^2w_i,\tag{VI}
\]
$S''\Delta^2w_i$ étant la somme des valeurs numériques de $\Delta^2w_i$, et la différence
du troisième ordre $\Delta^3y$ par la formule
\[
\Delta^2y=\gamma S''\Delta^2y_i + \Delta^3y,\ \etc\ldots.\tag{VII}
\]
Ainsi, en définitive, en supposant les coefficients $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots\
déterminés par le système de ces équations, etc.,\dots, on devra
calculer les différences des divers ordres représentées par
\[
\Delta y,\ \Delta^2y,\ \Delta^3y,\ldots,
\]
ou plutôt leurs valeurs particulières correspondantes aux valeurs $x_1$,
$x_2$,\dots, $x_n$ de la variable $x$, jusqu'à ce que l'on parvienne à une
différence dont les valeurs particulières soient comparables aux
erreurs d'observation. Alors il suffira d'égaler à zéro la valeur de
cette différence tirée du système des équations (III), (V), (VII)\dots,
pour obtenir avec une approximation suffisante la valeur de $y$. Cette
valeur générale sera donc
\[
y=\alpha Sy_i,\text{ou }y=\alpha Sy_i+\beta S'\Delta y_i,\text{ou etc.}\ldots,
\]
suivant que l'on pourra, sans erreur sensible, réduire la série à son
premier terme, ou à ses deux premiers termes\dots. Donc, si l'on
nomme $m$ le nombre des termes conservés, le problème de l'interpolation
sera résolu par la formule
\[
y=\alpha Sy_i+\beta S'\Delta y_i + \gamma S''\Delta^2y_i  +\etc\ldots,
\]
le second membre étant prolongé jusqu'au terme qui renferme $\Delta^{m-1}y_i$.
\marginpage % *** File: 212.png

Il est bon d'observer que des formules précédentes on tire non-seulement
\[
S\alpha_i = 1;\
S\beta_i = 0,\
S'\beta_i = 1;\
S\gamma_i = 0,\
S'\gamma_i = 0,\
S''\gamma_i = 1,\ \etc\ldots;
\]
mais encore
\[
S\Delta v_i = 0;\
S\Delta w_i = 0,\
S\Delta^2w_i = 0,\
S'\Delta^2w_i = 0,\ \etc\ldots,
\]
et
\[
S\Delta y_i = 0;\
S\Delta^2y_i = 0, \
S'\Delta^2y_i = 0;\
S\Delta^3y_i = 0,\
S'\Delta^3y_i = 0,\
S''\Delta^3y_i = 0,\ldots
\]
Ces dernières formules sont autant d'équations de condition auxquelles
doivent satisfaire les valeurs particulières de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots,
ainsi que celles des différences des divers ordres de $u$, $v$, $w$,\dots, $y$;
et il en résulte qu'on ne peut commettre dans le calcul de ces valeurs
particulières aucune erreur de chiffres sans en être averti par le seul
fait que les équations de condition cessent d'être vérifiées.

En résumé, les avantages des nouvelles formules d'interpolation
sont les suivants:

\primop.~Elles s'appliquent aux développements en séries, quelle que
soit la loi suivant laquelle les différents termes se déduisent les uns
des autres, et quelles que soient les valeurs équidifférentes ou non de
la variable indépendante.

\secundop.~Les nouvelles formules sont d'une application très facile,
surtout quand on emploie les logarithmes pour le calcul des rapports
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$,\dots, et des produits de ces rapports par les sommes des
diverses valeurs des fonctions ou de leurs différences. Alors, en effet,
toutes les opérations se réduisent à des additions ou à des soustractions.

\tertiop.~A l'aide de nos formules les approximations successives s'exécutent
avec une facilité de plus en plus grande, attendu que les
différences des divers ordres vont généralement en diminuant.

\quartop.~Nos formules permettent d'introduire à la fois dans le calcul les
nombres fournis par toutes les observations données, et d'augmenter
ainsi l'exactitude des résultats en faisant concourir à ce but un très
grand nombre d'expériences.

5\up{o}.~Elles offrent encore cet avantage, qu'à chaque approximation
nouvelle, les valeurs qu'elles fournissent pour les coefficients $a$, $b$, $c$,\dots\
\marginpage % *** File: 213.png
sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à
craindre est la moindre possible.

6\up{o}.~Nos formules indiquent d'elles-mêmes le moment où le calcul
doit s'arrêter, en fournissant alors des différences comparables aux
erreurs d'observation.

7\up{o}.~Enfin les quantités qu'elles déterminent satisfont à des équations
de condition qui ne permettent pas de commettre la plus légère faute
de calcul, sans que l'on s'en aperçoive presque immédiatement.

On trouvera dans les nouveaux exercices de mathématiques de
nombreuses applications de nos formules d'interpolation.

\jmpafin

% *** File: 214.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur un passage de la \emph{Mécanique céleste}, relatif à la
Théorie de la Figure des Planètes;}
{Par J. LIOUVILLE.}{}
\label{art19}

\mysection{I.}

On s'est beaucoup occupé de la recherche des formes permanentes
qui peu\-vent convenir à une masse liquide dont les molécules s'attirent
l'une l'autre en raison inverse du carré des distances et tournent autour
d'un axe fixe avec une vitesse angulaire constante. Ce problème,
qui se rattache à la théorie de la figure des planètes, devait naturellement
intéresser les géomètres; mais il n'a pas été résolu par
eux d'une manière générale. On s'est borné d'abord a démontrer
la possibilité de certaines figures d'équilibre. Quand la vitesse angulaire
de rotation est au-dessous d'une limite indiquée par le
calcul, on sait depuis long-temps que deux formes au moins sont
possibles, toutes deux comprises parmi les ellipsoïdes de révolution.
Laplace a observé de plus que, pour une impulsion primitive donnée,
il existe toujours un seul ellipsoïde de révolution satisfaisant aux conditions
d'équilibre du liquide. Mais ces mêmes conditions peuvent être
remplies aussi, dans certains cas, par un ellipsoïde à trois axes inégaux.
Ce dernier théorème est dû à M.~Jacobi. J'en ai donné dans le
XXIII\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique} une démonstration
très simple.

Quand on envisage le problème dont nous nous occupons ici, sous
le point de vue de ses applications à la physique céleste, la question
\marginpage % *** File: 215.png
se simplifie beaucoup à cause du peu de différence qui existe entre la
figure d'une sphère et celle des planètes et des satellites. En négligeant
le carré de cette différence, on prouve en effet que la figure d'équilibre
de la masse fluide est toujours celle d'un ellipsoïde de révolution
dont le petit axe coïncide avec l'axe fixe. Pour démontrer cette
proposition importante, Laplace a employé deux méthodes distinctes
que l'on trouve exposées au livre 3\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste}.
La première de ces deux méthodes repose sur la possibilité de développer
une fonction $Y$ de deux variables $\mu$ et $\varpi$ en une série que les
géomètres désignent ordinairement par $Y_0 + Y_1 + Y_2 + \etc$, et dont
les divers termes jouissent de plusieurs belles propriétés aujourd'hui
bien connues. Après l'avoir donnée, Laplace ajoute: «L'analyse précédente
nous a conduits à la figure d'une masse fluide homogène en
équilibre, sans employer d'autres hypothèses que celle d'une figure
très peu différente de la sphère. Elle fait voir que la figure elliptique
qui, par le chapitre précédent, satisfait à cet équilibre, est la seule
alors qui lui convienne. Mais comme la réduction du rayon du sphéroïde
en une série de la forme $a(1 + \alpha Y_0 + \alpha Y_1 + \dotsb )$ peut faire naître
quelques difficultés, nous allons démontrer directement et indépendamment
de cette réduction que la forme elliptique est la seule figure
d'équilibre d'une masse fluide homogène, douée d'un mouvement de
rotation, ce qui, en confirmant les résultats de l'analyse précédente,
servira en même temps à dissiper les doutes que l'on pourrait élever
contre la généralité de cette analyse.» Mais cette seconde solution de
l'illustre auteur nous paraît incomplète, et c'est à en montrer l'imperfection
que la présente note sera consacrée. Le vice de la méthode de
Laplace provient de ce qu'il n'a pas démontré \emph{à priori} que la quantité
$H$ dont il fait usage (\emph{Mécanique céleste}, tome II, page 75) est une
quantité finie: s'il existait une figure d'équilibre pour laquelle on eût
$H=\infty$ (ce qui arriverait par exemple si la variation du rayon du sphéroïde
était proportionnelle au cube du cosinus de la latitude), cette figure
échapperait nécessairement à son analyse. C'est ce que l'on verra
dans le numéro suivant où je m'efforcerai de développer mon objection
avec la clarté désirable. Je montrerai ensuite comment on peut en
effet résoudre la question proposée sans réduire en série le rayon du
sphéroïde. Cette dernière partie de mon travail intéressera peut-être
\marginpage % *** File: 216.png
les géomètres, qui savent combien il est utile de traiter sous plusieurs
points de vue les questions mathématiques délicates.

\mysection{II.}

En cherchant à déterminer la figure permanente d'une masse liquide
homogène, dont les molécules s'attirent l'une l'autre avec une force
inversement proportionnelle au carré des distances, et qui tourne
autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité, Laplace est
conduit (\emph{Mécanique céleste}, tome~II, page~75) à l'équation
\[
C = \frac{4\alpha\pi}{3}\ldot Y - \alpha \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y' dp dq' \sin p - \tfrac{1}{2} g(1-\mu^2):\tag{A}
\]
$\mu$ représente une variable comprise entre $-1$ et $+1$; c'est le cosinus
de l'angle que fait avec l'axe de révolution un rayon vecteur quelconque:
$Y$ est une fonction inconnue de $\mu$, et $Y'$ une fonction semblable
de $\mu'$, c'est-à-dire de $\mu \cos^2 p -\sin^2 p \cos q'$ : $\alpha$, $g$, $C$ sont des
constantes. Pour déterminer $Y$, Laplace différentie trois fois par rapport
à $\mu$ l'équation (A), et, en observant que $\dfrac{d\mu'}{d\mu} = \cos^2 p$, il
trouve
\[
0 = \frac{4\pi}{3}\ldot \frac{d^3Y}{d\mu^3} - \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\ldot \frac{d^3Y'}{d\mu'^3},
\]
ou, ce qui est la même chose,
\[
0 = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\Big(\frac{7}{3}\ldot \frac{d^3Y}{d\mu^3} - \frac{d^3Y'}{d\mu'^3}\Big).
\]
«Cette équation, dit-il, doit avoir lieu quel que soit $\mu$: or il est clair
que parmi toutes les valeurs de $\mu$ comprises depuis $\mu=-1$ jusqu'à
$\mu = 1$, il en existe une que nous désignerons par $h$ et qui est
telle, qu'abstraction faite du signe, aucune des valeurs de $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ ne
surpassera celle qui est relative à $h$: en désignant donc par $H$ cette
dernière valeur, on aura
\[
0 = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} dp dq' \sin p \cos^6 p\Big(\frac{7}{3}H - \frac{d^3Y'}{d\mu'^3}\Big).
\]
\marginpage % *** File: 217.png
La quantité $\dfrac{7}{3}H - \dfrac{d^3Y'}{d\mu'^3}$ est évidemment du même signe que $H$, et
le facteur $\sin p \cos^6 p$ est constamment positif dans toute l'étendue de
l'intégrale: les éléments de cette intégrale sont donc tous du même
signe que $H$, d'où il suit que l'intégrale entière ne peut être nulle
à moins que $H$ ne le soit lui-même, ce qui exige que l'on ait
généralement $0 = \dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$, d'où l'on tire, en intégrant, $Y = l + m\mu + n\mu^2$,
$l$, $m$, $n$ étant des constantes arbitraires.»

Ce raisonnement est spécieux et peut séduire au premier aperçu;
mais, en y réfléchissant davantage, on voit qu'il cesserait d'être applicable
si le maximum de la fonction $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ pouvait être infini, ce qui
arriverait si l'on avait par hasard
\[
Y = (1 - \mu^2)^{\frac{3}{2}},\qtext{ou}
Y = (1 - \mu^2)^{\frac{7}{3}},\quad \etc,
\]
en sorte que pour l'employer avec sécurité, il faudrait avoir prouvé
\emph{à~priori} que la dérivée $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ ne devient infinie pour aucune valeur de $\mu$,
ce que Laplace ne fait nulle part. Pour nous convaincre de l'inexactitude
du principe sur lequel il s'appuie, considérons un exemple très
simple; et proposons de trouver la fonction $\phi(x)$ qui satisfait à l'équation
\[
\tag{B}
\int_0^1 \phi(\alpha x) d\alpha = \frac{3}{10} \phi(x),
\]
$x$ étant une variable indépendante. En différentiant trois fois l'équation (B)
par rapport à $x$, il vient
\[
\int_0^1 \alpha^3 \phi'''(\alpha x) d\alpha = \frac{3}{10} \phi'''(x),
\]
ou, ce qui est la même chose,
\[
\tag{C}
\int_0^1 \alpha^3\Big[\frac{12}{10} \phi'''(x) - \phi'''(\alpha x)\Big] d\alpha = 0.
\]

Maintenant en appliquant à l'équation (C) et à la fonction $\phi(x)$ le
raisonnement de Laplace, sans y changer un seul mot, on trouvera
comme ci-dessus $\phi'''(x) = 0$, ce qui est absurde; car la valeur de
\marginpage % *** File: 218.png
$\phi(x)$ qui satisfait à l'équation (B) est évidemment de la forme
$\phi(x)= Ax^{\frac{7}{3}}$, $A$ désignant une constante arbitraire.

En mettant l'équation
\[
\int_0^1 \phi(\alpha x) d\alpha = 2\phi(x)
\]
sous la forme
\[
\int_0^1 d\alpha [\phi(\alpha x)-2\phi(x)] =0,
\]
on en conclura de même $\phi(x)=0$, tandis que $\phi(x)$ peut avoir
cette valeur plus générale $\phi(x)=\dfrac{A}{\sqrt{x}}$.

Pour que la démonstration de Laplace fût suffisante, il faudrait donc
que ce grand géomètre eût montré d'abord que la dérivée $\dfrac{d^3Y}{d\mu^3}$ a
toujours une valeur finie. Et l'on ne doit pas dire que, dans son analyse,
il exclut implicitement les cas où l'on aurait
\[
H=\infty,
\]
car il se propose de prouver non pas que la figure ellipsoïdale satisfait
à l'équilibre de la masse fluide supposée presque sphérique, mais bien
qu'aucune autre figure ne peut y satisfaire. Exclure d'avance certaines
formes de la fonction $Y$, serait évidemment aller contre le but qu'il
indique lui-même et ruiner par le fait sa propre démonstration. La
seule condition à laquelle la fonction $Y$ soit soumise, c'est de ne devenir
jamais infinie. Ainsi, pour trouver la valeur de $Y$, satisfaisant
à l'équation (A), il faut employer une méthode très différente de
celle de Laplace. Je vais exposer cette méthode.

\mysection{III.}

Soient $Ox$, $Oy$, $Oz$ trois axes rectangulaires. Imaginons autour du
point $O$ une masse fluide homogène $A$ qui tourne autour de l'axe $Oz$
avec une vitesse constante et dont les molécules s'attirent l'une l'autre
en raison inverse du carré des distances. La figure permanente de
cette masse liquide dépendra de l'intensité de la force centrifuge qui
\marginpage % *** File: 219.png
s'exerce à la distance 1 de l'axe de rotation: nous désignerons cette intensité
par $g$ et nous la supposerons assez petite pour que la figure du
liquide soit très peu différente de celle d'une sphère. Nous prendrons
en outre pour unité la force attractive produite à l'unité de distance entre
deux masses égales à l'unité. Cela étant, considérons un point $M$ placé
à la surface libre du liquide : nommons $\theta$ l'angle $MOz$ et $\mu$ le cosinus
de $\theta$, $r$ le rayon vecteur $OM$, $\varpi$ l'angle compris entre la projection
de $r$ sur le plan des $xy$ et l'axe des $x$ : représentons par $\theta'$, $\mu'$, $r'$, $\varpi'$
les quantités analogues à $\theta$, $\mu$, $r$, $\varpi$ pour un autre point $M'$ pris dans
l'intérieur de $A$. L'élément de $A$ dont le centre est en $M'$ sera exprimé
par $r'^2 \sin\theta' d\theta' d\varpi' dr'$ ou par $r'^2 d\mu' d\varpi' dr'$. La distance du point $M$ au
point $M'$ sera
\[
\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr'P},
\]
$P$ étant le cosinus de l'angle compris entre les deux droites $r$ et $r'$, en
sorte que l'on a
\[
P = \cos\theta \cos\theta' + \sin\theta \sin\theta' \cos(\varpi-\varpi'),
\]
ou
\[
P = \mu\mu' + \sqrt{1-\mu^2} \sqrt{1-\mu'^2}\ldot\cos(\varpi-\varpi').
\]
La somme $V$ des éléments de $A$ divisés par leurs distances respectives
au point $M$ sera exprimée par l'intégrale triple
\[
V = \iiint \frac{r'^2 d\mu' d\varpi' dr' }{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'P} },
\]
les intégrations s'étendant à la masse $A$ tout entière. Et la figure permanente
de cette masse sera déterminée par l'équation
\[
V + \frac{gr^2}{2} (1-\mu^2) =\text{constante},\tag{1}
\]
qu'il est aisé de démontrer par les formules connues de l'hydrostatique.
L'équation (1) doit servir, comme on voit, à déterminer $r$ en fonction
des deux variables indépendantes $\mu$, $\varpi$.

Nous supposerons désormais que l'origine $O$ est placée au centre de
gravité du sphéroïde: nous désignerons par $a$ la plus petite valeur de
\marginpage % *** File: 220.png
$r$: la valeur générale de ce rayon vecteur sera donc de la forme
\[
r = a(1 + \alpha Y),
\]
$\alpha$ étant un très petit coefficient et $Y$ une fonction inconnue de $\mu$  et $\varpi$:
à cause de la petitesse de $\alpha$ et de $g$, on négligera dans le calcul les
quantités de l'ordre  $\alpha g$ et de l'ordre $\alpha^2$. La valeur de $V$ se composera
de deux parties distinctes: l'une relative à la sphère du rayon $a$ est
exprimée par
\[
\frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y):
\]
l'autre, relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère, a pour valeur
\[
\alpha\ldot a^2\ldot\int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} \frac{Y'd\mu' d\varpi' }{\sqrt{2 - 2P} }:
\]
$Y'$ désigne ce que devient $Y$ lorsqu'on y change $\mu$ en $\mu'$ et $\varpi$ en $\varpi'$.




\mysection{IV.}

Cette expression de $V$, savoir,
\[
V = \frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y) + \alpha a^2 \int_{-1}^{+1} \int_0^{2\pi} \frac{Y'd\mu' d\varpi' }{\sqrt{2 - 2P} },\tag{2}
\]
n'est pas la seule dont on puisse faire usage. D'après la transformation
très ingénieuse donnée par Laplace à la page 73\footnote{%
A la page citée, Laplace considère spécialement un sphéroïde de révolution;
mais son analyse est générale et s'étend sans modifications à tous les sphéroïdes
très peu différents de la sphère.}
du tome II de la
\emph{Mécanique céleste}, on a aussi
\[
V = \frac{4\pi a^2 }{3} (1 - \alpha Y) + \alpha a^2 \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} Y'\sin p dpdq',\tag{3}
\]
les nouvelles variables $p$, $q'$, étant liées aux anciennes $\mu'$, $\varpi'$ par deux
relations dont l'une est
\marginpage % *** File: 221.png
\[
\mu' = \mu\cos^2p - \sin^2p\cos q',
\]
et dont l'autre est inutile à l'objet que nous nous proposons ici.

En comparant ces deux valeurs de $V$, qui doivent être identiquement
égales, on tombe sur une formule remarquable, savoir
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y'd\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} Y' \sin pdpdq'.
\]
Dans cette formule, la fonction $Y$ de $\mu$, $\varpi$ est arbitraire: toutefois elle
ne doit jamais devenir infinie, lorsque $\mu$ varie de $-1$ à $+ 1$ et $\varpi$ de 0
à $2\pi$. Lorsque $Y$ est une fonction $F(\mu)$ indépendante de $\varpi$, on a,
d'après cela,
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{F(\mu')d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} F(\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')\sin pdpdq'.
\]
En particulier si l'on pose $F(\mu) =\mu^n$, $n$ étant un nombre entier positif
quelconque, il vient
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \int_0^\pi\int_0^{2\pi} (\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')^n\ldot\sin pdpdq',
\]
et comme l'intégrale placée au second membre est toujours facile à
calculer, on voit qu'il en sera de même de l'autre intégrale
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}:
\]
en développant en effet $(\mu\cos^2p - \sin^2p\cos q')^n$ par la formule du binome
de Newton et multiplant ensuite les divers termes de ce développement
par $\sin p dp dq'$, il est évident que l'intégrale du premier
terme $\mu^n\cos^{2n}p \sin p dp dq'$ sera $\dfrac{4\pi\mu^n}{2n+1}$:
celle du terme suivant sera
nulle ainsi que celle de chaque terme de rang pair: le résultat de
l'intégration sera donc une fonction entière de $\mu$ de la forme
\[
\frac{4\pi\mu^n}{2n+1}+C_1\mu^{n-2} + C_2\mu^{n-4} + \dotsb ,
\]
$C_1$, $C_2$,\dots\ étant des constantes dont il est inutile d'écrire ici les valeurs;
\marginpage % *** File: 222.png
et l'on aura
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu'^n d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \frac{4\pi\mu^n}{2n+1}+C_1\mu^{n-2} +\text{etc}.
\]
En changeant $\mu'$ en $\mu$ et $\mu$ en $\mu'$, ce qui n'altère pas la valeur de $P$,
on obtiendra semblablement
\[
\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{\mu^n d\mu d\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = \frac{4\pi\mu'^n}{2n+1}+C_1\mu'^{n-2} +\text{etc}.\tag{4}
\]
La formule (4) nous sera par la suite d'un grand secours.

\mysection{V.}

En mettant pour $V$ sa valeur (2) dans l'équation (1) et observant
que l'on peut, à cause de la petitesse de $g$, poser $r=a$ dans le second
terme, cette équation devient
\[
\frac{4\pi a^2}{3}(1-\alpha Y) + \alpha a^2\int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y' d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} + \frac{a^2g}{2}(1-\mu^2)=\text{const.};
\]
ou plus simplement
\[
\frac{4\pi}{3}Y - \int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Y' d\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = C + \frac{g}{2\alpha}(1-\mu^2),\tag{5}
\]
$C$ étant une constante. On pourra aussi lui donner cette autre forme
équivalente
\[
\frac{4\pi}{3}Y - \int_{0}^{\pi}\int_0^{2\pi}Y'\sin pdpdq' = C + \frac{g}{2\alpha}(1-\mu^2),\tag{6}
\]
en employant la valeur (3) de $V$. Pour en tirer $Y$, le moyen le plus
simple est de développer cette inconnue en une série $Y_0 + Y_1 + \etc$
dont les géomètres ont étudié les propriétés avec beaucoup de soin.
La solution dont je parle est exposée à la page 69 du deuxième
volume de la \emph{Mécanique céleste}: nous ne voulons point nous
en occuper ici. Observons seulement que, pour que cette méthode
soit complète et rigoureuse, il faut qu'on ait démontré \emph{à
priori} la possibilité de représenter par un développement de la forme
\marginpage % *** File: 223.png
$Y_0 + Y_1 + \dotsb $ (entre les limites $-1$, $+1$, et 0, $2\pi$ de $\mu$ et de $\varpi$)
toute fonction $Y$ qui ne devient pas infinie entre ces limites. Laplace
ne possédant pas une telle démonstration avait lieu de craindre que sa
méthode ne fût insuffisante. C'est ce qui l'a porté à chercher un autre
procédé pour déterminer, directement et indépendamment des suites
infinies, la valeur de $Y$ qui satisfait à l'équation (5). Mais, comme je
l'ai expliqué dans l'introduction, le principe dont il a fait usage est
tout-à-fait inadmissible. Nous allons donc essayer d'atteindre par une
autre voie le but qu'il s'était proposé, savoir de trouver la valeur de
$Y$, sans recourir à l'emploi des séries.

Nous décomposerons, comme lui, la question en deux parties.

\primop.~Nous supposerons que la figure du sphéroïde en équilibre soit
de révolution: $Y$ sera alors fonction de $\mu$ seulement, et, dans cette
hypothèse, nous en déterminerons la valeur.

\secundop.~Nous prouverons qu'en effet la figure du sphéroïde ne peut être
que de révolution. Pour cette dernière partie du problème, nous
renverrons le lecteur au livre III\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste}, où elle est
traitée d'un manière exacte et complète: c'est donc à la première qu'il
faut spécialement nous attacher.

\mysection{VI.}

D'après un théorème connu, démontré par Maclaurin, nous savons
d'avance que l'équilibre de la masse fluide peut subsister en attribuant
à cette masse la forme d'un ellipsoïde de révolution. Il est donc évident
qu'on aura une solution particulière de l'équation (6), et par
suite de l'équation (5), en posant $Y = M + N\mu^2$ et en déterminant
convenablement les constantes $M$, $N$. En substituant cette valeur
de $Y$, on trouve en effet qu'elle satisfera à l'équation (6) si l'on prend
\[
M=\dfrac{3g}{16\alpha\pi}-\dfrac{3C}{8\pi},\quad N=-\dfrac{15g}{16\alpha\pi}.
\]
Cela posé, la valeur générale de $Y$ pourra être mise sous la forme
\[
Y=\dfrac{3g}{16\alpha\pi}-\dfrac{3C}{8\pi}-\dfrac{15g}{16\alpha\pi}\ldot\mu^2+Z,\tag{7}
\]
$Z$ étant une fonction inconnue de $\mu$ qui doit satisfaire à l'équation
\marginpage % *** File: 224.png
nouvelle
\[
\frac{4\pi}{3}\ldot Z - \int_{-1}^{+1}\int_0^{2\pi}\frac{Z'd\mu' d\varpi'}{\sqrt{2-2P}} = 0,\tag{8}
\]
dans laquelle $Z'$ désigne ce que devient $Z$ lorsqu'on y change $\mu$ en
$\mu'$. On déduit l'équation (8) de l'équation (5) en y remplaçant $Y$ par
sa valeur (7): la solution particulière $Y = M + N\mu^2$ que l'on a obtenue
à l'aide de l'équation (6) sert, comme on voit, à faire disparaître
le second membre $C + \dfrac{g}{2\alpha}(1-\mu^2)$ de l'équation (5).

\mysection{VII.}

Nous allons prouver que la fonction inconnue $Z$ est égale à zéro.
Pour cela nous ferons usage du théorème suivant qui se trouve démontré
dans mon \emph{Journal de Mathématiques} (tome II, page 1):

«Soit $\Psi(\mu)$ une fonction de $\mu$ déterminée mais inconnue, qui ne
devienne jamais infinie lorsque $\mu$ croît de $-1$ à $+1$. Si l'on a
constamment ${\dint_{-1}^{+1}}\mu^n\Psi(\mu)d\mu=0$, $n$ étant un quelconque des nombres
entiers 0, 1, 2, 3,\dots, on aura aussi $\Psi(\mu) = 0$, entre les
limites $\mu = -1$, $\mu = +1$.»

Pour prouver que $Z = 0$, il suffira donc de prouver que l'on a
\[
\int_{-1}^{+1}\mu^nZd\mu=0,
\]
$n$ étant un nombre entier quelconque, nul ou positif.

En multipliant par $d\mu$ les deux membres de l'équation (8) et intégrant
ensuite depuis $\mu = -1$ jusqu'à $\mu = +1$, on a
\[
\int_{-1}^{+1}Zd\mu - \int_{-1}^{+1}d\mu \int_{-1}^{+1}d\mu' \int_{0}^{2\pi} \frac{Z'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=0.
\]
L'intégrale triple contenue dans l'équation que je viens d'écrire peut
être mise sous la forme
\[
\int_{-1}^{+1}Z'd\mu' \int_{-1}^{+1}d\mu \int_{0}^{2\pi} \frac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}}.
\]
Mais par la formule (4) il vient
\marginpage % *** File: 225.png
\[
\int^{+1}_{-1} d\mu \int^{2\pi}_0 \dfrac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=4\pi:
\]
notre intégrale triple est donc égale à
\[
4\pi\int^{+1}_{-1}Z'd\mu',
\]
ou, ce qui est la même chose, à
\[
4\pi\int^{+1}_{-1}Zd\mu.
\]
Par suite on a
\[
\dfrac{4\pi}{3}\int^{+1}_{-1}Zd\mu-4\pi\int^{+1}_{-1}Zd\mu=0,
\]
ce qui exige que
\[
\int^{+1}_{-1}Zd\mu=0.
\]
Pour prouver que ${\dint^{+1}_{-1}}\mu Zd\mu=0$, il faut se rappeler que l'origine
$O$ des coordonnées est en même temps le centre de gravité du sphéroïde.
En effet le moment de l'élément $r'^2d\mu'd\varpi'dr'$ par rapport au
plan des $xy$ est
\[
r'^3\ldot\mu'd\mu'd\varpi'dr' :
\]
pour que ce plan contienne le centre de gravité, il faut donc que l'on ait
\[
\iiint r'^3\ldot\mu'd\mu'd\varpi'dr' = 0,
\]
les intégrales s'étendant au volume entier du liquide. On effectuera
d'abord l'intégrale relative à $r'$ depuis $r' = 0$ jusqu'à $r' = a(1 +\alpha Y')$,
et en négligeant le carré et les puissances supérieures de $\alpha$, on aura
\[
\int^{+1}_{-1}\int^{2\pi}_0\mu'\ldot(1+4\alpha Y)'d\mu'd\varpi' = 0:
\]
$Y'$ étant indépendant de $\varpi'$, cette équation de condition se réduit à
\[
\int^{+1}_{-1}\mu'Y'd\mu'\qtext{ou}\int^{+1}_{-1}\mu Yd\mu=0,
\]
\marginpage % *** File: 226.png
d'où résulte immédiatement
\[
\int_{-1}^{+1} \mu Zd\mu = 0,
\]
puisque $Y$ ne diffère de $Z$ que par la fonction paire $M + N\mu^2$.

Actuellement il suffira de prouver que si les intégrales
\[
\int_{-1}^{+1} Zd\mu,\quad \int_{-1}^{+1} \mu Zd\mu,\ldots \int_{-1}^{+1} \mu^{n-1}Zd\mu
\]
sont nulles pour une certaine valeur de $n$ égale à 2 ou > 2, l'intégrale
suivante ${\dint_{-1}^{+1}} \mu^n Zd\mu$ est nulle aussi. Cela fait, il sera rigoureusement
prouvé que l'on a $Z = 0$.

Or en multipliant par $\mu^nd\mu$ les deux membres de l'équation (8) et
intégrant par rapport à $\mu$, on obtient
\[
\frac{4\pi}{3}\int_{-1}^{+1} \mu^n Zd\mu -\int_{-1}^{+1} \mu^n d\mu\int_{-1}^{+1} d\mu' \int_{0}^{2\pi} \frac{Z'd\mu'd\varpi'}{\sqrt{2-2P}}=0.
\]
L'intégrale triple contenue dans cette équation, étant mise sous la
forme
\[
\int_{-1}^{+1} Z'd\mu' \int_{-1}^{+1} \mu^n d\mu \int_{0}^{2\pi} \frac{d\varpi'}{\sqrt{2-2P}},
\]
devient, en vertu de la formule (4),
\[
\int_{-1}^{+1} Z'd\mu' \Big(\frac{4\pi\mu'^n}{2n+1} + C_1\mu'^{n-2} + \etc\Big):
\]
changeant $\mu'$ en $\mu$ sous le signe $\int$ et omettant les termes multipliés
par les intégrales nulles
\[
\int_{-1}^{+1} \mu^{n-2}Zd\mu, \quad \int_{-1}^{+1} \mu^{n-4}Zd\mu, \etc,
\]
elle se réduit à
\[
\frac{4\pi}{2n+1}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu,
\]
en sorte que l'on a
\[
\frac{4\pi}{3}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu - \frac{4\pi}{2n+1}\int_{-1}^{+1} \mu^nZd\mu=0,
\]
et par conséquent
\marginpage % *** File: 227.png
\[
\int^{+1}_{-1}\mu^n Z d\mu = 0,\]
puisque $2n+1$ est $> 3$.

Concluons de cette analyse qu'en se bornant aux sphéroïdes de révolution,
les formes possibles d'équilibre très peu différentes de la
sphère sont représentées par l'équation générale
\[
r = a(1+\alpha Y) = a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}-\frac{15g}{16\pi}\ldot\mu^2\Big),\]
laquelle se simplifie en observant que $a$ représente (\no III) la plus petite
valeur de $r$: en effet la plus petite valeur de $r$ répond à $\mu^2 = 1$:
on a donc
\[
a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}-\frac{15g}{16\pi}\Big) = a,\]
d'où l'on tire
\[
a\Big(1+\frac{3g}{16\pi}-\frac{3\alpha C}{8\pi}\Big) = a\Big(1+\frac{15g}{16\pi}\Big),\]
et par suite,
\[
\tag{9}    r= a\Big[1+ \frac{15g}{16\pi}(1-\mu^2)\Big].
\]

L'équation (9) est celle d'un ellipsoïde qui se réduit à une sphère lorsque
$g = 0$; en sorte que la sphère est la seule figure de révolution
qui satisfasse à l'équilibre d'une masse fluide homogène immobile, du
moins lorsqu'on suppose \emph{à priori} cette figure presque sphérique.

C'est en partant de ce dernier théorème que l'on prouve ensuite que
parmi toutes les figures très peu différentes de la sphère (qu'elles
soient ou non de révolution) une seule peut satisfaire à la condition
d'équilibre du fluide tournant autour d'un axe. En sorte que la surface
de ce fluide est nécessairement celle de l'ellipsoïde déterminé par
l'équation (9). Mais sur ce point, comme nous l'avons déjà dit, nous
renverrons au livre III\ieme\ de la \emph{Mécanique céleste} (tome II, page 76.)

\jmpafin

% *** File: 228.png

\jmpapaperl{EXTRAIT}{}
{D'un Mémoire sur le développement des fonctions en séries
dont les différents termes sont assujettis à satisfaire à une
même équation différentielle linéaire, contenant un paramètre
variable;}
{Par MM.~C. STURM et J. LIOUVILLE.}{}
\label{art20}

Soient $x$ une variable indépendante comprise entre deux limites données
x, X; $g$, $k$, $l$ trois fonctions positives de $x$; $r$ un paramètre indéterminé;
et $V$ une fonction de $x$ et de $r$, qui satisfasse à la fois à
l'équation indéfinie
\[
\frac{d\Big(k\dfrac{dV}{dx}\Big) }{dx } + (gr-l)  V = 0,\tag{1}
\]
et à la condition définie
\[
\frac{dV}{dx}-hV=0\qtext{pour} x=\x,\tag{2}
\]
dans laquelle $h$ représente un nombre donné positif. Il est aisé de trouver
une fonction $V$ qui vérifie ces deux équations et qui ne devienne
identiquement nulle pour aucune valeur déterminée de $r$, lorsque $x$
reste indéterminée. On s'est beaucoup occupé des propriétés de la
fonction $V$ dans différents mémoires auxquels nous renverrons le
lecteur\footnote{%
Tome I de ce Journal, pages 106, 253, 269, 373, et tome II, page 16 \pdf{art4}.}.

\marginpage % *** File: 229.png
Désignons par $H$ un coefficient positif et par $\varpi(r)$ ce que devient la
quantité $\dfrac{dV}{dx} + HV$ lorsqu'on y fait $x = X$: on sait que l'équation
$\varpi(r) = 0$ a une infinité de racines toutes réelles et positives que nous
nommerons $r_1$, $r_2$,\dots\ $r_n$,\dots\ en les supposant rangées dans un ordre
de grandeurs croissantes. Nous représenterons par $V_n$ ou $V_n(x)$ ce que
devient $V$ lorsqu'on fait $r=r_n$. Ainsi l'on aura à la fois
\begin{alignat*}{2}
&\rlap{$\displaystyle\frac{d\Big(k\dfrac{dV_n}{dx}\Big) }{dx } + (gr_n-l)  V_n = 0,\hfill$}\tag{3}\\
&\frac{dV_n}{dx} - hV_n&&=0 \qtext{pour} x = \x,\tag{4}\\
&\frac{dV_n}{dx} + HV_n&&=0 \qtext{pour} x = X.\tag{5}
\end{alignat*}

Cela posé, on peut chercher à sommer la série
\[
\sum\left\{\frac{\displaystyle V_n \int_\x^X gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\},\tag{6}
\]
dans laquelle le signe $\sum$ s'applique aux valeurs successives 1, 2, 3,\dots\
de l'indice $n$, et où $f(x)$ est une fonction arbitraire de $x$ qui ne devient
jamais infinie. Soit $F(x)$ la somme demandée. Il s'agit de prouver
d'une manière directe et rigoureuse que l'on a $F(x) = f(x)$. Déjà
l'un de nous a traité cette question dans un mémoire particulier;
mais comme la série (6) se présente dans une foule de problèmes de
physique mathématique, nous avons pensé qu'il était bon de revenir
sur ce sujet. Au surplus, la méthode dont nous allons faire usage
diffère beaucoup de celle que l'on a d'abord employée.

Combinons entre elles les équations (1) et (3); en ayant égard aux
conditions (2), (4), nous aurons sans difficulté
\[
\int_\x^x gVV_ndx = \frac{k}{r-r_n}\Big(V\frac{dV_n}{dx} - V_n\frac{dV}{dx}\Big).
\]
En posant $x = X$ et se rappelant que, pour cette valeur de $x$,
$\dfrac{dV_n}{dx} + HV_n$ se réduit à zéro et $\dfrac{dV}{dx} + HV$ à $\varpi(r)$, il vient donc
\marginpage % *** File: 230.png
\[
\tag{7}   \int_\x^X gVV_n dx = -KV_n(X)\ldot \frac{\varpi(r)}{r-r_n};
\]
$K$ et $V_n(X)$ représentent les valeurs respectives de $k$ et de $V_n$ pour
$x = X$. Dans le cas particulier où $r = r_n$, le second membre de la
formule (7) prend la forme $\frac{0}{0}$: en cherchant alors sa vraie valeur par
la règle connue, on trouve
\[
\tag{8} \int_\x^X gV_n^2 dx = -KV_n(X)\varpi'(r_n).
\]

D'un autre côté on peut démontrer que la fraction $\dfrac{V}{\varpi(r)}$ est décomposable
en fractions simples. Par les méthodes connues pour ce genre
de décomposition, on obtient
\[
\frac{V}{\varpi(r)} = \sum\Big\{\frac{V_n}{(r-r_n)\varpi'(r_n)}\Big\},
\]
d'où résulte
\[
\tag{9} V = \sum\Big\{\frac{\varpi(r)V_n}{(r-r_n)\varpi'(r_n)}\Big\}.
\]
A l'aide des formules (7) et (8), on peut éliminer $\varpi(r)$, $\varpi'(r_n)$: cette
élimination faite, si l'on multiplie l'équation (9) par $gf(x)dx$ et si
l'on intègre ensuite, on obtient finalement
\[
\int_\x^X gVf(x)dx = \sum\left\{\frac{{\dint_\x^X} gVV_ndx\ldot {\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\}.
\]
Mais en multipliant par $gVdx$ et intégrant les deux membres de l'équation
\[
F(x) = \sum\left\{\frac{V_n{\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\},
\]
on a de même
\[
\int_\x^X gVF(x)dx = \sum\left\{\frac{{\dint_\x^X} gVV_ndx\ldot {\dint_\x^X} gV_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV_n^2dx}\right\}.
\]
\marginpage % *** File: 231.png
Les deux intégrales
\[
\int_\text{x}^\text{X} gVf(x) dx,\quad \int_\text{x}^\text{X} gVF(x) dx
\]
sont donc égales entre elles, en sorte que l'on a
\[
\int_\text{x}^\text{X} gV[F(x) - f(x)] dx = 0.
\]
Cette dernière équation doit avoir lieu quel que soit $r$, et l'on peut
aisément prouver qu'elle entraîne la suivante $F(x) = f(x)$,
C.~Q.~F.~D.

La méthode que nous venons d'employer pour sommer la série (6)
est à la fois très simple et très générale. Elle peut servir à trouver la
somme d'un grand nombre d'autres séries, comme on le verra dans
notre mémoire, où l'analyse précédente est présentée sous plusieurs
points de vue~\footnotemark.
\footnotetext{L'abondance des matières nous force à différer la publication de ce Mémoire.
L'extrait qu'on vient de lire a déjà été imprimé dans le \emph{Compte rendu des séances
de l'Académie des Sciences}, tome~IV, page~675.      \signit{(\bsc{J.~Liouville})}}

\jmpafin

% *** File: 232.png

\jmpapaper{REMARQUES}{}
{Sur les Intégrales des fractions rationnelles;}
{Par M.~POISSON.}{}
\label{art21}\Droit

Lorsqu'on passe de l'intégrale indéfinie d'une fraction rationnelle à
son intégrale définie, prise entre les limites zéro et l'infini, il arrive
souvent qu'elle se réduit à une fonction algébrique des racines de
l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le dénominateur de la
fraction proposée, et qu'elle ne contient plus qu'une seule quantité
transcendante, savoir, le rapport $\pi$ de la circonférence au diamètre.
Mais cette fonction n'est pas du genre de celles que l'on peut exprimer
sans radicaux, au moyen des coefficients de l'équation dont elle
renferme les racines; et quoiqu'elle ne doive avoir qu'une seule valeur,
elle dépend, néanmoins, d'une équation d'un degré supérieur au
premier, dont cette valeur est une racine déterminée. C'est ce que l'on
verra, en effet, par l'exemple suivant, auquel il sera facile d'en
ajouter, si l'on veut, beaucoup d'autres.

Je désignerai par $a$, $b$, $c$, $g$, $h$, $k$, des constantes données, et j'appellerai
$y$ l'intégrale que je prendrai pour exemple, savoir:
\[
y = \int_0^\infty \frac{(g + hx^2 + kx^4) dx }{x^6 + ax^4 + bx^2 + c }.
\]

Soient $-\alpha^2$, $-\beta^2$, $-\gamma^2$, les trois racines, réelles ou imaginaires
de l'équation
\[
x^6 + ax^4 + bx^2 + c = 0,
\]
résolue par rapport à $x^2$, de sorte qu'on ait
\begin{gather*}
\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a,\quad
\alpha^2\beta^2 + \gamma^2\alpha^2 + \beta^2\gamma^2 = b,\quad
\alpha^2\beta^2\gamma^2 = c.\tag{1}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 233.png
Afin que le dénominateur de la fraction comprise sous le signe $\int$, ne
passe pas par zéro entre les limites de l'intégration, je supposerai
qu'aucune de ces racines ne soit positive, ce qui exigera que le dernier
terme $c$ soit positif. Les signes de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, seront ambigus.
Pour fixer les idées, je supposerai aussi que ces trois quantités sont
positives, ou des imaginaires dont la partie réelle est positive.

Par la règle ordinaire, on aura
\begin{align*}
y &= \frac{g-h\alpha^2 + k\alpha^4 }{(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^2-\gamma^2) }
\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\alpha^2}\\
&+ \frac{g-h\beta^2 + k\beta^4 }{(\beta^2 - \alpha^2)(\beta^2-\gamma^2) }
\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\beta^2}\\
&+ \frac{g-h\gamma^2 + k\gamma^4 }{(\gamma^2 - \alpha^2)(\gamma^2-\beta^2) }
\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+\gamma^2}.
\end{align*}
Je fais $x = \alpha z$ et $dx = \alpha dz$ dans la première intégrale, $x = \beta z$
et $dx = \beta dz$ dans la seconde, $x = \gamma z$ et $dx = \gamma dz$ dans la troisième.
D'après l'hypothèse que l'on vient de faire sur les signes de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,
les limites relatives à la nouvelle variable $z$ seront toujours zéro et
l'infini positif; et à cause de ${\dint_0^\infty}\dfrac{dz}{1+z^2} = \dfrac{1}{2}\pi$, il en résultera
\[
\frac{2}{\pi} y
= \frac{g-h\alpha^2 + k\alpha^4 }{\alpha(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^2-\gamma^2) }
+ \frac{g-h\beta^2 + k\beta^4 }{\beta(\beta^2 - \alpha^2)(\beta^2-\gamma^2) }
+ \frac{g-h\gamma^2 + k\gamma^4 }{\gamma(\gamma^2 - \alpha^2)(\gamma^2-\beta^2) },
\]
ou bien, en réduisant les trois fractions au même dénominateur,
\begin{gather*}
\frac{2}{\pi}y
= \frac{g(\alpha+\beta+\gamma) + h\alpha\beta\gamma
+ k\alpha\beta\gamma(\alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma) }
{\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma) }.
\tag{2}
\end{gather*}

Soit actuellement
\[
\alpha  + \beta  + \gamma  = u.
\]
En vertu des équations (1), on aura d'abord
\[
2(\alpha\beta + \gamma\alpha + \beta\gamma) = u^2 - a;
\]
on aura ensuite
\[
4\left[\alpha^2\beta^2 +\gamma^2\alpha^2 +\beta^2\gamma^2
+ 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\right] = (u^2-a)^2,
\]
et, par conséquent,
\begin{gather*}
(u^2-a)^2 - 8u\sqrt{c} - 4b = 0,\tag{3}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 234.png
où l'on regardera $\sqrt{c}$, valeur de $\alpha \beta \gamma$, comme une quantité positive.
Or, il est évident qu'on aurait été conduit à cette même équation (3),
si l'on eût pris pour $u$ l'une des trois quantités $\alpha - \beta - \gamma$,
$\gamma - \alpha - \beta$, $\beta - \gamma - \alpha$, qui se déduisent du trinôme $\alpha + \beta + \gamma$, en
changeant les signes de deux de ses termes, ce qui n'empêche pas le
produit des trois termes, de rester positif et égal à $\sqrt{c}$. Il s'ensuit donc
que les quatre racines de l'équation (5) sont
\[
\alpha + \beta + \gamma,\quad
\alpha - \beta - \gamma,\quad
\gamma - \alpha - \beta,\quad
\beta  - \gamma - \alpha.
\]
D'ailleurs, les trois quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, étant positives ou des imaginaires
dont la partie réelle est positive, il en résulte qu'une au
moins de ces quatre racines sera réelle et positive; et l'on voit aussi que
si l'équation (3) a plusieurs racines de cette espèce, c'est la plus grande
qui exprime la valeur de $\alpha + \beta + \gamma$. En désignant par $p$ la plus
grande racine positive de l'équation (3), il faudra donc prendre, dans
la formule (2),
\[
\alpha+\beta+\gamma=p,\quad \alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma=\tfrac{1}{2}(p^2-a);
\]
comme on a identiquement
\[
(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma)
= (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\gamma\alpha+\beta\gamma)-\alpha\beta\gamma,
\]
ou aura, en même temps
\[
(\alpha+\beta)(\gamma+\alpha)(\beta+\gamma) = \tfrac{1}{2}p(p^2-a)-\alpha\beta\gamma;
\]
et à cause de $\alpha\beta\gamma=\sqrt{c}$, la formule (2) deviendra
\begin{gather*}
\frac{2}{\pi}y
= \frac{2gp+2h\sqrt{c}+k(p^2-a)\sqrt{c}}
{p(p^2-a)\sqrt{c}-2c};
\tag{4}
\end{gather*}
en sorte qu'il suffira de calculer la valeur de la plus grande racine de
l'équation (3), pour en conclure immédiatement la valeur de $y$.

En remettant pour $y$ l'intégrale que cette lettre représente, on
pourra décomposer cette formule (4), en ces trois autres
\marginpage % *** File: 235.png
\begin{gather*}
\left.
\begin{aligned}
&\int_0^\infty\frac{dx}{X}    =\frac{\pi p}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c},\\
\label{err235}&\int_0^\infty\frac{x^2dx}{X} =\frac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c},\\
&\int_0^\infty\frac{x^4dx}{X} =\frac{\pi(p^2-a)\sqrt{c}}{2p(p^2-a)\sqrt{c} -4c},
\end{aligned}
\qquad\right\}
\tag{5}
\end{gather*}
où l'on a fait, pour abréger,
\[
x^6+ax^4+bx^2+c = X.
\]

Si l'on a, par exemple, $a = 0$, $b = 0$, $c = 1$, l'équation (3)
se réduira à $u^4 - 8u = 0$; \label{err235a}
ses quatre racines seront $u = 0$, $u = 2$,
$u=1\pm \sqrt{-3}$; ce sera la seconde qu'il faudra prendre pour $p$; au
moyen de quoi, les équations (5) deviendront
\[
\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{3},\qquad
\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{6},\qquad
\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{1+x^6}=\frac{\pi}{3};
\]
ce qui coïncide avec les valeurs que l'on déduirait de la formule connue
\[
\label{err235b}\int_0^\infty\frac{x^{m-1} dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\dfrac{m\pi}{n}}.
\]

Dans le cas de $a = 3$, $b = 3$, $c = 1$, l'équation (3) a une racine
égale à $3$, et trois racines égales entre elles et à $-1$. En prenant donc
$p = 3$, les formules (5) donneront alors
\[
\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^3}=\frac{3\pi}{16},\qquad
\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{(1+x^2)^3}=\frac{\pi}{16},\qquad
\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{(1+x^2)^3}=\frac{3\pi}{16};
\]
résultats faciles à vérifier, par le procédé de l'intégration par partie.

En général, si l'on élimine $p$ et $p^2 - a$, entre les trois équations (5),
il vient
\[
\int_0^\infty\frac{dx}{X}\int_0^\infty\frac{x^4 dx}{X}
- \Big(\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X}\Big)^2
= \frac{\pi}{2\sqrt{c}} \int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X};
\]
équation indépendante de $a$ et $b$, et qui fera connaître immédiatement
l'une des trois intégrales que nous considérons, lorsque les valeurs des
deux autres seront connues. On aura aussi cette autre équation
\[
\frac{p}{\sqrt{c}}\int_0^\infty\frac{x^2 dx}{X} = \int_0^\infty\frac{dx}{X};
\]
\marginpage % *** File: 236.png
et quand les deux intégrales qu'elle renferme auront été calculées par
les quadratures, elle fera connaître la valeur approchée de la plus
grande racine positive $p$ de l'équation (3).

La fraction rationnelle donnée ne contenant toujours que des puissances
paires de la variable; si son dénominateur est du huitième degré,
l'équation dont sa valeur dépendra, se réduira au quatrième
degré, comme l'équation (3), et ce sera encore la plus grande racine
positive de cette équation qu'il faudra employer dans cette valeur.

Après avoir décomposé une fraction rationnelle en fractions simples
dont les dénominateurs soient du premier ou du second degré; si l'on
suppose que le nombre qui marque le degré du dénominateur de la
fraction proposée devienne infini, le nombre des fractions simples le
deviendra aussi, et elles formeront une série infinie dont la fraction
donnée exprimera la valeur. On obtient par là, sans intégration,
les sommes des diverses séries qu'Euler et D. Bernouilli ont considérées,
et qui sont déterminées d'une autre manière dans mes mémoires
sur les intégrales définies\footnote{%
\emph{Journal de l'École Polytechnique}, XVIII\ieme\ cahier, pages 311 et suivantes.};
mais je n'ai pas vu que ce moyen conduisît
à des résultats qui ne fussent pas déjà connus.

\jmpafin

% *** File: 237.png

\jmpapaperl{MÉMOIRE}{}
{Sur le degré d'approximation qu'on obtient pour les
valeurs numériques d'une variable qui satisfait à une
équation différentielle, en employant pour calculer ces
valeurs diverses équations aux différences plus ou moins
approchées;}
{Par G. CORIOLIS.}{}
\label{art22}

Lorsqu'on a à résoudre l'équation
\[
\frac{dy}{dx} = f(x),
\]
on le fait au moyen de l'intégrale
\[
y = \tint f(x)dx.
\]
Les valeurs numériques de cette dernière peuvent se calculer par approximation
au moyen de l'équation aux différences
\[
\Delta y = f(x) \Delta x:
\]
c'est ce qu'on appelle la \emph{méthode des quadratures}. Au lieu de cette
équation aux différences, on emploie encore la suivante:
\[
\Delta y = \frac{\Delta x }{2} \left[f(x) + f(x + \Delta x)\right].
\]
C'est pour cette formule que le célèbre Euler a donné les termes d'une
série complémentaire, et que M.~Poisson, dans un mémoire qui fait
partie du recueil de l'Académie, année 1827, a exprimé le reste de
cette série sous une forme analogue à celui de la série de Taylor.
\marginpage % *** File: 238.png
M.~Cauchy est, je crois, le premier qui ait fixé une limite à l'erreur
commise lorsque, pour calculer les valeurs de $y$ tiré de l'équation différentielle
$dy = f(x,y)dx$, où les variables $x$ et $y$ paraissent toutes
deux dans la fonction qui exprime la valeur de $\dfrac{dy}{dx}$, on se sert de
l'équation aux différences
\[
\Delta y = f(x,y)\Delta x.
\]

Nous allons d'abord exposer la marche qu'il a suivie, puis nous
donnerons des limites analogues lorsqu'on emploie diverses autres
équations aux différences plus ou moins approchées de l'équation
différentielle.

Pour faciliter les énoncés, nous concevrons $x$ et $y$ comme étant
deux coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan.

Nous ferons remarquer d'abord que toutes les méthodes d'approximation
pour le calcul des valeurs numériques de $y$ ne peuvent réussir,
comme on le verra, par la recherche même des limites de l'erreur,
qu'autant qu'on sait \emph{à priori} que pour tous les points compris dans un
certain rectangle sur le plan, ni la fonction $f(x, y)$, ni certaines de
ses dérivées ne deviennent infinies, et qu'on peut assigner des nombres
que ces fonctions ne dépassent jamais dans ce rectangle.

Soit donc $A$ un nombre que $f(x, y)$ ne puisse dépasser dans le
rectangle dont les points extrêmes ont pour coordonnées $x_0$, $x_0 + a$,
$y_0- b$, $y_0+b$.

Supposons qu'après avoir pris $\Delta x = \dfrac{x-x_0}{n}$, on calcule $y_n$ au
moyen des équations successives
\begin{alignat*}{2}
&y_1 -\ y_0 &&= f(x_0, y_0)\Delta x,\\
&y_2 -\ y_1 &&= f(x_1, y_1)\Delta x,\\[-1ex]
&\ \vdots\\[-1ex]
&y_n\ {-} y_{n-1} &&= f(x_{n-1}, y_{n-1})\Delta x.
\end{alignat*}
Il s'agit de reconnaître quelle altération recevait cette valeur de $y_n$,
si, au lieu de diviser $x - x_0$ en $n$ parties, on multipliait indéfiniment
les éléments en sous-divisant chacun des accroissements $\Delta x$ en
$m$ éléments $\Delta^1 x$ plus petits.

\marginpage % *** File: 239.png
Soient $y_r$ et $y_{r+1}$, deux quelconques des $y$ successifs du calcul précédent,
de telle sorte qu'on ait
\[
y_{r+1} - y_r = f(x_r, y_r)\Delta x,
\]
en sous-divisant $\Delta x$ en $m$ éléments $\Delta^1 x$ et conservant à $x_r$ et à $y_r$ les
mêmes valeurs, on aura une nouvelle valeur de $y_{r+1}$ répondant à
$x_{r+1}$ ou à $x_r + \Delta x$, laquelle résultera des équations successives\label{err239}
\begin{align*}
&y^1_1 = y_r + f(x_r, y_r)\Delta^1 x,\\
&y^1_2 = y^1_1 + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,\\[-1ex]
&\ \vdots\\[-1ex]
&y_{r+1} = y^1_{m-1} + f(x^1_{m-1}, y^1_{m-1})\Delta^1 x,
\end{align*}
ou $x^1_1$, $x^1_2$, $x^1_3$, \etc\dots, désignant les valeurs de $x$ intermédiaire
entre $x_{r+1}$ et $x_r$ et $y^1_1$, $y^1_2$, $y^1_3$, \etc\dots, les valeurs de $y$ fournies par ces
équations aux différences. On peut les mettre sous cette forme
\begin{align*}
y^1_1 &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x,\\
y^1_2 &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,\\[-1ex]
&\ \vdots\\[-1ex]
y_{r+1} &- y_r = f(x_r, y_r)\Delta^1 x + \dotsb + f(x^1_{m-1}, y^1_{m-1})\Delta^1 x.
\end{align*}
Tant que $\Delta x$ ne dépassera pas $\dfrac{b}{A}$, c'est-à-dire que $A\Delta x < b$, on sera
sûr que chacune des sommes qui forment les deuxièmes membres sera
inférieure à $A\Delta x$, et qu'ainsi tous les $y$ qui paraissent dans le calcul
seront tous compris entre les limites $y_0 \pm A\Delta x$ ou $y_0 \pm b$. Ainsi, l'on
peut poser
\[
y_{r+1} = y_r + f(x_r + \theta \Delta x,\ y_r \pm \theta A\Delta x)\Delta x,
\]
$\theta$ étant un nombre fractionnaire entre zéro et l'unité.

Si donc on désigne par $\delta y_{r+1}$ la différence entre la valeur de  $y$ calculée
par l'équation
\[
y_{r+1} - y_r = f(x_r, y_r)\Delta x,
\]
\marginpage % *** File: 240.png
et celle qui résulte des $m$ sous-divisions de $\Delta x$; on aura
\[
\delta y_{r+1} = \left[f(x_r + \theta A \Delta x,\ y_r \pm \theta A \Delta x) - f(x_r,y_r)\right]\Delta x.
\]

Si l'on désigne par $P$ et $Q$ les maxima numériques des dérivées
partielles  $\dfrac{\d f(x,y)}{\d x}$ et $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ dans l'étendue du rectangle dont nous
avons parlé, et qu'on développe la différence ci-dessus au moyen des
dérivées partielles, on aura toujours
\[
\delta y_{r+1} < (P + AQ)\Delta x^2.
\]
Il reste à examiner maintenant quelle sera l'altération partielle produite
sur $y_n$ par cette variation $\delta y_{r+1}$ , en supposant que l'on ne change
pas le mode de division entre $y_{r+1}$ et $y_n$, et que cette dernière quantité
ne soit ainsi modifiée que par le seul changement de $y_{r+1}$.

En désignant de même par $\delta y_{r+2}$, $\delta y_{r+3}$, etc., les variations correspondantes
des quantités $y_{r+2}$, $y_{r+3}$, etc., on aura évidemment\label{err240}
\[
\delta y_{r+2} = \delta y_{r+1} + \left[f(x_{r+1},\ y_{r+1} + \delta y_{r+1}) - f(x_{r+1}, y_{r+1})\right] \Delta x.
\]
Cette équation fournit l'inégalité suivante:
\[
\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1}(1 + Q\Delta x),
\]
et comme on aura semblablement,
\[
\delta y_{r+3} < \delta y_{r+2}(1 + Q\Delta x),
\]
et ainsi de suite jusqu'à
\[
\delta y_n < \delta y_{n-1}(1 + Q\Delta x);
\]
on en déduira
\[
\delta y_n < \delta y_{r+1}(1 + Q\Delta x)^{n-r-1}.
\]
En appliquant cette formule au premier élément $\Delta x$ à partir de $x_0$,
sa sous-division produisant un changement $\delta y_1$ sur $y_1$, on aura pour
la variation correspondante $\delta_1 y_n$ sur $y_n$
\[
\delta_1 y_n < \delta y_1(1 + Q\Delta x)^{n-1}.
\]
Si l'on sous-divise ensuite le second élément $\Delta x$, on produira sur $y_n$
\marginpage % *** File: 241.png
un deuxième changement qui sera limité par l'inégalité
\[
\delta_2 y_n < \delta y_2(1 + Q \Delta x)^{n-2}.
\]
On continuera à poser des relations semblables qui limiteront les altérations
partielles
\[
\delta_3 y_n,\quad \delta_4 y_n, \quad \etc
\]
Il est clair que l'on aura le changement total sur $y_n$ en faisant la somme
\[
\delta_1 y_n + \delta_2 y_n + \delta_3 y_n +\etc
\]
En la désignant par $\delta y_n$ et se rappelant que toutes ces quantités $\delta_1 y_n,
\delta_2 y_n$, etc., sont toutes inférieures à $(P + AQ)\Delta x^2$; on aura
\[
\delta y_n < (P + AQ)\Big[\frac{(1 + Q\Delta x)^n - 1 }{Q }\Big] \Delta x.
\]
Cette inégalité subsistant, quel que soit le nombre des nouvelles sous-divisions
de chacun des $n$ éléments $\Delta x$ en d'autres plus petits, elle
aura encore lieu à la limite quand le nouvel $y$ deviendra la valeur
exacte; ainsi elle donne une limite de l'erreur que l'on commet en
prenant $y_n$ au lieu de la limite.

La marche précédente, tout en donnant une limite pour l'erreur
commise, a l'avantage de démontrer que $y_n$ converge vers une limite
lorsque n croît indéfiniment, et qu'il y a une fonction qui satisfait
à l'équation différentielle: les valeurs de cette fonction peuvent
ainsi se calculer par la méthode précédente avec telle approximation
que l'on voudra.

Telle est l'analyse qu'on doit à M.~Cauchy.

Nous remarquerons maintenant que si l'on admet \emph{à priori} que la
fonction $y$ existe, la limite précédente peut être réduite à moitié. En
effet, les valeurs de $y$ répondant à $x_{r+1}$ peuvent être mises sous la
forme
\[
y = y_r + f(x_r,y_r)\Delta x + \frac{\d f(x_r + \theta\Delta x,\ y_r \pm \theta\Delta x)}{\d x} \frac{\Delta x^2 }{2}.
\]
Or, la valeur approchée de y que nous désignerons par $y_{r+1}$, est donnée
par
\[
y_{r+1} = y_r + f(x_r,y_r) \Delta x;
\]
\marginpage % *** File: 242.png
Ainsi, la seule sous-division à l'infini des éléments entre $x_r$ et $x_{r+1}$
fait varier $y$ de
\[
\frac{\d f(x_r+A \Delta x,\ y_r\pm \theta A \Delta x) }{\d x} \frac{\Delta x^2}{2},
\]
qui est inférieure à
\[
(P+AQ)\frac{\Delta x^2}{2}.
\]
C'est la moitié de ce qu'on avait adopté par la marche précédente;
on peut donc poser en général
\[
\delta y_n < \Big(\frac{P+AQ}{2}\Big)
\Big[\frac{(1+Q \Delta x)^2-1}{Q}\Big]\Delta x.
\]
Il ne faut pas perdre de vue que ces calculs par éléments ne peuvent
réussir et conduire ainsi aux valeurs numériques de l'intégrale $y$ qu'autant
qu'on peut assigner un certain rectangle dans lequel ni la fonction
$f(x, y)$, ni les deux dérivées partielles ne deviennent infinies.
Les coordonnées extrêmes de ce rectangle étant $x_0$, $x_0 + a$,
$y_0 - b$ et $y_0 + b$, on n'est sûr \emph{à~priori} de pouvoir calculer $y$ que
pour une valeur de $x$ qui ne dépasse pas $x_0+\dfrac{b}{A}$, puisque dans ce
cas seulement on sait que quel que soit l'indice $r$ la valeur numérique
de $y_r - y_0$ étant plus petite que $A(x_r - x_0)$ sera alors inférieure
à $b$.

On peut remarquer que, si la fonction $f(x, y)$ reste positive pour
toute la superficie du demi-rectangle compris entre $y_0$ et $y_0 + b$;
alors on n'a pas besoin de considérer le demi-rectangle inférieur compris
entre $y_0$ et $y_0 - b$ puisqu'on sera sûr alors que dans l'étendue du
calcul les valeurs de $y$ vont en croissant: ce sera l'inverse si $f(x, y)$
reste négative.

Examinons maintenant le cas où l'on emploie d'autres équations
aux différences pour calculer les valeurs de $y$. On peut, par exemple,
procéder d'une manière analogue à celle qu'on prend pour les intégrales
définies, quand on leur substitue l'aire d'un polygone au lieu
de la somme des rectangles inscrits. On emploie alors l'équation aux
différences
\[
\Delta y = \left[f(x,y)+f(x,y + f(x,y) \Delta x) \right] \frac{\Delta x}{2}.
\]
\marginpage % *** File: 243.png
Examinons dans ce cas quelle limite on peut assigner à l'erreur commise.

Lorsque $y$ n'existe pas dans $f(x,y)$ et que cette fonction est réduite
à $f(x)$, Euler a donné une série pour exprimer le complément nécessaire
pour former la valeur de $y$. M.~Poisson a exprimé le premier le
reste de cette série et a posé ainsi une limite à l'erreur. Il s'est fondé
sur l'analyse propre aux développements des fonctions en séries de
sinus et de cosinus. Nous exprimerons ici le reste par le seul emploi
de la série de Taylor.

Supposons d'abord qu'on ait une fonction $f(x)$ au lieu de $f(x,y)$
et que l'équation aux différences soit
\[
\Delta y = \left[f(x) + f(x+\Delta x)\right] \frac{\Delta x}{2}.
\]
En développant $f(x + \Delta x)$ et s'arrêtant au troisième terme, cette
équation devient
\[
\Delta y = \Delta x f(x)
+ \frac{\Delta x^2}{2} f'(x)
+ \frac{\Delta x^3}{4} f''(x+\theta \Delta x),
\]
$\theta$ étant un coefficient numérique plus petit que l'unité. Mais la valeur
exacte de $\Delta y$ serait donnée par
\[
\Delta y = \Delta x f(x)
+ \frac{\Delta x^2}{2} f'(x)
+ \frac{\Delta x^3}{6} f''(x+\theta \Delta x),
\]
ainsi la différence entre les deux $y$ pourra être mise sous la forme de
\[
\frac{\Delta x^3}{3} f''(x+\theta \Delta x).
\]
Si $A''$ désigne la plus grande valeur numérique de $f''(x)$ pour toutes
les valeurs de $x + \theta \Delta x$ qui peuvent être employées, l'expression ci-dessus
sera inférieure à
\[
\frac{\Delta x^3}{12} A''.
\]
Revenons maintenant à l'équation différentielle où les deux variables
$x$ et $y$ entrent dans la fonction, et soit
\[
\frac{dy}{dx} = f(x,y).
\]
\marginpage % *** File: 244.png
Nous déduirons $y_{r+1}$ de $y_r$ par l'équation aux différences
\[
\Delta y = \left\{\left[f(x,y) + fx, y + f(x,y) \Delta x\right] \right\}\frac{\Delta x}{2};
\]
posons, pour abréger,
\[
y + f(x,y) \Delta x =y',
\]
et désignons par $Y$ la valeur exacte de $y$. Nous pourrons remplacer
l'équation aux différences qui fournit les $y$, par la suivante
\[
\Delta y = \left[f(x,y) + f(x,Y) \right]\frac{\Delta x}{2}
- \left[f(x,Y) - f(x,y')\right]\frac{\Delta x}{2}.
\]
Le premier terme du deuxième membre de cette équation peut être
considéré comme une fonction de $x$, ainsi par la formule qu'on vient
de donner pour ce cas, la différence entre ce terme et ce qu'il devait
être pour donner la valeur exacte $Y$ est plus petite que
\[
\frac{\Delta x^3}{12} A''.
\]
La quantité $A''$ étant la plus grande valeur numérique de la dérivée de
$f(x,y)$ prise par rapport à $x$, en y regardant $y$ comme une fonction
de $x$. En désignant par $R$, $S$, $T$ les plus grandes valeurs numériques
des trois dérivées partielles du deuxième ordre de $f(x,y)$;
on aura
\[
A'' < R + 2SA + TA^2 + Q(P + AQ).
\]
Cherchons maintenant une limite du deuxième terme de l'équation
ci-dessus, c'est-à-dire une limite de
\[
-\left[f(x,Y) - f(x,y')\right] \frac{\Delta x}{2}.
\]
Lorsqu'on veut passer de $x$ à $x + \Delta x$, on a
\[
Y = y + f(x,y) \Delta x
+ f'(x+\theta \Delta x,\ y \pm  \theta A \Delta x) \frac{\Delta x^2}{2};
\]
de plus, d'après la définition de $y'$, on a
\[
y' = y + f(x,y) \Delta x,
\]
\marginpage % *** File: 245.png
Ainsi,
\[
Y = y' + f'(x+\theta \Delta x,\ y \pm  \theta A \Delta x) \frac{\Delta x^2}{2}.
\]
Introduisant cette valeur de $Y$ dans $f(x,Y)-f(x,y')$, et remplaçant
cette différence par une valeur moyenne de la dérivée partielle
qui lui correspond, c'est-à-dire, la développant par la formule de
Taylor arrêtée à la première dérivée; on aura
\[
-\frac{\Delta x^3}{4}
\frac{\d f[x, y + \theta f'(x + \theta \Delta x, y \pm  \theta A \Delta x)]}{\d y}
f'(x + \theta \Delta x,\ y \pm  \theta A \Delta x).
\]
Ayant désigné par $P$ et $Q$ les plus grandes valeurs numériques des
dérivées partielles $\dfrac{\d f(x,y)}{\d x}$ et $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ pour toutes les valeurs de $x$
et de $y$ qui peuvent être employées dans le calcul, l'expression ci-dessus,
en faisant abstraction du signe, sera inférieure numériquement
à
\[
\frac{\Delta x^3}{4} (P+AQ)Q.
\]
Ainsi, dans le cas le plus défavorable, où le signe des deux parties
que nous venons de calculer serait le même, la limite de l'erreur
totale commise sur un $y_{r+1}$ quelconque, sera donnée par
\[
\delta y_{r+1} < \frac{\Delta x^3}{4} \Big[\frac{A''}{3} + (P+AQ)Q\Big].
\]
Maintenant, il reste à voir quelle influence a l'erreur $\delta y_{r+1}$ sur $y_n$
quand on sous-divise les éléments $\Delta x$.

Comme on a
\[
y_{r+2}
= y_{r+1} + \frac{\Delta x}{2}
\left\{f(x_{r+1}, y_{r+1})
+ f\left[x_{r+1}, y_{r+1} + \Delta x f(x_{r+1}, y_{r+1})\right]
\right\},
\]
on en déduit
\[
\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1}
+ \frac{\Delta x}{2}
\left[Q \delta y_{r+1} + Q(\delta y_{r+1} + \Delta x Q\delta y_{r+1}) \right],
\]
ou bien,
\[
\delta y_{r+2} < \delta y_{r+1} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2}\Big);
\]
on aura de même
\[
\delta y_{r+3} < \delta y_{r+2} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2}\Big),
\]
et ainsi de suite.
\marginpage % *** File: 246.png

En multipliant ces inégalités l'une par l'autre, on aura
\[
\delta_{r+1}y_n < \delta y_{r+1} \Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \frac{\Delta x^2}{2} \Big)^{n-r-1};
\]
l'erreur totale sur $y_n$ est la somme de tous les $\delta_{r+1} y_n$ résultant des
changements produits par les sous-divisions des $\Delta x$; et comme on
a toujours, quel que soit l'indice $r$,
\[
\delta y_{r+1} < \frac{\Delta x^3}{4} \Big[\frac{A''}{3} + Q(P+AQ)\Big];
\]
on aura pour l'erreur totale sur $y_n$\label{err246}
\[
\delta y_n < \frac{\Delta x^2}{4} \left[\frac{A''}{3}
+ (P+AQ)Q \right]
\left[\frac{\Big(1 + Q \Delta x + Q^2 \dfrac{\Delta x}{2} \Big)^n - 1 }
{Q + Q^2 \dfrac{\Delta x}{2} } \right].
\]
$A''$ étant limité dans cette formule par
\[
A'' < R + 2SA + TA^2 + (P + AQ) Q.
\]

Le dernier facteur qui entre dans la limite de $\delta y_n$ prend une valeur
finie pour $\Delta x$ infiniment petit et $n$ infiniment grand; ainsi l'erreur
est de l'ordre de $\Delta x^2$.

Eu égard aux signes des différences qui ont introduit $A''$ et
$Q (P + AQ)$, on peut remarquer que si la fonction $f(x,y)$ et ses
dérivées du premier et du deuxième ordre étaient de même signe dans
l'étendue du rectangle dont nous avons parlé, alors on pourrait dans
l'expression ci-dessus remplacer le facteur
\[
\frac{A''}{3} + (P+AQ)Q \qtext{par} \frac{A''}{3} - (P+AQ)Q,
\]
ou par
\[
R + 2AS + A^2T - \frac{2}{3}Q(P+AQ).
\]

On peut donner également la limite de l'erreur commise lorsqu'on
emploie une équation aux différences formée d'un certain nombre de
termes de la série de Taylor.

Ainsi, en partant de
\marginpage % *** File: 247.png
\[
\Delta y = f(x,y)\Delta x + \frac{\d f(x,y) }{\d x } \frac{\Delta x^2}{2} + \dotsb \frac{\d ^m f'(x,y)}{\d x^m} \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldot3\ldots m},
\]
l'erreur commise sur $y + \Delta y$, répondant à $x + \Delta x$, sera moindre
que la plus grande valeur de
\[
\frac{\d ^{m+1} f(x+\theta\Delta x,y \pm \theta A\Delta x)}{\d x^{m+1} } \ldot \frac{\Delta x^{m+1}}{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }.
\]
En désignant par $A^{(m+1)}$ la plus grande valeur de la dérivée totale
qui forme le premier facteur de cette expression, et par $\delta y$ l'erreur
sur $y + \Delta y$, on aura
\[
\delta y < A^{(m+1)}\frac{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }{\Delta x^{m+1} }.
\]
L'altération de $y_{r+1}$, résultant seulement de celle de $y_r$, sera donnée
par
\[
\delta y_{r+1} = \delta y_r + \frac{\d f(x_r,y_r \pm \theta\delta y_r) }{\d y } \delta y_r \Delta x + \dotsb \frac{\d ^{m+1} f(x_r,y_r + \theta\delta y_r) }{\d x^m \d y } \frac{\delta y_r \Delta x^m }{1\ldot2\ldots m }.
\]
Si, pour abréger, on pose en général la dérivée totale
$\dfrac{\d ^m f(x,y) }{\d x^m } = a^{(m)}$; on aura
\[
\delta y_{r+1} = \delta y_r \Big( 1 + \frac{\d a}{\d y} \Delta x + \dotsb \frac{\d a^{(m)}}{\d y}\ldot \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m} \Big),
\]
$y$ devant avoir une valeur entre $y_r$ et $y_r + \delta y_r$, dans les expressions
$\dfrac{\d a}{\d y}\ldots \dfrac{\d a^{(m)}}{\d y}$.

En procédant comme dans le cas précédent, et désignant les plus
grandes valeurs numériques des dérivées $\dfrac{\d a}{\d y}\ldots \dfrac{\d a^{(m)}}{\d y}$, quel que soit
$y$ dans l'intérieur du rectangle, par\label{err247}
\[
Q,\ A_1'',\ A_1''',\ \ldots\ A_1^{(m)},
\]
on trouvera que l'erreur sur $y_n$, résultant du seul changement $\delta y_r$
sur $y_r$ sera limité par
\[
\delta_r y_n < \delta y_r \Big(1 + Q\Delta x + A_1''\frac{\Delta x'}{2} + \dotsb + A_1^{(m)} \frac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m} \Big)^{n-1}.
\]
\marginpage % *** File: 248.png
comme toutes les quantités $\delta y_r$ sont limitées par
\[
\delta y_r < A^{(m+1)} \frac{\Delta x^{m+1} }{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) },
\]
et qu'en outre l'erreur totale $\delta y_n$ de $y_n$ est donnée par
\[
\delta y_n = \delta_1 y_n + \delta_2 y_n + \delta_3 y_n \ldots \delta_n y_n,
\]
on aura
\[
\delta y_n < \frac{\Delta x^m A^{(m+1)} }{1\ldot2\ldot3\ldots(m+1) }
\left[\frac{\Big(1 + Q\Delta x + \dotsb A_1^{(m)}\dfrac{\Delta x^m}{1\ldot2\ldots m}\Big)^n - 1 }
{Q + A_1' \dfrac{\Delta x}{2} \ldots + A_1^{(m)} \dfrac{\Delta x^m }{1\ldot2\ldots m} } \right];
\]
le dernier facteur du deuxième membre étant fini quand n devient
infini, la limite de l'erreur est de l'ordre de $\Delta x^m$.

Lorsque $n$ devient très grand, et par conséquent lorsque $\Delta x$ devient
très petit devant l'intervalle total $x_n - x_0$, on peut poser
\[
\delta y_n < \frac{\Delta x^m }{1\ldot2\ldot3\ldots m+1 } (m+1)
\Big(\frac{e^{Qn\Delta x} - 1 }{Q }\Big).
\]
Examinons encore ce que devient la limite de l'erreur quand on
emploie pour équation aux différences l'intégrale d'une équation différentielle
linéaire très approchée de l'équation différentielle du problème.

Suivant que ce sera la variable $x$ ou la variable $y$ qui, par la nature
de la question, variera le moins rapidement en développant $f(x, y)$ à
partir de $x_0$ et $y_0$ suivant les puissances des accroissements de $x$ ou
de $y$, on développera $f(x, y)$ suivant les puissances de l'accroissement
de $x$ ou de $y$.

Soit donc, pour fixer les idées, $y$ la variable qu'on sait, par la nature
de la question, devoir varier le moins rapidement; on posera
$y = y_0 + \eta$, et l'on remplacera l'équation différentielle
\[
\frac{\d y}{\d x} = f(x,y)
\]
\marginpage % *** File: 249.png
par l'équation différentielle linéaire
\[
\frac{\d \eta}{\d x} = f(x, y_0) + \frac{\d f(x, y_0)}{\d y} \eta.
\]
Nous poserons, pour simplifier l'écriture,
\begin{align*}
f(x, y) &= a,\\
\frac{\d f(x, y)}{\d y} &= q.
\end{align*}
$a$ et $q$ étant ici des fonctions de $x$. L'intégrale de l'équation linéaire
ci-dessus sera
\[
\eta = e^{\int\! q \d x} \int e^{-\int\! q\d x} a dx,
\]
En se servant de cette équation comme d'une équation aux différences,
on posera
\[
\Delta y = e^{\int\! q\d x} \int e^{-\int\! q\d x} adx.
\]
On peut encore écrire cette équation sous la forme
\[
y_{r+1} = y_r + \int_{x_r}^{x_{r+1}} e^{-\tint_{x}
^{x_{r+1}} q\d x} a\d x.
\]
$x_{r+1}$ étant ici égal à $x_r + \Delta x$.

Pour avoir une limite de la différence entre cette valeur de $y_{r+1}$ et
celle qui est exacte, on remarquera que cette valeur exacte peut
être considérée comme fournie par l'intégrale de l'équation différentielle,
\[
\frac{dy}{dx} = a + q\eta + \frac{\d^2f(x, y \pm \theta A \Delta x)}{\d y^2} \frac{\eta^2}{2},
\]
en sorte que la différence entre les deux $y_{r+1}$ sera
\[
%%[**subscripts unclear]
\delta y_{r+1} = \int_{x_r}^{x_{r+1}} e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} \frac{\d^2f(x,
y \pm \theta A \Delta x)}{\d y^2} \frac{\eta^2}{2} \d x.
\]
\marginpage % *** File: 250.png

Si $T$ désigne la valeur maximum de $\dfrac{\d^2 f(x,y)}{\d y^2 } $ dans toute l'étendue
du rectangle que nous avons déjà considéré; on aura, en vertu
de ce que l'accroissement $\eta$  de $y$ est petit que $A\Delta x$,
\[
\delta y_{r + 1}  < \frac{\Delta x^2 }{2}A^2 T\int^{x_{r + 1} }_{x_r} e^{- \tint^{x_{r + 1}}_{x}  q\d x }  dx
\]
or, quel que soit le signe de $q$ on a
\[
e^{-\tint_{x}^{x_{r + 1} } q\d x } < e^{Q(x_{r + 1}  - x)} < e^{Q\Delta x}
\]
et
\[
\int_{x_r }^{x_{r + 1} } e^{Q\Delta x} dx
= e^{Q\Delta x} \Delta x
\]
ainsi on a
\[
y_{r + 1}  < \frac{\Delta x^3 } {2}A^2 Te^{Q\Delta x}
\]
Toutes les erreurs $\delta y_1$, $\delta y_2$, $\delta y_3$, etc., provenant de la même
cause seront inférieures à cette même limite.

Il reste maintenant à examiner comment une erreur $\delta y_r$, influe sur
$ y_{r + 1}$ tel qu'il a été déterminé par l'équation aux différences
\[
y_{r + 1}  = y_r  + \int_{x_r }^{x_{r + 1} } e^{- \tint_x^{x_{r + 1}}q\d x}  a\d x
\]
On tire de cette équation,
\[
\delta y_{r + 1}  = \delta y_r  + \int_{x_r }^{x_{r + 1} }\frac{\d a}{\d y_r }\delta y_r e^{- \tint_{x}^{x_{r + 1} }q\d x} \d x
+  \int_{x_r }^{x_{r + 1} } a\frac{\d e^{-\tint_{x}^{x_{r + 1} } q\d x  }}{\d y_r }\delta y_r \d x,
\]
les dérivées, par rapport à $y$, devant prendre dans cette formule des
valeurs moyennes parmi celles qui répondent aux points compris dans
le rectangle. En remarquant qu'on a
\[
\frac{\d e^{- \tint_{x }^{x_{r + 1}}q\d x}}{\d y_r } =
- e^{- \tint_{x}^{x_{r + 1}} q\d x} \int_{x}^{x_{r + 1}} \frac{\d q}{\d y_r },
\]
\marginpage % *** File: 251.png
et en désignant par $T$, comme précédemment, la plus grande valeur
numérique de $\dfrac{\d q}{\d y_r}$; il viendra en conservant aux lettres $A$ et $Q$
leurs significations précédentes
\[
\delta y_{r+1} < \delta y_r (1+Qe^{Q \Delta x} \Delta x + ATe^{Q \Delta x} \Delta x).
\]
De toutes les inégalités semblables, on conclut
\[
\delta_r y_{n} < \delta y_r [1+Qe^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n-r}.
\]
En se rappelant que l'on a toujours,
\[
\delta y_r < \frac{\Delta x^3}{2} TA^2e^{Q \Delta x},
\]
on trouvera pour le $\delta y_n$ total
\[
\delta y_n < \frac{\Delta x^2}{2} e^{Q \Delta x} A^2T
\Big\{\frac{[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1 }
{e^{Q \Delta x}(Q+AT) } \Big\}.
\]
Ainsi l'erreur, dans ce cas, est de l'ordre de $\Delta x^2$. On voit que dans le
cas où les fonctions $A$ et $T$ sont très petites, cette erreur est aussi
très petite si $Q \Delta x$ n'est pas très grand.

Si l'on peut reconnaître que la fonction $\dfrac{\d f(x,y)}{\d y}$ dont le maximum
numérique est $Q$ reste positive dans l'étendue du rectangle que
nous considérons; alors si $Q_1$ est le minimum numérique de cette
fonction, on aura
\[
e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} < e^{-Q_1(x_{r+1}-x)},
\]
et par suite
\[
\int_{x_1}^{x_{r+1}} e^{-\tint_x^{x_{r+1}} q \d x} \d x < \frac{1-e^{-Q_1 \Delta x}}{Q_1};
\]
on peut donc poser\label{err251}
\[
\delta y_n < \frac{\Delta x}{2} A^2T
\Big\{\frac{[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1 }
{e^{Q \Delta x}(Q+AT) } \Big\}
\Big( \frac{1-e^{-Q_1 \Delta x}}{Q_1} \Big),
\]
\marginpage % *** File: 252.png

On peut remarquer que dans beaucoup de questions de mécanique
qui se rapportent à des mouvements qui tendent vers un état stable,
on appliquera facilement les formules précédentes parce qu'on connaît
\emph{à~priori} une limite que la variable $y$ ne peut dépasser, et
qu'ainsi on peut tracer le rectangle dans l'intérieur duquel le point
donné par les coordonnées $x$ et $y$ sera toujours compris.

On pourrait étendre les considérations précédentes à un système
d'équations différentielles simultanées, ainsi que M.~Cauchy l'a fait
pour le cas où l'on emploie pour équations aux différences celles qui
sont fournies par le changement des $d$ en $\Delta$: les formules devenant très
compliquées, nous n'avons pas cru devoir les présenter ici.

\jmpafin

% *** File: 253.png

\jmpapaper{}{}{Sur une Lettre de \bsc{d'Alembert} à \bsc{Lagrange};}
{Par J.~LIOUVILLE}{}
\label{art23}\Gauche

On sait que pour trouver l'intégrale complète d'une équation différentielle
linéaire quelconque
\[
Py + Q\frac{dy}{dx} + R\frac{d^2y}{dx^2} + \dotsb + M\frac{d^my}{dx^m} = X,\tag{1}
\]
il suffit de connaître $m$ ou même $(m - 1)$ intégrales particulières, distinctes
entre elles, de l'équation plus simple
\[
Py + Q\frac{dy}{dx} + R\frac{d^2y}{dx^2} + \dotsb + M\frac{d^my}{dx^m} = 0.\tag{2}
\]
Plus généralement, dès qu'on possède $n$ intégrales particulières de l'équation (2),
on peut ramener l'intégration de l'équation (1) à celle d'une
autre équation linéaire de l'ordre $(m-n)$. Ces propositions fondamentales
se déduisent facilement du principe de la variation des constantes;
mais en les donnant pour la première fois dans le mémoire intitulé
\emph{Solution de différents problèmes de Calcul intégral}, Lagrange a
fait usage d'un procédé singulier fondé sur l'intégration par parties:
ce procédé a beaucoup d'analogie avec celui dont les géomètres se servent
si souvent dans le calcul des équations différentielles partielles,
lorsqu'ils déterminent les coefficients des divers termes des séries
qui représentent, dans les problèmes physico-mathématiques, l'état initial
des températures ou des vitesses de chaque molécule d'un système
matériel donné.
\marginpage % *** File: 254.png

Pour intégrer l'équation (1) on peut encore employer une autre
méthode qu'il serait aisé de rattacher à celle de la variation des constantes
et qui consiste à profiter de chaque intégrale particulière de
l'équation (2) pour abaisser l'ordre de l'équation (1) d'une unité. En
effet si $y_1$ désigne une de ces intégrales particulières et si l'on pose
$y = y_1 \int t dx$, l'inconnue $t$ dépendra d'une équation de l'ordre $(m - 1)$
que l'on pourra semblablement abaisser à l'ordre $(m - 2)$ si l'on connaît
une seconde intégrale particulière $y_2$. En continuant ainsi l'on parvient
enfin à une équation du premier ordre qui n'offre plus aucune difficulté.
M.~Libri a présenté cette méthode comme nouvelle dans le
recueil de M.~Crelle et même dans le présent journal (tome~I, page~10).
De plus, dans la 5\ieme\ édition de son excellent \emph{Traité élémentaire du
Calcul différentiel et du Calcul intégral}, un auteur dont personne
ne respecte plus que moi les talents et le caractère, M.~Lacroix s'exprime
ainsi: \emph{M.~Libri a repris d'une manière très élégante et très féconde la
théorie des équations différentielles linéaires.} Je me crois donc obligé
d'avertir que la méthode dont il est question appartient non pas à
M.~Libri, mais à un géomètre français, à d'Alembert qui l'a donnée
en 1764, dans une lettre écrite à Lagrange et imprimée tome~III
des \emph{Miscellanea Taurinensia}, page~381. J'ignore comment ce passage
a pu échapper à M.~Libri qui s'est occupé si long-temps de l'histoire
des sciences mathématiques\footnotemark.
\footnotetext{Voici la lettre de d'Alembert:

«Votre problème sur l'intégration de l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \dfrac{R d^2y}{dx^2}\ldots
+ \dfrac{M d^my}{dx^m} = X$, lorsque l'on a $m - 1$ valeurs de $y$ dans l'équation $Py +
\dfrac{Q dy}{dx} + \dfrac{R d^2y}{dx^2}+ \dotsb
\dfrac{M d^my}{dx^m} = 0$, m'a paru si beau, que j'en ai cherché une solution
que voici.

»Soit $y = Vz$, $V$ étant une indéterminée, et $z$ une des valeurs de $y$ qui satisfait
à l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \dotsb \etc = 0$, et soit substituée cette valeur
dans l'équation $Py + \dfrac{Q dy}{dx} + \etc\ldots = X$;
la transformée sera composée
\primo d'une partie $V(Pz + \dfrac{Q dz}{dx}
\ldots + \dfrac{M d^mz}{dx^m})$, où $X$ ne se trouvera point, laquelle
sera évidemment $= 0$, à cause de $Pz + \dfrac{Q dz}{dx} + \dotsb \dfrac{M d^mz}{dx^m} = 0$ (\emph{hyp}.); \secundo d'une
partie où $V$ ne se trouvera point, et qui ne contenant que $dV$ avec ses différences
jusqu'à $d^mV$ inclusivement, pourra par conséquent être abaissée au $(m - 1)$\ie\ degré,
en faisant $dV = V' dx$; or puisqu'on a $m - 1$ valeurs de $y$, que $y = Vz$,
et que $z$ est déjà une des valeurs de $y$, on aura donc $m - 2$ valeurs de $V$, en n'y
comprenant pas l'unité; donc supposant que $z'$ soit une de ces valeurs, et faisant
$V' = z'\int V'' dx$, comme on a fait $y = z\int V' dx$, on abaissera de même l'équation
en $V'$, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation qui sera de cette
forme $dV''''^{\ \etc} +  KV''''^{\ \etc} dx = X$, $K$ et $X$ étant des fonctions de $x$. Or on sait
que cette équation est intégrable.

»Il est aisé de voir par cet exposé, \primo qu'à chaque transformation il disparaît
un des coefficients, savoir celui de $y$ par la première, celui de $dy$ par la seconde,
etc., en sorte que dans la dernière transformée il ne restera que les deux
coefficients de $d^my$ et $d^{m-1}y$; or si on a une quantité de cette forme
$\dfrac{\omega d^{m-1}\lambda}{dx^{m-1}} +\dfrac{\beta d^m\lambda}{dx^m}$, et qu'on fasse $d\lambda= \zeta\eta dx$, on aura dans la transformée (en
laissant à part les autres termes) \primo $\beta\zeta$ à la place de $\beta$ et $\dfrac{d^{m-1}\eta}{dx^{m-1}}$ à la place de $\dfrac{d^{m}\lambda}{dx^{m}}$,
\secundo $[\omega\zeta+\dfrac{\beta d\zeta}{dx} \times (m-1)]\dfrac{d^{m-2}\eta}{dx^{m-2}}$ au lieu de $\dfrac{\omega d^{m-1}\lambda}{dx^{m-1}}$. Donc si on suppose que
$\dfrac{N d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\dfrac{M d^{m}y}{dx^{m}}$ soient les deux derniers termes du premier membre de la proposée,
et qu'on fasse $y = z\int z' dx \int z'' dx \int z'''\ldots \int V''''^{\ \etc} dx$, il sera aisé de trouver,
par la remarque précédente, la forme de la dernière transformée, d'où l'on tirera
aisément la valeur de $V''''^{\ \etc}$. Je ne fais, Monsieur, qu'indiquer l'opération, qui
serait très simple et très courte; vous supplérez aisément à ce que je ne dis pas.»}

\jmpafin % this gives an inelgeant page with just a rule and a footnote - the alternative would be for the footnote to appear in the next article, which seems even worse.
\setcounter{originalpage}{248}
% *** File: 256.png

\jmpapaper{}{}
{Observations sur des théorèmes de Géométrie,
énoncés page \emph{160  \pdf{ref160}} de ce volume et page \emph{222} du volume précédent;}
{Par M.~BINET,}{Professeur au Collége de France.}
\label{art24}

Je viens de lire dans les livraisons d'avril et de mai un Mémoire
fort intéressant de M.~Lamé, sur les surfaces isothermes, dans les
corps solides homogènes en équilibre de température. Ce mémoire fait
partie d'un volume du \emph{Recueil des Savans
étrangers}\footnote{%
Ce volume n'a pas encore paru. Le mémoire de M.~Lamé n'était
connu jusqu'ici des géomètres que par un petit nombre
d'exemplaires particuliers; en le publiant dans ce journal, je
crois avoir rendu à la science un véritable service. La
réclamation très fondée de M.~Binet n'ôte rien au mérite du
travail de M.~Lamé, qui me semble, je le répète, ouvrir une route
nouvelle dans le calcul des équations différentielles partielles.
\null\signit{\textsc{J.~Liouville.}}
}, mais je n'avais pas
eu occasion de le voir et d'y remarquer l'emploi que fait
M.~Lamé d'un théorème de Géométrie que j'ai publié en 1811. Je
vais en reproduire l'énoncé tel qu'on letrouve dans un mémoire
sur les axes principaux et les moments d'inertie des corps, qui fait
partie du 16\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École Polytechnique}. Pour faire
comprendre cet énoncé, il convient de rappeler qu'une surface du
second degré étant donnée, si l'on détermine les foyers de ses sections
principales, une infinité de surfaces du même ordre, de même
espèce ou d'espèces différentes, peuvent avoir les mêmes foyers pour
leurs sections principales: ce sont les surfaces auxquelles M.~Lamé
donne le nom, fort convenable, de \emph{surfaces homofocales}. Ces surfaces
qui se sont présentées aux géomètres, en premier lieu, dans
la théorie de l'attraction des sphéroïdes elliptiques sur un point extérieur,
jouissent de belles et utiles propriétés. Voici celle dont il
s'agit: «les surfaces du second degré ayant les mêmes foyers pour
leurs sections principales doivent respectivement se couper, de manière
\marginpage % *** File: 257.png
que le système de tous les hyperboloïdes à une nappe, coupe
un quelconque des ellipsoïdes suivant les lignes de l'une de ses courbures;
le système des hyperboloïdes à deux nappes coupe le même
ellipsoïde selon le second système de ses lignes de courbure, et ces
propriétés sont d'ailleurs réciproques. De là il suit que tout l'espace
sera divisé par les surfaces que nous avons considérées (les surfaces
homofocales) en une infinité de parallélépipèdes rectangles infiniment
petits, dont les arêtes seront les éléments des lignes de courbure
communes aux surfaces; et les axes principaux du corps répondant
au sommet de l'un de ces parallélépipèdes seront les tangentes
aux trois lignes de courbure communes des trois surfaces du second
ordre qui y passent.» (Page 59 du XVI\ieme\ cahier du \emph{Journal de l'École
Polytechnique}.)

A cette citation, j'ajouterai celle de l'énoncé du même théorème
qui se trouve dans le rapport que MM.~Laplace et Biot firent sur
le mémoire relatif aux moments d'inertie et aux axes principaux
des corps: ce rapport fut imprimé dans \emph{le Moniteur} (\no du 4 juillet
1811), et là se trouve une date authentique et une publication
réelle: «Les surfaces dont nous venons de parler (ellipsoïdes
hyperboloïdes à une et à deux nappes) prendront divers périmètres,
et conserveront toutefois les mêmes excentricités pour
leurs sections principales. M.~Binet remarque de plus qu'elles
se couperont à angles droits, et suivant leurs lignes de courbure,
ce qui donne une construction de ces lignes aussi simple
qu'élégante pour les surfaces du second ordre, au moyen de cette
pénétration. Si l'on considère un point quelconque de leurs intersections,
les axes principaux qui y répondent sont les tangentes à ces
mêmes lignes de courbure, etc.» Ce rapport avait été lu à l'Institut
le 24 juin 1811, en présence de Monge, à qui l'on doit les premières
recherches sur les lignes de courbure, ainsi que la détermination de
ces lignes pour les surfaces du second degré: pour Monge ce théorème
était nouveau. D'illustres géomètres, Lagrange, Laplace, Legendre,
Poisson assistaient à cette séance.

Il est juste de reconnaître que de son côté, M.~Dupin, dans des
recherches curieuses sur les surfaces orthogonales, a rencontré la même
propriété des surfaces du second degré homofocales, comme application
d'un théorème plus général. Mais la date de publication des mémoires
\marginpage % *** File: 258.png
de M.~Dupin est postérieure de deux années à celle du mien,
quoique ses recherches sur ce sujet, d'après son assertion, remontent
à une époque antérieure à 1811. Le théorème de M.~Dupin semble
aussi n'être pas parvenu à la connaissance de M.~Lamé, car dans son
mémoire sur les lois de l'équilibre du fluide éthéré, il eût pu partir,
comme d'un résultat connu, de ce théorème général, savoir, que
«trois systèmes de surfaces orthogonales conjuguées sont toujours
tels que deux quelconques d'entre eux tracent sur une surface du
troisième toutes ses lignes de courbure.» (Page 225 du XXIII\ieme\ cahier
du \emph{Journal de l'École Polytechnique}.) Cette belle proposition de
Géométrie est précisément le théorème de M.~Dupin.

La forme sous laquelle j'ai considéré l'équation des surfaces homofocales
est
\[
\frac{a^2}{K-A} + \frac{b^2}{K-B} + \frac{c^2}{K-C} =1;
\]
$a$, $b$, $c$ sont les coordonnées d'un point quelconque de la surface,
$A$, $B$, $C$ trois constantes positives telles que $A > B > C$, et $K$ une
quantité susceptible de toutes les grandeurs supérieures à $C$: ce qui
donne lieu aux trois espèces principales de surfaces du second degré.

De trois formules semblables à la précédente, répondant à trois
valeurs différentes de $K$, M.~Lamé déduit les coordonnées $a$, $b$, $c$ en
fonction des trois valeurs attribuées à $K$, ou à des quantités $\mu^2$, $\nu^2$, $\rho^2$
qui remplissent l'office de notre quantité $K$. J'ai aussi remarqué,
il y a beaucoup d'années, et à propos du même sujet, l'expression
simple de ces coordonnées; mais j'étendis alors mes recherches à la
détermination d'un nombre quelconque de grandeurs $a^2$, $b^2$, $c^2$, etc.,
entre un pareil nombre d'équations de la forme précédente. Je rapporterai
ici le résultat que je trouvai, parce qu'il peut servir en d'autres
circonstances; j'y joindrai la démonstration qui me l'a fourni. Pour
plus de simplicité, j'écris $a$, $b$, $c$, etc., à la place de $a^2$, $b^2$, $c^2$, etc.

Prenons donc un nombre $n$ d'équations de la forme\label{err258}
\[
\tag{$n$}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
\frac{a}{K-A}\: &+ \frac{b}{K-B}   &&+ \frac{c}{K-C}   &&+ \etc = 1,\\
\frac{a}{K_1-A} &+ \frac{b}{K_1-B} &&+ \frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = 1,\\
\frac{a}{K_2-A} &+ \frac{b}{K_2-B} &&+ \frac{c}{K_2-C} &&+ \etc = 1,\\
\etc
\end{alignedat}
\right.
\]
\marginpage % *** File: 259.png

Nous nous proposons de former l'expression des $n$ inconnues
$a$, $b$, $c$, etc., déterminées par ces équations. L'on y parviendra
par les considérations suivantes:

Soit $F(x) = (x-A) (x-B) (x-C)\ldots$ une fonction entière du
degré $n$ marqué par le nombre de ses facteurs $x-A$, $x-B$, etc., et
$f(x)$ une autre fonction entière dont le degré ne surpasse pas $n-1$;
la fraction $\dfrac{fx}{Fx}$ sera décomposable en $n$ fractions simples qui auront les
dénominateurs $x-A$, $x-B$, etc.; et l'on sait que si $F'(x)$ désigne
le coefficient différentiel $\dfrac{dFx}{dx}$, on a, par la formule d'Euler,
\[
\frac{fx}{Fx}=\frac{fA}{(x-A)F'A} + \frac{fB}{(x-B)F'B} + \frac{fC}{(x-C)F'C} + \text{etc}.
\]

Dans cette formule identique, écrivons successivement $K$, $K_1$, $K_2\ldots$
à la place de $x$, nous composerons ainsi $n$ équations de la forme\label{err259}
\begin{align*}
\tag{N}
&\left\{\quad
\begin{alignedat}{3}
\frac{a}{K-A}   &+\frac{b}{K-B}   &&+ \frac{c}{K-C}   &&+ \etc = \frac{f(K)}{F(K)},\\
\frac{a}{K_1-A} &+\frac{b}{K_1-B} &&+ \frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = \frac{f(K_1)}{F(K_1)},\\
\frac{a}{K_2-A} &+\frac{b}{K_2-B} &&+ \frac{c}{K_2-C} &&+ \etc = \frac{f(K_2)}{F(K_2)},
\end{alignedat}
\right.\\
&\hspace*{2.5em}\etc
\end{align*}
et ces équations seront évidemment satisfaites en prenant pour
$a$, $b$, $c$, etc., les valeurs
\begin{alignat*}{2}
&a =\frac{f(A)}{F'(A)} && = \frac{f(A) }{(A-B)(A-C)(A-D)\ldots },\\
&b =\frac{f(B)}{F'(B)} && = \frac{f(B) }{(B-A)(B-C)(B-D)\ldots },\\
&\etc
\end{alignat*}

Pour obtenir des équations entièrement semblables à celles que
nous nous sommes proposé de résoudre, nous composerons une
fonction $f(x)$ du degré $n$ avec les facteurs inégaux
\[
(x - K) (x - K_1) (x - K_2) \;\etc
\]
Si l'on prend pour le polynome du degré $n - 1$, que nous avons
désigné par $f(x)$, la différence $F(x)-\f(x)$ des deux polynomes du
\marginpage % *** File: 260.png
degré $n$ qui ont le même premier terme, alors le second membre
de la première des équations ci-dessus $\dfrac{f(K)}{F(K)}$ deviendra  $\dfrac{F(K)-\f(K)}{F(K)}=1$,
parce que $\f(K)=0$; il en sera ainsi des autres quantités $\dfrac{f(K_1)}{F(K_1)}$, $\dfrac{f(K_2)}{F(K_2)}$, etc.,
et les équations $(N)$ prendront la forme proposée $(n)$.

Les valeurs de $a$, $b$, $c$, etc., qui satisfont à $n$ équations de la
forme
\begin{align*}
\tag{$n$}
&\left\{\quad
\begin{alignedat}{3}
\frac{a}{K-A}   &+\frac{b}{K-B}   &&+\frac{c}{K-C}   &&+ \etc = 1,\\
\frac{a}{K_1-A} &+\frac{b}{K_1-B} &&+\frac{c}{K_1-C} &&+ \etc = 1,
\end{alignedat}
\right.\\
&\hspace*{2.5em}\etc
\end{align*}\vspace{-5ex}
\begin{flalign*}
&\text{seront}& a &= \frac{F(A)-\f(A)}{F'(A)} = -\frac{\f(A)}{F'(A)}, \quad b =-\frac{\f(B)}{F'(B)},\ \etc, & \phantom{seront}
\end{flalign*}
puisque $F(A) = 0$, $F(B) = 0$, etc.; ainsi l'on aura
\begin{align*}
a &= -\frac{(A-K)(A-K_1)(A-K_2)\ldots}{\phantom{(A-K)}\;(A-B)\;(A-C)\;\ldots}\\
b &= -\frac{(B-K)(B-K_1)(B-K_2)\ldots}{\phantom{(B-K)}\;(B-A)\;(B-C)\;\ldots}\\
c &= \etc
\end{align*}

Lorsque l'on veut appliquer ces formules aux surfaces du second
degré homofocales qui se coupent, il suffit de remplacer $a$, $b$, $c$, par
$a^2$, $b^2$, $c^2$, et de réduire à trois le nombre des équations.

Ces remarques se rapportent à un écrit déjà bien ancien; il a pu
rester ignoré de géomètres qui, s'occupant de sujets différents par
leur objet, ont pu rencontrer dans leurs recherches les mêmes propositions
que moi. J'ajouterai que c'est dans le même mémoire que l'on a
donné, pour la première fois, l'équation du troisième degré dont les
racines sont les carrés des demi-axes d'une surface du second ordre, et
que l'on a énoncé ce théorème cité par M.~Saint-Guilhem, page 222
du premier volume de ce journal, savoir, que la somme des carrés des
faces d'un parallélépipède conjugué circonscrit à un ellipsoïde, est une
quantité constante pour tous les parallélépipèdes conjugués; proposition
analogue à deux autres que l'on connaissait depuis quelques années,
et qui avaient été publiées par M.~Livet. (13\ieme\ cahier du \emph{Journal de
l'École Polytechnique}.)

\jmpafin

% *** File: 261.png

\jmpapaper{RECHERCHES SUR LES NOMBRES;}{}{}
{Par M.~LEBESGUE,}
{Professeur-suppléant à la Faculté des Sciences de Grenoble}
\label{art25}

\begin{center}
§ I\ier{} \emph{Nombre de solutions de la congruence $ax^m+by^m+ \dotsb +ku^m \equiv l$
$\moddot{p = hm + 1}$. Le module étant supposé premier.}
\end{center}

Quoique M.~Libri ait déjà donné une formule très remarquable qui
détermine le nombre de solutions d'une congruence quelconque, j'ai
cru devoir cependant reprendre la question en suivant une autre marche,
afin de ne pas supposer la résolution de l'équation $x^p= 1$, voulant
au contraire la déduire des formules de ce paragraphe.

\mysection{I.}

\begin{center}
\emph{Congruence conditionnelle à laquelle satisfait le nombre de solutions
d'une congruence algébrique et entière} $f(x_1, x_2\ldots x_k)\equiv 0 \moddot{p}$
\end{center}

On suppose ici que la fonction $f(x_1, x_2,\ldots x_k)$ qui renferme $k$ inconnues
est une somme de termes de la forme $Ax^a_1x^b_2\ldots x_k^g$, où les
exposants sont des entiers positifs et le coefficient $A$ un entier positif
ou négatif. De plus quand une inconnue manque dans un terme, on
l'y fait entrer avec l'exposant zéro.

Il est question seulement ici des solutions en nombres entiers positifs
et moindres que le module, zéro n'étant pas excepté des valeurs
données aux inconnues. Voici comment on déterminerait les solutions
et leur nombre, si la grandeur du module ne rendait pas le calcul
impraticable. On arrangerait $k$ à $k$, de toutes les manières possibles et
\marginpage % *** File: 262.png
sans exclure la répétition d'un même nombre, les $p$ nombres
0, 1, 2,\dots$(p - 1)$; ce qui donnerait $p^k$ arrangements: les uns tels
que $\alpha_1$, $\alpha_2$,\dots $\alpha_k$, donnant $f(\alpha_1, \alpha_2,\ldots \alpha_k) \equiv 0 \moddot{p}$ seraient les
solutions et les seules solutions, puisque les autres arrangements tels
que $\beta_1$, $\beta_2$,\dots $\beta_k$ ne donneraient pas $f(\beta_1,\beta_2,\ldots\beta_k) \equiv 0 \moddot{p}$.
Le nombre de solutions ainsi déterminé peut être représenté par $S_k$,
l'indice rappelant le nombre des inconnues que renferme la congruence.

Quelquefois il est avantageux d'exclure zéro des valeurs données
aux inconnues: dans ce cas les solutions se trouvent parmi les $(p-1)^k$
arrangements $k$ à $k$ des $p-1$ nombres 1, 2, 3\dots$(p - 1)$. Ce nombre
de solutions peut être représenté par $s_k$: il est en général moindre
que $S_k$.

Ceci posé, voici la congruence conditionnelle à laquelle satisfait le
nombre $S_k$, de solutions d'une congruence
\[
f(x_1,x_2,\ldots x_k) =X_k \equiv 0 \moddot{p}.
\]

\textsc{Théorème}. \emph{Soit $S_k$ le nombre de solutions de la congruence
$f(x_1,x_2,\ldots x_k)$ $\equiv 0 \moddot{p}$, si l'on fait $f(x_1,x_2,\ldots x_k)=X_k$ et
que l'on suppose $X_k^{p-1} = \sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$, on aura, en représentant
par $\sum A_{\rho(p-1)}$ la somme des coefficients des termes du développement
de $X_k^{p-1},$ où les inconnues entrent toutes (c'est-à-dire en nombre $k$)
avec des exposants multiples de $p - 1$ et plus grands que zéro},
\[
S_k \equiv (-1)^{k+1}\sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p}. \tag{1}
\]

\textsc{Démonstration}. On substituera dans $X_k^{p-1}$ pour $x_1$, $x_2$,\dots $x_k$ les
nombres qui résultent de chacun des $p^k$ arrangements $k$ à $k$ des
nombres 0, 1, 2,\dots$(p-1)$. Pour chaque solution $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_k)$ on
trouvera $X_k^{p-1} \equiv 0 \moddot{p}$, puisque l'on aura $X_k \equiv 0 \moddot{p}$.
Pour toute autre substitution, on aura $X_k^{p-1} \equiv 1 \moddot{p}$, puisque
$X_k$ ne sera pas divisible par $p$. La somme des résultats de ces substitutions
successives sera donc
\[
\equiv S_k \times 0 + (p^k-S_k) \times 1 \equiv -S_k \moddot{p}.
\]

D'un autre côté, si l'on pose pour abréger
\marginpage % *** File: 263.png
\[
0^a + 1^a + 2^a + \dotsb + (p-1)^a = \psum a,
\]
la somme exacte des valeurs de $X_k^{p-1}$ ou de $\sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$ sera
$\sum A\psum a\psum b\ldots \psum g$. On le voit de suite en faisant d'abord les substitutions
pour $x_1$, et sommant, ce qui donne $\sum A\psum ax_2^b\ldots x_k^g$; puis pour $x_2$ dans la
somme précédente et sommant de nouveau, ce qui donne $\sum A\psum a\psum b\ldots x_g^k$;
et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve $\sum A\psum a\psum b\ldots\psum g$ après avoir fait
les substitutions pour les $k$ inconnues, que l'on suppose toutes dans
chaque terme, ce qui introduit des sommes $\psum0=p$, dans les termes
où des inconnues manquent. Or on a par des théorèmes bien connus
$\psum a \equiv 0 \moddot{p}$, si $a$ n'est pas multiple de $p - 1$, et $\psum a \equiv p-1 \equiv - 1 \moddot{p}$,
si $a$ est multiple de $p-1$. D'après cela chaque terme
de $\sum A\psum a\psum b\ldots\psum g$ sera $\equiv 0 \moddot{p}$, ou $\equiv A(-1)^k \moddot{p}$, ce cas arrivant
et ne pouvant arriver que quand les exposants $a$, $b$,\dots $g$ en nombre
$k$ sont tous multiples de $p-1$ et plus grands que zéro. Si pour
rappeler cette circonstance on représente le coefficient $A$ de $A(-1)^k$
par $A_{\rho(p-1)}$, la somme des valeurs de $X_k^{p-1} = \sum Ax_1^ax_2^b\ldots x_k^g$ sera
donc
\[
\equiv \sum A_{\rho(p-1)}(-1)^k \moddot{p},
\]
mais elle est aussi
\[
\equiv -S_k \moddot{p}\text{. De là résulte} -S_k \equiv (-1)^k\sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p},
\]
ou encore
\[
S_k \equiv (-1)^{k+1} \sum A_{\rho(p-1)} \moddot{p}.
\]
Comme il est dit dans l'énoncé.

Si l'on exclut les solutions renfermant une ou plusieurs inconnues
égales à zéro, on trouvera tout-à-fait de même la formule
\[
S_k\equiv (-1)^k [ 1-\sum A'_{\rho(p-1)} ] \moddot{p},\tag{2}
\]
où $\sum A'_{\rho(p-1)}$ indique la somme des coefficients du développement de
$X_k^{p-1}$ répondant à des termes dans lesquels les exposants des inconnues
sont tous multiples de $p - 1$, sans ajouter cette restriction qu'ils
doivent être plus grands que zéro. C'est pour rappeler cette circonstance
que la lettre $A$ a été accentuée.
\marginpage % *** File: 264.png

La formule (2) est beaucoup moins commode pour les applications
que la formule (1), dont nous nous servirons principalement.

Quand il n'y aura qu'une ou deux inconnues, les congruences conditionnelles
(1) et (2) détermineront complétement $S_1$ et $S_2$, ou $s_1$ et $s_2$.
Mais pour un plus grand nombre d'inconnues il faudra employer
une autre méthode. Car si les nombres $S_k$ et $s_k$ deviennent plus grands
que le module, la congruence conditionnelle donnera pour $S_k$ et $s_k$
une expression $hp+\sigma$ où $\sigma$ sera un nombre déterminé moindre
que $p$, mais où $h$ restera indéterminé. M.~Libri a déjà donné des congruences
analogues à celles (1) et (2); mais, comme les précédentes,
elles ne sont qu'un premier pas vers la solution du problème qui fait
l'objet de ce paragraphe.

\mysection{II.}

\begin{center}
\emph{Nombre de solutions de la congruence} $x^m\equiv a \moddot{p = hm + 1}$.
\end{center}

La congruence $ax^m\equiv b \moddot{p = hm + 1}$ se ramène à
$y^m\equiv A \moddot{p}$ en faisant $A \equiv ba^{m-1}$ et $y \equiv ax \moddot{p}$, puisque
l'on a $a^mx^m \equiv ba^{m-1} \moddot{p}$; ou bien encore à $x^m \equiv A \moddot{p}$,
puisque, en posant $ag\equiv 1$, $bg\equiv A$, l'on a $agx^m \equiv bg \moddot{p}$.
Comme d'ailleurs le nombre de solutions ne change pas, nous considérerons
directement la congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$.

Ici $X_1 = x^m -a$, et le terme général du développement de $X_1^{p-1}$ est
\begin{align*}
\frac{p-1\ldot p-2\ldots p-n}{1\ldot 2\ldots n}(-a)^n x^{m(p-1-n)} &= \frac{Mp+1\ldot 2\ldots n\ldot a^n}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n}x^{m(p-1-n)}\\
&\equiv a^nx^{m(p-1-n)} \moddot{p}.
\end{align*}

On rendra l'exposant de $x$ multiple de $p-1$, en posant $mn=(p-1)g$;
et si $d$ est le plus grand commun diviseur de $m$ et de $p - 1$, $n$ prendra
les valeurs 0, $1\ldot \dfrac{p-1}{d}$, $2\ldot \dfrac{p-1}{d}$, $3\ldot \dfrac{p-1}{d}$,\dots $(d-1)\ldot \dfrac{p-1}{d}$; de là, au
moyen de la formule (1), où l'on fera $k=1$, on trouvera
\[
\tag{3}  S_1 \equiv 1+a^{\tfrac{p-1}{d}}+ a^{2\ldot\tfrac{p-1}{d}}
\ldots a^{(d-1)\tfrac{p-1}{d}}\equiv
\dfrac{a^{p-1}-1}{a^{\tfrac{p-1}{d}}-1} \moddot{p}. %[** errata]
\]
\marginpage % *** File: 265.png
Or, évidemment, on ne peut avoir ni $S_1 = p$, ni $S_1 > p$, donc

\primop.~Si l'on $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$, il en résultera $S_1 = d$.

\secundop.~Si l'on n'a pas $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$, il en résultera $s_1 =0$.

Ce dernier cas résulte de ce que $a^{p-1} - 1 \equiv 0 \moddot{p}$.

La condition de possibilité de la congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$ est
donc $a^{\tfrac{p-1}{d}} \equiv 1 \moddot{p}$ et le nombre de ses solutions est $d$, ce nombre
représentant le plus grand commun diviseur de $m$ et de $p - 1$.

La congruence $x^m \equiv a \moddot{p}$ n'ayant que $d$ racines réelles, on la
ramènera à la forme $x^d \equiv a^i \moddot{p=gd+1}$ en posant
$mi \equiv d \moddot{p - 1}$. D'après cela on considère principalement le cas
de la congruence $x^m \equiv a \moddot{p = hm+1}$, pour lequel $d=m$;
alors la condition de possibilité devient $a^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$ et le
nombre de solutions est égal à $m$. Si l'on avait $a \equiv 0 \moddot{p}$ il n'y
aurait qu'une solution, savoir $x=0$. Quand la congruence
$x^m \equiv a \moddot{p}$ est possible, on dit que $a$ est un résidu de $m$\ie\ puissance
pour le module $p$; et particulièrement un résidu quadratique,
cubique, biquadratique, selon que $m$ est égal à 2, 3 ou 4.

Voici les énoncés de quelques propositions qui serviront plus loin.

\emph{Les résidus de $m$\ie\ puissance pour le module $p=mh+1$ sont les
racines de la congruence $x^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$. Ils sont en nombre
$\dfrac{p-1}{m}$, et si l'un d'eux est représenté par $a$, la formule $ay^m$ les contient
tous.}

Les nombres qui ne sont pas résidus de $m$\iieme\ puissance pour le
module $p$, sont nommés non-résidus; ils sont en nombre
$p - 1 - \dfrac{p-1}{m} = (m - 1)\ldot \dfrac{p-1}{m}$: ils se subdivisent en $m - 1$ classes
de $\dfrac{p-1}{m}$ nombres chacune. Voici le principe de cette classification
importante: il est bon de le rappeler ici, à cause de l'usage continuel
que nous en ferons.

La congruence $x^m \equiv 1 \moddot{p= hm + 1}$, ayant pour racine un
certain nombre entier $r$, les nombres $r$, $r^2$, $r^3$,\dots $r^m \equiv 1 \moddot{p}$ satisferont
tous à la congruence $x^m \equiv 1 \moddot{p}$. Or si l'on a
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$m = a^\alpha b^\beta c^\gamma \ldots$ où $a$, $b$, $c$\dots\ sont des nombres premiers différents,
on a prouvé qu'il y a $m \ldot \dfrac{a-1}{a} \ldot \dfrac{b-1}{b} \ldot \dfrac{c-1}{c} \ldots$ valeurs de $r$, telles
que les puissances successives $r^1$, $r^2$, $r^3$,\dots $r^m$ seront toutes incongrues
suivant le module $p$, et formeront par conséquent la suite complète
des racines de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p = hm + 1}$. Les racines
$r$ qui jouissent de cette propriété sont dites \emph{primitives}\footnote{%
Voici les énoncés de deux propositions qui prouvent l'existence des racines
primitives et qui en déterminent le nombre.

\emph{Si l'on représente par $A_1$, $A_2$,\dots $A_g$ des nombres entiers ou des polynomes de
forme $a + bx + cx^2 + \dotsb fx^k$, \emph{etc.} Si de plus l'on représente par $P_1$ le produit
des quantités $A_1$, $A_2$\dots $A_g$, par $P_2$ le produit des plus grands communs diviseurs
des mêmes quantités combinées $2$ à $2$, par $P_3$ le produit des plus grands communs
diviseurs des mêmes quantités combinées $3$ à $3$, et ainsi de suite: le plus petit
nombre, ou le polynome de moindre degré divisible par $A_1$, $A_2$,\dots $A_g$ sera
$\dfrac{P_1 \ldot  P_3 \ldot  P_5 \ldots}{P_2 \ldot  P_4 \ldot  P_6 \ldots}$.}

\emph{Si l'on suppose $m = a^\alpha b^\beta c^\gamma \ldots$ ($a$, $b$, $c$\dots\ étant des nombres premiers
différents) et que l'on fasse $A_1 = x^{\tfrac{m}{a}}-1$, $A_2 = x^{\tfrac{m}{b}}-1$, $A_3 = x^{\tfrac{m}{c}}-1$, \emph{etc.},
la congruence qui donne les racines primitives de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p}$
sera $\dfrac{(x^m-1) \ldot P_2 \ldot P_4 \ldot P_6 \ldots}{P_1P_3P_5 \ldots }\equiv 0: \moddot{p}$ son degré
$m \ldot\dfrac{a-1}{a} \ldot\dfrac{b-1}{b} \ldot\dfrac{c-1}{c}$
marquera le nombre des racines primitives.}

Nous omettrons les démonstrations qui ne présentent aucune difficulté. Nous
pourrons revenir dans un autre mémoire sur la détermination des racines primitives
et la construction des tables qui résolvent la congruence $x^m\equiv a \moddot{p}$,
comme les tables de logarithmes résolvent $x^m = a$. (V.~les \emph{Recherches arithmétiques}
de M.~Gauss.) Nous ajouterons seulement que la congruence précédente
s'étend aux racines primitives imaginaires de la congruence $x^m\equiv 1 \moddot{p= hm-1}$.
(V.~\emph{De Residuis cubicis commentatio numerosa,} J.~de M.~Crelle,
tome II.)

Pour la détermination de la congruence aux racines primitives, on peut consulter
les exercices mathématiques de M.~Cauchy, année 1829. J'avais donné antérieurement
la même congruence dans le \emph{Bulletin du Nord}, journal scientifique
et littéraire publié à Moscou.
}. % end footnote
D'après cela
on classe les nombres 1, 2, 3\dots $(p - 1)$, ainsi qu'il suit:

\emph{Soit $r$ une racine primitive de $x^m\equiv 1 \moddot{p}$ et $\rho$ une racine primitive
de $p$ ou de $x^{p-1}\equiv 1 \moddot{p}$.}
\marginpage % *** File: 267.png

\primop.~\emph{On aura $r \equiv \rho^{h} \moddot{p = hm + 1}$.}

\secundop.~\emph{Les résidus de $m$\iieme\ puissance ou les racines de $x^{\tfrac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$
seront $\rho^0$, $\rho^m$, $\rho^{2m}$,\dots $\rho^{(h-1)m}$: leur formule est $y^m$.}

\label{err267}\tertiop.~\emph{Les non résidus de première classe, ou les racines de
$x^h \equiv r \equiv \rho^h\!\moddot{p}$ seront les nombres $\rho$, $\rho^{m+1}$, $\rho^{2m+1}$,\dots $\rho^{(h-1)m+1}$:
leur formule est $\rho y^m$.}

\quartop.~\emph{Les non-résidus de deuxième classe, ou les racines de
$x^h \equiv r^2 \equiv \rho^{2h}$ $\moddot{p}$ seront les nombres $\rho^2$, $\rho^{m+2}$,\dots $\rho^{(h-1)m+2}$: leur
formule est $\rho^2y^m$.}

5\up{o}.~\emph{En général, les non-résidus de $g$\iieme\ classe, ou les racines
de la congruence $x^h \equiv r^g \equiv \rho^{gh} \moddot{p}$, seront les nombres
$\rho^g$, $\rho^{m+g}$,\dots $\rho^{(h-1)m+g}$, dont la formule est $\rho^gy^m$.}

On emploie fréquemment les conséquences suivantes:

\emph{Pour le cas de $\dfrac{p-1}{m}$ nombre pair, $-1$ sera résidu de $m$\iieme\ puissance,
pour le module $p$. Pour le cas de $\dfrac{p-1}{m}$  nombre impair, ce qui ne peut
arriver que pour $m$ pair, $-1$ sera un non-résidu de $\Big( \dfrac{m}{2} \Big)$\rieme classe.}

\emph{Le produit abcd\ldots sera résidu de $m$\iieme\ classe pour le module $p$, si
la somme des numéros de classe des facteurs non-résidus, est multiple
de $m$, ou de forme $Km$. Ce produit sera au contraire un non-résidu de
$g$\iieme\ classe, si la somme des numéros de classe des facteurs non-résidus
est de la forme $Km+g$.}

\emph{Si a est un non-résidu de première classe, les nombres $a^1$, $a^2$,
$a^3$,\dots $a^{m-1}$, seront des non-résidus de \emph{1\ier}, \emph{2\ieme}, \emph{3\ieme},\dots\ $(m-1)$\iieme\ classe
respectivement.}

Quoiqu'il y ait de l'arbitraire dans le numérotage des classes de
non-résidus qui change avec la racine primitive $\rho$, cette classification
n'en est pas moins importante, ainsi que l'a prouvé M.~Gauss par sa
résolution de l'équation $x^n = 1$, où il ne reste guère à faire que des
simplifications de calcul, qui n'entraient point dans le plan de son
ouvrage.
\marginpage % *** File: 268.png

\mysection{III.}

\begin{center}
\emph{Nombre de solutions de la congruence $a_1x_1^m + a_2x_2^m
\equiv a_3 \moddot{p = hm + 1}$.}
\end{center}

Pour le cas de $a_3 \equiv 0 \moddot{p}$; on a de suite ce théorème:

\emph{La congruence $a_1x_1^m + a_2x_2^m \equiv 0 \moddot{p}$ a une seule solution
$(x_1=0,\ x_2=0)$, si $-a_2a_1^{m-1}$ est non-résidu de $m$\iieme\ puissance, et
$1 + m(p-1)$ si $-a_2a_1^{m-1}$ est résidu de $m$\iieme\ puissance.}

Pour le second cas les $m(p-1)$ solutions autres que $x_1 = 0$, $x_2 = 0$,
résultent de la résolution de $z^m \equiv -a_2a_1^{m-1} \moddot{p}$, en posant %[** errata]
$zx_2 \equiv a_1x_1 \moddot{p}$.

La formule générale $a_1x_1^m + a_2x_2^m \equiv a_3 \moddot{p}$ se ramène de suite
à la formule particulière $x^m - ay^m \equiv b \moddot{p}$ en posant $x \equiv a_1x_1$,
$y \equiv x_2$, $a \equiv -a_2a_1^{m-1}$, $b \equiv a_3a^{m-1} \moddot{p}$, ce qui ne change pas le
nombre de solutions, c'est donc cette dernière que nous allons considérer
pour simplifier les calculs.

\emph{La congruence $x^m \equiv ay^m +b \moddot{p=hm+1}$, a un nombre de
solutions multiple de $m$ et moindre que $mp$.}

En effet, si l'on peut avoir $ay^m + b \equiv 0 \moddot{p}$, cela aura lieu
pour $m$ valeurs de $y$, à chacune desquelles correspondra $x=0$, on
aura d'abord $m$ solutions.

Ensuite toute valeur de $y$ qui donne $ay^m +b$ congru à un résidu de
$m$\iieme\ puissance, donne $m$ valeurs correspondantes pour $x$, d'où résultent
$m$ solutions. Il faut encore remarquer que si la valeur de $y$ qui
rend $ay^m + b$ résidu de $m$\iieme\ puissance n'est pas zéro, il y aura $m$ valeurs
de $y$, qui donneront pour $ay^m + b$, la même valeur résidue,
d'où $m^2$ solutions par la combinaison des $m$ valeurs de $y$ avec les $m$ valeurs
de $x$.

Enfin, pour toute valeur de $y$ qui ne rend pas $ay^m + b$ résidu de
$m$\iieme\ puissance, il n'y aura aucune solution. D'après cela:

\emph{Le nombre de solutions de la congruence
$x^m \equiv ay^m + b \moddot{p=hm+1}$ est toujours multiple de $m$ et prend
l'une des trois formes:}
\marginpage % *** File: 269.png

\primop.~\emph{$km^2$ si $b$ et $-ba^{m-1}$ sont non-résidus de $m$\iieme\ puissance par
rapport au module $p$.}

\secundop.~\emph{$km^2 + m$, si des deux nombres $b$, $-ba^{m-1}$ l'un est résidu et
l'autre non-résidu de $m$\iieme\ puissance par rapport au module $p$.}

\tertiop.~\emph{$km^2 + 2m$, si $b$ et $-ba^{m-1}$ sont tous deux résidus de $m$\iieme\ puissance
pour le module $p$.}

Il suit de ce qui précède que $y$ ne prenant que $p$ valeurs 0, 1,
2\dots $(p-1)$, le nombre des solutions ne saurait surpasser $mp$. Pour
qu'il fût égal à $mp$, il faudrait avoir $(ay^m+b)^{\frac{p-1}{m}} \equiv 1 \moddot{p}$ pour
toute valeur de $y$: mettant donc pour $y$ les nombres 0, 1, 2\dots $p-1)$
et sommant, il en résulterait $a^{\frac{p-1}{m}} (p-1) \equiv 0 \moddot{p}$ en remarquant
que si l'on pose $0^g + 1^g + 2^g + \dotsb (p - 1)^g = \tint g$, toutes les sommes
comprises dans le résultat seront $\equiv 0 \moddot{p}$ à l'exception de $\int(p-1)$
qui sera $\equiv p-1 \moddot{p}$. Mais on ne peut avoir
$a^{\frac{p-1}{m}} (p - 1) \equiv 0 \moddot{p}$ sans supposer $a \equiv 0 \moddot{p}$, ce qui n'est
point. Le nombre de solutions est donc toujours moindre que $mp$.

La congruence (1) prendra donc la forme
$mS'_2 \equiv (-1)\sum A\,2(p-1) \moddot{p}$, en posant $S_2=mS'_2$; et comme $S'_2$
est moindre que $p$, elle suffira pour déterminer cette inconnue.

Voici maintenant la congruence qui donne $S_2$; on y suppose
\iffalse
\begin{align*}
A_1 &= 1\ldot 2\ldot 3\ldots h,\\
A_2 &= (h+1)(h+2)\ldots 2h,\\
A_3 &= (2h+1)\ldots 3h,\\[-1ex]
\vdots\; & \\[-1ex]
A_{m-1} &= \left[(m-2)h + 1\right]\ldots(m-1)h = (p-h-1)(p-h-2)\ldots \equiv A_2(-1)^h, \\
A_m     &= \left[(m-1)h + 1\right]\ldots mh = (p-1)(p-2)\ldots p-h \equiv A_1(-1)^h.
\end{align*}
\fi
\begin{align*}
&\quad\ \begin{aligned}
A_1 &= 1\ldot 2\ldot 3\ldots h,\\
A_2 &= (h+1)(h+2)\ldots 2h,\\
A_3 &\multispan{1}{${}= (2h+1)\dotfill 3h,$}
\end{aligned}\\[-1ex]
&\qquad\vdots \\[-1ex]
&\begin{alignedat}{4}
&A_{m-1} &&= \left[(m-2)h + 1\right]\ldots(m-1)h                   &&= (p-h-1)(p-h-2)\ldots &&\equiv A_2(-1)^h, \\
&A_{m}   &&\multispan{1}{${}= \left[(m-1)h + 1\right]\dotfill mh$} &&\multispan{1}{${}= (p-1)(p-2)\dotfill p-h$} &&\equiv A_1(-1)^h.
\end{alignedat}
\end{align*}

La relation $A_{g+1} \equiv (-1)^h A_{m-g} \moddot{p}$ servira pour simplifier les %[**errata]
résultats.

\textsc{Théorème.} \emph{La congruence qui donne le nombre $S_2$ des solutions
de la congruence $x^m-ay^m \equiv b \moddot{p}$ est}\label{err270}
\marginpage % *** File: 270.png
\begin{align*}
&-S_2 \equiv a^h\qquad\qquad \moddot{p=hm+1} \tag{4}\\
&\quad+ a^{2h} + \frac{A_2}{A_1} a^h b^h\\
%
&\quad+ a^{3h} + \frac{A_3}{A_1} a^{2h} b^h
+ \frac{A_3}{A_1} a^h b^{2h}\\
%
&\quad+ a^{4h} + \frac{A_4}{A_1} a^{3h} b^h
+ \frac{A_4A_3}{A_1A_2} a^{2h} b^{2h}
+ \frac{A_4}{A_1} a^h b^{3h}\\[-1ex]
%
&\qquad\vdots\\[-1ex]
%
&\quad+ a^{(m-1)h} + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^{(m-2)h} b^h
\!\begin{aligned}[t]&+ \frac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{2h} + \dotsb \\
&+ \frac{A_{m-1}}{A_1} a^h b^{(m-2)h}.
\end{aligned}
\end{align*}

Cette formule se trouve immédiatement par le développement de
$(x^m - c)^{p-1}$; où l'on fait $c=ay^m + b$.

Négligeant d'abord les termes où $x$ n'a pas un exposant multiple de
$p-1$, et le terme où $x$ n'entre pas avec $y$, on aura en réduisant tous
les coefficients à l'unité, d'après l'article précédent,
\[
c^h x^{m(p-1-h)} + c^{2h} x^{m(p-1-2h)}
+ \dotsb + c^{(m-1)h} x^{mh}.
\]
Maintenant, si l'on développe la puissance $c^{kh}=(ay^m+b)^{kh}$, en effaçant
tous les termes sans $y$ et ceux où l'exposant n'est pas multiple
de $p - 1$, on trouvera
\begin{align*}
a^{kh} y^{m\ldot kh} + &\frac{A_k}{A_1} a^{(k-1)h} b^h y^{m(kh-h)}
+ \frac{A_k \ldot  A_{k-1}}{A_1A_2} a^{(k-2)h} b^{2h} y^{m(kh-2h)} + \dotsb \\
& \frac{A_kA_{k-1}}{A_1A_2} a^{2h} b^{(k-2)h} y^{2mh}
+ \frac{A_k}{A_1} a^h b^{(k-1)h} y^{mh}. %[**errata (2) A->A_1; y^{m(kh-k)}->y^{m(kh-h)}]
\end{align*}
On tirera de là les valeurs de $c^h$, $c^{2h}$,\dots $c^{(m-1)h}$, d'où la congruence de
de l'énoncé.

Si l'on voulait avoir la congruence donnant le nombre des solutions
qui ne contiennent aucune inconnue égale à zéro, il faudrait prendre
\marginpage % *** File: 271.png
\begin{align*}
\label{err271}s_2 &\equiv a^h b^h\qquad \moddot{p = hm + 1} \tag{5}\\
&\quad+ a^{2h} + \frac{A_2}{A_1} a^h b^h + b^{2h}\\
&\quad+ a^{3h} + \frac{A_3}{A_1} a^{2h} b^h + \frac{A_3}{A_1} a^h b^{2h} + b^{3h} \\[-1ex]
&\qquad\vdots\\[-1ex]
&\quad+ a^{(m-1)h} + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^{(m-2)h} b^h
+ \dotsb + \frac{A_{m-1}}{A_1} a^h b^{(m-2)h} + b^{(m-1)h}\\
%
&\quad+ a^{mh} + \frac{A_m}{A_1} a^{(m-1)h} b^h
+ \dotsb + \frac{A_m}{A_1} a^h b^{(m-1)h} + b^{mh}
\end{align*}
qui se trouve précisément de même en négligeant quelques termes de
moins dans le développement de $(x^m - c)^{p-1}$.

Il faut remarquer que les congruences (4) et (5) ne contenant que
$a^h$, $b^h$ et leurs puissances, restent les mêmes, si $a$ et $b$ venant à changer,
restent résidus de $m$\iieme\ puissance, quand ils sont résidus; et si
quand ils sont non-résidus, ils restent non-résidus de la même classe.
En un mot, les congruences (4) et (5) restent les mêmes, quand $a$
et $b$ changent de valeurs numériques sans changer de classe. En général
pour toute congruence $ax^m + by^m + \dotsb + ku^m \equiv l \moddot{p=hm+1}$, le
nombre de solutions restera le même, quand les coefficients $a$, $b$,\dots $k$, $l$
resteront des mêmes classes. En effet, si le terme $ax^m$ devient
$ag^m y^m = a(gy)^m$, $y$ se tirera de $x$ au moyen de la congruence
$gy \equiv x \moddot{p}$.

Les formules (4) et (5) donnent les valeurs de $S_2$ et $s_2$ quel que soit
$p$: il est vrai cependant que les coefficients polynomiaux $\dfrac{A_2}{A_1}$, $\dfrac{A_3}{A_1}$, etc.,
rendent le calcul d'autant plus long que $p$ est plus grand; mais, nous
verrons, dans des cas particuliers, des théorèmes qui donneront un
moyen expéditif de calculer ces coefficients.

Nous allons montrer maintenant comment les deux cas précédents
conduisent aux valeurs de $S_k$ et $s_k$, quel que soit le nombre $k$ des inconnues.
\marginpage % *** File: 272.png

\mysection{IV.}

\begin{center}
\emph{Nombre de solutions de la congruence
$a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv a_{k+1} \moddot{p = hm+1}$.}
\end{center}

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions de la forme
\[
a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_f x_f^m, \quad
b_1 y_1^m + b_2 y_2^m + \dotsb + b_i y_i^m;
\]
représentons par $P^0$, $P$, $P'$, $P''$,\dots $P^{(m-1)}$ les nombres de solutions de
la congru\-ence $P \equiv A \moddot{p}$, selon que $A$ sera zéro, résidu de
$m$\iieme\ puissance, ou non-résidu de 1\iere, 2\ieme, 3\ieme,\dots, $(m-1)$\iieme\ classe.
Autrement $g$ étant un non-résidu de première classe, soient \\[2ex]
$P^0$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv 0 \moddot{p}$,\\
$P$ ou $P^{(m)}$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^0 \moddot{p}$,\\
$P'$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g \moddot{p}$,\\
$P''$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^2 \moddot{p}$,\\
\hspace*{0.5em}$\vdots$\\
$P^{(m-1)}$ le nombre de solutions de la congruence $P \equiv g^{m-1} \moddot{p}$.\\[2ex]
Donnons à $Q^0$, $Q$, $Q'$, $Q''$\dots $Q^{(m-1)}$ et à $\Pi^0$ des significations analogues
et nous aurons la proposition suivante:

\textsc{Théorème}. \emph{Le nombre de solutions de la congruence
$P \equiv Q \moddot{p = hm + 1}$ est en posant $P - Q = \Pi$},
\[
\tag{6}
\Pi^0 = P^0Q^0 + h[PQ + P'Q' + P''Q'' + \dotsb + P^{(m-1)}Q^{(m-1)} ].
\]

\textsc{Démonstration}. En effet pour une solution, on doit avoir simultanément
$P \equiv A$, $Q \equiv A \moddot{p}$, $A$ étant un nombre quelconque,
qui peut être congru à zéro pour le module $p$, ou encore résidu ou non
résidu de $m$\iieme\ puissance, par rapport au même module. Comme l'on
devra prendre chaque solution de $P \equiv A \moddot{p}$ avec chaque solution
de $Q \equiv A \moddot{p}$, pour en tirer les solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$, on
voit qu'à $A \equiv 0 \moddot{p}$, il répondra $P^0Q^0$ solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$.
Si $A$ au lieu d'être $\equiv 0 \moddot{p}$ était résidu de $m$\iieme\ puissance pour
\marginpage % *** File: 273.png
le module $p$, on montrerait de même qu'il y aurait $PQ$ solutions qui
donneraient $P \equiv Q \equiv A \moddot{p}$ et par conséquent $P \equiv Q \moddot{p}$.
Maintenant si la congruence $P \equiv A \moddot{p}$ est possible, $P \equiv Af^m$
l'est également et a le même nombre de solutions, ces solutions s'obtenant,
comme il est très facile de le voir, en multipliant par $f$ les
valeurs de $x_1$, $x_2$,\dots\ qui satisfont à $P \equiv A \moddot{p}$. Ainsi à chacune
des $\dfrac{p-1}{m} = h$ valeurs résidues de $m$\iieme\ puissance qu'on peut
prendre pour $A$, il répond $PQ$ solutions, ou en tout $hPQ$ solutions.
On trouve semblablement $hP'Q'$ solutions de $P \equiv Q \moddot{p}$, pour
lesquelles on a $P \equiv Q \equiv$ à un non-résidu de $m$\iieme\ puissance et de
première classe; pareillement on trouve $hP''Q''$ solutions de la congruence
$P \equiv Q \moddot{p}$, pour lesquelles on a $P \equiv Q \equiv$ à un non-résidu
de $m$\iieme\ puissance et de deuxième classe et ainsi de suite. D'où
le résultat de l'énoncé.

La formule (6) subsistera pour $P+Q= \Pi \equiv 0 \moddot{p}$ quand $h$ sera pair. %[**errata]
Si $h$ est
impair il suffira, comme il est très aisé de le voir, d'augmenter les
indices de $Q$ de $\dfrac{m}{2}$. Cela vient de ce qu'en représentant par $\rho$ une
racine primitive de $p$, on a $-1 \equiv \rho^{\tfrac{hm}{2}} \moddot{p}$, ou en posant
$h = 2h'+ 1$, $- 1 \equiv \rho^{h'm+\tfrac{m}{2}} \moddot{p}$, ou en d'autres termes de ce
que $-1$ est un non-résidu de $\dfrac{m}{2}$\rieme\ classe.

Pour le cas particulier de $Q=g^kx^m$, $g$ étant un non-résidu de première
classe, et par conséquent $g^k$ un non-résidu de $k$\iieme\ classe, on
aura évidemment
\[
Q^0=1,\; Q'=Q''=Q'''\ldots=Q^{(k-1)}=Q^{(k+1)}\ldots=Q^{(m-1)}=0,\;  Q^{(k)}=m.
\]
En sorte que l'équation (6) deviendra dans la supposition de
$\Pi = P-Q = P - g^k x^m \equiv 0 \moddot{p}$,
\[
\tag{7} \Pi^0 = P^0 + (p-1)P^{(k)},
\]
d'où l'on tire
\[
\tag{8} P^{(k)} = \frac{\Pi^0-P^0}{p-1}.
\]
\marginpage % *** File: 274.png

On parviendra au même résultat pour $\Pi = P + g^k x^m \equiv 0 \moddot{p}$,
si $h$ est pair, mais si $h$ est impair, il faudra changer $P^{(k)}$ en
$P^{\left(k+\tfrac{m}{2}\right)}$.

Les formules précédentes ramènent tous les cas à ceux de $k = 1$ et
$k = 2$, c'est-à-dire à ceux de une et deux inconnues, précédemment
traités; car si l'on prend d'abord la congruence\label{err274}
\[
a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p},
\]
il suffira de poser $k= f + g$, et les nombres de solutions pour des
congruences contenant l'une $f$ inconnues et l'autre $g$ inconnues
\[
a_1 x_1^m + \dotsb + a_f x_f^m \equiv A,\quad
-a_{f+1} x_{f+1}^m - \dotsb - a_k x_k^m \equiv A \moddot{p}
\]
donnera le nombre de solutions d'une congruence contenant $f + g$
inconnues, savoir de
\[
a_1 x_1^m + a_2 x_2^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p}.
\]
Ensuite, par la formule (8), on passera du cas de la congruence
$a_1 x_1^m + \dotsb + a_k x_k^m - a_{k+1} x_{k+1}^m \equiv 0 \moddot{p}$, au cas de la congruence
$a_1 x_1^m + \dotsb + a_k x_k^m \equiv a_{k+1} \moddot{p}$.

Nous allons donner des exemples de ces calculs.

\mysection{V.}

\begin{center}
\emph{Formules générales pour le nombre de solutions de la congruence
$a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \dotsb + a_k x_k^2 \equiv a_{k+1} \moddot{p = 2h + 1}$.}
\end{center}

Examinons le cas de $a_{k+1} = 0$, auquel les autres se ramènent,
comme nous venons de le voir.

La congruence $a_1 x_1^2 + \dotsb + a_k x_k^2 \equiv 0 \moddot{p}$ se réduit ainsi qu'il
suit à une forme plus simple.

\primop.~Tous les termes tels que $a_i x_i^2$ dont le coefficient $a_i$ est un résidu
quadratique de $p$, pourront être remplacés par d'autres termes, tels
que $y_i^2$. En effet, soit $a_i \equiv g^2 \moddot{p}$ et $gx_i \equiv y_i \moddot{p}$, il en
résultera $a_i x_i^2 \equiv y_i^2 \moddot{p}$.
\marginpage % *** File: 275.png

\secundop.~Tous les termes tels que $a_fx^2_f$ dont le coefficient $a_f$ est un non-résidu
quadratique, étant passés dans le second membre, quand $-1$
sera non-résidu quadratique, ce qui arrive pour $p$ de forme $4q - 1$,
la congruence prendra la forme
\[
y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv z^2_1 + z^2_2 + \dotsb z^2_i \moddot{p}.
\]

\tertiop.~Mais si $-1$ est résidu quadratique, ce qui arrive pour
$p= 4q + 1$, $-a_f$ sera non-résidu quadratique aussi bien que $a_f$,
dans ce cas $n$ étant un non-résidu quadratique déterminé, on posera
$-a_f \equiv nz^2 \moddot{p}$ ou $(nz)^2 \equiv -a_fn \moddot{p}$, ce qui est possible;
et la congruence prendra la forme
\[
\label{err275}y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv n(z^2_1 + z^2_2  + \dotsb z^2_i) \moddot{p}.
\]
Si tous les coefficients sont de même espèce résidus ou non-résidus
quadratiques, la congruence devient
\[
y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_k \equiv 0 \moddot{p}
\]
qui est un cas particulier des précédentes.

Pour le cas de la congruence $y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_k \equiv a \moddot{p}$,
nous représenterons le nombre de solutions par $N^0_k$, $N_k$, $N'_k$, selon que
l'on aura $a \equiv 0 \moddot{p}$, ou que $a$ sera résidu quadratique, ou enfin
non-résidu quadratique. Si la congruence au lieu d'être du second degré
était du $m$\iieme, le nombre de solutions serait $N^0_k$ pour $a \equiv 0 \moddot{p}$;
$N_k$ pour $a$ résidu de $m$\iieme\ puissance; $N'_k$ pour $a$ congru à un non-résidu
de première classe, $N''_k$ pour $a$ congru à un non-résidu de deuxième
classe, et ainsi de suite jusqu'à $N^{(m-1)}_k$ pour $a$ non-résidu de $(m-1)$\iieme\ classe.
Ici l'indice inférieur est indispensable pour marquer le nombre
des inconnues.

Dans le cas de $m=2$, objet de ce numéro, quand les nombres
$N^0_k$, $N_k$, $N'_k$ seront déterminés, le problème sera résolu, par la proposition
suivante dont la vérité s'aperçoit immédiatement.

\emph{Le nombre de solutions de la congruence
$y^2_1 + y^2_2 + \dotsb y^2_f \equiv z^2_1 + \dotsb + z^2_i \moddot{p = 2h + 1}$ est égal à}
\[
N^0_f N^0_i + h(N_f N_i + N'_f N'_i).
\]
\marginpage % *** File: 276.png
Celui de la congruence $y^2_1 + y^2_2 + \dotsb y^2_f \equiv n(z^2_1 \ldots + z^2_i) \moddot{p=2h+1}$
où $n$ est un non-residu quadratique est égal à
\[
N_f N^0_i + h(N_f N'_i + N'_f N_i).
\]
Ensuite pour le cas où l'on n'aurait pas $a_{k+1} =0$, soient \\[2ex]
$P_0$ le nombre de solutions de $a_1 x^2_1 + a_2 x^2_2 + \dotsb + a_k x^2_k \equiv 0 \moddot{p}$, \\
$\Pi_0$ le nombre de solutions de la congruence
$a_1 x^2_1 + \dotsb + a_k x^2_k - a_{k+1} x^2 \equiv 0 \moddot{p}$, \\
Le nombre de solutions de $a_1 x^2_2 + \dotsb + a_k x^2_k \equiv a_{k+1} \moddot{p}$,
sera $\dfrac{\Pi_0-P_0 }{p-1}$, comme il suit de la formule (8).

La recherche est donc ramenée à trouver le nombre de solutions de
la congru\-ence
\[
x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + \dotsb + x^2_k \equiv a \moddot{p}.
\]
Voici d'abord deux relations qui serviront à simplifier les calculs.

\textsc{Théorème.} \emph{Quel que soit le module premier $p=2h+1$, on a toujours}
\[
N^0_k + h(N_k + N'_k) = p^k.\tag{9}
\]

\textsc{Démonstration.} Cela se voit de suite en substituant dans
$P = x^2_1 + x^2_2 + \dotsb + x^2_k$, au lieu de $x_1$, $x_2$,\dots $x_k$, chacun des arrangements
$k$ à $k$ des $p$ nombres 0, 1, 2,\dots$(p-1)$. De ces arrangements
il y en aura $N^0_k$ qui donneront $P \equiv 0 \moddot{p}$ à un résidu quadratique
déterminé, $a$ par exemple, il en aura encore $N_k$ qui donneront
$P \equiv ay^2$, quel que soit $y$. Ainsi comme il y a $h$ résidus quadratiques,
il y aura $hN_k$ arrangements qui donneront $P \equiv$ à un résidu quadratique.
De même il y aura $hN'_k$ arrangements qui donneront $P$ congru
à un non-résidu quadratique; or il faut avoir $P \equiv 0$, à un résidu ou à
un non résidu quadratiques, d'ailleurs le nombre total des arrangements
$k$ à $k$ est égal à $p^k$, on aura donc $N^0_k + h(N_k + N'_k) = p^k$. Ce
qu'il fallait démontrer.

\textsc{Théorème.} \emph{Si le module $p$ est de forme $4q + 1$, on aura}
\[
N^0_k = 1 + (p-1)(N_{k-1} + N_{k-2} + \dotsb + N_2 + N_1) = 1 + (p-1) \sum N_{k-1},\tag{10} %[**errata]
\]
\marginpage % *** File: 277.png
\emph{et si $p$ est de forme $4q - 1$, on aura}
\[
N^0_k=1+(p-1)(N'_{k-1}+ \dotsb + N'_2+N'_1)=1+(p-1)\sum N'_{k-1}.\hspace*{3em}
\tag{11}
\]

\textsc{Démonstration.} En effet, dans le premier cas, on a par la formule (7)
$N^0_k=N^0_{k-1}+(p-1)N_{k-1}$. Pareillement $N^0_{k-1}=N^0_{k-2}+(p-1)N_{k-2}$
et ainsi de suite jusqu'à $N^0_2=N^0_1+(p-1)N_1$: ajoutant ces équations
membre à membre et remarquant que l'on a $N^0_1=1$, on trouve de
suite la formule (10).

La formule (11) se tire de même de l'équation
\[
N^0_k=N^0_{k-1}+(p-1)N'_{k-1}
\]

Les formules (9), (10) et (11), pour le cas de la congruence
\[
x^m_1+x^m_2+ \dotsb + x^m_k\equiv a \moddot{p = hm + 1}.
\]
se changent en
\begin{alignat*}{3}
\tag{12} N^0_k   &\rlap{${}+ h(N_k+N'_k+ \dotsb + N^{(m-1)}_k) = p^k,$}\\
N^0_k=1 & + (p-1)\sum N_{k-1}                            \quad&&\text{pour}\quad &&h \text{pair},\tag{13}\\
N^0_k=1 & + (p-1)\sum N^{\left(\tfrac{m}{2}\right)}_{k-1}\quad&&\text{pour}\quad &&h \text{impair}.\hspace{2.5em}\tag{14}
\end{alignat*}
La démonstration est absolument la même.

Si l'on voulait exclure les solutions renfermant des inconnues égales
à zéro, il faudrait remplacer les équations (12), (13) et (14) par
\begin{alignat*}{3}
&\rlap{$N^0_k+h(N_k+N'_k+ \dotsb + N^{(m-1)}_k) = (p-1)^k,$}\tag{15}\\
&N^0_k=(p-1) N_{k-1}                 \quad&&\text{pour}\quad &&h \text{pair},\tag{16}\\
&N^0_k=(p-1) N^{(\tfrac{m}{2})}_{k-1}\quad&&\text{pour}\quad &&h \text{impair}.\hspace{5em}\tag{17}
\end{alignat*}

La démonstration est presque la même.

Venons-en aux formules générales pour le nombre de solutions de
la congru\-ence $x^2_1 + \dotsb +x^2_k\equiv a \moddot{p}$.

D'abord la congruence (3) donne immédiatement ce théorème déjà
démontré par M.~Libri.

\textsc{Théorème.} \emph{Le nombre de solutions de la congruence}
\marginpage % *** File: 278.png
\emph{$a_1x^2_1+a_2x^2_2\equiv a_3$ $\moddot{p}$ est $p-1$ si $-a_1a_2$ est résidu quadratique,
et $p + 1$, si $-a_1a_2$ est non résidu.}

\textsc{Démonstration.} Mettons la congruence sous la forme
$(a_1x_1)^2-(-a_1a_2)x^2_2$ $\equiv a_1a_3 \moddot{p}$, ou $y^2_2-ay^2_2\equiv b \moddot{p}$:
\label{err277}la congruence (4) devient $-S_2\equiv a^h \moddot{p}$, ou bien $S_2\equiv -(-a_1a_2)^h \moddot{p}$
ou $S_2\equiv \mp 1 \moddot{p}$, selon que $-a_1a_2$ est résidu, ou non
résidu quadratique. De plus, on a $S_2 < 2p$ et pair, il faut donc poser
$S_2\equiv p\mp 1$. Pour le cas de $a_1=a_2=1$, $-a_1a_2=-1$, il y a
donc $p-1$ solutions, si $p=4q+1$, et $p+1$, si $p = 4q-1$; car
dans le premier cas, $-1$ est résidu, et dans le second, il est non résidu
quadratique.

\emph{Dans le cas de $a_3=0$, ou de la congruence $a_1x^2_1+a_2x^2_2\equiv 0 \moddot{p}$,
il y a $1+2(p-1)$ solutions si $-a_1a_2$ est résidu quadratique, et
seulement $1$, si $-a_1a_2$ est non résidu.}

Cette proposition est un cas particulier d'une plus générale démontrée
au commencement de l'article III.

Voici maintenant la proposition générale:

\textsc{Théorème.} \emph{On a pour $k$ nombre impair,
\[
\left\{
\begin{aligned}
N^{0}_k &= p^{k-1},\\
N_k     &= p^{k-1} + (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k-1}{2}}\ldot p^{\tfrac{k-1}{2}},\\
N'_k    &= p^{k-1} - (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k-1}{2}}\ldot p^{\tfrac{k-1}{2}},\\
\end{aligned} \right.
\tag{18}
\]
et pour $k$ pair, on a}
\[
\left\{
\begin{aligned}
N^0_k &= p^{k-1} + (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k}{2}}\ldot (p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1},\\
N_k = N'_k &= p^{k-1} - (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\ldot \tfrac{k}{2}}\ldot p^{\tfrac{k}{2}-1}.
\end{aligned}\right.
\tag{19}
\]

\textsc{Démonstration.} De la congruence $x^2_1+x^2_k+ \dotsb + x^2_k \equiv a \moddot{p}$,
nous tirerons les deux suivantes:
\[
\left\{
\begin{aligned}
x^2_1 + x^2_2 + \dotsb + x^2_k   &\equiv ax^2_{k+1},\\
x^2_1 + \dotsb \ldots + x^2_{k-1} &\equiv ax^2_{k+1} - x^2_k,
\end{aligned}\right\} \moddot{p},
\tag{20}
\]
qui n'en font qu'une. Nous égalerons leurs nombres de solutions; de
\marginpage % *** File: 279.png
là nous tirerons $N_k$ ou $N_k'$, d'où il sera facile de déduire $N_k^0$, et ensuite
$N_k'$ ou $N_k$.

\emph{Premier cas}. $p=4q+1$ et $a$ résidu quadratique. La première des
congruences (20) a par la formule (7) un nombre de solutions égal à
\[
N_k^0 + (p-1)N_k.
\]
La deuxième des congruences (20) deviendra en posant
\[
P=x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_{k-1}^2,\quad Q = ax_{k+1}^2-x_k^2,\quad P \equiv Q \moddot{p}.
\]
Si l'on représente par $P^0$, $Q^0$ les nombres de solutions des congruences
$P \equiv 0$, $Q \equiv 0 \moddot{p}$; par $P$ et $Q$ les nombres de solutions des
congruences $P \equiv$ à un résidu et $Q \equiv$ à un résidu, suivant le module
$p$; et enfin par $P'$ et $Q'$ les nombres de solutions des congruences
$P \equiv$ à un non-résidu, $Q \equiv$ à un non-résidu pour le module $p$, le
nombre de solutions de la congruence $P \equiv Q \moddot{p}$, sera
\[
P^0Q^0 + h(PQ + P'Q');
\]
mais d'après les notations convenues,
\[
P_0 = N^0_{k-1}, \quad P = N_{k-1},\quad P' = N'_{k-1},
\]
et d'après les théorèmes qui donnent le nombre de solutions de
$ax_1^2-x_2^2\equiv b \moddot{p}$,
\[
Q^0=1+2(p-1), \quad Q=p-1, \quad Q'=p-1,
\]
car $-a \times -1 = a$ est résidu quadratique.

Le nombre de solutions de la congruence $P \equiv Q \moddot{p}$, devient
donc
\[
[1+2(p-1)]N^0_{k-1} + h[(p-1)N_{k-1} + (p-1)N'_{k-1}],
\]
égalant ce nombre à $N^0_k + (p - 1)N_k$ et simplifiant au moyen des
équations (9) et (10), on aura, à cause de
\begin{align*}
{}&\sum N_g = N_g + N_{g-1} + \dotsb + N_2 + N_1,\\[-3ex]
\intertext{l'équation}\\[-5ex]
&\sum N_k = p \sum N_{k-2} + p^{k-1} + 1,\\[-3ex]
\intertext{pareillement,}\\[-5ex]
&\sum N_{k-1} = p \sum N_{k-3} + p^{k-2} + 1,\\[-3ex]
\intertext{d'où}\\[-5ex]
&N_k = pN_{k-2} + p^{k-1} - p^{k-2},
\end{align*}
\marginpage % *** File: 280.png
qui revient à
\[
\tag{21} N_k -  p^{k-1} = p( N_{k-2} - p^{k-3}).
\]

Cette équation montre que les quantités $N_1-1$, $N_2-p$, $N_3-p^2$, etc.\
forment une série récurrente dont l'échelle de relation est 0, $p$.

Soit en général $A$, $B$ l'échelle de relation d'une série récurrente: si
l'on veut que $ax^n+by^n$ soit le terme de rang $n+1$, il faudra
poser
\[
ax^n+by^n = A(ax^{n-1}+by^{n-1}) + B(ax^{n-2}+by^{n-2}),
\]
qui peut s'écrire
\[
ax^{n-2}(x^2-Ax-B) + by^{n-2}(y^2-Ay-B) =0, %[**errata]
\]
à laquelle on satisfera en prenant pour $x$ et $y$ les racines de
$z^2-Az-B=0$. Puis il faudra déterminer $a$ et $b$, de manière
que $ax^0+by^0$ et $ax+by$ soient respectivement égaux aux deux
premiers termes. Dans le cas présent on a
\[
A = 0,\quad  B = p,\quad z^2 = p, \qtext{d'où} x = \surd{p},\quad y = -\surd{p}:
\]
de plus,
\[
N_1 - 1 = 2 - 1 = 1,\quad N_2 - p = p - 1 - p = - 1.
\]
Les équations qui déterminent $a$ et $b$ sont donc
\[
a + b = 1,  \quad (a - b) \surd{p} = - 1.
\]
d'où l'on tire
\[
a=\frac{\surd{p}-1}{2\surd{p}},\quad b=\frac{\surd{p}+1}{2\surd{p}},
\]
et par conséquent,
\[
N_k - p^{k-1} = \frac{\surd{p}-1}{2\surd{p}}(\surd{p})^{k-1} + \frac{\surd{p}+1}{2\surd{p}}(-\surd{p})^{k-1},
\]
\marginpage % *** File: 281.png
ou bien encore,
\[
N_k-p^{k-1}=\tfrac{1}{2}(\surd p-1)(\surd p)^{k-2}-\tfrac{1}{2}(\surd p+1)(-\surd p)^{k-2}.\tag{22}
\]
Ce qui donne pour $k$ nombre pair,
\[
N_k=p^{k-1}-p^{\tfrac{k}{2}-1},
\]
et pour $k$ nombre impair,
\[
N_k=p^{k-1}+p^{\tfrac{k-1}{2}}.
\]
On aurait pu obtenir ces deux équations par de simples éliminations
et sans recourir aux séries récurrentes, car la valeur de $N_k$ dépend de
celle de $N_{k-2}$, celle-ci s'obtient au moyen de $N_{k-4}$ et ainsi de suite,
jusqu'à ce qu'on parvienne à $N_2$ et $N_1$ dont les valeurs sont connues;
dans ce calcul, il faut traiter séparément le cas de $k$ pair et celui de
$k$ impair.

Au moyen des valeurs trouvées pour $N_k$, l'équation
\[
N^0_k= 1+(p-1)(N_{k-1}+N_{k-2}+ \dotsb +N_2+N_1),
\]
donnera pour $k$ impair,
\[
N^0_k=p^{k-1},
\]
et pour $k$ pair,
\[
N^0_k=p^{k-1} + (p-1)\ldot p^{\tfrac{k}{2}-1}.
\]

\emph{Deuxième cas}. $p = 4q+1$ et $a$ non-résidu.\label{err281}

Pour $k$ impair l'équation $N^0_k + h(N_k+N'_k)=p^k$, donne %[**errata] - following lines reformatted to avoid overlong lines
\begin{align*}
N_k+N'_k &= \frac{2(p^k-p^{k-1})}{p-1} = 2p^{k-1}\\[-3ex]
\intertext{d'où l'on tire}\\[-5ex]
N'_k&=2p^{k-1}-N_k,\\[-3ex]
\intertext{ou bien}\\[-5ex]
N'_k &= p^{k-1}-p^{\tfrac{k-1}{2}}.\\[-3ex]
\end{align*}
Pour $k$ pair, on a
\[
N_k+N'_k=2\Big[p^k-p^{k-1}-(p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1}\Big]:(p-1)=2\Big(p^{k-1}-p^{\tfrac{k}{2}-1}\Big)=2N_k, %[**errata]
\]
\marginpage % *** File: 282.png
d'où
\[
N'_k =N_k.
\]

\emph{Troisième cas}. $p=4q-1$ et $a$ non-résidu quadratique.\label{err282a}

Les nombres de solutions des deux %[**errata]
congruences (20), sont ici en
vertu de $Q^0=1$, $Q=Q'=p+1$, égaux respectivement à
\[
N_k^0+(p-1)N'_k,\quad N^0_{k-1} + \frac{p-1}{2}[(p+1)N_{k-1}+(p+1)N'_{k-1}];
\]
égalant ces deux nombres, il vient
\begin{align*}
\sum N'_k &= -p\sum N'_{k-2} + \frac{p+1}{p-1}(p^{k-1}-1);\\[-3ex]
\intertext{pareillement}\\[-5ex]
\sum N'_{k-1} &= -p\sum N'_{k-3} + \frac{p+1}{p-1}(p^{k-2}-1),
\end{align*}
d'où
\[
N'_k = -pN'_{k-2} + p^{k-1} + p^{k-2},
\]
ce qui revient à\label{err282}
\[
\tag{23}   N'_k-p^{k-1} = -p(N'_{k-2} - p^{k-3}).
\]
Cette équation traitée comme l'équation (21) donnera
\[
\tag{24} N'_k-p^{k-1} = \tfrac{1}{2}(\sqrt{-p}+1)(\surd{-p})^{k-2} + \tfrac{1}{2}(-\sqrt{-p}+1)(-\surd{-p})^{k-2};
\]
car il faut remarquer qu'on a ici $N'_1-1=-1$ et $N'_2-p=1$,
puisque $N'_1=0$, $N'_2=p+1$; de là résulte
\[
a=\frac{-\sqrt{-p}+1}{2\surd{-p}}, \quad b=-\frac{\sqrt{-p}+1}{2\surd{-p}}.
\]
Pour $k$ nombre impair l'équation (24) donne
\[
N'_k = p^{k-1} - (-p)^{\tfrac{k-1}{2}},
\]
et pour $k$ nombre pair, elle donne au contraire,
\[
N'_k = p^{k-1} + (-p)^{\tfrac{k}{2}-1}
\]
\marginpage % *** File: 283.png
On pouvait obtenir ces valeurs de $N'_k$ par de simples éliminations.

L'équation $N^0_k = 1+(p-1)\sum N'_{k-1}$, donnera, comme plus haut,
pour $k$ impair,
\[
N^0_k = p^{k-1},
\]
et pour $k$ pair,
\[
N^0_k = p^{k-1} - (p-1)p^{\tfrac{k}{2}-1}.
\]

\emph{Quatrième cas}. $p=4q-1$ et $a$ résidu quadratique. L'équation
$N_k+\dfrac{p\!-\!1}{2}(N_k+N'_k)=p^k$ % spacing adjusted to avoid overfull line
donne encore pour $k$ impair $N_k+N'_k=2p^{k-1}$,
d'où $N_k=p^{k-1}+(-p)^{\tfrac{k-1}{2}}$, et pour $k$ pair $N_k+N'_k=2N_k$,
d'où $N'_k=N_k$.

Si l'on remarque maintenant que l'on a $(-1)^{\tfrac{p-1}{2}}=+1$ pour
$p=4q+1$ et $(-1)^{\tfrac{p-1}{2}}=-1$ pour $p = 4q-1$, on aura les résultats
de l'énoncé.

Les formules (22) et (24) se déduisent avec la plus grande facilité
d'une formule très générale et très remarquable donnée par M.~Libri,
dans son mémoire sur la \emph{Théorie des Nombres}, nous reviendrons
plus loin sur cette formule.

\mysection{VI.}

\begin{center}\emph{Nombre de solutions de la congruence} $a_1x_1^3+a_2x_2^3\equiv a_3 \moddot{p=3h+1}$.\end{center}

\primop.~Si $a_3=0$, il y aura, comme on l'a vu, 1 ou $1+3(p-1)$
solutions selon que $-a_2a_1^2$ sera résidu ou non résidu cubique (III).

\secundop.~Dans le cas général, nous ramènerons la congruence précédente
à la forme $y_1^3-ay_2^3\equiv b \moddot{p=3h+1}$. Ici, en posant
\[
\frac{2h(2h-1)(2h-2)\ldots(h+1)}{1\hspace{0.15em}\ldot\hspace{0.15em}2\hspace{1.15em}\ldot\hspace{1.15em}3\makebox[4.6em]{\dotfill} h\hspace{1em}}=Q,
\]
\label{err283}la congruence (4) donnera
\marginpage % *** File: 284.png
\[
\tag{25}  -S_2\equiv a^h+a^{2h}+Qa^hb^h \moddot{p = 3h + 1}.
\]
Comme $h$ est pair, on voit que les signes de $a$ et $b$ venant a changer,
$S_2$ n'en conservera pas moins la même valeur. Comme $a^h$ et $b^h$, selon
les valeurs particulières de $a$ et de $b$, peuvent prendre trois valeurs,
qui sont les racines de la congruence $z^3 \equiv 1 \moddot{p}$, savoir 1, $r$,
et $r^2$ en représentant par $r$ une racine primitive de $z^3 \equiv 1 \moddot{p}$,
ou ce qui est la même chose dans le cas présent, où il y a deux
racines primitives, une des racines de $z^2 + z + 1 \equiv 0 \moddot{p}$, ou
encore de $(2z + 1)^2 \equiv -3 \moddot{p}$. On voit de suite que la congruence
$y_1^3-ay_2^3 \equiv b \moddot{p}$ peut présenter neuf cas correspondants
aux neuf combinaisons des trois valeurs de $a^h$ et des trois
valeurs de $b^h$. Soit donc un $a$ non-résidu cubique de première classe,
nous aurons les neuf congruences suivantes à côté desquelles sont
inscrits les nombres de solutions, représentés par les lettres $A$, $B$, $C$,
différemment accentuées.
\begin{gather*}
\left.
\begin{alignedat}{2}
y_1^3-y_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A \text{sol.} \\
y_1^3-y_2^3&\equiv a             && B \\
y_1^3-y_2^3&\equiv a^2           && C
\end{alignedat}
\quad\right|\quad
\begin{alignedat}{2}
y_1^3-ay_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A' \text{sol.} \\
y_1^3-ay_2^3&\equiv a             && B' \\
y_1^3-ay_2^3&\equiv a^2           && C'
\end{alignedat}\\[1ex]
\begin{alignedat}{2}
y_1^3-a^2y_2^3&\equiv 1\moddot{p}\; && A'' \text{sol.} \\
y_1^3-a^2y_2^3&\equiv a             && B'' \\
y_1^3-a^2y_2^3&\equiv a^2           && C''
\end{alignedat}
\end{gather*}

Si l'on substitue dans la congruence (25) les valeurs de $a^h$ et $a^{2h}$,
qui sont $r$ et $r^2$, on obtiendra, au moyen de la relation $1 + r + r^2 \equiv 0\moddot{p}$,
les congruences
\begin{alignat*}{3}
A &\equiv -2-Q,         &  A' &\equiv  1-Qr,        & A'' &\equiv  1-Qr^2 \quad\moddot{p},\\
B &\equiv -2-Qr,        &  B' &\equiv  1-Qr^2,\quad & B'' &\equiv  1-Q,\\
C &\equiv -2-Qr^2,\quad &  C' &\equiv  1-Q,         & C'' &\equiv  1-Qr,
\end{alignat*}
d'où l'on déduira facilement les congruences
\begin{align*}
\tag{26}
&A+3 = C' = B'' \equiv 1-Q\quad\moddot{p = 3h+1},\\
&B+3 = A' = C'' \equiv 1-Qr, \\
&C+3 = B' = A'' \equiv 1-Qr^2.
\end{align*}
Par exemple, la congruence (25) donnant $A + 3\equiv 1 - Q  \moddot{p}$
et $C' \equiv 1-Q  \moddot{p}$, comme $A$ et $C'$ sont moindres que $3p$ et
que $A + 3$ et $C'$ sont divisibles par 3, il en résultera que la différence
\marginpage % *** File: 285.png
$A+3-C'$ sera divisible par $3p$, d'où suit nécessairement $A + 3 = C'$,
et ainsi des autres congruences.

Les congruences (26) donneront immédiatement $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$,
$A''$, $B''$, $C''$, quand on aura déterminé $Q$ et $r$. Pour déterminer $r$ on a la
congruence $(2r + 1)^2  \equiv -3\moddot{p}$ ou $r \equiv \dfrac{-1\pm\sqrt{-3} }{2 } \moddot{p}$.

Nous donnerons plus bas la manière de calculer presque à la fois
$r$ et $Q$, ou plutôt le reste de $Q$ divisé par $p$.

Les congruences (26) donnent par addition
\[
9 + A + B + C = A' + B' + C' = A'' + B'' + C'' \equiv 3\moddot{p},
\]
ce qui résulte encore de l'équation
\[
9 + A + B + C = A' + B' + C' = A'' + B'' + C'' = 3(p+1),
\]
qui est une conséquence immédiate des équations
\begin{alignat*}{4}
1 + 3(p - 1) &+ h (A  &&+ B  &&+  &C)   &= p^2,\\
1 &+ h (A' &&+ B' &&+  &C')  &= p^2,\\
1 &+ h (A''&&+ B''&&+{}&C'') &= p^2,
\end{alignat*}
qui se prouvent précisément comme l'équation
\[
N^0_2 + h(N_2 + N'_2 + N''_2) = p^2.
\]

On a donc entre $A'$, $B'$, $C'$ la relation
\[
A' + B' + C' = 3(p+1).\tag{27}
\]
Les deux autres équations qui donneraient $A+B+C$ et $A''+B''+C''$,
résulteraient de (26) et de (27); de sorte qu'il est inutile de les écrire.

On peut trouver entre $A'$, $B'$, $C'$ une autre relation qui conduira à
la valeur du reste de $Q$ divisé par $p$; mais pour les cas particuliers où
$p$ sera un petit nombre, il sera plus court de calculer le reste de $Q$ au
moyen de la formule $Q = \dfrac{2h \ldot (2h-1) \ldots (h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[5.8em]{\dotfill} h }$.

Soit la congruence $x^3_1 - ax^3_2 \equiv y^3_1 - a^2 y^3_2\moddot{p}$ où $a$ est un
\marginpage % *** File: 286.png
non-résidu cubique de première classe, la formule (6) donnera pour
le nombre de ses solutions
\[
1+h(A'A''+B'B''+CC''),
\]
ou d'après les équations (26),
\[
1+h(A'B'+B'C'+A'C').
\]
Mais si l'on écrit la congruence précédente sous la forme $x^3_1-y^3_1\equiv
a(x^3_2-ay^3_2)\moddot{p}$,
la formule (6) donnera pour le nombre de ses
solutions
\[
1+3(p-1)+h(AC'+BA'+CB'),
\]
nombre qui, par le moyen des équations (26), devient
\[
1+3(p-1)+h(A'^2+B'^2+C'^2)-(p-1)(A'+B'+C');
\]
égalant ces deux valeurs du même nombre, on a
\[
A'B'+A'C'+B'C'=A'^2+B'^2+C'^2 -3(A'+B'+C')+9,
\]
d'où, en simplifiant au moyen de l'équation (27), on tire
\[
A'B'+A'C'+B'C'=3(p^2+p+1).
\]

Si l'on pose $A' - B' = 9u$, $u$ sera nécessairement entier, et à cause
de $A'+B'=3(p+1)-C'$, on aura
\[
A'=\tfrac{1}{2}[3(p+1)-C'+9u],\quad B'=\tfrac{1}{2}[3(p+1)-C'+9u].
\]
Substituant dans $A'B'+A'C'+B'C'$, on trouvera, réduction faite,
\[
(C'-p-1)^2+27u^2=4p.\tag{28}
\]
\label{err286}Soit $L^2+27M^2=4p$, où $L$ et $M$ sont positifs, cette équation n'aura
\marginpage % *** File: 287.png
qu'une solution\label{err287}\footnote{%
Voici comment le prouve M.~Gauss. Soit s'il est possible une nouvelle solution
$L'^2+27M'^2=4p$, on obtiendrait
\begin{flalign*}
&\qquad\primop.~\;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)^2=16p^2.&\\
&\qquad\secundop.~\;(LL'+27MM')^2+27(LM'-L'M)^2=16p^2.&\\
&\qquad\tertiop.~\;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p(M'^2-M^2).&
\end{flalign*}

La 3\ieme\ équation montre que le nombre premier $p$, divise un des nombres
$LM'+L'M$, $LM'-LM'$, tandis que la première et la deuxième font voir que
chacun de ces nombres est moindre que $p$. Donc, etc.};
au moyen d'une table de carrés, il sera très facile
de déterminer $L$ et $M$ par voie d'exclusion. Ce calcul fait, on posera
\[
C'-p-1=\pm L \text{et }u=\pm M, \text{d'où }A'-B'=\pm 9M.
\]

La première équation donne $C'=p+1\pm L$; et comme $C'$ doit
être divisible par 3, le signe de $L$ sera déterminé, il faudra poser
$\pm L=3l+1=3\lambda -2$; en donnant à $l$ et $\lambda$ le signe convenable,
il en résultera $C'=3(h+\lambda)$, et parconséquent
\begin{align*}
&A+3=C'=B''=3(h+\lambda),\tag{29}\\
&B+3=A'=C''=3\Big(h+1-\frac{\lambda \mp 3M}{2}\Big),\\
&C+3=B'=A''=3\Big(h+1-\frac{\lambda \pm 3M}{2}\Big).
\end{align*}

Si l'on compare la première de ces équations avec la première des
congruences (26), il en résultera $1-Q\equiv 3(h+\lambda)\equiv 3h+2\pm L
\moddot{p}$, ou bien $-Q\equiv\pm L\moddot{p}$: on a donc ce théorème qui
est dû à M.~Jacobi.

\textsc{Théoreme.} \emph{Le coefficient $-\dfrac{2h\ldot(2h{-}1)\ldots(h{+}1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[5em]{\dotfill} h }$ étant divisé par $p$
donne un reste $\Big(\!<\dfrac{p}{2}\Big)$ toujours égal à $L$ sous la relation
\label{err287b}$L^2+27M^2=4p$, en prenant $L$, positif ou négatif, de la forme
$3l+1$.}

\hfill (J. de M.~Crelle, tome 2. \emph{De residuis cubicis commentatio
numerosa}).

Quant au signe de $M$, il reste nécessairement ambigu dans les équations
\marginpage % *** File: 288.png
(29), parce qu'il dépend de la valeur de $r$, racine primitive de
$z^3\equiv 1 \moddot{p}$, et que cette congruence a deux racines primitives
$\dfrac{-1\pm\surd-3}{2} \moddot{p}$. L'équation $A'-B'=\pm 9M$ revient à
$-(2r+1)Q\equiv\pm 9M \moddot{p}$ qui se réduit à $L^2+27M^2\equiv0 \moddot{p}$.

Cette dernière congruence, qui se tire immédiatement de l'équation
$L^2+27M^2=4p$ donnera très facilement la valeur de $p$, car on en
tire $L\equiv 3M \sqrt{-3}$ $\moddot{p}$, ou, si l'on veut, $9N\equiv L\sqrt{-3}
\moddot{p}$. Cette dernière congruence revient à $-(2r+1)Q\equiv \pm 9M
\moddot{p}$.

Les valeurs de $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$, $A''$, $B''$, $C''$, pourraient conduire
à des formules générales pour le cas d'un nombre quelconque d'inconnues,
et l'on obtiendrait encore, pour le cas principal, des séries
récurrentes dont l'échelle de relation aurait trois termes; mais les
calculs seraient assez longs. Nous donnerons plus loin la formule de
M.~Libri, qui ne présente point cet inconvénient, et qui deviendra
très facilement applicable au moyen des propositions précédentes.

\mysection{VII.}

\begin{center}\emph{Nombre de solutions de la congruence}
\label{err288}$a_1x_1^4+a_2x_2^4\equiv a_3\moddot{p=4h+1}$.\end{center}

Nous traiterons ici le cas de la congruence $y_1^4-ay_2^4\equiv b\moddot{p}$,
auquel les autres se ramènent. Les formules générales seront données
à la fin du paragraphe.

Le nombre $S_2$ des solutions de la congruence précédente est déterminé
complètement par \label{err288b}la congruence (4), qui devient ici
\[
-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A_2}{A_1}b^ha^h\Big) +a^{3h} + \frac{A_3}{A_1}a^{2h}b^h +
\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}.
\]
Or, $a_3\equiv(-1)^hA_2\moddot{p}$, on aura donc pour $h$ pair, et en posant
\begin{gather*}
\frac{2h(2h-1)\ldots(h+1)}{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em}}=Q \\
-S_2\equiv a^h+a^{2h} +a^{3h} +Qa^hb^h(1+a^h+b^h)\moddot{p},\tag{30}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 289.png
et pour $h$ impair
\[
-S_2\equiv a^h+a^{2h} +a^{3h}+Qa^hb^h(1-a^h-b^h)\moddot{p}.\tag{31}
\]

Les valeurs de $a^h$, $b^h$, et de leurs puissances, quelles que soient les
valeurs de $a$ et $b$, sont les racines de la congruence $z^4\equiv 1 \moddot{p}$,
savoir, 1, $r$, $r^2$, $r^3$, en représentant par $r$ une racine primitive de la
congruence $z^4\equiv 1 \moddot{p}$, ou, ce qui est la même chose dans le
cas présent, où il y a deux racines primitives, $r$ satisfait à la congruence
$z^2 + 1\equiv 0 \moddot{p}$.

Ainsi la suite $1$, $r$, $r^2$, $r^3$ pourra être remplacée par $1$, $r$, $-1$, $-r$.

Quand on connaîtra $r$ et le reste de $Q$ divisé par $p$, on pourra employer
les formules (30) et (31); mais comme le calcul direct du reste
de $Q$ est fort long, et même impraticable quand $p$ est un grand
nombre, nous démontrerons plus loin un théorème de M.~Gauss, qui
déterminera très expéditivement le reste de $Q$, au moyen de l'équation
$L^2+4M^2 = p$, qui donnera aussi la racine primitive $r$.

\begin{center}\emph{Premier cas.} $h = 2h'$, $p = 8h' + 1$.\end{center}

Si l'on représente par $a$ un non-résidu biquadratique de première
classe, la congruence $y^4_1-ay^4_2\equiv  b \moddot{p}$ sera susceptible de seize
formes, dont nous écrirons le tableau avec les nombres correspondants
de solutions, représentés par les lettres $A$, $B$, $C$, $D$, différemment
accentuées.
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
y^4_1-y^4_2   &\equiv 1,      &&A;         & y^4_1-ay^4_2   &\equiv 1,      &&A';   \\
y^4_1-a^2y^4_2&\equiv 1,      &&A'';       & y^4_1-a^3y^4_2 &\equiv 1,      &&A'''. \\
y^4_1-y^4_2   &\equiv a,      &&B;         & y^4_1-ay^4_2   &\equiv a,      &&B';   \\
y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a,      &&B'';       & y^4_1-a^3y^4_2 &\equiv a,      &&B'''. \\
y^4_1-y^4_2   &\equiv a^2,    &&C;         & y^4_1-ay^4_2   &\equiv a^2,    &&C';   \\
\label{err289}y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a^2,    &&C'';       & y^4_2-a^3y^4_2 &\equiv a^2,    &&C'''. \\
y^4_1-y^4_2   &\equiv a^3,    &&D;         & y^4_1-ay^4_2   &\equiv a^3,    &&D';   \\
y^4_1-a^2y^4_2&\equiv a^3, \; &&D''; \qquad& y^4_2-a^3y^4_2 &\equiv a^3, \; &&D'''.
\end{alignedat}
\right\}\moddot{p=4h+1}
\]

Substituant dans la formule (30) les valeurs de $a^h$, $a^{2h}$, $a^{3h}$, on aura,
réductions faites,
\marginpage % *** File: 290.png
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
&A   &&\equiv -3-Q,             && A'   &&\equiv 1-(2r-1)Q, \\ %[**errata]
&A'' &&\equiv 1+Q,              && A''' &&\equiv 1+(2r+1)Q, \\
&B   &&\equiv -3-(2r-1)Q,       && B'   &&\equiv 1+(2r+1)Q, \\
&B'' &&\equiv 1-Q,              && B''' &&\equiv 1-Q,       \\
&C   &&\equiv -3+Q,             && C'   &&\equiv 1-Q,       \\
&C'' &&\equiv 1+Q,              && C''' &&\equiv 1-Q,       \\
&D   &&\equiv -3+(2r+1)Q,\qquad && D'   &&\equiv 1-Q,       \\
&D'' &&\equiv 1-Q,              && D''' &&\equiv 1-(2r-1)Q,    %[**errata]
\end{alignedat}
\;\right\}\moddot{p=4h+1}
\]
d'où l'on tirera très facilement
\[
\tag*{\raisebox{7ex}{(32)}}
\left.\begin{aligned}
&A + 4 \equiv 1 - 3Q,                 \\
&B + 4 = A'  = D''' \equiv 1-(2r-1)Q, \\
&C + 4 = A'' = C''  \equiv 1+Q,       \\
&D + 4 = B'  = A''' \equiv 1+(2r+1)Q, \\
&C'=D'=B''=D''=B'''=C'''\equiv 1-Q.
\end{aligned}
\;\right\}\moddot{p=4h+1}.
\]
On trouve encore les équations
\begin{align*}
16+A+B&+C+D = A' + B' + C' + D' = A''+B''+ C''+ D'' \\
&= A'''+ B'''+C''' + D''' = 4(p +1),
\end{align*}
qui se prouvent tout-à-fait de même que l'équation
\[
N^0_2+h(N_2+N'_2+N''_2+N'''_2)=p^2.
\]
On aura donc, au moyen des équations (32), les nouvelles équations
\begin{alignat*}{2}
A + B + C &+& D\phantom{''} &= 4(p-3), \tag{33} \\
B + D &+&2B         ''  &= 4(p-1),          \\
C &+& B         ''  &= 2(p-1).
\end{alignat*}
Les deux dernières conduisent à $B + D = 2C$.

Si l'on pose $C - B'' = 16u$, $B - D = 16v$, il s'ensuivra que $u$ et $v$
seront entiers, et les équations (33) donneront
\begin{alignat*}{2}
B''           &= p - 1 - 8u,\quad &B &=p - 1 + 8u + 8v,\quad A = p -9 - 24u,\\
C\phantom{''} &= p - 1 + 8u,      &D &=p - 1 + 8u - 8v.
\end{alignat*}
Or, il existe entre $u$ et $v$ une équation indéterminée qui les fait connaître
\marginpage % *** File: 291.png
sans ambiguité (sauf celle du signe), par la raison qu'elle n'a
qu'une solution; c'est l'équation
\[
p =(1+4u)^2 +4v^2,\tag{34}
\]
que l'on obtient de la manière suivante:

Le nombre $a$ étant un non-résidu biquadratique de première classe,
la congru\-ence $x_1^4-a^2x_2^4\equiv a(y_1^4-ay_2^4)\moddot{p}$ a, d'après la formule
(6) et les relations précédentes, un nombre de solutions représenté
par
\[
1 + h(A''D' + B''A' + C''B' + D''C').
\]
La même congruence, mise sous la forme $x_1^4-ay_1^4=a^2(x_2^4-y_2^4)$, a
pour nombre de solutions
\[
1 + 16h + h(A'C + B'D + C'A + D'B);
\]
égalant ces deux valeurs du même nombre, on trouve
\[
B''(B''+ C - A + 8) = D^2 + C(B - D),
\]
qui se réduit, par la substitution des valeurs de $A$, $B$, $C$, $D$, $B''$, à
l'équation (34).

On prouvera, comme dans l'article précédent, que l'équation
$L^2 + 4M^2 = p$ n'a qu'une seule solution en nombres positifs, et en
déterminant convenablement le signe de $L$, on pourra faire $1 + 4u =
\pm  L$. D'ailleurs on a $C -B'' = 16u \equiv 2Q - 4\moddot{p}$, ou
$8u \equiv Q - 2 \moddot{p}$. Par conséquent l'on aura $Q \equiv \pm  2L \moddot{p=
8h'+ 1}$. Comme $L$ est moindre que $\frac{1}{2}p$, on pourra poser
\[
\tfrac{1}{2}Q \equiv \pm  L \moddot{p}.
\]

De là ce théorème de M.~Gauss:

«\emph{La quantité $\frac{1}{2}\dfrac{2h\ldot (2h-1)\ldots(h-1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} }\moddot{p}$ est toujours égale a
$\pm  L \Big(<\dfrac{p}{2}\Big)$, en prenant $p=L^2 + 4M^2$ et $\pm  L = 1 + 4u$.}»

Quant au signe de $v$ il dépend de $r$, qui se détermine par $2M \equiv
L\sqrt{-1}\equiv Lr\moddot{p}$, congruence qui revient à $B - D= 16v$, ou %[**errata]
du moins qui s'en déduit.
\marginpage % *** File: 292.png

Les quantités $A$, $B$, $C$, $D$, etc., étant déterminées par ce qui précède,
on calculera, par le moyen de la formule (6), le nombre de
solutions pour toute autre congruence contenant plus de deux inconnues.
Voici un seul exemple qui suffira pour que l'on puisse appliquer
dans tous les cas la formule générale qui sera donnée plus loin.

Pour trouver le nombre de solutions de la congruence
\[
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 +1 \equiv 0\moddot{p=4h+1}:
\]

Si l'on représente par $\Pi^0$ et $P^0$ les nombres de solutions des
congruences $\Pi = x_1^4 + x_2^4+x_3^4+x_4^4\equiv 0$ et $P = x_1^4+x_2^4+x_3^4\equiv 0\moddot{p}$,
la formule (8) donnera pour le nombre cherché $\dfrac{\Pi^0-P^0}{p-1}$.

Or $x_1^4+x_2^4+x_3^4\equiv 0\moddot {p = 8h'+1}$, revenant à $x_1^4+x_2^4\equiv
y_1^4\moddot{p}$, on aura
\[
P^0 = 1\ldot [1+4(p-1)] + h\ldot 4\ldot A = 1+4(p-1) + (p-1)A.
\]

Quant à la valeur de $\Pi^0$, en mettant $x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4\equiv 0\moddot{p}$
sous la forme $x_1^4+x_2^4\equiv y_1^4+y_2^4\moddot{p}$, ce sera
\[
[1+4(p-1)]^2 + \frac{p-1}{4} (A^2 + B^2 + C^2 + D^2).
\]

Le nombre cherché est donc
\[
4[1+4(p-1)] + \frac{A^2 + B^2 + C^2 + D^2}{4} - A = p^2 + 17p + 10 + 56u + 64u^2,
\]
par la substitution des valeurs de $A$, $B$, $C$, $D$.

Les congruences (32) montrent de suite que ce nombre est indépendant
de la racine primitive $r$.

\begin{center}\emph{Deuxième cas.\quad} $h = 2h' + r$, $p = 8h' + 5$.\end{center}

Dans ce cas la formule (31) donne
\begin{gather*}
\left.\begin{alignedat}{4}
&A  &&\equiv -3+Q,       &&A'   &&\equiv 1-Q,      \\
&A''&&\equiv 1+Q,        &&A''' &&\equiv 1-Q,      \\
&B  &&\equiv -3-Q,       &&B'   &&\equiv 1-(2r-1)Q,\\
&B''&&\equiv 1+(2r+1)Q,  &&B''' &&\equiv 1-Q,      \\
&C  &&\equiv -3+Q,       &&C'   &&\equiv 1+(2r+1)Q,\\
&C''&&\equiv 1-3Q,       &&C''' &&\equiv 1-(2r-1)Q,\\
&D  &&\equiv -3-Q,       &&D'   &&\equiv 1-Q,      \\
&D''&&\equiv 1-(2r-1)Q,  \quad
&&D''' &&\equiv 1+(2r+1)Q.
\end{alignedat}
\;\right\}\moddot p
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 293.png
d'où l'on tire
\begin{gather*}\tag*{\raisebox{3.5ex}{(35)}}
\left.
\begin{aligned}
&A+4=C+4=A'' \equiv 1+Q,\\
&      B+4=D+4=A'=D'=A'''=B'''\equiv 1-Q,\\ %[**errata]
&      B'=D''=C''' \equiv 1-(2r-1)Q,\\
&      C'=B''=D''' \equiv 1+(2r+1)Q,\\
&      C'' \equiv 1-3Q.
\end{aligned}
\right\} \moddot {p=8h'+5}.
\end{gather*}
On a de plus les équations\label{err293}
\begin{alignat*}{3}\tag{36}
A''+B''+{}&C''&&+\phantom{2}D''  &&= 4(p+1),\\
B''+{}&D''&&+2B'''&&= 4(p+1),\\
&A''&&+\phantom{2}B''' &&= 2(p+1),
\end{alignat*}
qui donnent les deux suivantes:
\[
A'' + C'' = 2B''', \quad B'' + D'' = 2A''.
\]
Si l'on pose $A'' - B''' = 4u$, $D'' -B''= 16v$, on aura, comme il est
facile de le voir, $u$ et $v$ entiers, et de plus
\begin{align*}
B'''&=p+1-2u,\quad B''=p+1+2u-8v,\quad C''=p+1-6u,\\
A'' &=p+1+2u,\quad D''=p+1+2u+8v.
\end{align*}

Si l'on cherche, par le moyen de la formule (6), les nombres de
solutions des congruences
\[
x^4_1 - ax^4_2 \equiv y^4_1 - ay^4_2, \quad
x^4_1 - y^4_1 \equiv a(x^4_2 - y^4_2)\moddot {p=8h'+5},
\]
qui reviennent à la même, et où le nombre $a$ est un non-résidu
biquadratique de première classe, on trouvera, en égalant ces
nombres,
\[
1 + h(A'^2 + B'^2 + C'^2 + D'^2) = (1+16h)^2 + h(AB+BC+CD+DA),
\]
ou, réductions faites,
\[
p = u^2 + 4v^2.\tag*{(37)}
\]
Donc si l'on pose $p = L^2 + 4M^2$, $L$ et $M$ étant positifs, il faudra faire
\marginpage % *** File: 294.png
$u= \pm L$, en choisissant le signe de sorte que $A'' = p + 1 \pm 2L$
devienne multiple de 8. Il faut, pour cela, prendre $\pm L = 1 + 4u'$.
On a encore ici $A'' - B''' = 4u \equiv 2Q\moddot p$, et par suite
$\frac{1}{2}Q \equiv L\moddot p$,
comme dans le premier cas.

Pour donner un exemple de l'application des formules (6) et (8),
nous chercherons le nombre de solutions de la congruence $x^4_1 + x^4_2
+ x^4_3 + 1 \equiv 0\moddot {p = 8h' + 5}$,
nombre qu'il est nécessaire d'obtenir
pour pouvoir employer dans tous les cas la formule générale qui
sera démontrée plus bas. Nous représenterons par $\Pi$ la fonction
$x^4_1 + x^4_2 + x^4_3 + x^4_4$, et par $P$ la fonction $x^4_1 + x^4_2 + x^4_3$.

Le nombre cherché sera, d'après la formule (8), $\dfrac{\Pi^0-P^0 }{p-1}$.
Si l'on écrit la congruence $\Pi \equiv 0 \moddot p$ sous la forme $x^4_1 - (-1)x^4_2
\equiv (-1) [x^4_3 - (-1)x^4_4]$ $\moddot p$, qui rentre dans la forme $x^4_1 - a^2x^4_2
\equiv a^2(x^4_3 - a^2x^4_4)\moddot p$, on aura, pour le nombre de solutions,
\[
\Pi^0 = 1 + h(A''C'' + B''D'' + C''A'' + D''B'').
\]
Quant à la congruence $P \equiv 0$, ou $x^4_1 + x^4_2 \equiv - x^4_3\moddot p$, elle a
pour nombre de solutions $P^0 = 1 + 4h C''$.

Le nombre de solutions cherché sera donc
\[
\frac{A''C''+B''D'' }{2 } - C'' = p^2 - 7p + 6u + 4u^2, %[**errata]
\]
par la substitution des valeurs de $A''$, $B''$, $C''$, $D''$.

Nous ferons observer, en terminant ici ces applications, que nous
pourrons reprendre dans un autre mémoire pour le cas de $m =5$,
que pour ce cas et celui de $m = 6$, c'est-à-dire pour $p = 5h + 1$ et
$p = 6h+1$, les formules qui donnent les nombres de solutions
des congruences $ax^5 + by^5 \ldots + ku^5 \equiv l\moddot {p = 5h +1}$,
$ax^6 + by^6 + \dotsb + ku^6 \equiv l\moddot {p=6h + 1}$, renfermeraient les
deux coefficients binomiaux
\[
\frac{2h \ldot (2h-1) \ldots (h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} },\quad
\frac{3h \ldot (3h-1) \ldots 2h }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4em]{\dotfill} h };
\]
et comme leur détermination directe serait fort longue, et souvent
\marginpage % *** File: 295.png
même impraticable, on ferait dépendre leur détermination de la résolution
de certaines équations indéterminées. Pareillement, pour
$p=7h+1$,\dots $p=8h+1$, les formules contiendraient les trois coefficients
binomiaux
\[
\frac{2h \ldot  (2h-1) \ldots (h+1)  }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} } ,\;\;
\frac{3h \ldot  (3h-1) \ldots (2h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} },\;\;
\frac{4h \ldot  (4h-1) \ldots (3h+1) }{1 \hspace{0.25em}\ldot\hspace{0.25em} 2 \makebox[4.8em]{\dotfill} h\hspace{1em} },
\]
et ainsi de suite.

Il se présente donc ici un problème important à résoudre, et dont
voici l'énoncé:

«\emph{Soient $p = mh + 1$ et
$A_1 = 1\ldot 2\ldots h$, $A_2 = (h+1)(h + 2) \ldots
2h$, $A_3 = (2h+1)(2h+2)\ldots 3h$,\dots \label{err295}$A_m = ((m-1)h + 1)\ldots mh$;
on demande les valeurs de $\dfrac{A_2}{A_1}$, $\dfrac{A_3}{A_1}$,\dots $\dfrac{A_n}{A_1} \moddot{p}$, $n$ étant $\dfrac{m}{2}$
ou l'entier immédiatement supérieur; ou, s'il est possible, les valeurs
de $A_1$, $A_2$\dots $A_n \moddot{p}$, c'est-à-dire les restes de ces quantités
divisées par $p$ nombre premier.}»

Ce problème a été résolu dans quelques cas particuliers; la solution
générale serait fort utile pour la détermination des équations
auxiliaires qui servent à l'abaissement de l'équation $x^p = 1$; c'est ce
qu'on verra dans l'article suivant; et elle ne serait pas moins utile
pour l'établissement des lois de réciprocité dans la théorie des résidus
de puissances, ainsi qu'on le montrera dans un autre paragraphe.

\mysection{VIII.}

\begin{center}\label{err295b}\emph{Nombre de solutions de la congruence} \\
$A_0 + A_1x_1^m + A_2x_2^m + \dotsb + A_k x_k^m \equiv 0 \moddot{p = hm + 1}$.\end{center}

Pour trouver le nombre de solutions d'une congruence $\phi(x_1, x_2, \ldots,
x_k) \equiv 0 \moddot{p}$ déterminé ainsi qu'il a été dit dans l'article premier,
il suffit de chercher une fonction $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k)$ qui se réduise à
l'unité pour toute solution $x_1 = \alpha_1$, $x_2 = \alpha_2$\dots, $x_k = \alpha_k$, et qui se
réduise à zéro pour toute substitution $x_1 = \beta_1$, $x_2 = \beta_2$\dots $x_k = \beta_k$,
qui ne satisfait pas à la congruence $\phi(x_1,x_2\ldots,x_k) \equiv 0 \moddot{p}$
la somme des valeurs de $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k)$ formées en mettant successivement,
\marginpage % *** File: 296.png
au lieu de $x_1$, $x_2$\dots, $x_k$, les $p^k$ arrangements $k$ à $k$ des
nombres 0, 1, 2\dots $p-1$, sera le nombre des solutions que nous
représenterons par $S_k$.

Pour le cas de $p$ nombre premier, en représentant par $R$ une
racine imaginaire quelconque de l'équation $z^p = 1$, on sait que
$\dfrac{1}{p}(1+R^i+R^{2i}+R^{3i} + \dotsb +R^{(p-1)i})$ devient 1 ou 0, selon que le
nombre entier $i$ est divisible ou non divisible par $p$.

On peut donc poser
\[
\psi.= \frac{1}{p}(1+R^{\phi.} + R^{2\phi.} + \dotsb + R^{(p-1)\phi.}).
\]

Pour abréger, on a écrit $\psi{.}$ et $\phi{.}$ au lieu de $\psi(x_1,x_2\ldots,x_k),
\phi(x_1, x_2\ldots, x_k)$. De là résulte
\[
S_k=\frac{1}{p}\sum(1+R^{\phi.}+R^{2\phi.}+ \dotsb R^{(p-1)\phi.}),\tag{38}
\]
la somme étant prise, par rapport à $x_1$, depuis $x_1=0$ inclusivement
jusqu'à $x_1=p$ (exclusivement); par rapport à $x_2$, depuis $x_2=0$ jusqu'à
$x_2=p$, et ainsi des autres.

Pour calculer plus facilement cette somme, représentons par $\rho$ une
racine primitive de $p$ ou de $x^{p-1} - 1 \equiv 0 \moddot{p = hm+1}$, et
posons\label{err296}
\begin{align*}
&y_0 = R^{\rho^0} + R^{\rho^m} + R^{\rho^{2m}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m}},\\
&y_1 = R^{\rho^1} + R^{\rho^{m+1}} + R^{\rho^{2m+1}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+1}},\\
&y_2 = R^{\rho^2} + R^{\rho^{m+2}} + R^{\rho^{2m+2}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+2}},\\
&\;\vdots\\[-1ex]
&y_a = R^{\rho^a} + R^{\rho^{m+a}} + R^{\rho^{2m+a}} + \dotsb + R^{\rho^{(k-1)m+a}},\\[-1ex]
&\;\vdots\\[-1ex]
&y_{m-1} = R^{\rho^{m-1}} + R^{\rho^{2m+1}} + R^{\rho^{3m+1}} + \dotsb + R^{\rho^{km-1}}.
\end{align*}
Ces $m$ quantités seront nécessairement les racines d'une équation du
\marginpage % *** File: 297.png
degré $m$, puisque si l'on remplace la racine $R$ par une autre
racine imaginaire, telle que $R^{\rho^a}$, la suite $y_0$, $y_1$\dots $y_{m-1}$, deviendra
$y_a$, $y_{a+1}$, $y_{a+2}$\dots, $y_{a-1}$ qui n'en diffère que par l'ordre des termes.

Appliquons la formule (38) à la congruence
\[
A_0 + A_1 x_1^m + A_2 x_2^m + \dotsb + A_k x_k^m \equiv 0\moddot {p = hm + 1},
\]
ou plutôt à la congruence
\[
\rho^a + \rho^b x_1^m + \rho^c x_2^m + \dotsb + \rho^g x_k^m \equiv 0\moddot {p = hm + 1},
\]
puisque tout nombre entier est congru à une certaine puissance de la
racine primitive $\rho$.

On voit de suite que la formule (38) donne
\[
pS_k = p^k + \sum R^{\phi.} + \sum R^{2\phi.} + \dotsb + \sum R^{(p-1)\phi.}.
\]

Cherchons donc la valeur de $\sum R^{i\phi}$., ou plutôt, en prenant pour le
nombre entier positif $i$ la puissance $\rho^n$ qui lui est congrue suivant le
module $p$, cherchons la valeur de $\sum R^{\rho^n\phi{.}}$. Mettant pour $\phi{.}$ sa valeur,
on trouve immédiatement
\[
\sum R^{\rho^n\phi.} = R^{\rho^{a+n}} \sum R^{\rho^{b+n} x_1^m} \sum R^{\rho^{c+n} x_2^m} \ldots \sum R^{\rho^{g+n} x_k^m},
\]
chaque somme étant prise, comme on l'a dit, depuis zéro jusqu'à $p$.

Or, si l'on met pour $x_1$ les nombres 1, 2, 3, 4\dots $p-1$, ou $\rho$, $\rho^2$\dots
$\rho^{p-1}$, $x_1^m$ donne, à l'ordre près, les termes $\rho^m$, $\rho^{2m}$\dots$\rho^{km}$, pris
chacun $m$ fois.

Soit en effet $x_1 \equiv \rho^{ik+f}\moddot {p = hm + 1}$, $i$ et $f$ étant tous deux
moindres que $m$, il en résultera $x_1^m \equiv \rho^{ikm+fm} \equiv \rho^{fm}\moddot p$; or $i$ peut
prendre $m$ valeurs 0, 1, 2\dots, $m-1$; le terme $\rho^{fm}$ se trouve donc
répété $m$ fois, et il en est de même de $\rho^m$, $\rho^{2m}$, etc.

Ayant donc égard à la valeur $x_1 = 0$, on trouvera $\sum R^{\rho^q x_f^m} =
1 + my_q$, et par suite
\[
\sum R^{\rho^n\phi.} = R^{\rho^{a+n}} (1+my_{b+n})(1+my_{c+n})\ldots(1+my_{g+n});
\]
\marginpage % *** File: 298.png
faisant successivement $n = 0$, 1, 2\dots $p - 2$, et ajoutant toutes les
valeurs de $\sum R^{\rho^n\phi.}$, on trouve
\begin{align*}\tag{39}
pS_k = p^k +{}&y_a(1+my_a)(1+my_b)(1+my_c)\ldots (1+my_g)\\
&{y_{a+1}(1+my_{a+1})(1+my_{b+1})(1+my_{c+1})\ldots (1+my_{g+1})}\\[-1ex]
&\;\vdots\\[-1ex]
&y_{a+m-1}(1+my_{a+m-1})(1+my_{b+m-1})(1+my_{c+m-1})\ldots\\
&\phantom{y_{a+m-1}}(1+my_{g+m-1}),
\end{align*}
où il faut ôter $m$ des indices qui surpassent ce nombre.

Examinons quelques cas particuliers.

Soit d'abord $1 + x_1^m + x_2^m + \dotsb + x_k^m\equiv 0 \moddot{p = hm + 1}$,
il faudra faire $a = b = c \ldots = g = 0$. Si nous représentons le nombre
de solutions par $N_k$, il viendra
\[
pN_k = p^k + y_0(1+my_0)^k + y_1(1+my_1)^k + \dotsb + y_{m-1}(1+my_{m-1})^k,\tag{40}
\]
formule due à M.~Libri, qui la démontre de même.

Considérons encore la congruence
\[
x_1^m + x_2^m + x_3^m + \dotsb + x_k^m \equiv \rho^f \equiv -\rho^{f+\frac{hm}{2}} \moddot{p = hm + 1}.
\]

Comme on doit ôter $m$ des indices qui surpassent ce nombre, pour
$h$ pair on posera $a = f$, \label{err298}$b = c \ldots = g = 0$, et la formule (39)
deviendra
\begin{gather*}
pS^k = p^k + y_f(1+my_0)^k + y_{f+1}(1+my_1)^k +   \tag{41}\ldots
+ y_{f-1}(1+y_{m-1})^k.
\end{gather*}

Mais, pour $h$ impair, on fera \label{err298a}$a = f + \frac{m}{2}$, $b = c\ldots = g = 0$, et la
formule (39) deviendra
\begin{align*}
\tag{42}  pS^k = p^k &+ y_{f+\frac{m}{2}}(1+my_0)^k + y_{f+1+\frac{m}{2}}(1+my_1)^k + \dotsb \\
& + y_{f-1+\frac{m}{2}}(1+my_m-1)^k.
\end{align*}
Ces formules nous serviront plus loin.
\marginpage % *** File: 299.png

La formule (40) donnant les équations\label{err299}
\begin{align*}
&pN_1 = p \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0) + y_1(1 + my_1) + y_2(1 + my_2) + \dotsb \\
&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1}).\end{aligned}\\
&pN_2 = p^2 \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^2 + y_1(1 + my_1)^2 + y_2(1 + my_2)^2 + \dotsb \\
&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^2.\end{aligned}\\
&pN_3 = p^3 \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^3 + y_1(1 + my_1)^3 + y_2(1 + my_2)^3 + \dotsb \\
&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^3.\end{aligned}\\[-1ex]
&\;\vdots\\[-1ex]
&pN_{m-1} = p^{m-1} \begin{aligned}[t]&+ y_0(1 + my_0)^{m-1} + y_1(1 + my_1)^{m-1} + y_2(1 + my_2)^{m-1} + \dotsb \\
&+ y_{m-1}(1 + my_{m-1})^{m-1},\end{aligned}
\end{align*}
auxquelles il faudra joindre
\[
0 = 1 + y_0 + y_1 + y_2 + \dotsb + y_{m-1}.
\]
On tirera de ces $m$ équations les valeurs des $m$ sommes
\[
y_0 + y_1 + \dotsb + y_{m-1},\; y_0^2 + y_1^2 + \dotsb + y_{m-1}^2, \ldots y_0^m + y_1^m + y_2^m + \dotsb + y_{m-1}^m,
\]
et par les formules connues on en déduira les valeurs des coefficients
de l'équation en $y$. C'est là le procédé employé par M.~Libri pour le
calcul de l'équation en $y$; il se trouve complété ici par le calcul des
nombres $N_1$, $N_2$, $N_3$\dots, $N_{m-1}$, qui se fait au moyen des formules de
l'article IV.

Nous ferons remarquer ici que les coefficients $N_1$, $N_2$, \dots $N_{m-1}$, seront
uniquement fonctions de certains coefficients binomiaux, aussi bien
que les coefficients de l'équation en $y$, car $r$ doit disparaître du résultat
qui ne peut rien contenir d'indéterminé. Les exemples du paragraphe
suivant confirment cette remarque.

La formule (40) qui ne contient que les fonctions
\[
y_0 + y_1 + \dotsb + y_{m-1},\; y_0^2 + y_1^2 + \dotsb + y_{m-1}^2, \ldots y_0^m + y_1^m +\dots y_{m-1}^m, %[**errata]
\]
qui se déterminent très facilement au moyen des coefficients de
l'équation en $y$, sans qu'il soit nécessaire de la résoudre, pourra
toujours être employée dès qu'on aura trouvé l'équation en $y$. Mais
\marginpage % *** File: 300.png
il n'en est pas de même des formules (39), (41) et (42); les fonctions
\[
y_f y_0 + y_{f+1} y_1 + \dotsb + y_{f-1} y_{m-1},\quad y_f y_0^2 + y_{f+1} y_1^2 + \dotsb + y_{f-1} y_{m-1}^2,\ \etc
\]
qui entrent dans la formule (41), par exemple, ne sont point des
fonctions symétriques qui puissent se déterminer rationnellement par
le moyen de l'équation en $y$. Cependant elles ont une propriété
commune avec la somme $y_0^a + y_1^a + y_2^a + \dotsb y_{m-1}^a$, c'est de conserver
la même valeur quand la racine imaginaire de $x^p =1$, qui a servi
pour former les fonctions $y_0$, $y_1$\dots, $y_{m-1}$, vient à changer. Ce qui
tient à ce que ce changement augmentant tous les indices d'un même
nombre, le $g$\iieme\ terme, par exemple, devient le premier, le $(g+1)$\iieme\
le deuxième, le $(g+2)$\iieme\ le troisième, et ainsi de suite. Quand on
aura calculé ces fonctions, qu'on pourrait appeler circulantes, on
pourra faire usage des formules démontrées dans cet article, sans qu'il
soit besoin de résoudre l'équation en $y$, en la ramenant à une équation
à deux termes, ce qui serait fort long\footnote{%
Les autres paragraphes de ce mémoire forment, pour ainsi dire, autant de
mémoires séparés que nous publierons dans ce Journal, dès que l'auteur nous
les aura fait parvenir.\\\hspace*{1em}\signit{(\textsc{J.~Liouville.})}
}.

\jmpafin

% *** File: 301.png

\jmpapaperl{NOTE}{}
{Sur un cas particulier de la construction des tangentes aux
projections des courbes, pour lequel les méthodes générales
sont en défaut;}
{Par M.~CHASLES.}{}
\label{art26}

Dans plusieurs questions de Géométrie descriptive, particulièrement
dans quelques épures de coupe des pierres, il arrive que, pour
certains points d'une ligne courbe provenant de l'intersection de deux
surfaces, la tangente à cette courbe est perpendiculaire à l'un des
plans de projection; alors la projection de cette tangente, sur ce
plan, se réduit à un point, et ne fait plus connaître la tangente à la
projection de la courbe.

La méthode générale pour construire les tangentes aux projections des\break
courbes situées dans l'espace, en les regardant comme les projections
des tangentes à ces courbes, est donc absolument en défaut pour
ces cas particuliers, et une méthode spéciale devient nécessaire.

Cette question a occupé, il y a une vingtaine d'années, MM.~Binet
et Hachette, qui, l'un et l'autre, sans la résoudre dans la généralité
où nous venons de la proposer, ont imaginé des moyens particuliers
propres à déterminer les tangentes dans quelques-uns des cas dont il
s'agit. (Voir la \emph{Correspondance sur l'École Polytechnique}, tome~III,
pages 197 à 201, année 1815.)

La construction de M.~Binet est fondée sur une belle méthode, autre
que celle de Mouge suivie jusqu'alors, pour déterminer les tangentes
à la courbe d'intersection de deux surfaces. Au lieu de mener les plans
tangents aux deux surfaces en un point de cette courbe, et de prendre
leur commune intersection qui est la tangente cherchée, M.~Binet
mène les normales aux deux surfaces en ce point, et une perpendiculaire
au plan déterminé par ces deux normales: cette perpendiculaire
\marginpage % *** File: 302.png
est la tangente cherchée, et ses projections sont perpendiculaires aux
traces de ce plan sur les plans de projection.

Cette méthode est générale comme la première; mais elle est aussi
en défaut dans le cas particulier qui nous occupe. Car si la tangente
en un point de la courbe est perpendiculaire à l'un des plans de projection,
les normales aux deux surfaces seront parallèles à ce plan, et
conséquemment la trace du plan qu'elles déterminent sera à l'infini,
et ne pourra point servir pour la construction de la tangente à la
projection de la courbe.

Cependant il est un cas où, par une circonstance particulière,
M.~Binet a pu faire usage de cette méthode. C'est dans l'épure de la
courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les deux axes
se rencontrent. Le plan des deux axes étant pris pour l'un des plans
de projection, en chaque point de la courbe d'intersection des deux
surfaces situé dans ce plan, la tangente à cette courbe est perpendiculaire
à ce plan; par conséquent les méthodes générales sont en
défaut. Néanmoins, par des considérations particulières, celle de
M.~Binet conduit encore, dans cette question, à la construction de la
tangente. En effet, les normales aux deux surfaces, en un point
quelconque $m$ de leur intersection, rencontrent le plan des deux axes
de révolution, pris pour plan de projection, précisément aux points
où elles rencontrent respectivement les deux axes; il faut donc joindre
ces deux points par une droite, et mener une perpendiculaire à cette
droite par le point qui est la projection du point $m$. Cette perpendiculaire
est la tangente à la projection de la courbe d'intersection des
deux surfaces. Cette construction subsiste encore quand le point $m$
est situé dans le plan des deux axes, bien que les considérations géométriques
sur lesquelles elle repose ne soient plus applicables; mais
on en conclut, \emph{par la loi de continuité}, qu'elle doit encore donner la
tangente à la courbe.

Telle est la méthode de M.~Binet, qui a été reproduite depuis dans
les traités de Géométrie descriptive, mais toujours pour la même
question de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent.

Les solutions que M.~Hachette a données aussi pour quelques cas
semblables consistent à remplacer les deux surfaces proposées par
deux autres dont la courbe d'intersection ait la même projection que
\marginpage % *** File: 303.png
les deux premières sur le plan où l'on veut avoir les tangentes à cette
projection. Alors ce sont les tangentes à la courbe d'intersection de
ces deux nouvelles surfaces qui font connaître les tangentes à la projection
de cette courbe. Et l'on prend les deux nouvelles surfaces de
manière que pour le point de leur courbe d'intersection, qui répond
au point de projection pour lequel la méthode des tangentes était en
défaut, les plans tangents à ces deux surfaces ne soient pas perpendiculaires
au plan de projection. M.~Hachette détermine ces surfaces par
l'analyse, dans les deux applications qu'il a faites de ce procédé. Mais,
outre cet inconvénient qui fait que ce procédé ne convient pas à la
Géométrie descriptive, on voit qu'il ne constitue point une méthode,
puisqu'il n'y a aucun moyen certain pour trouver, même avec le
secours de l'analyse, les deux nouvelles surfaces.

Voilà, je crois, tout ce qui a été fait au sujet du cas particulier des
tangentes qui nous occupe. Il y a donc encore à trouver la méthode
générale qui lui convient, et à dire aussi la raison \emph{à priori} pour laquelle
les méthodes ordinaires devaient être en défaut dans ce cas.

La réponse à ces deux questions découlera naturellement du théorème
suivant:

\emph{Quand une ligne courbe tracée sur une surface cylindrique est
tangente, en un point, à l'une des arètes du cylindre, le plan tangent
au cylindre suivant cette arète est le plan osculateur à la courbe au
point qu'on considère.}

Cela est évident, car la courbe a un premier élément compris sur
l'arète du cylindre, puisqu'elle lui est tangente, et l'élément suivant
aboutit à l'arête infiniment voisine de cette première; il s'ensuit que
le plan tangent au cylindre, lequel est le plan des deux arètes, contient
les deux éléments de la courbe; il est donc son plan osculateur:
ce qu'il fallait démontrer.

D'après cela, remarquons que quand une courbe située dans l'espace
a sa tangente en un point perpendiculaire au plan de projection,
cette courbe est tangente, en ce point, à l'arète du cylindre projetant;
donc le plan tangent à ce cylindre, dont la trace sur le plan de
projection sera la tangente à la projection de la courbe, est le plan
osculateur à la courbe. Donc

\emph{Quand la tangente en un point m d'une courbe située dans l'espace
\marginpage % *** File: 304.png
est perpendiculaire au plan de projection, la tangente à la projection
de cette courbe, au point correspondant au point $m$, est la trace, sur le
plan de projection, du plan osculateur de la courbe au point $m$.}

Ainsi le problème des tangentes, dans ce cas, se change en celui du
plan osculateur.

Cette solution est générale, et rentre dans une des théories que
considère la Géométrie descriptive où l'on sait mener le plan osculateur
en chaque point d'une courbe à double courbure.

Ce problème a été introduit dans la Géométrie descriptive par
M.~Hachette, qui en a donné une belle et savante solution, qui est
celle que nous proposerons ici pour le cas de la construction des tangentes
qu'il s'agit de résoudre. Comme cette solution, quoique bien
remarquable, n'est pas celle néanmoins que l'on a adoptée dans les
traités de Géométrie descriptive, nous allons la rappeler ici.

\emph{Pour construire le plan osculateur d'une courbe à double courbure
en un point}, on mène, par les différents points de cette courbe, les
normales aux deux surfaces dont elle est l'intersection. Ces deux séries
de normales forment deux surfaces gauches. Par le point pour lequel
on veut le plan osculateur, on mène le plan normal à la courbe; il
touche les deux surfaces gauches en deux points qu'on joint par une
droite; par la tangente à la courbe on mène un plan perpendiculaire
à cette droite, ce qui est possible, parce qu'elle est dans le plan
normal; \emph{ce plan est le plan osculateur cherché}; et, de plus, le point
où il rencontre la droite est le \emph{centre de courbure} de la courbe que
que l'on considère\footnote{%
M.~Hachette a donné cette solution dans le \emph{Bulletin des Sciences} de la
Société philomatique (année 1816, p.~88), et dans ses \emph{Élément de Géométrie à
trois dimensions} (partie synthétique), in-8\up{o}, 1817. Dans quelques notes que j'avais
adressées à M.~Hachette, en réponse à la communication qu'il me faisait de
sa solution, notes que ce géomètre a eu la bonté d'insérer dans son ouvrage, j'ai
indiqué une seconde manière de construire le plan osculateur. Elle consiste à mener
les tangentes à la courbe proposée, et à chercher les points où elles percent un
plan quelconque; ces points forment une courbe dont les tangentes sont situées
dans les plans osculateurs de la courbe proposée. On n'a donc, pour déterminer
ces plans osculateurs, qu'à mener les tangentes à cette nouvelle courbe.

C'est cette construction qu'on a reproduite depuis dans les traités de Géométrie
descriptive: je ne sais pourquoi; car celle de M.~Hachette est infiniment préférable
sous tous les rapports, notamment comme donnant le centre du cercle
osculateur, en même temps que son plan. Pour déterminer ce centre, on est
obligé de recourir à d'autres constructions. On projette la courbe proposée sur
son plan osculateur; on a une courbe plane dont on cherche le cercle osculateur
par une méthode graphique particulière donnée par M.~Bergery, dans son excellent
ouvrage intitulé: \emph{Géométrie des courbes appliquée à l'industrie} (in-8\up{o},
Metz, 1826).

J'avais donné aussi une méthode pour construire le centre du cercle osculateur,
après avoir déterminé le plan osculateur; la voici: \emph{Que par chaque
point de la courbe proposée on mène sa normale comprise dans son point osculateur;
toutes ces normales forment une surface gauche. Le plan normal à la
courbe, en un de ses points, touche la surface en un point qui est le centre de
courbure cherché.} (Voir \emph{Eléments de Géométrie à trois dimensions}; par M.~Hachette,
p.~112).

Enfin, pour dire ici tout ce qui a été fait au sujet du problème du plan osculateur
et du centre de courbure d'une courbe à double courbure, nous ajouterons
que MM.~Ch.~Dupin et Poncelet l'ont aussi résolu. Leurs solutions, quoique différentes,
consistent l'une et l'autre à chercher les centres de courbure des deux
courbes planes qui sont les projections de la courbe proposée, et à faire usage de
ces deux centres de courbure (et c'est en ce point qu'elles diffèrent), pour arriver
à la connaissance du plan osculateur et du centre de courbure cherchés. (Voir
\emph{Annales de Mathématiques}, t.~7, p.~18, année 1816; et t.~15, p.~245, année
1825).

Ces solutions ne sont pas applicables à la question actuelle, puisque, loin de
connaître le centre de courbure de la projection de la courbe proposée, on veut
déterminer la tangente de cette projection.}.
\marginpage % *** File: 305.png

Pour déterminer le point où un plan mené par une génératrice
d'une surface gauche touche la surface, on construit la courbe suivant
laquelle ce plan coupe la surface: cette courbe rencontre la génératrice
au point de contact cherché.

Dans le cas où la courbe proposée est l'intersection de deux surfaces
de révolution, les normales qui forment les deux surfaces gauches
s'appuient respectivement sur les deux axes de révolution; le plan
normal en un point $m$ de la courbe touche ces deux surfaces aux
points où les deux normales, menées par le point $m$, rencontrent
les deux axes. Il suffit donc, pour construire les deux surfaces gauches,
de joindre ces deux points par une droite, et de mener par le point $m$
un plan perpendiculaire à cette droite: c'est le plan osculateur.

\marginpage % *** File: 306.png

Cette construction a lieu quelle que soit la position des axes des
deux surfaces de révolution dans l'espace. Si on l'applique au cas particulier
où les axes se rencontrent, elle conduit à la construction même
de M.~Binet; elle rattache à une méthode générale cette construction
obtenue par induction, et dont la légitimité ne reposait que sur le
principe de continuité.

Les considérations précédentes font bien voir pourquoi les méthodes
générales pour la construction des tangentes aux projections des
courbes devaient être en défaut pour le cas en question; c'est que,
dans ce cas, la tangente à la projection de la courbe fait connaître
immédiatement le plan osculateur à la courbe, et que la considération
de ce plan implique nécessairement la considération de deux éléments
consécutifs de la courbe, ou, en analyse, des infiniment petits du
second ordre, tandis que les méthodes générales pour la construction
des tangentes ne demandent que la considération d'un seul élément de
la courbe, et, en analyse, des infiniment petits du premier ordre
seulement. Ces méthodes devaient donc être en défaut pour le cas en
question, sans quoi elles eussent fait connaître, par la considération
des infiniment petits du premier ordre seulement, les plans osculateurs
aux différents points d'une courbe à double courbure: ce qui est
contraire à la nature des choses.

Le cas de la construction des tangentes, qui fait l'objet de cette
note, ne se présente pas seulement dans les épures de la géométrie
descriptive proprement dite. Il peut se présenter dans plusieurs questions
de perspective où l'on aura à faire la perspective d'une courbe
dont une des tangentes passera par l'\oe il. Cette tangente ne suffira
plus pour faire connaître la tangente à la perspective de la courbe.
Pour construire celle-ci, il faudra mener le plan osculateur de la
courbe; sa trace sur le tableau sera la tangente cherchée.

Cette construction servira aussi pour déterminer les tangentes à la
perspective du contour apparent d'une surface, pour les points où le
rayon visuel est tangent à ce contour; circonstance qui se présente, et
qui a été remarquée expressément dans plusieurs dessins, particulièrement
dans la perspective du piédouche, où les points en question
deviennent, en perspective, des points de rebroussement.

%\jmpafin % avoid page with just a rule

% *** File: 307.png

\jmpapaper{THÉORÈMES}{}
{Sur les contacts des lignes et des surfaces courbes;}
{Par M.~CHASLES.}{}
\label{art27}

\emph{Des courbes planes.} On dit que deux courbes ont un contact de
l'ordre $m$, quand elles ont $m$ éléments consécutifs communs; et alors
elles passent par $(m + 1)$ points infiniment voisins. Cette condition
\emph{géométrique}, traduite en \emph{analyse}, fait voir que les deux courbes étant
exprimées par deux équations entre les coordonnées $x$, $y$, obliques
ou rectangulaires, il faut que les $m$ premiers coefficients différentiels
$\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$,\dots $\dfrac{d^my}{dx^m}$ de la première courbe soient égaux respectivement
à ceux de la seconde, quand on y met pour $x$ et $y$ les coordonnées
du point de contact.

Ainsi deux courbes auront un contact de l'ordre $m$ en un point,
quand on reconnaîtra que l'une de ces deux conditions, \emph{géométrique}
et \emph{algébrique}, a lieu.

Si de l'équation de la première courbe on tire la valeur de la coordonnée
$x$, et qu'on la mette dans l'équation de la seconde courbe, cette
équation donnera les ordonnées $y$ des points d'intersection des deux
courbes. Ces deux courbes passant par $(m + 1)$ points infiniment voisins,
qui, dans la réalité, se réunissent en un seul, l'équation en $y$ aura
$(m + 1)$ racines égales, pour chaque point où les deux courbes ont
un contact de l'ordre $m$. Cette équation sera donc de la forme
$(Fy)^{m+1}\times fy=0$; l'équation $Fy = 0$ correspondant aux points en
chacun desquels les courbes ont un contact de l'ordre $m$, et l'équation
$fy = 0$ aux autres points d'intersection des deux courbes.
\marginpage % *** File: 308.png

D'après cela, soit $\phi(x, y) = 0$ l'équation de la première courbe;
celle de la seconde pourra nécessairement être mise sous la forme
\[
A\phi(x,y)+B[\psi(x,y)]^{m+1}=0;
\]
$A$ et $B$ pouvant être des constantes ou des fonctions de $x$ et $y$. Car la
valeur de $x$ tirée de la première équation $\phi(x, y) = 0$, et mise dans
la seconde, réduira celle-ci à la forme
\[
fy\ldot (Fy)^{m+1}=0;
\]
comme nous venons de faire voir que cela doit être. Et le point de
contact, ou les points de contact des deux courbes seront déterminés
par les deux équations
\[
\phi(x,y)=0,\qtext{et}\psi(x,y)=0.
\]
Nous pouvons donc énoncer ce théorème:

1\ier{} \textsc{Théorème}. \emph{Les deux équations}
\[
\phi=0,\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1}=0,
\]
\emph{où $A$, $B$, $\phi$ et $\psi$ sont des fonctions de $x$ et $y$, représentent deux
courbes qui ont un contact de l'ordre $m$ en chacun des points d'intersection
des deux courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$};

Et réciproquement, \emph{deux courbes qui ont un contact de l'ordre m
en un ou plusieurs points, peuvent être représentées par deux équations
de cette forme}.

Nous venons d'obtenir les deux équations ci-dessus, en nous servant
de la condition \emph{géométrique} pour que deux courbes aient un
contact de l'ordre $m$; il est facile de vérifier qu'elles satisfont à la
condition \emph{algébrique}, c'est-à-dire que les $m$ coefficients différentiels
$\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$,\dots $\dfrac{d^my}{dx^m}$ sont égaux respectivement un à un, dans les deux
courbes, pour les points dont les cordonnées satisfont aux deux
équations $\phi=0$, et $\psi=0$.

En effet, supposons d'abord que $A$ et $B$ soient des quantités constantes,
c'est-à-dire ne contenant ni $x$ ni $y$; les différentiations successives
des équations des deux courbes donneront, pour la première,
\marginpage % *** File: 309.png
les $m$ équations
\[
d\phi=0, \quad d^2\phi=0, \quad d^3\phi=0, \ldots d^m\phi=0,
\]
d'où l'on tirera les valeurs des $m$ premiers coefficients différentiels
de cette première courbe; et pour la seconde, les $m$ suivantes qui serviront
aussi pour calculer les $m$ premiers coefficients différentiels de
la seconde courbe,
\begin{align*}
&Ad\phi\phantom{^2}+B(m+1)\psi^m\ldot d\psi=0,\\
&Ad^2\phi+B(m+1)m\ldot \psi^{m-1}(d\psi)^2+B(m+1)\psi^m\ldot d^2\psi=0,\\
&Ad^3\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\psi^{m-2}(d\psi)^3+ \dotsb +B(m+1)\psi^m\ldot d^3\psi=0,\\
&\makebox[26em]{\leaderfill}\\
&Ad^m\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\ldot 3\ldot 2\ldot \psi(d\psi)^m+\ldot +B(m+1)\psi^m\ldot d^m\psi=0.
\end{align*}

Tous les termes de chacune de ces équations, excepté le premier,
contiennent le facteur $\psi$ élevé à des puissances qui vont en augmentant
jusqu'au dernier terme où l'exposant de $\psi$ est toujours $m$. On
voit donc que pour chacun des points de la seconde courbe, dont les
coordonnées satisfont à l'équation $\psi= 0$, toutes les équations se réduiront
à celles-ci:
\[
d\phi=0, \quad d^2\phi=0, \quad d^3\phi=0, \ldots d^m\phi=0.
\]
Ce sont précisément les équations provenant de la différentiation de
l'équation $\phi= 0$ de la première courbe. Donc les $m$ premiers coefficients
différentiels des deux courbes sont égaux un à un; et conséquemment
les deux courbes ont un contact de l'ordre $m$, en chacun
de leurs points communs dont les coordonnées satisfont à l'équation
$\psi= 0$.

Les deux courbes ne peuvent avoir, en général, un contact d'un
ordre plus élevé: parce qu'une différentiation de plus de l'équation
donnerait
\[
Ad^{m+1}\phi+B(m+1)\ldot m\ldot (m-1)\ldots2\ldot 1\ldot (d\psi)^{m+1}+ \dotsb +B(m+1)\psi^m\ldot d^{m+1}\psi=0;
\]
et la supposition de $\psi= 0$ ne réduit plus cette équation à son premier
terme seulement, mais bien à ses deux premiers termes; et par
\marginpage % *** File: 310.png
conséquent la valeur de $\dfrac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}$ qu'on en tirerait ne sera pas égale à
celle que donnerait l'équation $d^{m+1}\phi = 0$ de la première courbe.

Il nous reste à démontrer le théorème pour le cas où $A$ et $B$ sont
des fonctions de $x$ et $y$.

D'abord si nous supposons que $B$ soit une fonction de $x$ et de $y$,
nos $m$ équations différentielles de la seconde courbe contiendront de
nouveaux termes provenant de la différentiation de $B$, et qui seront
tous multipliés par des puissances de $\psi$. Donc, quand on fera $\psi = 0$,
ces termes disparaîtront et les équations se réduiront encore à leurs
premiers termes.

Enfin, quand $A$ est aussi une fonction de $x$ et $y$, au lieu des
simples termes $Ad\phi$, $Ad^2\phi$, $Ad^3\phi$,\dots\ auxquels se réduisent les premiers
membres des équations différentielles de la seconde courbe,
nous aurons
\begin{align*}
&Ad\phi\phantom{^2} + \phi dA = 0,\\
&Ad^2\phi + 2dA\ldot d\phi +\phi d^2A = 0,\\
&Ad^3\phi + 3dAd^2\phi + 3d\phi d^2A + \phi d^3A=0,\\
&\multispan{1}{\leaderfill}
\end{align*}
Mais comme on a $\phi = 0$, la première équation se réduit à $d\phi = 0$,
par suite la seconde se réduit à $d^2\phi=0$; puis la troisième à $d^3\phi =0$;
et ainsi des autres. De sorte que dans le cas où $A$ et $B$ sont des fonctions
de $x$ et $y$, les deux équations $\phi= 0$, et $A\phi + B\psi^{m+1} = 0$, représentent
encore deux courbes qui ont un contact de l'ordre $m$ en
chacun des points d'intersection des deux courbes $\phi=0$,  $\psi=0$.

2\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Si les courbes représentées par les deux équations
$\phi=0$ et $\psi=0$, ont un contact de l'ordre de $n$ en certains points,
les équations}
\[
\phi = 0\qtext{\emph{et}}A\phi + B\psi^{m+1} = 0
\]
\emph{représenteront deux courbes qui auront un contact de l'ordre
$(m+1) (n + 1) - 1$ en chacun de ces points}.

En effet, les deux courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$, ayant un contact de
l'ordre $n$, la seconde équation $\psi= 0$, d'après le théorème que nous
venons de démontrer, pourra prendre la forme
\marginpage % *** File: 311.png
\[
A'\phi +B'\pi^{n+1}= 0,
\]
$\pi$ étant une fonction de $x$ et $y$, et $A'$, $B'$ des constantes ou des fonctions
de $x$ et $y$ indifféremment.

L'équation $A\phi +B\psi^{m+1}= 0$, deviendra donc
\[
A\phi +B(A'\phi + B'\pi^{n+1})^{m+1}= 0.
\]
Dans le développement du binome $(B'\pi^{n+1}+A'\phi)$ élevé à la puissance
$(m+1)$, le premier terme sera $B'^{m+1}\ldot \pi^{(n+1)(m+1)}$, et tous les autres contiendront
en facteur la fonction $\phi$ élevée aux puissances 1, 2,\dots, $(m+1)$;
le résultat sera donc de la forme
\[
B'^{m+1}\pi^{(n+1)(m+1)}+a'\phi.
\]
De sorte que l'équation de la seconde courbe est de la forme
\begin{align*}
\multispan{1}{$A\phi +B[a'\phi + B'^{m+1}\pi^{(n+1)(m+1)}]$}&=0,\\
(A+Ba')\phi +B\ldot B'^{m+1}\ldot \pi^{(n+1)(m+1)}&=0,
\end{align*}
ou enfin,
\[
a\phi+b\pi^{(n+1)(m+1)}=0,
\]

Or, d'après le premier théorème, la courbe représentée par cette
équation a un contact de l'ordre $(m+1)(n+1) - 1$, avec la courbe
$\phi = 0$, en chacun des points d'intersection des deux courbes $\phi = 0$ et
$\pi = 0$; mais ces points se trouvent aussi sur la courbe $\psi= 0$, puisque
l'on a $\psi=A'\phi+B'\pi^{n+1}$, ce qui prouve que les coordonnées tirées
des deux équations $\phi= 0$, $\pi = 0$ satisfont à l'équation $\psi = 0$; nous
pouvons donc dire que le contact de l'ordre $(m + 1) (n + 1) - 1$ des
deux courbes proposées a lieu aux points d'intersection des deux
courbes $\phi = 0$ et $\psi = 0$. Ce qu'il fallait démontrer.

Il est facile de vérifier, comme pour le premier théorème, que les\label{err303}
$(m + 1) (n + 1) - 1$ premiers coefficients différentiels des deux
courbes sont égaux un à un; car les équations qui donneront ceux de
la première courbe seront
\[
d\phi = 0,\quad d^2\phi = 0,\quad d^3\phi=0,\ldots d^{(m+1)(n+1)-1}\phi = 0.
\]

\marginpage % *** File: 312.png
Quant à celles qui donneront ceux de la seconde courbe qui a pour
équation $A\phi+B\psi^{m+1} = 0$, si l'on observe que les deux courbes
$\phi= 0$ et $\psi = 0$ ayant un contact de l'ordre $n$ en quelques-uns de leurs
points d'intersection, on a ensemble les équations $\phi= 0$, $d\phi = 0$,
$d^2\phi = 0$,\dots $d^{n+1}\phi= 0$, et $d\psi = 0$, $d^2\psi= 0$,\dots $d^{n+1}\psi = 0$ pour
chacun de ces points, on reconnaît aisément qu'en vertu de ces équations,
celles qui donnent les $(m + 1) (n + 1) - 1$ coefficients différentiels
de la seconde courbe se réduisent précisément à $d\phi= 0$,
$d^2\phi = 0$, $d^3\phi = 0$,\dots $d^{(m+1)(n+1)-1}\phi =0$, comme pour la première
courbe. Ce qui prouve que les deux courbes auront leurs
$(m + 1) (n + 1) - 1$ premiers coefficients différentiels égaux un à un
respectivement.

\emph{Des surfaces courbes.} Deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$
suivant une courbe, quand toute surface menée par un point de
cette courbe les coupe suivant deux courbes qui ont, en ce point, un
contact de l'ordre $m$, c'est-à-dire qui ont $m$ éléments consécutifs
communs. Les deux surfaces auront donc $m$ zones communes, et, par
conséquent, passeront par $(m + 1)$ courbes infiniment voisines entre
lesquelles, deux à deux, sont comprises ces $m$ zones.

L'expression analytique de ces considérations géométriques, c'est
que les coefficients différentiels $\dfrac{dz}{dx}$, $\dfrac{dz}{dy}$, $\dfrac{d^2z}{dx^2}$, $\dfrac{d^2z}{dy^2}$,
$\dfrac{d^2z}{dxdy}$,
jusques et y compris ceux de l'ordre $m$, de la première surface, soient
égaux respectivement à ceux de la seconde, pour chaque point de la
courbe de contact.

Cherchons quelle doit être la forme des équations des deux surfaces.
Si de l'équation de la première on tire la valeur de l'abscisse $x$, et
qu'on la mette dans celle de la seconde, on aura une équation en $y$
et $z$ qui donnera les projections des courbes d'intersection des deux
surfaces, et qui pourra se décomposer en autant de facteurs qu'il y a
de ces courbes distinctes. Or, les deux surfaces passant par $(m+1)$
courbes infiniment voisines qui, dans la réalité, se confondent, il
devra y avoir $(m + 1)$ facteurs égaux qui représenteront ces $(m + 1)$
courbes; l'équation en $y$, $z$ sera donc de la forme
\[
f(y,z)\ldot  [F(y, z)]^{m+1} =0.
\]
\marginpage % *** File: 313.png
L'équation $F (y, z) = 0$ représente la projection de la courbe, ou
des courbes suivant lesquelles les deux surfaces ont un contact de
l'ordre $m$, et l'équation $f (y, z) = 0$ correspond aux autres courbes
d'intersection des deux surfaces.

D'après cela, l'équation de la première surface étant
\[
\phi(x,y,z)=0,
\]
celle de la seconde sera de la forme
\[
A\phi(x,y,z)+ B[\psi(x,y,z)]^{m+1}=0;
\]
$A$ et $B$ pouvant être des fonctions de $x$, $y$ et $z$, ou simplement des
constantes. Et les équations de la courbe de contact seront
\[
\phi(x,y,z)=0\qtext{et}\psi(x,y,z)=0.
\]

Ainsi nous poserons ce théorème:

3\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Les deux équations}
\[
\phi=0,\qtext{\emph{et}}A\phi + B\psi^{m+1}=0,
\]
\emph{où $A$, $B$, $\phi$ et $\psi$ sont des fonctions de $x$, $y$, $z$, représentent deux surfaces
qui ont un contact de l'ordre $m$ suivant toute l'étendue de la
courbe d'intersection des deux surfaces $\phi=0$ et $\psi=0$.}

Et réciproquement, \emph{deux surfaces qui ont un contact de l'ordre m
suivant une courbe, peuvent être représentées par ces deux équations}.

Il serait facile de vérifier, comme nous l'avons fait pour les courbes,
que les deux équations
\[
\phi=0,\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1}=0,
\]
satisfont à la condition que les coefficients différentiels
\[
\label{err313}\frac{dz}{dx},\ \frac{dz}{dy},\ \frac{d^2z}{dx^2}\text,\ \frac{d^2z}{dxdy}\text,\
\frac{d^2z}{dy^2}, \ldots \frac{d^mz}{dx^m},\ \frac{d^mz}{dx^{m-1}dy}, \ldots\frac{d^mz}{dy^m},
\]
tirés de la première, sont égaux respectivement à ceux tirés de la
seconde, pour tous les points qui satisfont aux deux équations
$\phi=0$ et $\psi=0$.

\marginpage % *** File: 314.png
4\ieme\ \textsc{Théorème}. \emph{Lorsque deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$
suivant une courbe, toute surface qui aura avec cette courbe, en un
point, un contact de l'ordre $n$, coupera les deux surfaces suivant
deux courbes qui auront en ce point un contact de l'ordre
$(m + 1)(n + 1) - 1$.}

La démonstration de ce théorème se déduit facilement de ce qui
précède.

En effet, les deux surfaces peuvent être représentées par les deux
équations
\[
\phi=0\qtext{et}A\phi +A\psi^{m+1}=0;
\]
leur contact a lieu suivant la courbe dont les équations sont $\phi=0$
et $\psi=0$.

Soit $F (x, y, z) = 0$ l'équation de la surface coupante; si l'on en
tire la valeur de $x$ et qu'on la mette dans les équations des deux
surfaces proposées, on aura les équations des projections sur le plan
des $yz$, des courbes d'intersection de ces deux surfaces par la surface
coupante; ces équations seront de la forme
\[
\phi_1 = 0,\qtext{et}A_1\phi_1 + B_1\psi_1^{m+1} = 0,
\]
où $\phi_1$, $\psi_1$, $A_1$ et $B_1$ sont des fonctions de $y$ et $z$.

Or les équations $\phi_1 = 0$ et $\psi_1 = 0$ sont celles des projections
des sections des deux surfaces $\phi = 0$ et $\psi = 0$ par la surface
coupante; et ces projections doivent avoir entre elles un contact
de l'ordre $n$ en un point, car les deux sections dont elles sont les projections
ont elles-mêmes un contact de l'ordre $n$ en un point de la
courbe d'intersection des deux surfaces $\phi = 0$, $\psi = 0$, puisque la surface
coupante a en ce point un contact de l'ordre $n$ avec cette courbe.
Donc, d'après le deuxième théorème, les deux courbes
\[
\phi_1 = 0\qtext{et}A_1\phi_1 +B_1\psi_1^{m+1} = 0
\]
ont un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1) - 1$.

Ainsi les sections que la surface coupante fait dans les deux surfaces
se projettent sur un plan quelconque suivant deux courbes qui ont un
\marginpage % *** File: 315.png
contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$; donc ces deux sections ont
elles-mêmes un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$. C.~Q.~F.~D.

Ce beau théorème est dû à M.~Ch.\ Dupin qui l'a démontré par la
théorie générale des fonctions analytiques, dans ses \emph{Développements
de Géométrie}, p.~231.

On conclut de ce théorème, que\par\vspace{\baselineskip}

\emph{Quand deux surfaces ont un contact de l'ordre $m$ suivant une
courbe, toute ligne qui est tracée sur l'une d'elles et qui a avec cette
courbe un contact de l'ordre $n$, a un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$
avec la seconde surface.}\par\vspace{\baselineskip}

En effet, si par cette ligne on fait passer une surface quelconque,
elle aura un contact de l'ordre $n$ avec la courbe de contact des deux
surfaces; conséquemment elle coupera ces deux surfaces suivant deux
courbes qui auront un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$. La
première de ces courbes sera la ligne tracée arbitrairement sur la surface;
elle aura donc un contact de l'ordre $(m + 1)(n + 1)- 1$ avec
la seconde surface, puisqu'elle a un contact de cet ordre avec une ligne
tracée sur cette surface.

Ainsi, quand un cône est circonscrit à une surface quelconque,
toute courbe tracée sur cette surface, qui a un contact de l'ordre $n$
avec la ligne de contact de cette surface et du cône, aura un contact
de l'ordre $2n+1$ avec le cône.

Si donc, par cette courbe, on fait passer un cône qui ait le même
sommet que le cône circonscrit à la surface, ces deux cônes auront,
suivant leur arête commune, un contact de l'ordre $2n+1$; et toute
surface les coupera suivant deux courbes qui auront un contact
du même ordre. C'est ce qu'on peut exprimer par le théorème suivant:\par\vspace{\baselineskip}

\emph{Lorsqu'on fait la perspective d'une surface, si une courbe tracée sur
elle a un contact de l'ordre $n$ avec son contour apparent, cette courbe
et ce contour auront, en perspective, un contact de l'ordre $2n+1$.}\par\vspace{\baselineskip}

Supposons que les deux surfaces
\[
\phi = 0\qtext{et}A\phi + B\psi^{m+1} = 0,
\]
\marginpage % *** File: 316.png
qui ont un contact de l'ordre $m$ suivant la courbe représentée par
$\phi = 0$ et $\psi = 0$, soient toutes deux du second degré; la première
équation $\phi = 0$ sera du second degré; et il faudra, pour que la seconde
$A\phi+B\psi^{m+1} = 0$ soit aussi du second degré, que $A$ et $B$ soient
des constantes, et $\psi$ une fonction linéaire de $x$, $y$ et $z$; c'est-à-dire
que $\psi = 0$ représente un plan; alors l'équation de la seconde surface
sera
\[
\phi +a\psi^2=0.
\]
Ce qui prouve d'abord que \emph{deux surfaces du second degré ne peuvent
avoir qu'un contact du premier ordre suivant toute l'étendue
d'une courbe}, et ensuite que \emph{cette courbe est nécessairement plane}.

Une troisième surface qui serait pareillement circonscrite à la première,
aurait pour équation
\[
\phi + b\pi^2 = 0,
\]
$\pi = 0$ étant l'équation du plan de la courbe de contact.

La courbe d'intersection de ces deux surfaces circonscrites à la première,
se trouve sur la surface qui a pour équation
\[
a\psi^2 - b\pi^2 = 0.
\]

Il peut se présenter deux cas, celui où les coefficients $a$ et $b$ sont
de même signe, et celui où ils sont de signes différents.

Dans le premier cas, l'équation ci-dessus prend la forme
\[
\left(\sqrt{a}\ldot\psi + \sqrt{b}\ldot\pi\right)\left(\sqrt{a}\ldot\psi - \sqrt{b}\ldot\pi\right)=0,
\]
et donne les deux suivantes qui ont lieu séparément,
\begin{align*}
\sqrt{a}\ldot\psi + \sqrt{b}\ldot\pi &=0,\\
\sqrt{a}\ldot\psi - \sqrt{b}\ldot\pi &=0.
\end{align*}
Ces équations représentent deux plans, sur lesquels se trouve l'intersection
complète des deux surfaces. Ces plans passent par la droite
d'intersection des plans des courbes de contact des deux surfaces avec
la première. Car leurs équations sont satisfaites par les deux $\psi = 0$,
\marginpage % *** File: 317.png
$\pi=0$ qui sont celles de ces plans des courbes de contact.

Ainsi, dans ce premier cas, si les deux surfaces circonscrites à la
première se coupent, leur intersection se compose de deux courbes
planes, c'est-à-dire de deux sections coniques, dont les plans passant
par la droite d'intersection des plans de leurs courbes de contact avec la
première surface.

Nous disons \emph{si les deux surfaces se coupent}, car l'existence des
deux plans que nous venons de trouver n'entraîne point nécessairement
la réalité de l'intersection des deux surfaces. Ces deux plans représentent
seulement une surface du deuxième degré qui satisfait aux
conditions analytiques de passer par l'intersection complète des deux
surfaces, soit que cette intersection soit réelle ou imaginaire. Ainsi
les deux surfaces peuvent ne pas se couper quoique les deux plans
existent.

Il faut observer que quand elles se coupent, leur intersection peut
se réduire à une seule courbe plane; l'autre devenant imaginaire.

Maintenant examinons le cas où les deux coefficients $a$, $b$ sont de
signes différents. Alors l'équation
\[
a\psi^2 - b\pi^2 = 0
\]
ne peut être satisfaite que par les deux suivantes prises simultanément.
\[
\psi = 0,\quad \pi = 0,
\]

Ces deux équations représentent une ligne droite qui est l'intersection
des plans des deux courbes de contact. L'intersection des deux
surfaces est donc tout entière sur cette ligne droite; ce qui prouve
que cette intersection se réduit à deux points qui sont ceux où la
droite rencontre la surface à laquelle elles sont circonscrites.

Cette ligne droite représente une surface du second degré dont deux
des trois axes principaux sont nuls, et qui satisfait à la condition algébrique
de passer par l'intersection complète des deux surfaces circonscrites
à la première.

Concevons, par exemple, une surface quelconque du second degré
$S$, et deux courbes planes tracées sur elle et se coupant en deux points
\marginpage % *** File: 318.png
$a$, $b$. Que l'une de ces deux courbes soit une ellipse, et qu'on la
prenne pour la courbe de contact d'un ellipsoïde $A$ \emph{inscrit} dans la surface
$S$; et que suivant la seconde courbe on \emph{circonscrive} à la même
surface $S$ une autre surface $B$, ellipsoïde ou hyperboloïde. Cette surface
$B$ et l'ellipsoïde $A$ n'auront évidemment d'autres points communs
que les deux points $a$, $b$ où se coupent leurs lignes de contact avec la
première surface $S$. Et dans ce cas les deux plans que nous avons
trouvés précédemment ne peuvent exister; car s'ils existaient ils passeraient
par la droite $ab$, et conséquemment chacun d'eux couperait
les deux surfaces suivant deux courbes différentes, \label{err318}ce qui n'est pas
possible, puisqu'ils doivent faire la même section dans les deux
surfaces.

Ainsi, dans le cas que nous considérons, la ligne droite $ab$ représente
une des surfaces du second degré, en nombre infini, qu'on peut
faire passer par l'intersection complète des deux surfaces $A$, $B$; et aucune
de ces surfaces ne peut plus être, comme dans le cas précédent,
l'ensemble de deux plans.

Observons que la droite $ab$, qui est l'intersection des plans de contact
des deux surfaces $A$, $B$ avec la surface $S$, peut ne pas rencontrer
cette dernière; alors les deux points $a$, $b$, sont imaginaires; et
l'intersection des deux surfaces $A$, $B$ est entièrement imaginaire.

Des considérations précédentes, nous conclurons ce théorème:\par\vspace{\baselineskip}

\emph{Quand deux surfaces du second degré sont inscrites ou circonscrites
à une même surface du même degré, leur intersection complète
est l'ensemble de deux courbes planes, ou bien se réduit à deux
points;}

\emph{Dans le premier cas, une des deux courbes, ou toutes les deux,
peuvent être imaginaires, quoique leurs plans sont tous deux réels;}

\emph{Dans le second cas, les deux points sont tous deux réels ou tous deux
imaginaires.}\par\vspace{\baselineskip}

La première partie de ce théorème est due à Mouge qui l'a énoncée
ainsi: \emph{Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites
à une même troisième surface du second degré, elles se coupent}
\marginpage % *** File: 319.png
\emph{toujours dans le système de deux courbes planes du second degré}\footnote{%
\emph{Correspondance de l'École Polytechnique}, t.~II, p.~321, et t.~III, p.~299.}.
Depuis on l'a reproduite sous le même énoncé, en remarquant seulement
que les deux courbes peuvent être imaginaires, bien que les
deux plans soient réels. Mais on voit par la discussion dans laquelle
nous venons d'entrer, que cette restriction ne suffit pas pour donner
au théorème un énoncé complet et rigoureusement exact. Il
aurait fallu ajouter encore, pour conserver l'énoncé de Monge, que
les deux plans peuvent aussi devenir imaginaires, comme les deux
courbes elles-mêmes, et n'avoir de réel que leur droite d'intersection,
qui alors représente, à elle seule, une surface satisfaisant aux conditions
analytiques de passer par l'intersection complète des deux proposées.

\jmpafin

% *** File: 320.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Relative à un passage de la \emph{Mécanique céleste;}}
{Par M.~POISSON.}{}
\label{art28}\Droit

Dans le \no 26 du III\ieme\ livre, l'auteur s'est proposé de démontrer,
sans recourir à la réduction en série, qu'un fluide homogène, tournant
uniformément autour d'un axe fixe, n'a qu'une seule figure d'équilibre,
très peu différente de la sphère. L'objection que M.~Liouville
a faite contre la généralité de cette démonstration est réelle\footnote{%
\emph{Voyez} le cahier de ce journal du mois de juin dernier.
};
mais la démonstration générale qu'il a substituée à celle de la \emph{Mécanique
céleste} est fort compliquée, et l'on parvient plus simplement au
résultat par les considérations suivantes, qui diffèrent moins de celles
que Laplace avait employées.

Je conserve, sans les rappeler ici, toutes les notations du mémoire
de M.~Liouville, et l'équation (A) citée au commencement de l'article
second, savoir:
\begin{gather*}
C=\frac{4\pi \alpha}{3} Y-\alpha\int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y' \sin pdpdq - \tfrac{1}{2}g(1-\mu^2).\tag{A}
\end{gather*}
Le rayon vecteur $r$ d'un point quelconque de la surface, est représenté
par
\[
r=a(1+\alpha Y).
\]
L'inconnue $Y$ peut être une fonction quelconque de deux variables
désignées par $\mu$ et $\varpi$, pourvu qu'elle conserve toujours une valeur
finie. On ne suppose pas que la surface soit de révolution, ou que $Y$
\marginpage % *** File: 321.png
ne dépende pas de l'angle $\varpi$; on ne suppose pas non plus que le
fluide ait son centre de gravité sur l'axe de rotation; on suppose seulement
sa figure très peu différente d'une sphère qui aurait son centre
sur cet axe. La constante $a$ peut différer du rayon de la sphère équivalente
au volume du fluide, pourvu que la différence soit de l'ordre
de petitesse de la fraction $\alpha$, le même que celui de la fraction $g$, et dont
on néglige le carré.

La condition rigoureuse de l'équilibre consiste en ce que la somme
des éléments du fluide divisés par leurs distances respectives a un
point quelconque de la surface, plus la quantité $\frac{1}{2}g(1 -\mu^2)$ qui provient
de la force centrifuge de ce point, soit une constante. La partie
de cette constante relative à la sphère du rayon $a$ et indépendante
de la force centrifuge, est égale à $\dfrac{4\pi a^2}{3}$; la partie relative à cette force
et à la non-sphéricité du fluide, est la constante $C$ de l'équation précédente,
prise avec un signe contraire; en désignant par $\gamma$ sa valeur
complète, on a donc
\[
\gamma=\frac{4\pi a^2}{3}-a^2C.
\]
Or, pour chaque figure possible d'équilibre, cette constante $\gamma$ est évidemment
une quantité déterminée qui ne peut pas dépendre du rayon
que l'on prend pour $a$, c'est-à-dire, de la différence entre ce
rayon et celui de la sphère équivalente au volume donné du fluide;
la constante $C$ est donc indéterminée comme cette différence; de telle
sorte que pour chaque valeur que l'on peut prendre pour $a$, l'équation
précédente déterminera la valeur correspondante de $C$, et que, réciproquement,
si l'on prend à volonté pour $C$ une valeur qui soit de
l'ordre de petitesse de $\alpha$, cette équation déterminera le rayon $a$.

Cela posé, faisons
\[
Y = l\mu + m\mu^2 + X;
\]
$l$ et $m$ étant des constantes indéterminées, et $X$ une nouvelle inconnue,
fonction de $\mu$ et $\varpi$, dont toutes les valeurs sont des quantités
finies. Soit $c$ la plus grande de ces valeurs; en faisant
\[
c - X = Z,
\]
\marginpage % *** File: 322.png
l'inconnue $Z$ ne pourra plus avoir que des valeurs positives, et l'expression
de $Y$ deviendra
\[
Y = c + l\mu + m\mu^2 - Z.
\]
Je la substitue dans l'équation (A). Ce que devient $\mu$ dans $Y'$ étant désigné
par $\mu'$, on a
\[
\mu' = \mu \cos^2 p - \sin^2 p \cos q;
\]
d'où il résulte
\[
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \mu' \sin pdpdq = \frac{4\pi}{3}\mu,\quad
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \mu'^2 \sin pdpdq = \frac{4\pi}{5}(\mu^2+\tfrac{4}{3});
\]
et comme on a aussi
\[
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin pdpdq = 4\pi,
\]
le résultat de cette substitution, sera
\begin{align*}
C &= \Big(\frac{8\pi\alpha}{15} m + \tfrac{1}{2} g\Big)\mu^2 - \frac{16\pi\alpha}{15} m - \frac{8\pi\alpha}{3} c - \tfrac{1}{2} g\\
&- \frac{4\pi\alpha}{3} Z + \alpha \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Z'\sin pdpdq;
\end{align*}
$Z'$ étant ce que devient $Z$ dans $Y'$. Or, les constantes $m$ et $C$ pouvant
être prises arbitrairement, on peut supposer qu'on ait
\[
\frac{8\pi\alpha}{15} m + \tfrac{1}{2} g = 0,\quad  C = - \frac{16\pi\alpha}{15} m - \frac{8\pi\alpha}{3} c - \tfrac{1}{2} g;
\]
ce qui réduit l'équation précédente à celle-ci:
\[
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} Z'\sin pdpdq - \frac{4\pi}{3} Z = 0,
\]
que l'on peut écrire sous cette forme:
\[
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} (Z' - \tfrac{1}{3} Z) \sin p dp dq =0.
\]

Maintenant, j'appelle $h$ et $k$ les valeurs de $\mu$ et $\varpi$ qui répondent à
la plus petite des valeurs possibles de $Z$, et je désigne par $L$ cette plus
petite valeur; pour $\mu = h$ et $\varpi = k$, la dernière équation deviendra
donc
\[
\int_0^\pi \int_0^{2\pi} (Z' - \tfrac{1}{3} L) \sin p dp dq =0;
\]
\marginpage % *** File: 323.png
mais il est évident que $Z'$ ou $Z$ étant, par hypothèse, une quantité positive
ou zéro, la différence $Z' - \frac{1}{3} L$ est aussi positive ou nulle;
tous les éléments de l'intégrale double ayant donc le même signe,
elle ne peut être nulle qu'autant que le facteur $Z'-\frac{1}{3}L$ sera zéro;
condition qui ne peut être remplie qu'autant que $Z'$ ou $Z$ sera aussi
constamment zéro. D'ailleurs, on tire des équations précédentes
\[
m = - \frac{15g}{16\pi\alpha},\quad c = \frac{3g}{16\pi\alpha} - \frac{3}{8\pi\alpha}C;
\]
en substituant donc ces valeurs de $m$ et $c$ dans l'expression de $Y$, supprimant
le terme $Z$, et mettant ensuite cette expression dans celle
de $r$, nous aurons
\[
r = a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi} + \alpha l\mu - \frac{15g}{16\pi} \mu^2\Big].
\]

Ce résultat renferme la constante indéterminée $\alpha l$ qui tient à l'origine,
aussi indéterminée, des coordonnées sur l'axe de rotation. On
la fera aisément disparaître par un déplacement convenable de cette
origine sur cette droite, ou si l'on veut, on peut tout de suite la
supposer nulle, et écrire
\[
r = a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi} - \frac{15g}{16\pi} \mu^2\Big].
\]

On fera aussi disparaître, sans difficulté, les constantes $a$ et $C$ que
renferme cette valeur de $r$. En effet, soit
\begin{gather*}
a\Big[1 + \frac{3(g-2C)}{16\pi}\Big] = b\Big(1 + \frac{5g}{16\pi}\Big); \tag{\emph{a}}
\end{gather*}
en négligeant les carrés et le produit de $g$ et $C$, et faisant, pour
abréger,
\[
\frac{15g}{16\pi} = n,
\]
il en résultera finalement
\[
r = b[1 + n(\tfrac{1}{3} - \mu^2)].
\]
Or, il est facile de s'assurer, d'après cette expression de $r$, que $b$ est
\marginpage % *** File: 324.png
le rayon donné de la sphère équivalente au volume du fluide; cette
expression ne contient donc plus rien d'inconnu ou d'indéterminé;
et l'on en conclut que le fluide n'a qu'une seule figure possible d'équilibre,
qui s'écarte très peu de la sphère; ce qu'il s'agissait de prouver.

Cette démonstration est plus simple que celle qui est fondée sur
la réduction de $r$ en série d'une certaine forme, et qui suppose connues
les propriétés des termes de ce développement, ainsi que la généralité
de cette forme de série, que l'on avait contestée, mais que j'ai
mise hors de doute dans mon mémoire sur l'\emph{attraction des sphéroïdes}\footnote{%
\emph{Additions à la Connaissance des Temps} année 1829.}.

Si l'on met
\[
a = b,\quad  \alpha Y = n ( \tfrac{1}{3} - \mu^2 ),
\]
dans l'expression $a(1 + \alpha Y)$ de $r$, ce qui l'a fait coïncider avec la
valeur finale de ce rayon vecteur; que l'on désigne par $B$, la valeur
de la constante $C$ qui répond à ces valeurs de $a$ et de $\alpha Y$; et que
l'on ait égard à ce que $n$ représente, on trouvera sans difficulté que
l'équation (A) se réduit à
\[
B = - \tfrac13 g.
\]
On aura, en même temps,
\[
\gamma = \frac{4\pi b^2}{3} + \tfrac13 g b^2;
\]
et comme, d'après ce qu'on a dit plus haut, cette quantité $\gamma$ doit être
la même, quel que soit le rayon peu différent de $b$ que l'on prenne
pour $a$, il faudra qu'on ait
\[
\frac{4b^2}3 + \tfrac13 gb^2 = \frac{4\pi a^2}3 - a^2 C;
\]
résultat qui coïncide, en effet, avec l'équation (\emph{a}), en négligeant
toujours les carrés et le produit de $g$ et de $C$.

\jmpafin

% *** File: 325.png

\jmpapaper{REMARQUES}{}
{Sur l'intégration des équations différentielles de la
Dynamique;}
{Par M.~POISSON.}{}
\label{art29}

En combinant le principe de d'Alembert avec celui des \emph{vitesses
virtuelles}, Lagrange est parvenu à une formule générale d'où il a
déduit, sous la forme la plus simple, les équations différentielles du
mouvement d'un système quelconque de points matériels. Certains
coefficients qu'il introduit dans ces équations font connaître, en
grandeur et en direction, les forces \emph{intérieures} qui naissent de la
liaison mutuelle des points du système, exprimée par des équations
données entre leurs coordonnées. La considération de la surface sur
laquelle chaque mobile doit demeurer, en vertu de chacune de ces
équations, détermine seulement la direction de la force correspondante
à cette équation, et qui doit être normale à cette surface. Les
intensités des forces intérieures ne seraient donc pas connues d'après
cette seule considération; mais le principe de d'Alembert montre
qu'elles sont dues aux \emph{forces perdues} à chaque instant, et les mêmes,
d'ailleurs, dans l'état de mouvement que dans l'état d'équilibre; en
sorte qu'on doit les déterminer au moyen du principe des vitesses
virtuelles, appliqué à ces dernières forces. La combinaison de ces
deux principes, dont Lagrange a fait la base de la \emph{Mécanique analytique},
était donc nécessaire pour la détermination complète des forces
intérieures. Quant aux \emph{forces extérieures}, appliquées aux mobiles,
elles proviennent, dans la nature, d'attractions ou de répulsions qui
émanent de points fixes ou mobiles, et sont alors données par hypothèse;
\marginpage % *** File: 326.png
ou bien elles résultent, comme dans les fluides et les corps
élastiques, d'actions moléculaires qui ne s'étendent qu'à des distances
insensibles; et c'est, dans ce dernier cas, un problème appartenant à
la \emph{Mécanique physique}, de déterminer leurs résultantes. Quelle que
soit l'origine des forces extérieures, si on les suppose données, le
problème de la Dynamique est aujourd'hui complétement résolu, en
ce sens qu'il est réduit à une question de pure analyse, c'est-à-dire à
l'intégration d'un système d'équations différentielles du second ordre.
Mais presque toujours on est obligé de recourir à des méthodes d'approximation
très compliquées, pour effectuer cette intégration; et il
est singulier que dans les questions qui paraissent très simples,
dans le cas, par exemple, du mouvement de trois points qui s'attirent
mutuellement, on ne connaisse pas d'autres intégrales exactes
de ces équations, que celles qui sont communes à tous les problèmes,
et qui sont fournies par les principes généraux du mouvement du
centre de gravité, des aires, des forces vives. Cependant la forme remarquable
des équations différentielles de la Dynamique, semblerait
devoir donner quelque facilité pour leur intégration. Un examen approfondi
de ce point d'analyse est l'objet des réflexions suivantes. Elles
m'ont été suggérées par la lecture d'un mémoire fort intéressant que
M.~Hamilton, astronome royal de Dublin, a inséré dans les \emph{Transactions
philosophiques} de Londres\footnote{%
Année 1834, seconde partie.},
et qui a pour titre: \emph{On a
general Method in Dynamics.}

\mysection{I.}

Considérons un système de points matériels en mouvement, dont
les masses seront représentées par $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., et qui pourront
être entièrement libres, ou liés entre eux d'une manière quelconque.
Au bout d'un temps $t$, écoulé depuis que le mouvement a commencé,
soient $x$, $y$, $z$, les trois coordonnées rectangulaires de $m$, et $x'$, $y'$,
$z'$, les composantes de sa vitesse suivant leurs directions, de sorte
qu'on ait
\[
\frac{dx}{dt}=x',\quad \frac{dy}{dt} = y',\quad \frac{dz}{dt} = z'.
\]
\marginpage % *** File: 327.png
Désignons aussi par les mêmes lettres avec des accents inférieurs, les
coordonnées et les vitesses des autres points $m\subprime$, $m\subdprime$, etc. Représentons
par $U$ une fonction donnée de toutes ces coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc.,
qui pourra, en outre, renfermer $t$ explicitement; et supposons que
les composantes de la force motrice de $m$ soient exprimées par les
différences partielles $\dfrac{dU}{dx}$, $\dfrac{dU}{dy}$, $\dfrac{dU}{dz}$; celles de la force motrice de $m\subprime$,
par $\dfrac{dU}{dx}$, $\dfrac{dU}{dy}$, $\dfrac{dU}{dz}$; etc. Enfin soient
\begin{gather*}
L = 0,\quad M = 0,\quad N = 0,\quad \text{etc.,}\quad \tag{$a$}
\end{gather*}
les équations qui expriment la liaison des points du système, s'ils ne
sont pas entièrement libres, et dans lesquelles $L$, $M$, $N$, etc., sont des
fonctions données de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., qui contiendront le temps $t$
explicitement, lorsque cette liaison variera pendant la durée du mouvement.

Les trois équations différentielles du mouvement de $m$ seront,
comme on sait,
\begin{gather*}
\left.
\begin{aligned}
m\frac{d^2x}{dt^2}&=\frac{dU}{dx}+\lambda\frac{dL}{dx}+\mu\frac{dM}{dx}+\nu\frac{dN}{dx}+\etc,\\
m\frac{d^2y}{dt^2}&=\frac{dU}{dy}+\lambda\frac{dL}{dy}+\mu\frac{dM}{dy}+\nu\frac{dN}{dy}+\etc,\\
m\frac{d^2z}{dt^2}&=\frac{dU}{dz}+\lambda\frac{dL}{dz}+\mu\frac{dM}{dz}+\nu\frac{dN}{dz}+\etc;
\end{aligned}
\right\}\tag{$m$}
\end{gather*}
celles du mouvement de $m\subprime$ seront de même
\begin{gather*}
\left.
\begin{alignedat}{5}
m\subprime \frac{d^2x\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dx\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dx\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dx\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dx\subprime}&&+\etc,\\
m\subprime \frac{d^2y\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dy\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dy\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dy\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dy\subprime}&&+\etc,\\
m\subprime \frac{d^2z\subprime}{dt^2}&=\frac{dU}{dz\subprime}&&+\lambda\frac{dL}{dz\subprime}&&+\mu\frac{dM}{dz\subprime}&&+\nu\frac{dN}{dz\subprime}&&+\etc;\\
\end{alignedat}
\right\}
\tag{$m\subprime$}
\end{gather*}
et ainsi pour les autres mobiles.

Les coefficients $\lambda$, $\mu$, $\nu$, etc., sont des inconnues dont le nombre
est égal à celui des équations ($a$), et d'où dépendent les actions mutuelles
des points du système, résultantes de leur liaison exprimée
par ces équations. En les éliminant entre les équations ($m$), ($m\subprime$),
\marginpage % *** File: 328.png
($m\subdprime$), etc., on réduira celles-ci à un nombre $n$ qui sera l'excès du nombre
des coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., des mobiles sur celui des équations (\emph{a}).
En même temps, ces coordonnées, s'exprimeront, au moyen
des équations (\emph{a}), en fonctions d'un pareil nombre $n$ d'autres inconnues
que je représenterai par $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc. Après avoir ainsi substitué ces
fonctions à la place de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., dans les équations qui proviennent
de l'élimination de $\lambda$, $\mu$, $\nu$, etc., il en résultera un système
de $n$ équations différentielles du second ordre, que j'appellerai ($n$).
Le problème sera réduit à l'intégration de ces $n$ équations simultanées.
Leurs intégrales complètes feront connaître les valeurs de $\phi$, $\psi$, $\theta$,
etc., en fonctions de $t$ et de $2n$ constantes arbitraires que je désignerai
par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. Les coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., et par suite, les
vitesses $x'$, $y'$, $z'$, $x'\subprime$, etc., seront donc aussi des fonctions de $t$, $\alpha$, $\beta$,
$\gamma$, etc; et si l'on représente par $a$, $b$, $c$, etc., $a'$, $b'$, $c'$, etc., les valeurs
initiales de ces coordonnées et de ces vitesses, ces constantes
seront des fonctions de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., qui se déduiront de $x$, $y$, $z$,
$x\subprime$, etc., $x'$, $y'$, $z'$, $x'\subprime$, etc., en y faisant $t = 0$.

\mysection{II.}

Je désigne actuellement par chacune des caractéristiques $\delta$ et $\Delta$,
la variation infiniment petite d'une fonction quelconque de  $t$, $\alpha$, $\beta$,
$\gamma$, etc., prise par rapport à une partie ou à la totalité des quantités
arbitraires  $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., tandis que la différentielle de cette fonction
par rapport à $t$, sera toujours indiquée par la caractéristique $d$. En
indiquant aussi, suivant l'usage, par la caractéristique $\sum$, une somme
étendue à tous les mobiles $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., et faisant
\begin{gather*}
\sum m[(\Delta x\delta x'-\Delta x'\delta x)+(\Delta y\delta y'-\Delta y'\delta y)+(\Delta z\delta z'-\Delta z'\delta z)]=\eta;\tag{1}
\end{gather*}
cette quantité $\eta$, infiniment petite du second ordre, sera constante
par rapport à $t$, ou, autrement dit, on aura $d\eta = 0$, quelle que soit
d'ailleurs la liaison des points $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., exprimée par les équations
(\emph{a}). Pour la démonstration de cette propriété remarquable des
équations générales de la Dynamique, je renverrai à mon second
\marginpage % *** File: 329.png
mémoire sur \emph{la variation des constantes arbitraires}\footnote
{Tome I\ier\ des \emph{Mémoires de l'Académie des Sciences}.},
ou bien
au \emph{Bulletin de la Société Philomathique}\footnote
{Année 1816, page 109.},
où je l'avais donnée
auparavant.

Maintenant, si le temps $t$ n'est pas contenu explicitement dans la
fonction $U$, non plus que dans aucune des équations (\emph{a}), il en sera de
même à l'égard des équations (\emph{n}), qui ne renfermeront que $dt$; parmi
les $2n$ constantes arbitraires $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., de leurs intégrales, il y en
aura donc une qui sera partout ajouté à la variable $t$, de sorte qu'en la
désignant par $\epsilon$, toutes les inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., seront des fonctions
de $t+\epsilon$ et des $2n-1$ autres constantes. Or, si l'on suppose
que la variation $\Delta$ se rapporte à cette seule quantité $\epsilon$, et si l'on fait
$\delta\epsilon = \delta t$, on devra changer $\Delta$ en $d$; en même temps, $\eta$ sera le produit
de $dt$ et de la variation d'une quantité indépendante de $t$, que je
désignerai par $k$; par conséquent, l'équation (1) deviendra
\begin{gather*}
\sum m[(dx\delta x'-dx'\delta x)+(dy\delta y'-dy'\delta y)+(dz\delta z'-dz'\delta z)]=\delta kdt; \tag{2}
\end{gather*}
et je dis, de plus, que cette constante arbitraire $k$ sera celle de l'équation
qui renferme le \emph{principe des forces vives}, lequel a lieu,
comme on sait, dans le cas dont il s'agit.

En effet, les quantités $L$, $M$, $N$, etc.,
ne contenant pas le temps $t$
explicitement, on a
\begin{alignat*}{6}
&dL&&=\frac{dL}{dx}dx&&+\frac{dL}{dy}dy&&+\frac{dL}{dz}dz&&+\frac{dL}{dx\subprime }dx\subprime   &&\etc,\\
&dM&&=\frac{dM}{dx}dx&&+\frac{dM}{dy}dy&&+\frac{dM}{dz}dz&&+\frac{dM}{dx\subprime }dx\subprime \ &&\etc,\\
&dN&&=\frac{dN}{dx}dx&&+\frac{dN}{dy}dy&&+\frac{dN}{dz}dz&&+\frac{dN}{dx\subprime }dx\subprime   &&\etc,\\
&\multispan{3}{\etc,\hfill}
\end{alignat*}
parce que les équations (\emph{a}) ont lieu pour toutes les valeurs de $t$, on
a aussi
\[
dL = 0,\quad dM = 0,\quad dN = 0,\ \etc;
\]
au moyen de quoi, en ajoutant les équations ($m$), ($m\subprime$), ($m\subdprime$),\ \etc,
\marginpage % *** File: 330.png
après les avoir multipliées respectivement par $dx$, $dy$, $dz$, $dx\subprime$, etc.,
on en déduit
\[
\sum m\Big(\frac{d^2x}{dt^2}dx+\frac{d^2y}{dt^2}dy+\frac{d^2z}{dt^2}{dz}\Big)=dU,
\]
ou bien, en intégrant et désignant par $h$ la constante arbitraire,
\begin{gather*}
\frac{1}{2}\sum m (x'^2+y'^2+z'^2)=U+h;\tag{3}
\end{gather*}
ce qui est l'équation des forces vives. En la différentiant suivant la
caractéristique $\delta$, et multipliant ensuite par $dt$, on aura donc
\begin{gather*}
\sum m(\delta x'dx + \delta y'dy+\delta z'dz)=\delta Udt + \delta hdt.\tag{4}
\end{gather*}
Mais à cause que les valeurs de $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, etc., doivent satisfaire
aux équations (\emph{a}), pour toutes les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., on peut
aussi différentier ces équations suivant $\delta$; ce qui donne
\[
\delta L=0,\quad \delta M=0, \quad \delta N=0,\ \etc
\]
Si donc on ajoute les équations $(m)$, $(m\subprime )$, $(m\subdprime )$, etc., après les avoir
multipliées respectivement par $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$, $\delta x\subprime$, etc., et toutes
par $dt$, il en résultera
\begin{gather*}
\sum m (dx'\delta x+dy'\delta y + dz'\delta z)=\delta Udt \tag{5}
\end{gather*}
\label{err330}en retranchant ces équations (4) et (5) l'une de l'autre, il vient
\[
\sum m [(dx\delta x'-dx'\delta x)+(dy\delta y'-dy'\delta y)+(dz\delta z'-dz'\delta z)]=\delta hdt;
\]
et si l'on compare cette formule à l'équation (2), on en conclut
$\delta k=\delta h$, ce qu'il s'agissait de démontrer.

En vertu de l'équation (3), on aura d'ailleurs
\begin{gather*}
h=\tfrac{1}{2}\sum(a'^2+b'^2+c'^2)-D, \tag{6}
\end{gather*}
en faisant $t = 0$ dans cette équation, et désignant par $D$, ce que $U$
devient pour cette valeur de $t$.
\marginpage % *** File: 331.png

\mysection{III.}

Faisons maintenant
\[
\tint \sum m(x'dx + y'dy + z'dz) = V;
\]
et supposons que cette intégrale relative à $t$, commence à $t=0$, de
manière que $V$ exprime ce que l'on appelle \emph{la quantité d'action} dépensée
par le système des mobiles $m$, $m\subprime$, $m\subdprime$, etc., pour passer de sa
position initiale à celle qu'il occupe au bout du temps $t$. En différentiant
cette intégrale suivant la caractéristique $\delta$, nous aurons, d'après
les règles connues,
\[
\delta V = \tint\sum m(x' d.\delta x + y' d.\delta y +  z' d.\delta
z +dx\delta x' + dy\delta y' + dz\delta z').
\]
Mais, en vertu de l'équation (2) et à cause de $k = h$, on a aussi\label{err331}
\[
\tint\sum m(dx\delta x' + dy\delta y' + dz\delta z'- dx'\delta x -
dy'\delta y - dz'\delta z) = t\delta h;
\]
en retranchant cette équation de la précédente, on aura donc\label{err331b}
\[
\delta V = \tint\sum m(d.x'\delta x + d.y'\delta y + d.z'\delta z)
+ t\delta h;
\]
ou bien, en effectuant l'intégration,
\begin{gather*}
\delta V = \sum m(x'\delta x + y'\delta y + z'\delta z) -
\sum m(a'\delta a + b'\delta b + c'\delta c) + t\delta h, \tag{7} %[**errata]
\end{gather*}
en observant que l'intégrale doit s'évanouir, par hypothèse, avec la
variable $t$, et qu'on a désigné par $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$, les valeurs de $x$,
$y$, $z$, $x'$, $y'$, $z'$, qui répondent à $t = 0$.

Les coordonnées $x$, $y$, $z$, $x\subprime$, étant des fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.,
données par les équations ($a$), on pourra toujours ramener cette équation
(7) à la forme
\begin{gather*}
\delta V = P\delta \phi + Q\delta \psi + R\delta \theta +
\etc -A\delta \alpha - B\delta \beta - C\delta \gamma
- \etc + t\delta h, \tag{8} %[**errata]
\end{gather*}
où l'on désigne par $P$, $Q$, $R$, etc., des fonctions données de $\phi$, $\psi$,
$\theta$, etc., $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc.; par $A$, $B$, $C$ etc., ce que ces fonctions deviennent
\marginpage % *** File: 332.png
pour $t = 0$; et par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., ce que $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., deviennent
également pour $t=0$. Si l'on désigne aussi par $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc.,
les valeurs de $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc., qui répondent à $t=0$, il sera permis
de prendre les $n$ quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., et les $n$ quantités $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc.,
pour les $2n$ constantes arbitraires des intégrales complètes des
équations $(n)$, que nous avions désignées jusqu'ici, d'une manière
générale, par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc.

Observons actuellement que $V$, ainsi que chacune des $n$ quantités
$\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., sera une fonction de $2n + 1$ quantités indépendantes
entre elles, savoir, $t$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc. La quantité $h$ sera
une fonction de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., résultante de la formule
(6). Par conséquent, si l'on conçoit qu'au moyen des valeurs
de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et de celle de $h$, on ait éliminé de l'expression de $V$,
la variable $t$ et les $n$ constantes $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., on pourra considérer $V$
comme une fonction de ces $2n + 1$ autres quantités $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.,
$h$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., et écrire, en conséquence,
\[
V = f(\phi, \psi, \theta, \etc, h, \alpha, \beta, \gamma, \etc),
\]
d'où l'on conclut que si l'on parvient, par un moyen quelconque,
à trouver cette fonction $f$, et qu'on la substitue à la place de $V$ dans
l'équation (8), elle devra rendre cette équation identique par rapport
aux $2n+1$ variations $\delta h$, $\delta\phi$, $\delta\psi$, $\delta\theta$, etc.,
$\delta \alpha$, $\delta\beta$, $\delta\gamma$,  etc.;
de sorte que l'on aura ce système de $2n+1$ équations, savoir:
\begin{gather*}
\left.
\begin{alignedat}{3}
\dfrac{df}{dh}     &= t,\\ %[**errata]
\dfrac{df}{d\phi}  &= P,     &\dfrac{df}{d\psi} &= Q,     & \dfrac{df}{d\theta}&=R,\ \etc,\\
\dfrac{df}{d\alpha}&=-A,\quad&\dfrac{df}{d\beta}&=-B,\quad& \dfrac{df}{d\gamma}&=-C,\ \etc,
\end{alignedat}
\right\}
\tag{9}
\end{gather*}
duquel on déduira par l'élimination des $n$ quantités $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc.,
et de l'une des $2n+1$ constantes arbitraires $h$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$,
$\gamma'$, etc., un autre système de $n$ équations entre $t$, $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et
les $2n$ constantes restantes, qui exprimera les intégrales complètes des
équations $(n)$, ou des équations différentielles du second ordre $(m)$,
\marginpage % *** File: 333.png
$(m\subprime)$, $(m\subdprime)$, etc., réduites au nombre $n$ au moyen des équations ($a$)
données entre $x$, $y$, $z$, $x_1$, etc.

Ainsi, dans tous les cas où le principe des forces vives a lieu, l'intégration
des équations différentielles du mouvement d'un système
de corps liés entre eux comme on voudra, est ramenée à la détermination
de la fonction que nous désignons par $f$. On ne doit pas
confondre cette proposition avec le \emph{principe de la moindre action},
qui n'est qu'une règle, inutile aujourd'hui, pour former les équations
différentielles du mouvement, tandis que la proposition dont il s'agit
maintenant, en fait connaître les intégrales, toutes les fois que l'on
est parvenu à déterminer une certaine quantité $V$, et à mettre sa valeur
sous la forme que nous supposons, c'est-à-dire à l'exprimer en fonction
des inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., de leurs valeurs initiales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc.,
et de la constante $h$ de l'équation des forces vives. Cette méthode
d'intégration est celle que M.~Hamilton a donnée dans le mémoire
cité au commencement de celui-ci, mais pour le cas seulement des
équations $(m)$, $(m\subprime)$, $(m\subdprime)$, etc., ou d'un système de points matériels
entièrement libres. Elle s'étend, comme nous venons de le faire voir,
aux équations $(n)$ relatives au mouvement d'un système quelconque
de corps; mais malgré cette extension, l'usage en serait encore très
borné et à peu près nul, si l'on voulait, comme l'auteur le propose,
la faire servir à trouver toutes les intégrales premières et secondes des
équations du mouvement, et qu'il fallût déterminer \emph{à priori} la fonction
$V$, sans connaître aucune de ces intégrales. Quand on connaîtra
un nombre convenable des intégrales premières, cette méthode
pourra servir à achever l'intégration; et nous en donnerons tout à
l'heure un exemple.

\mysection{IV.}

Pour expliquer la marche qu'il faudra suivre, en général, supposons
d'abord qu'au moyen des équations (\emph{a}), on ait réduit l'intégrale
que $V$ représente à la forme
\[
V=\tint(Xd\phi + Y d\psi + Z d\theta +\etc);
\]
$X$, $Y$, $Z$, etc., étant des fonctions données des $n$ variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.,
\marginpage % *** File: 334.png
et de leurs coefficients différentiels $\dfrac{d\phi}{dt}$, $\dfrac{d\psi}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$, etc., qui seront désignés,
pour plus de simplicité, par $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Soient
\begin{gather*}
G = 0,\quad G' = 0,\quad G'' = 0,\ \etc, \tag{10}
\end{gather*}
les intégrales premières des équations ($n$) que l'on suppose connues,
qui sont distinctes de l'équation des forces vives, et qui ne contiennent
pas non plus le temps t explicitement, de sorte que $G$, $G'$, $G''$, etc., représentent
des fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et d'un
nombre de constantes arbitraires $g$, $g'$, $g''$, etc., égal à celui de ces
équations (10). On pourra aussi représenter l'équation des forces vives,
qu'il faudra joindre à celles-là, par
\begin{gather*}
H = 0; \tag{11}
\end{gather*}
et $H$ sera une fonction de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et de la
constante particulière $h$.

Il suffirait que $n$ fût le nombre de ces équations (10) et (11), pour
qu'on en pût déduire les valeurs de $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., et qu'en substituant
ensuite ces valeurs dans les fonctions $X$, $Y$, $Z$, etc., la formule
contenue sous le signe $\int$ ne renfermât plus que les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., dont elle contient les différentielles. Mais quoique, d'après
la formule (8), la variation de $V$, par rapport à ces $n$ variables, ne
contienne plus $\delta\phi$, $\delta\psi$, $\delta\theta$, etc., sous le signe $\int$, il ne s'ensuit pas
que la formule \label{err334}$Xd\phi+Yd\psi + Zd\theta + \etc$, satisfera toujours aux
conditions d'intégrabilité d'une formule différentielle à $n$ variables
indépendantes, ou qu'elle puisse s'intégrer indépendamment d'aucune
relation entre $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.: si cette formule est intégrable, le signe $\int$
disparaîtra dans la variation de son intégrale; mais l'inverse de
cette proposition n'a pas lieu nécessairement.

En effet, quelles que soient les fonctions de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$,
etc., représentées par $X$, $Y$, $Z$, etc., on aura après l'élimination
de $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc.,\label{err335}
\marginpage % *** File: 335.png
\begin{alignat*}{5}
\delta V &={}&{\textstyle \int}\; (&Xd\ldot\delta\phi  &&+Yd\ldot\delta\psi         &&+Zd\ldot\delta\theta               &&+\etc) \\
&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dX}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dX}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dX}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\phi\\
&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dY}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dY}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dY}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\psi\\
&+{}&\int\!\!\Big(&\frac{dZ}{d\phi}\;\delta \phi&&+\frac{dZ}{d\psi}\;\delta\psi&&+\frac{dZ}{d\theta}\;\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\theta\\
&\multispan{3}{${}+\quad\etc\hfill$}
\end{alignat*}
En intégrant par partie, la première intégrale devient
\begin{align*}
X\delta\phi&+Y\delta\psi +Z\delta z  + \etc \\
&\begin{alignedat}{3}
-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\phi}  \delta \phi&+\frac{dY}{d\phi}  \delta\psi&&+\frac{dZ}{d\phi}  \delta\theta&&+\etc\Big)\;d\phi\\
-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\psi}  \delta \phi&+\frac{dY}{d\psi}  \delta\psi&&+\frac{dZ}{d\psi}  \delta\theta&&+\etc\Big)\;d\psi\\
-\int\!\!\Big(\frac{dX}{d\theta}\delta \phi&+\frac{dY}{d\theta}\delta\psi&&+\frac{dZ}{d\theta}\delta\theta&&+\etc\Big)\;d\theta
\end{alignedat}\\
&-\etc;
\end{align*}
et si l'on suppose, pour fixer les idées, que les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.,
soient seulement au nombre de trois, l'expression de $\delta V$ pourra
s'écrire ainsi
\begin{align*}
\delta V&=X\delta \phi+Y\delta \psi +Z\delta \theta\\
&\begin{alignedat}{2}
+\int\!\Big[\Big(\dfrac{dY}{d\phi}  -\dfrac{dX}{d\psi}\Big)d\psi&+\Big(\dfrac{dZ}{d\phi}  -\dfrac{dX}{d\theta}\Big)d\theta&&\Big]\;\delta \phi\\
+\int\!\Big[\Big(\dfrac{dX}{d\psi}  -\dfrac{dY}{d\phi}\Big)d\phi&+\Big(\dfrac{dZ}{d\psi}  -\dfrac{dY}{d\theta}\Big)d\theta&&\Big]\;\delta \psi\\
+\int\!\Big[\Big(\dfrac{dX}{d\theta}-\dfrac{dZ}{d\phi}\Big)d\phi&+\Big(\dfrac{dY}{d\theta}-\dfrac{dZ}{d\psi}  \Big)d\psi  &&\Big]\;\delta \theta.
\end{alignedat}
\end{align*}
Or, les conditions d'intégrabilité connues de la formule $Xd\phi+Yd\psi
+Zd\theta$, savoir:
\[
\dfrac{dY}{d\phi}=\dfrac{dX}{d\psi},\quad\dfrac{dZ}{d\phi}=\dfrac{dX}{d\theta},\quad\dfrac{dZ}{d\psi}=\dfrac{dY}{d\theta},
\]
font évidemment disparaître les signes $\int$ de l'expression de $\delta V$; mais
pour qu'ils disparaissent, quelles que soient les variations $\delta\phi$, $\delta \psi$, $\delta\theta$,
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il suffit qu'on ait
\begin{alignat*}{3}
&\Big(\frac{dY}{d\phi} - \frac{dX}{d\psi}  \Big)&d\psi   &+  \Big(\frac{dZ}{d\phi}-\frac{dX}{d\theta}\Big)&d\theta &=0,\\
&\Big(\frac{dZ}{d\psi} - \frac{dY}{d\theta}\Big)&d\theta &-  \Big(\frac{dY}{d\phi}-\frac{dX}{d\psi}  \Big)&d\phi   &=0,\\
&\Big(\frac{dZ}{d\phi} - \frac{dX}{d\theta}\Big)&d\phi   &+  \Big(\frac{dZ}{d\psi}-\frac{dY}{d\theta}\Big)&d\psi   &=0;
\end{alignat*}
équations dont la troisième est une suite des deux autres, et qui
peuvent avoir lieu, en vertu de quelque relation particulière entre $\phi$,
$\psi$, $\theta$, sans que les coefficients de $d\phi$, $d\psi$, $d\theta$, soient zéro, c'est-à-dire
sans que les conditions d'intégrabilité précédentes soient satisfaites. Si,
au lieu de trois ou d'un plus grand nombre de variables, il y en a
deux seulement $\phi$ et $\psi$, l'expression de $\delta V$ se réduira à
\[
\delta V  = X\delta\phi + Y\delta \psi + \int\!\!\Big(\frac{dY}{d\phi} - \frac{dX}{d\psi}\Big)(\delta\phi d\psi - \delta\psi d\phi);
\]
et le signe $\int$ n'y pourra disparaître, à moins qu'on n'ait
\[
\frac{dY}{d\theta}=\frac{dX}{d\psi};
\]
mais si cette équation n'est point identique, c'est-à-dire si elle n'a
lieu qu'en vertu d'une relation entre $\phi$ et $\psi$, il ne s'ensuivra pas que
la formule $Xd\phi + Yd\psi$ soit une différentielle à deux variables.

Cela posé, soit $n+i$ le nombre des équations (10) et (11), qui excédera
de $i$ celui des quantités $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Il faudra que $i$ soit moindre
que $n$; car si l'on avait $i = n$, on tirerait des $2n$ équations (10)
et (11), qui ne contiennent pas le temps $t$ explicitement, des valeurs
constantes pour les $n$ inconnues $\phi$, $\psi$, $\theta$, et pour leurs coefficients
différentiels $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc. Désignons par
\begin{gather*}
E = 0,\quad E' = 0,\quad E'' = 0,\ \etc,\tag{12}
\end{gather*}
les équations entre $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., qui résulteront de l'élimination de
$\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., entre ces intégrales (10) et (11), et dont le nombre sera
égal à $i$. Ayant aussi éliminé $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc., de chacune des quantités
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$X$, $Y$, $Z$, etc.; si la formule $Xd\phi + Yd\psi + Zd\theta+ \etc$, satisfait aux
conditions d'intégrabilité, en vertu des équations (12) qui réduiront à
$n - i$ le nombre des variables indépendantes, on effectuera l'intégration
par les règles ordinaires, et il en résultera une valeur de $V$ en fonction
de ces $n - i$ variables et des $n + i$ constantes arbitraires que renferment
les équations (10) et (11). On pourra ensuite, au moyen des équations (12),
réintroduire dans $V$ toutes les variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.,
en en éliminant un nombre égal à $i$ de constantes arbitraires, différentes
de $h$ que nous conserverons. Si l'on observe d'ailleurs que $V$
doit être zéro, par hypothèse, pour $t = 0$, on aura donc finalement
\[
V = F(\phi, \psi, \theta, \etc,\ h, e, e', e'', \etc)-k;
\]
$e$, $e'$, $e''$, etc., étant les $n - 1$ constantes arbitraires que l'on aura conservées
avec $h$, et qui seront une partie des constantes $g$, $g'$,
$g''$, etc., ou plus généralement, des fonctions de celles-ci; $F$ désignant
une fonction connue de $2n$ quantités, dont $n$ variables et
$n$ constantes; et en faisant, pour abréger,
\[
F(\alpha,\beta,\gamma,\etc,\ h,e,e',e'',\etc) = k.
\]

Les $n$ constantes $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., ne peuvent être que des fonctions
des valeurs initiales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., de $\phi$, $\psi$,
$\theta$, etc., $\phi'$, $\psi'$, $\theta'$, etc.; les $n$ variables $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., sont aussi des
fonctions de $t$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc.; en joignant la valeur
de $k$ à celles de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., il en résultera $2n + 1$
équations, entre lesquelles on peut concevoir que l'on ait éliminé $t$,
$\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, etc., pour en déduire ensuite des valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc.,
en fonction de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., $k$, $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc. De cette manière, on
pourra considérer la valeur de $V$, représentée plus haut par la fonction $f$,
comme une fonction de ces $2n + 1$ dernières quantités; elle
devra alors être identique avec celle que l'on vient d'écrire; et en égalant,
de part et d'autre, dans les variations complètes de ces deux
expressions de $V$, les coefficients de chacune des variations de $\phi$, $\psi$,
$\theta$, etc., $k$, $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., on obtiendra un nombre $2n + 1$ d'équations
pour remplacer les équations (9). Parmi ces nouvelles équations,
nous aurons seulement besoin de celles qui proviennent des
\marginpage % *** File: 338.png
variations de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., et qui seront, d'après la formule (8),
\begin{gather*}
\frac{dF}{dh}=t+\epsilon,\quad %[**errata]
\frac{dF}{de}=l,\quad
\frac{dF}{de'}=l',\quad
\frac{dF}{de''}=l'',\ \etc, \tag{13}
\end{gather*}
en faisant, pour abréger,
\begin{alignat*}{4}
&A\frac{d\alpha}{dh} &&+B\frac{d\beta}{dh} &&+C\frac{d\gamma}{dh} &&+\etc=-\epsilon,\\ %[**errata]
&A\frac{d\alpha}{de} &&+B\frac{d\beta}{de} &&+C\frac{d\gamma}{de} &&+\etc=-l,\\ %[**errata]
&A\frac{d\alpha}{de'}&&+B\frac{d\beta}{de'}&&+C\frac{d\gamma}{de'}&&+\etc=-l',\\
&\etc
\end{alignat*}
Quoique nous considérions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., dans ces différentiations,
comme des fonctions de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., et de $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc.; ces
quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., étant des constantes arbitraires par rapport à $t$,
quelles que soient les valeurs de $h$, $e$, $e'$, $e''$, etc., il s'ensuit que leurs
différences partielles sont également des quantités constantes, aussi
bien que $A$, $B$, $C$, etc., et par conséquent aussi, les $n$ quantités $e$, $l$,
$l'$, $l''$, etc. Maintenant, les équations (12) et (13), dont le nombre
total est $n + i$, seront des intégrales des équations ($n$), en quantités
finies, qui devront se réduire, dans chaque cas, à un nombre $n$ d'équations
distinctes, contenant les variables $t$, $\phi$, $\psi$, $\theta$, etc., et $2n$
constantes arbitraires.

\mysection{§ V.}

Appliquons ces considérations générales au mouvement d'un point
matériel, entièrement libre et soumis à une force dirigée vers un
centre fixe.

Supposons que ce point soit celui dont $x$, $y$, $z$, sont les trois coordonnées;
plaçons le centre fixe à leur origine; les trois composantes
de la force dirigée vers ce point seront entre elles comme ces coordonnées;
on aura donc
\[
y\frac{dU}{dx} = x\frac{dU}{dy},\quad
x\frac{dU}{dy} = z\frac{dU}{dx},\quad
z\frac{dU}{dy} = y\frac{dU}{dz};
\]
\marginpage % *** File: 339.png
et si l'on désigne par $r$ la distance du mobile au centre fixe, de sorte
qu'on ait
\[
x^2 + y^2 + z^2 = r^2,
\]
on ne pourra satisfaire à ces équations qu'en prenant pour $U$ une
fonction de ce rayon vecteur $r$. En la désignant par $R$, et prenant
aussi la masse du mobile pour unité, les trois équations du mouvement
seront
\[
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{x}{r},\quad \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{y}{r},\quad \frac{d^2z}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{z}{r},
\]
On aura, pour l'équation des forces vives,\label{p331eqalpha}
\begin{gather*}
\tfrac{1}{2}(x'^2 + y'^2 + z'^2) = R + h, \tag{$\alpha$}
\end{gather*}
et, pour les trois équations que fournit le principe des aires,
\begin{gather*}
xy' - yx' = g,\quad zx' - xz' = g',\quad yz'-zy' = g''. \tag{$\beta$}
\end{gather*}
Ces quatre intégrales complètes des équations du mouvement s'en
déduisent d'ailleurs immédiatement. Les trois dernières donnent
celle-ci
\begin{gather*}
gz +g'y + g''x = 0,\tag{$\gamma$}
\end{gather*}
qui est une intégrale seconde, et qui montre que la trajectoire du
mobile est comprise dans un plan passant par le centre fixe, ce qu'on
peut aussi regarder comme évident \emph{à priori}. Enfin l'intégrale que $V$
représente, se réduit à
\[
V = \tint(x'dx + y'dy + z'dz).
\]

En joignant l'équation ($\alpha$) aux deux premières équations ($\beta$), on en
déduit
\begin{align*}
x'&=\frac{g'z-gy}{r^2}+\frac{1}{r}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2},\\
y'&=\frac{gx^2+(g'y+gz)z}{xr^2}+\frac{y}{xr}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2},\\
z'&=-\frac{g'x^2+(g'y+gz)y}{xr^2}+\frac{z}{xr}\sqrt{(2Rr^2+2hr^2-g^2-g'^2)x^2-(g'y+gz)^2},
\end{align*}
\marginpage % *** File: 340.png
Or, ces valeurs de $x'$, $y'$, $z'$, déduites de trois intégrales premières des
équations du mouvement, ne rendent pas la formule $x'dx + y'dy
+ z'dz$ une différentielle exacte à trois variables indépendantes $x$,
$y$, $z$; mais, si l'on suppose ces variables liées entre elles par l'équation
($\gamma$), les valeurs de $x'$, $y'$, $z'$, deviennent
\begin{alignat*}{2}
x'&=\frac{g'z-gy}{r^2}  &&+\frac{x}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2},\\
y'&=\frac{gx-g''z}{r^2} &&+\frac{y}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2},\\
z'&=\frac{g''y-g'x}{r^2}&&+\frac{z}{r^2}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2},
\end{alignat*}
où l'on a fait, pour abréger,
\[
g^2+g'^2+g''^2=e^2;
\]
et il en résulte d'abord
\begin{align*}
x'dx &+ y'dy + z'dz = \frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}dr\\
&+\frac{1}{r^2}[g(xdy - ydx) + g'(zdx - xdz)+ g''(ydz - zdy)].
\end{align*}
Soit $v$ l'angle que fait le rayon vecteur $r$ avec une ligne fixe, menée par
l'origine des coordonnées, dans le plan de la trajectoire; l'aire décrite
par ce rayon, dans un temps infiniment petit, sera $r^2dv$; les coefficients
de $g$, $g'$, $g''$, exprimeront ses projections sur les trois plans des coordonnées;
et, comme d'après l'équation ($\gamma$), les cosinus des inclinaisons
du plan de la trajectoire sur ces trois plans, sont, $\dfrac{g}{e}$, $\dfrac{g'}{e}$, $\dfrac{g''}{e}$, on en conclura
\[
xdy - ydx = \frac{gr^2dv}{e},\quad zdx - xdz = \frac{g'r^2dv}{e},\quad ydz - zdy = \frac{g''r^2dv}{e}.
\]
Par conséquent, on aura
\[
x'dx + y'dy + z'dz = \frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}dr+edv;
\]
formule qui se trouve ainsi réduite à une différentielle exacte à deux
\marginpage % *** File: 341.png
variables $r$ et $v$, et d'où l'on tire, en intégrant,
\[
V=\int\frac{1}{r}\sqrt{2Rr^2 +2hr^2-e^2}dr +ev -k;
\]
$k$ étant, comme plus haut, la constante qui rend nulle la valeur de $V$
relative à $t = 0$.

Au lieu des coordonnées $x$, $y$, $z$, on peut prendre les trois variables
$z$, $r$, $v$, pour déterminer à chaque instant la position du mobile;
et comme ce point matériel est entièrement libre, on peut aussi
prendre $z$, $r$, $v$, pour les inconnues que nous avons désignées généralement
par $\phi$, $\psi$, $\theta$. Abstraction faite de son dernier terme, la
valeur de $V$ que nous trouvons sera alors la fonction $F$ de l'article
précédent; laquelle, dans le cas particulier dont nous nous occupons,
ne renferme que deux variables $r$ et $v$, et deux constantes arbitraires $h$
et $e$. Les deux premières équations (13) seront
\begin{align*}
t+\epsilon&=\int\frac{rdr}{\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}},\\ %[**errata]
v-l&=\int\frac{edr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}, %[**errata]
\end{align*}
en mettant dans la seconde $el$ au lieu de $l$, et divisant par $e$. \label{err341}La troisième
se réduira à $l'=0$; et il n'y aura pas lieu de considérer les suivantes.
On pourra d'ailleurs remplacer l'équation ($\gamma$) par celle-ci:
\[
z = \beta r \sin(v - \alpha),
\]
où l'on désigne par $\alpha$ l'angle que fait l'intersection du plan de la trajectoire
et du plan des $x$ et $y$ avec la ligne fixe d'où l'on compte
l'angle $v$, et par $\beta$ le sinus de l'inclinaison du premier plan sur le
second. De cette manière, ces trois équations seront les intégrales
complètes de celles du mouvement entre les quatre variables $t$, $r$,
$v$, $z$, et les six constantes arbitraires $h$, $e$, $\epsilon$, $l$, $\alpha$, $\beta$; ce qui coïncide
avec les formules connues.

On aurait pu simplifier le calcul en prenant le plan de la trajectoire
pour l'un des trois plans des coordonnées $x$, $y$, $z$; on a conservé des
directions quelconques aux axes des coordonnées, afin que cet exemple
\marginpage % *** File: 342.png
présentât les principales circonstances de la méthode générale, et
pour montrer que la formule $x'dx + y'dy + z'dz$ n'est une différentielle
exacte qu'en vertu d'une relation particulière entre $x$, $y$,
$z$, qui se trouve remplacée par l'une de ces coordonnées égalée à
zéro, lorsqu'on fait coïncider le plan des deux autres avec celui
de la trajectoire.

\mysection{§ VI.}

Considérons encore le cas d'un point matériel entièrement libre,
dont la force motrice ait toujours ses trois composantes exprimées
par les différences partielles d'une même fonction $U$ des coordonnées,
mais ne soit pas dirigée vers un centre fixe, comme dans
l'exemple précédent. Supposons que ce mouvement ait lieu dans un
plan que nous prendrons pour celui des $x$ et $y$; de sorte que les
équations différentielles du second ordre se réduisent à deux, savoir:
\[
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dU}{dx},\quad\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dU}{dy};
\]
U étant une fonction donnée de $x$ et $y$. L'intégrale que $V$ représente
se réduira aussi à
\[
V =\tint(x'dx + y'dy);
\]
l'équation des forces vives sera
\begin{gather*}
\tfrac{1}{2}(x'^2 + y'^2) = U + h;\tag{$h$}
\end{gather*}
et si l'on représente par
\begin{gather*}
f(x,y,x',y') = g,\tag{$g$}
\end{gather*}
une intégrale première des deux équations du mouvement, on tirera
de ces deux dernières équations, des valeurs de $x'$ et $y'$, en
fonctions des deux variables $x'$ et $y'$, et des deux constantes arbitraires
$h$ et $g$. Or, pourvu que la fonction donnée $f$ ne soit pas
seulement une fonction de la quantité $x'^2 + y'^2$, et des variables $x$
et $y$, c'est-à-dire pourvu qu'en éliminant l'une des variables $x'$ ou $y'$,
\marginpage % *** File: 343.png
entre les deux dernières équations, l'autre variable $y'$ ou $x'$ ne disparaisse
pas en même temps, les valeurs de $x'$ et $y'$ tirées de ces
équations rendront la formule $x'dx + y'dy$ une différentielle exacte,
ainsi qu'on le prouvera tout à l'heure. Cela étant, on obtiendra par les
règles ordinaires, l'expression de $V$ en fonction de $x$, $y$, $h$, $g$; et
d'après les équations (13), on en déduira
\begin{align*}
\int\!\!\Big(\frac{dx'}{dh}dx+\frac{dy'}{dh}dy\Big)&=t+\epsilon,\\ %[**errata]
\int\!\!\Big(\frac{dx'}{dg}dx+\frac{dy'}{dg}dy\Big)&=l.
\end{align*}
pour les intégrales, en quantités finies, des deux équations du mouvement;
$h$, $g$, $\epsilon$, $l$, étant les quatre constantes arbitraires. La seconde
de ces intégrales sera l'équation de la trajectoire, et la première déterminera
le temps $t$ en fonction des coordonnées du mobile.

Ce résultat coïncide avec celui que M.~Jacobi a énoncé dans une lettre
adressée l'an dernier à l'Institut\footnote
{\emph{Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences}; 18 juillet 1836.}.
Il se rapporte, comme on voit,
à la théorie de M.~Hamilton; mais en faisant concourir à la détermination
de la fonction $V$, indépendamment de l'équation des forces
vives, une autre intégrale première des équations du mouvement,
que l'on suppose donnée \emph{à priori}.

Pour faire voir que les valeurs de $x'$ et $y'$ tirées des équations ($h$) et
($g$), satisfont à la condition d'intégrabilité de la formule $x'dx + y'dy$,
c'est-à-dire à l'équation
\[
\frac{dx'}{dy}=\frac{dy'}{dx},
\]
j'observe que ces valeurs doivent rendre identiques les équations d'où
elles sont déduites; en différentiant chacune de ces équations successivement
par rapport à $x$ et par rapport à $y$, on aura donc\label{err343}
\begin{align*}
\frac{df}{dx}+\frac{df}{dx'}\frac{dx'}{dx}+\frac{df}{dy'}\frac{dy'}{dx}=0,\quad x'\frac{dx'}{dx}+y'\frac{dy'}{dx}=\frac{dU}{dx},\\
\frac{df}{dy}+\frac{df}{dx'}\frac{dx'}{dy}+\frac{df}{dy'}\frac{dy'}{dy}=0,\quad x'\frac{dx'}{dy}+y'\frac{dy'}{dy}=\frac{dU}{dy};
\end{align*}
\marginpage % *** File: 344.png
par l'élimination de $\dfrac{dx'}{dx}$ et $\dfrac{dy'}{dy}$, entre ces quatre équations, il vient
\begin{align*}
\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \Big(\frac{df}{dy'}x' - \frac{df}{dx'}y'\Big)\frac{dy'}{dx}&=0,\\
\frac{df}{dy}y' + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy} + \Big(\frac{df}{dx'}y' - \frac{df}{dy'}x'\Big)\frac{dx'}{dy}&=0,
\end{align*}
et, par conséquent,
\[
\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dy}y' + \frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy}
+\Big(\frac{df}{dy'}x' - \frac{df}{dx'}y'\Big) \Big(\frac{dy'}{dx} - \frac{dx'}{dy}\Big)=0;
\]
or, l'équation ($g$) étant une intégrale premiere des équations du
mouvement, il faut qu'en la différentiant par rapport a $t$, ce qui
fait disparaître la constante $g$, et substituant ensuite pour $\dfrac{dx'}{dt}$ et $\dfrac{dy'}{dt}$
leurs valeurs $\dfrac{dU}{dx}$ et $\dfrac{dU}{dy}$ données par ces équations, on ait identiquement
\[
\frac{df}{dx}x' + \frac{df}{dy}y' +\frac{df}{dx'}\frac{dU}{dx} + \frac{df}{dy'}\frac{dU}{dy}=0,
\]
au moyen de quoi l'équation qu'on vient d'écrire se réduit a
\[
\Big(\frac{df}{dy}x' - \frac{df}{dx}y'\Big)\Big(\frac{dy'}{dx} - \frac{dx'}{dy}\Big)=0,
\]
et comme le premier facteur de celle-ci n'est pas nul, puisqu'on
a supposé que la fonction désignée par $f$ n'est pas une fonction
de $x'^2 + y'^2$, il faut que le second facteur soit zéro; ce qu'il s'agissait
de démontrer.

\jmpafin

% *** File: 345.png

\jmpapaper{THÈSES}{DE MÉCANIQUE ET D'ASTRONOMIE;}
{}
{Par M.~LEBESGUE,}
{Professeur-suppléant à la Faculté des Sciences de Grenoble}
\label{art30}\Gauche

\begin{center}{\Large PREMIÈRE PARTIE.}\end{center}

\begin{center}
\emph{Formules pour la transformation des fonctions homogènes du second
degré à plusieurs inconnues.}
\end{center}

\mysection{I.}

Le problème dont nous allons nous occuper conduit à certaines
équations déterminées qui se présentent souvent dans les questions de
Mécanique, d'Astronomie et de Physique, et que M.~Jacobi a récemment
étudiées\footnote{%
Journal de M.~Crelle, tome XII, p.~1.
}. D'autres mémoires publiés antérieurement par
divers géomètres se rattachent plus ou moins à notre sujet. On consultera
par exemple les \emph{Exercices mathématiques de M.~Cauchy}
(tome IV, page 140) et surtout le \emph{Bulletin des Sciences mathématiques}
de M.~Férussac (tome XII page 314) où se trouve l'extrait d'un excellent
mémoire de M.~Sturm. Nous nous bornons ici à ces citations générales.
Le lecteur jugera ce qu'il peut y avoir de neuf sinon dans nos
formules, au moins dans la manière de les démontrer.

\textsc{Problème}. \emph{Étant donnée une fonction homogène du second degré à
plusieurs inconnues, il faut en faire disparaître les rectangles de ces
inconnues, au moyen d'une substitution, qui laisse la fonction homogène
et du second degré entre le même nombre de nouvelles inconnues.}

\marginpage % *** File: 346.png
Pour simplifier la solution, on fera usage de la notation suivante:

\primop.~Les inconnues seront $x_1$, $x_2$,\dots, $x_n$ au nombre de $n$.

\secundop.~Tout terme renfermant le rectangle $x_\alpha x_\beta$, ou le produit de
deux inconnues différentes, aura pour coefficient $A_{\alpha,\beta}$ le premier
indice étant celui du premier facteur du rectangle, et le second
celui du second facteur. On supposera $A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$, puisque l'on a
$x_\alpha x_\beta = x_\beta x_\alpha$. Le coefficient d'un carré, tel que $x_\alpha^2 = x_\alpha x_\alpha$, sera
par analogie $A_{\alpha,\alpha}$.

D'après ces conventions, on remplacera la fonction
\begin{flalign*}
&\text(1)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4}
A_{1,1}x^2_1 &+ 2A_{1,2}x_1x_2           &&+ 2A_{1,3}x_1x_3           &&+ \dotsb &&+ 2A_{1,n}x_1x_n.\\
&+\phantom{2}A_{2,2}x_2^2   &&+ 2A_{2,3}x_2x_3           &&+ \dotsb &&+ 2A_{2,n}x_2x_n.\\
&                           &&+ \phantom{2}A_{3,3}x_3^2  &&+ \dotsb &&+ 2A_{3,n}x_3x_n.\\[-1ex]
&                           &&                           &&         &&\hspace{0.5em}\vdots \\[-1ex]
&                           &&                           &&         &&+ \phantom{2}A_{n,n}x_n^2.
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
Par la suivante,
\begin{flalign*}
&\text(2)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4}
&   && x_1(A_{1,1}x_1 &&+ A_{1,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{1,n}x_n).\\
&+{}&& x_2(A_{2,1}x_1 &&+ A_{2,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{2,n}x_n).\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&+{}&& x_n(A_{n,1}x_1 &&+ A_{n,2}x_2 &&+ \dotsb + A_{n,n}x_n).
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
Si l'on fait
\begin{flalign*}
&\text(3)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4}
&x_1 && = a_{1,1}y_1 &&+ a_{1,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{1,n}y_n.\\
&x_2 && = a_{2,1}y_1 &&+ a_{2,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{2,n}y_n.\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&x_n && = a_{n,1}y_1 &&+ a_{n,2}y_2 &&+ \dotsb + a_{n,n}y_n.\\
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
ces valeurs, substituées dans la fonction (2), la laisseront homogène
et du second degré, en la réduisant à la forme
\begin{flalign*}
&\text(4)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4}
&   && y_1(B_{1,1}y_1 &&+ B_{1,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{1,n}y_n).\\
&+{}&& y_2(B_{2,1}y_1 &&+ B_{2,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{2,n}y_n).\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&+{}&& y_n(B_{n,1}y_1 &&+ B_{n,2}y_2 &&+ \dotsb + B_{n,n}y_n).
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
\marginpage % *** File: 347.png
Si l'on pose pour abréger
\begin{flalign*}
\tag{5} C_{i,\alpha}=A_{i,1}a_{1,\alpha}+A_{i,2}a_{2,\alpha}+ \dotsb +A_{i,n}a_{n,\alpha},
\end{flalign*}
où $i$ et $\alpha$\ peuvent prendre toutes les valeurs entières de $1$ à $n$, on
trouvera, en faisant la multiplication sans transpositions de facteurs,
pour ne pas confondre les rectangles, tels que $x_\alpha x_\beta$ et $x_\beta x_\alpha$,
\begin{flalign*}
&\text(6)\quad\left\{\quad \begin{alignedat}{3}
B_{\alpha,\alpha}&=a_{1,\alpha}C_{1,\alpha}&&+a_{2,\alpha}C_{2,\alpha}&&+ \dotsb +a_{n,\alpha}C_{n,\alpha},\\
B_{\beta,\alpha} &=a_{1,\beta} C_{1,\alpha}&&+a_{2,\beta}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb +a_{n,\beta}C_{n,\alpha}, \\
B_{\alpha,\beta} &=a_{1,\alpha}C_{1,\beta} &&+a_{2,\alpha}C_{2,\beta} &&+ \dotsb +a_{n,\alpha}C_{n,\beta},
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
et l'on vérifiera très facilement que l'on a $B_{\alpha,\beta} = B_{\beta,\alpha}$ à cause de
$A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$.

Si l'on veut que la transformée en $y$ soit de la forme
\begin{flalign*}
\tag{7} U_1y^2_1+U_2y^2_2+U_3y^2_3+ \dotsb +U_ny^2_n,
\end{flalign*}
il faudra poser
\begin{flalign*}
&\text(8)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{5}
&B_{1,1} &&= U_1,    & B_{1,2}&=0,      & B_{1,3}&=0 \ldots\ldots& B_{1,n}&=0,\\
&B_{2,1} &&= 0,      & B_{2,2}&=U_2,    & B_{2,3}&=0 \ldots\ldots& B_{2,n}&=0,\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&B_{n,1} &&= 0,\quad & B_{n,2}&=0,\quad & B_{n,3}&=0 \ldots\ldots& B_{n,n}&=U_n.\\
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
Ces équations, au nombre de $n^2$, se réduisent à $n + \dfrac{n\ldot n-1}{2} = \dfrac{n^2+n}{2}$
équations distinctes, entre les $n^2+n$ inconnues suivantes: \primop.~les $n^2$
coefficients $a_{1,1}$, $a_{1,2}$,\dots $a_{n,n}$ de la substitution (3), et, \secundop.,~les $n$
coefficients $U_1$, $U_2$\dots, $U_n$ de la fonction transformée (7). On doit donc
encore se donner $\dfrac{n^2+n}{2}$ équations entre les inconnues, afin d'ôter au
problème son indétermination. Il est bien des manières d'obtenir ces
nouvelles relations; la plus simple paraît la suivante. On supposera
que l'équation
\[
\tag{9}
x^2_1+x^2_2+ \dotsb +x^2_n=y^2_1+y^2_2+ \dotsb +y^2_n
\]
soit satisfaite pour toutes les valeurs possibles données à $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$.
Mettant dans cette équation les valeurs de $x_1$, $x_2$\dots, $x_n$ données plus
\marginpage % *** File: 348.png
haut (3), et rendant le résultat indépendant de $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$, on
trouvera $n$ équations de la forme
\[
\tag{10} a^2_{1,\alpha}+a^2_{2,\alpha}+ \dotsb +a^2_{n,\alpha}=1,
\]
où $\alpha$ prendra successivement les valeurs 1, 2\dots, $n$.

On trouvera en outre $\dfrac{n\ldot n-1}{2}$ équations de la forme
\[
\tag{11}
a_{1,\alpha}a_{1,\beta}+a_{2,\alpha}a_{2,\beta}+ \dotsb a_{n,\alpha}a_{n,\beta}=0,
\]
ou $\alpha$, et $\beta$, essentiellement différents, peuvent d'ailleurs prendre
toutes les valeurs 1, 2\dots, $n$.

Les $n^2+n$ équations du problème sont donc celles qui portent les
numéros (8), (10) et (11).

Il est facile de les distribuer en $n$ systèmes partiels de $n + 1$ équations
chacun, le premier contenant uniquement les $n + 1$ inconnues
\[
\label{err348}U_1,\ a_{1,1},\ a_{2,1},\ a_{3,1}\ldots,\ a_{n,1};
\]
le second renfermant uniquement les $n + 1$ inconnues
\[
U_2,\ a_{1,2},\ a_{2,2},\ a_{3,2}\ldots,\ a_{n,2},
\]
et ainsi des autres jusqu'au $n$\iieme, contenant uniquement les $n + 1$
dernières inconnues
\[
U_n,\ a_{1,n},\ a_{2,n},\ a_{3,n}\ldots,\ a_{n,n}.
\]

Pour faire ce partage, il faut remarquer que les équations (3)
donnent, au moyen des équations (10) et (11),
\begin{flalign*}
&\text(12)\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{4}
&y_1&&=a_{1,1}x_1&&+a_{2,1}x_2&&+ \dotsb +a_{n,1}x_n,\\
&y_2&&=a_{1,2}x_1&&+a_{2,2}x_2&&+ \dotsb +a_{n,2}x_n,\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&y_n&&=a_{1,n}x_1&&+a_{2,n}x_2&&+ \dotsb +a_{n,n}x_n,
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
et que celles-ci donnent à leur tour, en vertu de l'équation (9), les
suivantes:
\marginpage % *** File: 349.png
\begin{align*}
\tag{13}
&a^2_{\alpha,1}+a^2_{\alpha,2}+ \dotsb +a^2_{\alpha,n}=1,\\
\tag{14}
&a_{\alpha,1}a_{\beta,1}+a_{\alpha,2}a_{\beta,2}+ \dotsb +a_{\alpha,n}a_{\beta,n}=0,
\end{align*}
qui ne diffèrent des équations (10) et (11) que par le renversement des
indices.

Par exemple, si l'on veut obtenir le système qui donnera la valeur
des $n + 1$ inconnues
\[
U_\alpha,\ a_{1,\alpha},\ a_{2,\alpha},\ a_{3,\alpha}\ldots\ a_{n,\alpha},
\]
on prendra les équations
\[
B_{1,\alpha}=0,\quad B_{2,\alpha}=0\ldots B_{\alpha,\alpha}=U_\alpha\ldots B_{n,\alpha}=0,
\]
auxquelles on joindra l'équation
\[
a^2_{1,\alpha}+a^2_{2,\alpha}+ \dotsb +a^2_{n,\alpha}=1.
\]
Les $n$ premières équations reviennent à
\begin{alignat*}{4}
&a_{1,1}C_{1,\alpha}      &&+ a_{2,1}C_{2,\alpha}      &&+ \dotsb + a_{n,1}C_{n,\alpha}      &&= 0,\\
&a_{1,2}C_{1,\alpha}      &&+ a_{2,2}C_{2,\alpha}      &&+ \dotsb + a_{n,2}C_{n,\alpha}      &&= 0,\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&a_{1,\alpha}C_{1,\alpha} &&+ a_{2,\alpha}C_{2,\alpha} &&+ \dotsb + a_{n,\alpha}C_{n,\alpha} &&= U_\alpha,\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&a_{1,n}C_{1,\alpha}      &&+ a_{2,n}C_{2,\alpha}      &&+ \dotsb + a_{n,n}C_{n,\alpha}      &&= 0,
\end{alignat*}
d'où l'on tire très facilement
\[
C_{1,\alpha}=a_{1,\alpha}U_\alpha, \quad C_{2,\alpha}=a_{2,\alpha}U_\alpha \ldots C_{n,\alpha}=a_{n,\alpha}U_\alpha ;
\]
la première $C_{1,\alpha} = a_{1,\alpha}U_\alpha$ s'obtient en multipliant les équations précédentes
par $a_{1,1}$, $a_{1,2}$\dots $a_{1,n}$ (coefficients de $C_{1,\alpha}$) respectivement,
et en faisant la somme des résultats. Les autres s'obtiennent d'une
manière toute semblable.

Remplaçant $C_{1,\alpha}$, $C_{2,\alpha}$\dots $C_{n,\alpha}$ par leurs valeurs, on aura donc
définitivement le système
\marginpage % *** File: 350.png
\begin{flalign*}
&(15)\quad\left\{\quad
\begin{aligned}
&\begin{alignedat}{2}
(A_{1,1} -U_\alpha)a_{1,\alpha} + A_{1,2}a_{2,\alpha} + \dotsb &+ A_{1,n}a_{n,\alpha} &&=0,\\
A_{2,1}a_{1,\alpha} + (A_{2,2} -U_\alpha) a_{2,\alpha}+ \dotsb &+ A_{2,n}a_{n,\alpha}&&=0,\\
\multispan{1}{$A_{3,1}a_{1,\alpha}+ A_{3,2}a_{2,\alpha} + \dotfill$} &+ A_{3,n}a_{n,\alpha}&&=0,
\end{alignedat}\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&\begin{aligned}
A_{n,1}a_{1,\alpha}+ A_{n,2}a_{2,\alpha} &+ \dotsb \ldots + (A_{n,n}-U_\alpha)a_{n,\alpha}=0,\\
a^2_{1,\alpha} + a^2_{2,\alpha} &+ \dotsb \ldots + a^2_{n,\alpha} = 1,
\end{aligned}
\end{aligned}\right.&
\end{flalign*}
dont la solution n'offre d'autre difficulté que la simplification des
résultats auxquels conduit l'élimination.

Les $n-1$ premières équations donnent, par exemple, les rapports
$\dfrac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$,
$\dfrac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$\dots,
$\dfrac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$ qui, substitués dans la $n$\iieme, conduisent à une
équation du $n$\iieme\ degré en $U_\alpha$, ou tout simplement en $u$, dont les
racines, toutes réelles, sont les valeurs des $n$ coefficients $U_1$, $U_2$\dots $U_n$.
Ces racines déterminées, les rapports
$\dfrac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$,
$\dfrac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$\dots,
$\dfrac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}$ sont connus.
La dernière équation, mise sous la forme
\[
a^2_{n,\alpha}\Big[\Big(\frac{a_{1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 + \Big(\frac{a_{2,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 - \dots + \Big(\frac{a_{n-1,\alpha}}{a_{n,\alpha}}\Big)^2 + 1\Big] =1,
\]
donne alors $a^2_{n,\alpha}$, et par suite, au moyen des rapports précédents, on
trouve $a^2_{1,\alpha}$, $a^2_{2,\alpha}$\dots $a^2_{n-1,\alpha}$. Les valeurs de ces coefficients se présentent
sous la forme de fractions qui sont toutes susceptibles de réduction
en vertu d'une propriété de l'équation du $n$\ie\ degré en $u$. Cette
équation s'obtient très facilement encore de la manière suivante: on
résout les $n$ premières équations (15) par rapport à $a_{1,\alpha}$, $a_{2,\alpha}$\dots $a_{n,\alpha}$,
précisément comme si les deuxièmes membres n'étaient pas nuls; on
égale à zéro le dénominateur commun des inconnues $a_{1,\alpha}$, $a_{2,\alpha}$\dots $a_{n,\alpha}$,
et le résultat n'est autre que l'équation en $u$ qu'on peut noter $U = 0$.
Le premier membre de cette équation n'est donc qu'une de ces fonctions
nommées déterminants, fonctions qui, comme le dit M.~Cauchy
(\emph{Journal de l'École Polytechnique}, tome~10, page~51), s'offrent
d'elles-mêmes dans un grand nombre de recherches analytiques. C'est
donc dans les propriétés des déterminants que l'on va chercher le moyen
de simplifier la solution qui vient d'être rapidement indiquée.
\marginpage % *** File: 351.png

\mysection{II.}

\begin{center}
\emph{De quelques propriétés des déterminants.}
\end{center}

\textsc{Définition.} Si l'on considère le système d'équations
\begin{flalign*}
&\text(16)\quad\left\{\quad
\begin{alignedat}{4}
&A_{1,1}t_1 &&+ A_{1,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{1,n}t_n &&= m_1,\\
&A_{2,1}t_1 &&+ A_{2,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{2,n}t_n &&= m_2,\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&A_{n,1}t_1 &&+ A_{n,2}t_2 &&+ \dotsb + A_{n,n}t_n &&= m_n,
\end{alignedat}
\right.&
\end{flalign*}
le dénominateur commun des inconnues $t_1$, $t_2$\dots $t_n$ est ce que l'on
nomme le déterminant du système des nombres
\begin{flalign*}
&\text(17)\quad\left\{\quad
\begin{alignedat}{3}
&A_{1,1}  &&A_{1,2}&&\ldots\ldots A_{1,n},\\
&A_{2,1}  &&A_{2,2}&&\ldots\ldots A_{2,n},\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&A_{n,1}\;&&A_{n,2}&&\ldots\ldots A_{n,n}.
\end{alignedat}
\right.&
\end{flalign*}
Comme ce dénominateur peut changer de signe, selon le mode de
solution qu'on emploiera, on conviendra de le prendre de sorte que
le terme $A_{1,1}\,A_{2,2}\,A_{3,3}\ldots$ $A_{n,n}$, qui en fait partie, soit positif.

On trouve dans les éléments d'algèbre une règle fort simple pour
former ce déterminant, et l'on en peut voir d'autres dans le mémoire
de M.~Cauchy, cité plus haut. Voici quelques conséquences de ces
règles.

Le déterminant du système (17) est aussi celui du système suivant.
\begin{flalign*}
&\text(18)\quad\left\{\quad
\begin{alignedat}{3}
&A_{1,1}  && A_{2,1}&&\ldots\ldots A_{n,1},\\
&A_{1,2}  && A_{2,2}&&\ldots\ldots A_{n,2},\\[-1ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&A_{1,n}\;&& A_{2,n}&&\ldots\ldots A_{n,n},
\end{alignedat}
\right.&
\end{flalign*}
qui s'obtient en remplaçant la série horizontale supérieure du système
\marginpage % *** File: 352.png
(17) par la première série verticale, puis la deuxième horizontale par
la deuxième verticale, et ainsi de suite jusqu'à la deuxième horizontale
qui sera remplacée par la $n$\ie\ ou dernière verticale.

Il est un cas ou les systèmes (17) et (18) restent les mêmes, malgré
ce changement; c'est celui pour lequel on aurait $A_{\alpha,\beta} = A_{\beta,\alpha}$. On
peut dire alors que le système est symétrique, puisque les nombres
qui le forment sont placés symétriquement par rapport aux nombres
à indices égaux $A_{1,1}$ $A_{2,2}$\dots $A_{n,n}$ qui forment la diagonale du système.

Une autre conséquence de la règle pour former le déterminant,
c'est qu'il change de signe:

\primop.~Quand on change le signe de tous les nombres d'une même
série horizontale ou verticale;

\secundop.~Quand on change l'ordre de deux séries consécutives horizontales
ou verticales, d'où il suit que si l'on avance ou recule une série
de $k$ rangs, le déterminant se trouve multiplié par $(-1)^k$.

Ceci rappelé, si l'on représente par $D$ le déterminant du système
(17), par $\dethoriz{g}{i}$ le déterminant du système qui se tire du système (17)
par la suppression de la série horizontale de rang $g$ et de la série
verticale de rang $i$, et semblablement par la notation $\detquad{g,\;i}{h,\;k}$ le déterminant
du système qui résulte de l'omission des séries horizontales de
rangs $g$ et $i$ et des séries verticales de rangs $i$ et $k$ dans le système (17),
on pourra, au moyen des remarques précédentes, établir les proportions
suivantes:

I.~Dans tout déterminant symétrique on a
\[
\dethoriz{g}{i} = \dethoriz{i}{g}.
\]
Cela résulte de ce qu'il est permis de changer (17) en (18), sans
déplacer réellement les nombres du système.

II.~Pour tout déterminant nul on a
\[
\dethoriz{g}{g}\: \dethoriz{i}{i} = \dethoriz{i}{g}\: \dethoriz{g}{i},
\]
et par conséquent pour un déterminant à la fois nul et symétrique
\[
\dethoriz{g}{g}\: \dethoriz{i}{i} = \dethoriz{i}{g}^2 = \dethoriz{g}{i}^2.
\]

En effet, si dans le système (16) on suppose $m_1=m_2\ldots =m_n=0$,
\marginpage % *** File: 353.png
et qu'on supprime l'équation de rang $g$, on trouvera
\[
\frac{t_g}{t_i}=(-1)^{g+i} \frac{\dethoriz{g}{g}}{\dethoriz{g}{i}},
\]
le facteur $(-1)^{g+i}$ provenant du déplacement de séries et du changement
de signe, qui résultent de l'application de la règle pour déduire
le numérateur $\dethoriz{g}{g}$ du dénominateur $\dethoriz{g}{i}$. L'exposant de $-1$ a
été augmenté d'un nombre pair pour simplifier le résultat. Si, dans le
même système (16), on supprime l'équation de rang $i$, on trouvera
pareillement\label{err353}
\[
\frac{t_i}{t_g}=(-1)^{i+g}\frac{\dethoriz{i}{i}}{\dethoriz{i}{g}}.
\]
Multipliant la valeur de $\dfrac{t_g}{t_i}$ par celle de $\dfrac{t_i}{t_g}$, on a de suite le résultat
de l'énoncé.

III.~Dans tout déterminant non symétrique on a, quels que soient
les indices du nombre $A_{i,g}$ égaux ou non,
\[
\frac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{g+i}\dethoriz{i}{g}.
\]
Le coefficient différentiel de $D$ est pris par rapport à $A_{i,g}$, supposé
différent de tous les nombres $A_{\alpha,\beta}$; ce qui n'arrive pas pour un déterminant
symétrique où l'on a $A_{i,g} = A_{g,i}$.

IV.~Pour un déterminant symétrique on a toujours
\[
(19)\quad\frac{dD}{dA_{g,g}}=\dethoriz{g}{g}\qquad
(20)\quad\frac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{g+i}2\dethoriz{i}{g}.
\]

Ces deux propositions se déduisent de la formule
\[
D = A_{n,n} \dethoriz{n}{n} - A_{n,n-1} \dethoriz{n}{n-1} + A_{n,n-2} \dethoriz{n}{n-2} - \dotsb
\]
qui se tire immédiatement des équations (16), où l'on a fait
\[
m_1 = m_2 \ldots = m_n = 0.
\]
Différentiant la valeur de $D$, en observant que le coefficient $A_{n,n}$
n'entre que dans le premier terme, sans entrer dans $\dethoriz{n}{n}$, on trouve
\marginpage % *** File: 354.png
$\dfrac{dD}{dA_{n,n}} =\dethoriz{n}{n}$, et cela est vrai pour tout déterminant symétrique ou
non symétrique. Par un déplacement de séries horizontales, et \emph{d'un
même nombre} de séries verticales, on trouve sans changement de
signe, $\dfrac{dD}{dA_{g,g}} = \dethoriz{g}{g}$, en amenant le terme $A_{g,g}$ à la dernière place de
la dernière horizontale.

Pour un déterminant non symétrique on trouve $\dfrac{dD}{dA_{n,n-1}} = -\dethoriz{n}{n-1}$,
et plus généralement $\dfrac{dD}{dA_{i,g}} = (-1)^{i+g}  \dethoriz{i}{g}$, au moyen de déplacements
de séries qui amèneraient $A_{i,g}$ à la place qu'occupait $A_{n,n-1}$,
c'est-à-dire à l'avant-dernière de la dernière horizontale.

Si le déterminant appartient à un système symétrique, comme on
a $A_{n,n-1} = A_{n-1,n}$, en différentiant $D$, il faudra avoir égard au coefficient
$A_{n-1,n}$ contenu dans les déterminants partiels $\dethoriz{n}{n-1}$, $\dethoriz{n}{n-2}$ etc.
Or, le même calcul, qui a fait tirer la valeur de $D$ du système (17),
fera tirer semblablement
\[
\dethoriz{n}{i}=A_{n-1,n}\detquad{n\hfill i}{n-1,n} +
A_{n-2,n}\detquad{n\hfill i}{n-2,n} +
A_{n-3,n}\detquad{n\hfill i}{n-3,n}- \dotsb.
\]
du système (18).

On aura donc $\dfrac{d\dethoriz{n}{i}}{dA_{n,n-1}} %[**errata]
= \detquad{n\hfill i}{n-1,n}$, et par suite
\begin{align*}
&\frac{dD}{dA_{n,n-1}}=\frac{dD}{dA_{n-1,n}}\\
&=-\dethoriz{n}{n-1}- A_{n,n-1}\detquad{n,n-1}{n-1,n}
+ A_{n,n-2}\detquad{n,n-2}{n-1,n}
	    + A_{n,n-3}\detquad{n,n-3}{n-1,n} + \dotsb \\
&=-\dethoriz{n}{n-1}- A_{n-1,n}\detquad{n,n-1}{n-1,n}
+ A_{n-2,n}\detquad{n,n-1}{n-2,n}
	    + A_{n-3,n}\detquad{n,n-1}{n-3,n} + \dotsb \\
&= -\dethoriz{n}{n-1}-\dethoriz{n}{n-1}=-2\dethoriz{n}{n-1},
\end{align*}
en remarquant que l'on a $A_{n,\alpha} = A_{\alpha,n}$ et $\detquad{a,\:c}{b,\:d}=\detquad{d,\:b}{c,\:a}$, puisque le système
est symétrique.

Plus généralement, par un déplacement de séries horizontales et
de séries verticales, \label{err354}on trouvera $\dfrac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{i+g}\dethoriz{i}{g}$, comme il est
dit dans l'énoncé.

V.~Dans tout déterminant nul, mais non symétrique, on a
\[
\Big(\frac{dD}{dA_{i,g}}\Big)\Big(\frac{dD}{dA_{g,i}}\Big)=\frac{dD}{dA_{g,g}}\frac{dD}{dA_{i,i}};
\]
\marginpage % *** File: 355.png
et dans tout déterminant à la fois nul et symétrique, on trouve
\[
\tag{21}\Big(\dfrac{dD}{dA_{i,g}}\Big)^2=4\dfrac{dD}{dA_{g,g}}\dfrac{dD}{dA_{i,i}}.
\]
Ces équations ne sont que la traduction de celles de la proposition II.

Les équations (19), (20) et (21) vont servir à simplifier la résolution
des équations (15).

\mysection{III.}

\begin{center}\emph{Développement de la solution des équations} (15).\\

\emph{Calcul de l'équation en} $u$.\end{center}

L'équation en $u$ n'est autre que le déterminant du système
\[
\begin{array}{@{}l@{\quad}r@{\quad}l}
A_{1,1}-u,   &A_{1,2},   &  A_{1,3},\ldots\ldots A_{1,n},\\
A_{1,2}      &\llap{$A_{2,2}-u,$} &  A_{2,3},\ldots\ldots A_{2,n},\\[-1ex]
\hspace{0.5em}\vdots\\
A_{1,n}      &A_{2,n},   &  A_{3,n},\ldots\ldots A_{n,n}-u.
\end{array}
\]
On la représentera donc par
\begin{flalign*}
&(22)\quad U = \text{dét.}[A_{1,1} - u,\; A_{2,2} - u\ldots A_{n,n} - u] = 0. &
\end{flalign*}
Ainsi, pour $n = 2$, on aura
\begin{flalign*}
&(23)\quad U = (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) -A^2_{1,2}. &
\end{flalign*}
Pour $n = 3$, on aura
\begin{flalign*}
&(24)\quad U = (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u)  \\
&\phantom{(24)\quad U} - A^2_{2,3}(A_{1,1}{-}u) {-} A^2_{1,3} (A_{2,2}{-}u) {-} A^2_{1,2} (A_{3,3}{-}u) {+} 2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3} = 0. &
\end{flalign*}
Pour $n=4$, on aura\label{err355}
\begin{flalign*}
&\raisebox{17.3ex}{(25)}\quad
\left.\!\!\!
\begin{aligned}
U &= (A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u) (A_{4,4} - u)  \\
&- A^2_{3,4}(A_{1,1} - u) (A_{2,2} - u) +2A_{2,3}A_{2,4}A_{3,4}(A_{1,1}-u)\\
&- A^2_{2,4}(A_{1,1} - u) (A_{3,3} - u) +2A_{1,3}A_{1,4}A_{3,4}(A_{2,2}-u)\\
&- A^2_{2,3}(A_{1,1} - u) (A_{4,4} - u) +2A_{1,2}A_{1,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)\\
&- A^2_{1,4}(A_{2,2} - u) (A_{3,3} - u) +2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3}(A_{4,4}-u)\\
&- A^2_{1,3}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u) \\
&- A^2_{1,2}(A_{3,3} - u) (A_{4,4} - u) \\
&- 2A_{1,2}A_{3,4}A_{1,3}A_{2,4}+A^2_{1,4}A^2_{2,3}\\
&- 2A_{1,2}A_{3,4}A_{1,4}A_{2,3}+A^2_{1,3}A^2_{2,4}\\
&- 2A_{1,3}A_{2,4}A_{1,4}A_{2,3}+A^2_{1,2}A^2_{3,4}
\end{aligned}
\quad\right\}=0.&
\end{flalign*}

\marginpage % *** File: 356.png
A ces exemples particuliers qui suffiront pour les applications, on
peut joindre les remarques générales qui suivent.

\emph{Première remarque}. Quel que soit le nombre $n$ des inconnues de
la fonction à transformer, si les coefficients $A_{1,n}$, $A_{2,n}$\dots $A_{n-1,n}$, et
par conséquent $A_{n,1}$, $A_{n,2}$\dots, $A_{n,n-1}$  sont nuls, le déterminant, pour
le cas de $n$ inconnues, se trouvera, en multipliant par $A_{n,n}-u$, le
déterminant trouvé pour le cas de $n - 1$. Cela suit de la valeur de $D$
donnée plus haut.

\emph{Deuxième remarque}. Le nombre $n$ étant quelconque, si le déterminant
ne renferme que des coefficients à indices égaux, ou dont un
des indices soit $n$, tels sont $A_{\alpha,\alpha}$ et $A_{\alpha,n}$, l'équation en $n$ sera\label{err356}
\begin{flalign*}
(26)
&\begin{alignedat}[t]{2}
&&(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)&\ldots(A_{n,n}-u)\\
&-{}&A^2_{1,n}(A_{2,2}-u)(A_{3,3}-u)&\ldots(A_{n-1,n-1}-u)\\
&-{}&A^2_{2,n}(A_{1,1}-u)(A_{3,3}-u)&\ldots(A_{n-1,n-1}-u)\\[-2ex]
&\hspace{0.5em}\vdots\\[-1ex]
&\rlap{${}-A^2_{n-1,n}(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)\ldots(A_{n-2,n-2}-u),$\hfill}
\end{alignedat}&
\end{flalign*}
le premier terme contenant les $n$ facteurs $A_{1,1}-u$, $A_{2,2}-u\ldots
A_{n,n}-u$, et les autres, qui sont négatifs, ne contenant que $n - 2$ de
ces coefficients. Ainsi, par exemple, pour le terme où entre $A^2_{\alpha,n}$, les
deux facteurs à omettre sont $A_{\alpha,\alpha}-u$, $A_{n,n}-u$ indiqués par les
indices de $A_{\alpha,n}$.

\begin{center}\emph{Réalité des racines de l'équation en} $u$.\end{center}

I.~L'équation $U = 0$ a ses racines réelles pour $n = 2$. En effet,
on a dans ce cas
\[
u=\dfrac{A_{1,1}+A_{2,2}}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(A_{1,1}-A_{2,2})^2+4A^2_{1,2}} %[**errata]
\]
valeurs réelles.

II.~Quel que soit $n$, si les nombres ou coefficients $A_{\alpha,\beta}$ ont tous
deux indices égaux, ou dont l'un soit $n$, l'équation en $u$ aura toutes
ses racines réelles.

\marginpage % *** File: 357.png
En effet, dans ce cas, l'équation en $n$ est celle notée (26). Si l'on
suppose que $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots, $A_{n,n}$ soient rangés par ordre de grandeur,
de sorte que l'on ait
\[
\infty > A_{1,1} > A_{2,2} > \ldots > A_{n,n} > -\infty,
\]
et que dans cette équation (26) on fasse successivement
\begin{flalign*}&
\begin{array}{@{}r@{\quad}c@{\quad}c@{}c@{\;}c@{\;}c}
u=\infty , &  A_{1,1} , &  A_{2,2}  &\dots  A_{n-1,n-1} , & A_{n,n} , & -\infty.\\
\text{U prendra les signes}\quad +    &     -      &    +      &      -              &   +       &   + ,\\
\text{ou bien}     \hfill        -    &     -      &    +      &      +              &   -       &   + ,
\end{array}&
\end{flalign*}
selon que $n$ sera pair ou impair. Ainsi, dans tous les cas, les $n$ racines
sont réelles, puisqu'il y a $n$ changements de signe.

Si plusieurs des nombres $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots $A_{n,n}$ étaient égaux, si l'on
avait, par exemple, $A_{1,1} = A_{2,2}$, l'équation (26) prendrait le facteur
$A_{1,1} - u$, d'où la racine $u = A_{1,1}$. Ce facteur supprimé, on
trouverait une équation semblable du $(n-1)$\ie\ degré, dont l'on prouverait
de même que les $n - 1$ racines sont toutes réelles.

Si les coefficients $A_{1,1}$, $A_{2,2}$\dots, $A_{n,n}$ n'étaient pas rangés par ordre
de grandeur, il suffirait d'un déplacement de termes pour retomber
dans ce cas. Ainsi la démonstration est générale.

III.~Quels que soient les coefficients $A_{\alpha,\beta}$, si l'équation en $u$ a
toutes ses racines réelles pour $n = m-1$, elle les aura aussi toutes
réelles pour $n = m$. Ceci étant démontré, comme dans tous les cas
les racines sont réelles pour $n = 2$, elles le seront encore toutes pour
$n = 3$, $n = 4$, et en général pour $n$ quelconque.

En ne considérant que les $m - 1$ inconnues $x_1$, $x_2$\ldots, $x_{m-1}$ qui
entrent dans la fonction homogène du second degré, qui, en outre,
contient $x_m$, on pourra, d'après, l'hypothèse, faire disparaître les rectangles
des $m - 1$ inconnues $x_1$, $x_2$\ldots, $x_{m-1}$, c'est-à-dire avoir une
transformée où tous les coefficients seront nuls, à l'exception de ceux
qui auraient des indices égaux, ou dont l'un des indices serait $m$.
Or, d'après la proposition précédente, par une nouvelle transformation,
celle-ci conduit à une équation en $u$, %[**errata]
dont toutes les racines
sont réelles. Il reste donc à montrer que les deux transformations
pourraient être remplacées par une seule, qui conduirait par conséquent
\marginpage % *** File: 358.png
à une équation en $u$ ayant toutes ses racines réelles. Or, si la
première substitution est exprimée par les équations
\[
x_1 = a_{1,1}y_1 + a_{1,2}y_2 + \dotsb + a_{1,n}y_n,\quad x_2= a_{2,1}y_1 + \etc,
\]
et si la deuxième substitution est exprimée semblablement par les
équations de même forme
\[
y_1 = b_{1,1}z_1 + b_{1,2}z_2 + \dotsb + b_{1,n}z_n,\quad y_2= b_{2,1}z_1 + \dotsb \etc,
\]
l'élimination de $y_1$, $y_2$\dots, $y_n$ donnera
\[
x_1 = c_{1,1}z_1 + c_{1,2}z_2 + \dotsb + c_{1,n}z_n,\quad x_2= c_{2,1}z_1 + \dotsb \etc,
\]
où l'on aura en général
\[
c_{i,\alpha} = a_{i,1}b_{1,\alpha} + a_{i,2}b_{2,\alpha} + \dotsb + a_{i,n}b_{n,\alpha}.
\]
Or les coefficients ainsi formés satisfont, comme on le vérifie très
facilement aux relations (10), (11), (13) et (14), ce qui d'ailleurs est
une suite des deux équations
\[
x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2 = y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_n^2,\quad y_1^2+ \dotsb +y_n^2=z_1^2+z_2^2+ \dotsb +z_n^2
\]
qui entraînent la suivante
\[
x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2 = z_1^2+z_2^2+ \dotsb +z_n^2.
\]
Ainsi les deux substitutions sont remplacées par une seule qui fait
disparaître tous les rectangles et qui conduit à une équation du
$n$\ie\ degré en $u$, dont toutes les racines sont réelles. Cette démonstration
n'est que le développement de celle que M.~Poisson a donnée
dans son mémoire sur le \emph{Mouvement d'un Corps solide}, pour le cas
de trois variables\footnote{Voyez aussi le mémoire de M.~Jacobi, déjà cité.}.

\begin{center}\emph{Racines égales.}\end{center}

Quand l'équation en $u$, $U = 0$, a des racines égales, ou satisfaisant
à l'équation $\dfrac{dU}{du}=0$, ces racines satisfont aussi à l'équation $\dfrac{dU}{dA_{\alpha,\beta}}=0$,
quels que soient les indices $\alpha$ et $\beta$ égaux ou non.

En raison de la forme de l'équation en $u$, on a
\marginpage % *** File: 359.png
\[
\tag{27} - \frac{dU}{du} = \frac{dU}{dA_{1,1}} + \frac{dU}{dA_{2,2}} + \dotsb + \frac{dU}{dA_{n,n}}.
\]
Élevant au carré les deux membres de cette équation, les doublant et
les simplifiant au moyen de l'équation (21), on aura
\[
\tag{28}
\begin{aligned}[t]
2\Big(\frac{dU}{du}\Big)^2  &=  2\Big(\frac{dU}{dA_{1,1}}\Big)^2 + 2\Big(\frac{dU}{dA_{2,2}}\Big)^2 + \dotsb + 2\Big(\frac{dU}{dA_{n,n}}\Big)^2\\
&+ \Big(\frac{dU}{dA_{1,2}}\Big)^2 + \Big(\frac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2 %[**errata]
 + \dotsb + \Big(\frac{dU}{dA_{\alpha,\beta}}\Big)^2 + \dotsb
\end{aligned}
\]
Pour le cas des racines égales, le premier membre devenant nul, il
en sera de même du second, et par conséquent de chaque terme en
particulier, puisque les racines sont toutes réelles.

\begin{center}\emph{Calcul des coefficients $a_{1,1}$, $a_{1,2}$\dots, $a_{n,n}$ de la substitution} (3).\end{center}

Pour trouver les coefficients de la substitution (3), il suffit de
remarquer que l'on a, en employant les notations de l'article II,
\[
\tag{29} \frac{a_{k,\alpha}}{a_{n,\alpha}} = (-1)^{n+k}\frac{\dethoriz{n}{k}}{\dethoriz{n}{n}}.
\]
Alors, au moyen de l'équation
\[
a^2_{1,\alpha} +  a^2_{2,\alpha} + \dotsb a^2_{n,\alpha} = 1,
\]
on trouvera, en mettant pour $\dethoriz{n}{i}^2$ sa valeur $\dethoriz{n}{n}\dethoriz{i}{i}$,
\[
\tag{30} a^2_{n,\alpha} = \frac{\dethoriz{n}{n}}{\dethoriz{1}{1}+\dethoriz{2}{2}+ \dotsb +\dethoriz{n}{n}}:
\]
il suffira pour cela de supprimer le facteur $\dethoriz{n}{n}$ commun aux deux
termes de la fonction. Par suite on aura
\[
\tag{31} a^2_{k,\alpha} = \frac{\dethoriz{k}{k}}{\dethoriz{1}{1}+\dethoriz{2}{2}+ \dotsb +\dethoriz{n}{n}}.
\]
Enfin, au moyen des équations (19), (20) et (27), les équations (29) et (31) deviendront
\[
\tag{32} \frac{a_{k,\alpha}}{a_{n,\alpha}} = \frac{1}{2}\frac{dU}{dA_{k,n}}:\frac{dU}{dA_{n,n}},
\]
\marginpage % *** File: 360.png
\[
a_{k,\alpha}^2=-\frac{dU}{dA_{k,k}}:\frac{dU}{du}\tag{33},
\]
où il faudra changer $u$ en $U\alpha$.

La remarque faite sur les racines égales montre que $a_{k,\alpha}^2$ peut se
présenter sous la forme $\dfrac{0}{0}$, mais non sous la forme $\dfrac{m}{0}$.

Dans la formule (33), quand on a mis dans $\dfrac{dU}{du}$, pour $n$ sa valeur
particulière $U_\alpha$, on peut encore remplacer $\dfrac{dU}{du}$ par le produit
\[
\pm(U_\alpha-U_1)(U_\alpha-U_2)\ldots(U_\alpha-U_{a-1})(U_\alpha-U_{\alpha+1})\ldots(U_\alpha-U_n),
\]
selon que $n$ est pair ou impair, pourvu cependant que toutes
les racines soient inégales. Cela suit de ce qu'en posant $U=(u-U_1)(u-U_2)\ldots(u-U_n)$,
il en résulte
\[
\frac{dU}{du}=\frac{U}{u-U_1}+\frac{U}{u-U_2}+ \dotsb +\frac{U}{u-U_n}.
\]
Si dans cette équation l'on fait, par exemple, $u = U_1$, le premier
terme se réduit à $(U_1-U_2)(U_1-U_3)\ldots(U_1-U_n)$, et tous les autres
disparaissent à cause du facteur nul $U_1-U_1$. On en dira autant pour
les autres substitutions $u=U_2$, $u=U_3$\dots $u=U_\alpha$\dots $u=U_n$. Cette
transformation pourra, dans certains cas, faciliter la discussion en
déterminant le signe du dénominateur.

\begin{center}
\emph{Résumé de la solution.}
\end{center}

La transformation de la fonction (1) en la fonction (7), par le
moyen de la substitution (3), est renfermée uniquement dans les
formules (22), (32) et (33).

L'équation (22) fait connaître les coefficients $U_1$, $U_2$\dots $U_n$ de la
transformée (7) par le moyen de la résolution d'une équation du
$n$\ie\ degré.

L'équation (33) fait connaître la valeur absolue des $n^2$ coefficients
de la substitution (3), par l'extraction de la racine carrée du
quotient de deux coefficients différentiels du premier membre $U$ de
l'équation (22).

\marginpage % *** File: 361.png
Comme ces coefficients peuvent être pris soit avec le signe $+$, soit
avec le signe $-$, l'équation (32) donne le moyen de combiner convenablement
les signes en montrant que les termes de la série
\[
a_{1,\alpha},\ a_{2,\alpha},\ a_{3,\alpha}\ldots a_{n,\alpha}
\]
ont les mêmes signes que ceux de la série
\[
\frac{dU}{dA_{1,n}},\ \frac{dU}{dA_{2,n}},\ \frac{dU}{dA_{3,n}}\ldots,\ \frac{dU}{dA_{n,n}},
\]
où l'on doit faire $u=U_\alpha$. On pourrait encore prendre tous les signes
opposés. Cela tient au signe que l'on donne à $a_{n,\alpha}$.

\mysection{IV.}
\begin{center}
\emph{Autre transformation de l'équation homogène du second degré à $n$
inconnues.}
\end{center}

La transformation précédente est fondée sur la relation
$x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_n^2=y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_n^2$, si l'on prend une autre
équation de condition, la solution du problème aura besoin de modification.
Il est une autre transformation aussi utile que la précédente,
c'est celle fondée sur la relation
\[
x_1^2+x_2^2+ \dotsb +x_{n-1}^2-x_n^2=y_1^2+y_2^2+ \dotsb +y_{n-1}^2-y_n^2
\]
Il serait long et d'ailleurs inutile de recommencer le calcul, il suffira
d'indiquer ici les changements à faire dans une partie des équations
des articles I et III.

Les équations de (1) à (8) inclusivement n'éprouvent aucun changement.

Dans l'équation (9), il faut changer le signe du dernier terme de
chaque membre, changement qui entraîne tous les suivants.

Dans les $n - 1$ premières équations (10) il faudra changer le signe
du dernier terme du premier membre, et dans la $n$\ie\ qui répond à
$\alpha=n$, il faudra changer le signe du dernier terme du premier membre
et de plus le signe du second membre.
\marginpage % *** File: 362.png

Dans toutes les équations (11) le dernier terme changera de signe.

Dans les équations (12) les derniers termes des seconds membres
changeront de signe, et il en sera de même du premier membre de
la $n$\ie.

Dans les équations (13) les signes des derniers termes des premiers
membres changeront: de plus dans la $n$\ie\ équation il faudra changer le
signe du deuxième membre.

Dans les équations (14), les derniers termes changeront de signe.

Dans les équations (15) il faudra changer $A_{n,n}-U_\alpha$ en $A_{n,n}+U_\alpha$.
De plus si $\alpha=n$, il faudra dans toutes changer $U_n$ en $-U_n$. D'ailleurs
dans la dernière équation (15) il faudra toujours changer le signe du
dernier terme du premier membre, et changer celui du second membre,
seulement pour $\alpha=n$.

Les équations de (16) à (21) ou de l'article II ne changent point.

Dans les équations de (22) à (26), il faut seulement changer $A_{n,n}-u$
en $A_{n,n}+u$, et d'ailleurs changer le signe de la racine $U_n$.

Dans l'équation (27) il faut changer le signe du dernier terme
$\dfrac{dU}{dA_{n,n}}$.

Dans l'équation (28) il faudra dans le second membre prendre négativement
les termes tels que $\Big(\dfrac{dU}{dA_{\alpha,n}}\Big)^2$.

Ce qui a été démontré pour la réalité des racines et sur leur égalité
n'a plus lieu ici même pour le cas de deux inconnues.

Dans l'équation (29) il n'y a rien à changer dans l'équation (30), et
dans la (31)\ie\ il faudra changer le signe de $\dethoriz{n}{n}$ au dénominateur et
aussi au numérateur pour $\alpha = n$.

Dans l'équation (32) il n'y a rien à changer: dans la (33)\ie, il faudra
pour le cas de $\alpha = n$, changer le signe du second membre, et de plus
remplacer $U_n$ par $-U_n$.

Enfin si l'on pose
\begin{alignat*}{3}
x_1&=x_n\cos\theta_1, \quad &x_2&=x_n\cos\theta_2,\ldots &x_{n-1}&=x_n\cos\theta_{n-1},\\
y_1&=y_n\cos\phi_1,   \quad &y_2&=y_n\cos\phi_2,  \ldots &y_{n-1}&=y_n\cos\phi_{n-1},
\end{alignat*}
et d'ailleurs,
\[
\cos^2\theta_1 + \cos^2\theta_2+ \dotsb +\cos^2\theta_{n-1} =1,
\]
\marginpage % *** File: 363.png
il en résultera
\[
\cos^2\phi_1 + \cos^2\phi_2 + \dotsb + \cos^2\phi_{n-1} = 1;
\]
et l'on transformera la fonction
\begin{alignat*}{2}
A_{1,1}\cos^2\theta_1 &+ 2A_{1,2}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \dotsb &&+ 2A_{1,n-1}\cos\theta_1\cos\theta_{n-1} + 2A_{1,n}\cos\theta_1\\
&\multispan{1}{${}+ \phantom{2}A_{2,2}\cos^2\theta_2 + \dotfill$} &&+ 2A_{2,n-1}\cos\theta_2\cos\theta_{n-1} + 2A_{2,n}\cos\theta_2\\[-1ex]
&                                            &&\;\;\vdots   \\[-1ex]
&                                            &&+ \phantom{2}\!A_{n-1,n-1}\cos^2\theta_{n-1} \begin{aligned}[t]&+ 2A_{n-1,n}\cos\theta_{n-1}\\
&+ \phantom{2}A_{n,n},\end{aligned}
\end{alignat*}
en
\[
U_1\cos^2\phi_1 + U_2\cos^2\phi_2 + \dotsb + U_{n-1}\cos^2\phi_{n-1} - U_n,
\]
ou
\[
(U_1-U_n)\cos^2\phi_1 + (U_2-U_n)\cos^2\phi_2 + \dotsb + (U_{n-1}-U_n)\cos^2\phi_{n-1},
\]
au dénominateur près, par le moyen de la substitution
\[
\cos\theta_i=\frac{a_{i,1}\cos\phi_1\,+\,a_{i,2}\cos\phi_2+ \dotsb +a_{i,n-1}\cos\phi_{n-1}\,+\,a_{i,n} }
{a_{n,1}\cos\phi_1+a_{n,2}\cos\phi_2+ \dotsb +a_{n,n-1}\cos\phi_{n-1}+a_{n,n} }
\]
où il faut donner à $i$ toutes les valeurs 1, 2, 3\dots $n$.

Il serait inutile d'entrer dans de plus longs détails sur cette seconde
transformation. L'application qui en sera faite plus loin, éclaircira ce
qui peut rester d'obscur dans les indications précédentes.

\jmpafin\newpage\vspace*{1ex}\marginpage\vspace{-5ex}
% *** File: 364.png
\begin{center}{\Large SECONDE PARTIE.}\end{center}

\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}

\mysection{APPLICATIONS.}

\mysection{I.}

\begin{center}
\emph{Exemple de la première transformation. Détermination des axes
principaux de rotation.}
\end{center}

Les équations du mouvement d'un corps solide contiennent les neuf
intégrales définies suivantes: $\tint xdm$, $\tint ydm$, $\tint zdm$; $\tint xydm$,
$\tint xzdm$, $\tint yzdm$;
$\tint x^2dm$, $\tint y^2dm$, $\tint z^2dm$
étendues à toute la masse du corps
dont l'élément est $dm$, et qui est rapporté à trois axes de coordonnées
rectangulaires $x$, $y$, $z$.

Il importerait donc de simplifier les équations différentielles du
mouvement par un changement d'axes et d'origine qui fît disparaître
un certain nombre de ces intégrales, quand bien même les nouveaux
axes ne devraient pas jouir de propriétés mécaniques remarquables.

Les trois premières intégrales disparaissent quand on met l'origine
au centre de gravité du corps. Les trois suivantes peuvent aussi disparaître,
quelle que soit l'origine; il suffit pour cela de choisir convenablement
la direction de trois nouveaux axes rectangulaires de même
origine.

Pour démontrer cette proposition en faisant usage des formules de la
première partie, on remplacera $x$, $y$, $z$, par $x_1$, $x_2$, $x_3$ et l'on
supposera que pour les axes sur lesquels se comptent ces coordonnées,
on ait trouvé
\begin{alignat*}{3}
\tint x^2_1dm &=A_{1,1},       &\tint x^2_2dm &=A_{2,2},       &\tint x^2_3dm  &= A_{3,3},\\
\tint x_1x_2dm&=A_{1,2}, \quad &\tint x_1x_3dm&=A_{1,3}, \quad &\tint x_2x_3dm &= A_{2,3}:
\end{alignat*}
afin de trouver de nouveaux axes de coordonnées rectangulaires de
même origine et pour lesquels on ait
\marginpage % *** File: 365.png
\begin{alignat*}{3}
\tint y_1^2dm &=U_1,     &\tint y_2^2dm &=U_2,      &\tint y_3^2dm &=U_3,\\
\tint y_1y_2dm&=0, \quad &\tint y_1y_3dm&=0,  \quad &\tint y_2y_3dm&=0,
\end{alignat*}
on posera les équations
\begin{align*}
x_1&= a_{1,1}y_1 + a_{1,2}y_2 + a_{1,3}y_3,\\
x_2&= a_{2,1}y_1 + a_{2,2}y_2 + a_{2,3}y_3,\\
x_3&= a_{3,1}y_1 + a_{3,2}y_2 + a_{3,3}y_3,
\end{align*}
qui, en supposant la relation
\[
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = y_1^2 + y_2^2 + y_2^2,
\]
donneront les équations
\begin{align*}
y_1 &= a_{1,1}x_1 + a_{2,1}x_2 + a_{3,1}x_3,\\
y_2 &= a_{1,2}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{3,2}x_3,\\
y_3 &= a_{1,3}x_1 + a_{2,3}x_2 + a_{3,3}x_3.
\end{align*}
Les neuf coefficients $a_{1,1}a_{1,2}\ldots a_{3,3}$ représentant les cosinus des angles
que les axes des deux systèmes font entre eux. Ainsi $a_{2,3}$ est le cosinus
de l'angle que l'axe des $x_2$ fait avec l'axe des $y_3$; le premier indice se
rapportant aux $x$ et le second aux $y$.

Si l'on calcule $\tint y_1^2dm$ et que l'on évite les transpositions de facteurs
et par suite les réductions, on trouvera
\begin{align*}
\tint y_1^2dm=U_1 &= a_{1,1}(A_{1,1}a_{1,1} + A_{1,2}a_{2,1} + A_{1,3}a_{3,1})\\
&+ a_{2,1}(A_{2,1}a_{1,1} + A_{2,2}a_{2,1} + A_{2,3}a_{3,1})\\
&+ a_{3,1}(A_{3,1}a_{1,1} + A_{3,2}a_{2,1} + A_{3,3}a_{3,1})
\end{align*}
ou $A_{2,1}$ représente $\tint x_2x_1dm$, comme $A_{1,2}$ représente $\tint x_1x_2dm$: ainsi
$A_{2,1}=A_{1,2}$. Cette valeur de $U_1$ est précisément celle trouvée dans la
première partie pour $B_{1,1}$. On trouvera pareillement que $U_2$ et $U_3$
reviennent à $B_{2,2}$ et $B_{3,3}$.

Si l'on calcule $\tint y_1y_2dm$ avec la même attention d'éviter les transpositions
de facteurs, on obtiendra\label{err365}
\begin{align*}
\tint y_1y_2dm   &= a_{1,1}(A_{1,1}a_{1,2} + A_{1,2}a_{2,2} + A_{1,3}a_{3,2})\\
&+ a_{2,1}(A_{2,1}a_{1,2} + A_{2,2}a_{2,2} + A_{2,3}a_{3,2})\\
&+ a_{3,1}(A_{3,1}a_{1,2} + A_{3,2}a_{2,2} + A_{3,3}a_{3,2}).
\end{align*}
\marginpage % *** File: 366.png
De même encore, on aurait
\begin{align*}
\tint y_2y_1dm&=a_{1,2}(A_{1,1}a_{1,1}+A_{1,2}a_{2,1}+A_{1,3}a_{3,1})\\
&+a_{2,2}(A_{2,1}a_{1,1}+A_{2,2}a_{2,1}+A_{2,3}a_{3,1})\\
&+a_{3,2}(A_{3,1}a_{1,1}+A_{3,2}a_{2,1}+A_{3,3}a_{3,1}).
\end{align*}
Ces deux quantités ne sont autres que celles représentées par $B_{1,2}$ et
$B_{2,1}$ dans la première partie; on reconnaît facilement leur égalité. Le
problème de déterminer les axes principaux, ou des axes pour lesquels
on ait
\[
\textstyle{\tint}y_1y_2dm=0,
\quad\textstyle{\tint}y_1y_3dm=0,
\quad \textstyle{\tint}y_2y_3dm=0,
\]
dépendra donc des équations
\begin{alignat*}{3}
B_{1,1}&=U_1,\quad &B_{1,2}&=0,        &B_{1,3}&=0,\\
B_{2,1}&=0,        &B_{2,2}&=U_2,\quad &B_{2,3}&=0,\\
B_{3,1}&=0,        &B_{3,2}&=0,        &B_{3,3}&=U_3.
\end{alignat*}
Ce problème est donc analytiquement le même que celui de faire disparaître
les rectangles de la fonction
\begin{align*}
A_{1,1}x^2_1 &+ 2A_{1,2}x_1x_2+2A_{1,3}x_1x_3\\
&+ A_{2,2}x^2_2 \begin{aligned}[t]&+ 2A_{2,3}x_2x_3\\
&+ A_{3,3}x^2_3.\end{aligned}
\end{align*}
L'équation qui détermine $U_1=\tint y^2_1dm$, $U_2=\tint y_2dm$, $U_3=\tint y_3dm$
sera donc
$U=(A_{1,1}-u)(A_{2,2}-u)(A_{3,3}-u)
-A^2_{2,3}(A_{1,1}-u)
-A^2_{1,3}(A_{2,2}-u)
-A^2_{1,2}(A_{3,3}-u)+
2A_{1,2}A_{1,3}A_{3,2}=0$, et les neuf cosinus qui déterminent la position des
axes principaux seront donnés, tant pour la valeur absolue que pour
les signes, par les deux équations
\[
a^2_{k,\alpha}=-\dfrac{dU}{dA_{k,k}}:\dfrac{dU}{du}, \quad \dfrac{a_{k,\alpha}}{a_{3,\alpha}}=\tfrac{1}{2}\dfrac{dU}{dA_{k,3}}:\dfrac{dU}{dA_{3,3}},
\]

\marginpage % *** File: 367.png
Si l'on effectue les différentiations indiquées et, qu'en supposant
les racines inégales on remplace $\dfrac{dU}{du}$ par un produit de différences
des racines $U_1$, $U_2$, $U_3$, on aura\label{err367}
\begin{align*}
a^2_{1,1}=\frac{(A_{2,2}-U_1)(A_{3,3}-U_1)-A^2_{2,3}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\
a^2_{2,1}=\frac{(A_{1,1}-U_1)(A_{3,3}-U_1)-A^2_{1,3}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\
a^2_{3,1}=\frac{(A_{1,1}-U_1)(A_{2,2}-U_1)-A^2_{1,2}}{(U_{1}-U_{2})(U_{1}-U_{3})},\\
\end{align*}
Pour avoir les valeurs de $a^2_{1,2}$, $a^2_{2,2}$, $a^2_{3,3}$, il faudra au numérateur
changer $U_1$ en $U_2$ et prendre pour dénominateur le produit $(U_2-U_1),(U_2-U_3)$.

Pour avoir les valeurs de $a^2_{1,3}$, $a^2_{2,3}$, $a^2_{3,3}$, il faudra au numérateur
changer $U_1$ en $U_3$ et prendre le produit $(U_3-U_1)(U_3-U_2)$ pour
dénominateur.

Quant aux signes, on prendra ceux des coefficients différentiels
\[
\frac{dU}{dA_{1,3}},\quad \frac{dU}{dA_{2,3}}, \quad \frac{dU}{dA_{3,3}},
\]
où il faudra faire $u=U_1$ pour $a_{1,1}$, $a_{2,1}$, $a_{3,1}$; $u=U_2$ pour $a_{1,2}$, $a_{2,2}$,
$a_{3,3}$; et $u=U_3$, pour $a_{1,3}$, $a_{2,3}$, $a_{3,3}$.

La discussion des formules précédentes ne présente aucune difficulté,
elle a été trop souvent présentée pour qu'il soit nécessaire de
la mettre ici. La conséquence qu'on en tire, c'est qu'en général il n'y
a qu'un système d'axes principaux et qu'il y en a toujours un. Cependant
pour le cas de deux racines égales (pour l'équation en $u$), il
y a une infinité de systèmes ayant un axe commun, et enfin pour le
cas des trois racines égales, tous les systèmes d'axes rectangulaires
passant par l'origine donnée sont des axes principaux.

Il suffira d'ajouter ici que les formules précédentes ne diffèrent de
celle du §~II du mémoire de M.~Poisson sur le mouvement d'un
corps solide, que par un facteur supprimé aux deux termes des fractions
qui représentent les neuf cosinus, qui fixent la position des axes
principaux.
\marginpage % *** File: 368.png
\mysection{II.}

\begin{center}
\emph{Exemple de la seconde transformation.}
\end{center}

\textsc{Problème}. \emph{Trouver l'attraction qu'exercerait une planète sur un
point matériel, si la masse de cette planète était distribuée sur les parties
de son orbite, en raison du temps qu'elle met à les parcourir?}

Ce problème sera traité ici fort succinctement, mais il serait très
facile de déduire de la solution les diverses formules que M.~Gauss a
exposées dans le mémoire où il s'occupe de la présente question.
(\emph{Determinatio attractionis}, etc. \ldots)

\emph{Solution.} Soit $a$ le grand axe de l'orbite, $b$ le petit, et $a^2-b^2=a^2e^2$,
de sorte que $e$ soit l'excentricité, si l'on représente par $\theta$ l'anomalie
excentrique, par $T$ le temps de la révolution, et par $\dfrac{2\pi}{T}$ la vitesse
moyenne angulaire de la planète, on aura $ndt=(1-e \cos \theta)d\theta$. La
masse de la planète étant prise pour unité, la partie de cette masse qui
serait distribuée sur le petit arc parcouru pendant l'instant $dt$ sera
\[
\frac{dt}{T}=\frac{ndt}{nT}=\frac{(1-e\cos \theta)d\theta}{2\pi}.
\]

Si l'on prend le grand axe de l'ellipse pour axe des $x$, le petit axe
pour celui des $y$, et la perpendiculaire menée par le centre au plan de
l'orbite pour l'axe des $z$, les coordonnées d'un point de l'ellipse seront
$x=a\cos\theta$, $y=b\sin\theta$. Par conséquent, si les coordonnées du point
attiré sont $A$, $B$, $C$, la distance du point de l'ellipse dont les coordonnées
sont $a\cos\theta$, $b\cos\theta$, 0 à ce point, sera donnée, en la représentant
par $r$, par l'équation
\[
r^2=(A-a\cos\theta)^2+(B-b\sin\theta)^2+C^2,
\]
ou par
\begin{align*}
r^2=a^2\cos^2\theta &+ 2\times 0 \ldot \cos \theta \sin \theta - 2Aa \cos \theta\\
&+b^2 \sin^2 \theta \begin{aligned}[t]&- 2Bb \sin \theta \\
&+A^2+B^2+C^2.\end{aligned}
\end{align*}
L'attraction de l'élément de l'orbite sur le point donné sera
\marginpage % *** File: 369.png
$\dfrac{(1-e \cos \theta)d\theta} {2\pi r^2}$
et ses composantes parallèlement aux trois axes seront
\begin{align*}
X &= \frac{(A - a \cos \theta)(1 - e \cos \theta) d\theta}{2\pi r^3},\\
Y &= \frac{(B - b \cos \theta)(1 - e \cos \theta) d\theta}{2\pi r^3},\\
Z &= \frac{C(1 - e \cos \theta)d\theta}{2\pi r^3}.
\end{align*}

Si l'on posait  $V= \dfrac{(1-e \cos \theta) d\theta}{2\pi r}$,  il en résulterait $X = -\dfrac{dV}{dA}$,
$Y = -\dfrac{dV}{dB}$, $Z = -\dfrac{dV}{dC}$, mais il vaut mieux traiter directement les
quantités $X$, $Y$, $Z$.

Pour faciliter l'intégration il faut simplifier le radical, par conséquent
en vertu de la valeur précédente de $r^2$,
si l'on pose
\begin{gather*}
\cos \theta = \cos \theta_1, \quad
\sin \theta = \cos \theta_2, \quad
A_{1,1} =a^2, \quad A_{1,2} = 0, \quad
A_{1,3} = A_{3,1} = -Aa\\
A_{2,2} = b^2, \quad  A_{2,3} = A_{3,2} = -Bb, %[**errata]
\quad A_{3,3}=A^2+ B^2 + C^2
\end{gather*}
où aura à simplifier l'expression
\begin{align*}
A_{1,1} \cos^2\theta_1 &+ 2A_{1,2} \cos\theta_1 \cos\theta_2 + 2A_{1,3} \cos\theta_1\\
&+ A_{2,2} \cos^2\theta_2 \begin{aligned}[t]&+ 2A_{2,3} \cos\theta_2\\
&+ A_{3,3},\end{aligned}
\end{align*}
par le moyen de la substitution
\begin{align*}
\cos\theta_1 &= \frac{a_{1,1} \cos\phi_1 + a_{1,2} \cos\phi_2 + a_{1,3}}
{a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}},
\\
\cos\theta_2 &= \frac{a_{2,1} \cos\phi_1 + a_{2,2} \cos\phi_2 + a_{2,3}}
{a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}},
\end{align*}
où l'on posera pour abréger,
\[
v = a_{3,1} \cos\phi_1 + a_{3,2} \cos\phi_2 + a_{3,3}. %[**errata]
\]
cette substitution réduira $r^2$ à la forme
\[
\left[(U_1 - U_3) \cos^2\phi_1 + (U_2 - U_3) \cos^2\phi_2\right]: v^2.
\]
Les quantités  $U_1$, $U_2$, $U_3$ étant les racines de l'équation
\marginpage % *** File: 370.png
\begin{align*}
U = (A_{1,1}-u) (A_{2,2}-u)(A_{3,3}+u) &- A^2_{2,3}(A_{1,1}-u) - A^2_{1,3}(A_{2,2}-u)\\
&- A^2_{1,2}(A_{3,3}+u) + 2A_{1,2}A_{1,3}A_{2,3} = 0,
\end{align*}
qui revient à
\[
(a^2-u)(b^2-u)(A^2+B^2+C^2+u) - B^2b^2(a^2-u) - A^2a^2(b^2-u) = U = 0,
\]
ou bien encore à
\[
u^3 + (A^2+B^2+C^2-a^2-b^2)u^2 + [a^2b^2-a^2(B^2+C^2)-b^2(A^2+C^2)]u + a^2b^2C^2 = 0; %[**errata]
\]
sous cette forme on reconnaît une équation qui se présente dans le
calcul de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur, au moyen
du théorème de M.~Ivory.

La première forme de l'équation en $u$, montre que les trois racines
sont réelles; en effet si l'on pose
\[
\begin{array}{lcccl}
u=\dotfill &a^2,&b^2,&0,&-\infty,\\
U \text{prendra les signes}\ldots &+,&-,&+,&-.
\end{array}
\]
Il aura donc trois racines réelles et inégales, sauf certains cas, où
quelques-uns des nombres $a^2$, $b^2$, $0$ deviendraient racines. Il pourrait
alors y avoir deux racines égales à $b^2$, ou deux racines égales à zéro.
Le premier cas se présente pour $B = 0$ et $A^2b^2 - a^2e^2C^2 = a^2b^2e^2$,
c'est-à-dire pour une suite de points formant une hyperbole dont les
sommets sont les foyers de l'ellipse et dont le second axe est égal
au petit axe de l'ellipse. Pour ce cas $(U_1 - U_3) \cos^2 \phi_1 + (U_2 - U_3)
\cos^2\phi_2=U_1-U_3$, l'irrationalité disparaît et l'intégration ne présente
aucune difficulté. Le second cas ne peut se présenter que quand le
point attiré est sur l'ellipse: il doit par conséquent être mis de côté.

Pour le cas général, ou des trois racines inégales, on prendra les
deux racines positives pour $U_1$ et $U_2$, l'on supposera $U_1 > U_2$, la racine
négative sera représentée par $U_3$. Au moyen des formules (32)
et (33) modifiées convenablement, on déterminera les neuf coefficients
de la substitution. Cela étant fait, soit en posant
\begin{gather*}
\cos\theta_1 =\cos\theta, \quad \cos\theta_2=\sin\theta,\quad \cos\phi_1 =\cos\phi, \quad \cos\phi_2=\sin\phi,\\
v= a_{3,1} \cos\phi + a_{3,2} \sin\phi + a_{3,3},\\ %[**errata]
v\cos\theta = a_{1,1} \cos\phi+a_{1,2} \sin\phi+a_{1,3},\\
v\sin\theta = a_{2,1} \cos\phi+a_{2,2} \sin\phi+a_{2,3}.
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 371.png
Différentiant les deux dernières et éliminant $dv$ il vient
\[
v d \theta=[\cos\theta(-a_{2,1} \sin \phi+a_{2,2}\cos\phi)-\sin\theta(-a_{1,1}\sin\phi+a_{1,2}\cos\phi)]d\phi,
\]
multipliant par $v$ et réduisant, on a
\[
v^2d\theta{=}[(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})\!\cos\phi+(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1})\!\sin\phi+(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})]d\phi;
\]
mais ici l'on a\label{err371}
\begin{align*}
y_1&=a_{1,1}x_1+a_{2,1}x_2-a_{3,1}x_3,\\
y_2&=a_{1,2}x_1+a_{2,2}x_2-a_{3,2}x_3,\\
-y_3&=a_{1,3}x_1+a_{2,3}x_2-a_{3,3}x_3;\\
\intertext{tirant de là la valeur de $x_3$ et la comparant à}
x_3&=a_{3,1}y_1+a_{3,2}y_2+a_{3,3}y_3,
\end{align*}
on trouvera en écrivant, pour abréger,
\[
E=-a_{3,1}(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})-a_{3,2} %[**errata]
(a_{1,1}a_{2,3}-a_{2,1}a_{1,3})+a_{3,3}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{2,1}),
\]
l'équation
\[
Ex_3=(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2})y_1+(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{1,1})y_2+(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})y_3,
\]
et par suite
\[
Ea_{3,1}{=}(a_{2,2}a_{1,3}-a_{2,3}a_{1,2}), Ea_{3,2}{=}(a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1}), Ea_{3,3}{=}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2});
\]
par conséquent,
\[
v^2d\theta =\ E(a_{3,1} \cos \phi + a_{3,2} \sin \phi + a_{3,3})d\phi, \qtext{ou} v d\theta =\ Ed\phi.
\]
Quant à $E$, on vérifiera très facilement que sa valeur est $+1$ ou $-1$,
c'est-à-dire que l'on a $E^2=1$ en vertu des relations qui existent entre
les coefficients de la substitution.

Les quantités $A-a\cos\theta$, $B-b\sin\theta$, $1-e\cos\theta$, par la substitution
des valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ se réduisent à
\[
\label{err371a}(L\cos\phi+M\sin\phi+N){:}v,(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N'){:}v,(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N''){:}v; %[**errata]
\]
d'où il résulte
\marginpage % *** File: 372.png
\begin{flalign*}
X&=E(L\cos\phi+M\sin\phi+N)(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi: \\
&&\llap{$2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2},$} \\
Y&=E(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N')(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi:            &\emph{idem},\hspace{1.5em}\\
Z&=CE(a_{3,1}\cos\phi+a_{3,2}\sin\phi+a_{3,3})(L''\cos\phi+M''\sin\phi+N'')d\phi:&\emph{idem}\phantom{,}\hspace{1.5em}
\end{flalign*}
Si l'on observe que les intégrales
\[
\int\frac{\sin\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}},\quad \int\frac{\cos\phi d\phi}{\emph{idem}},\quad \int\frac{\sin\phi\cos\phi d\phi}{\emph{idem}}
\]
sont nulles quand on les prend depuis $\phi = 0$, jusqu'à $\phi = 360°$, ce
qu'il faut faire ici; il suffira dans les numérateurs de $X$, $Y$ et $Z$ de
conserver les termes renfermant $\cos^2\phi$, $\sin^2\phi$ et ceux indépendants
de $\phi$. Si donc l'on pose
\begin{gather*}
P=\int_0^{2\pi}\frac{\cos^2\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}}, \\
Q=\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\phi d\phi}{2\pi[(U_1-U_3)\cos^2\phi+(U_2-U_3)\sin^2\phi]^\frac{3}{2}},
\end{gather*}
on aura entre les mêmes limites
\begin{align*}
E\int X&=(LL''+NN'')P + (MM''+NN'')Q,\\ %[**errata]
E\int Y&=(L'L''+N'N'')P + (M'M''+N'N'')Q,\\
E\int Z&=(a_{3,1}L''+a_{3,3}N'')CP + (a_{3,2}M''+a_{3,3}N'')CQ.
\end{align*}
Quant aux intégrales $P$ et $Q$, elles se ramènent, ainsi qu'il suit, aux
fonctions elliptiques.

La quantité $(U_1-U_3)\cos^2\phi + (U_2-U_3)\sin^2\phi$ peut s'écrire
$(U_1-U_3) - (U_1-U_2)\sin^2\phi$; si l'on pose $U_1-U_3 = m^2$, $\dfrac{U_1-U_2}{U_1-U_3}=c^2$,
l'on aura
\[
P=\frac{1}{2\pi m^3}\int \frac{\cos^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}},\quad Q =\frac{1}{2\pi m^3}\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}},
\]
or l'intégration par parties donne
\begin{align*}
&\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = -\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} + \int \frac{\cos^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}}, \\ %[**errata]
&\int \frac{\cos^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = +\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} + (1-c^2)\int \frac{\sin^2\phi d\phi}{(1-c^2\sin^2\phi)^\frac{3}{2}}, %[**errata]
\end{align*}
\marginpage % *** File: 373.png
Si l'on représente les premiers membres de ces équations par $P_1$ et $Q_1$, on trouvera d'abord
\[
P_1 + Q_1 = \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = F(c, \phi),
\]
puis
\[
\int\frac{c^2\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}} = \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}
- \int d\phi\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}=F(c, \phi)-E(c, \phi);
\]
de là résulte
\begin{align*}
P_1 &= \int\frac{\sin^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}=\frac{1}{c^2}F(c, \phi)-\frac{1}{c^2}E(c, \phi), \\
Q_1 &= \int\frac{\cos^2\phi d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}=\frac{1}{c^2}E(c, \phi)-\Big(\frac{1-c^2}{c^2}\Big)F(c, \phi),
\end{align*}
et par conséquent
\begin{align*}
2c^2 \pi m^3 P & = c^2\int \!\!\! \frac{\cos^2 \!\!\phi  d \phi}{(1-c^2 \sin^2\!\! \phi)^{\frac{3}{2}}}= F(c,\phi)- E(c,\phi)+ \frac{c^2 \sin \phi \cos \phi}{\sqrt{1-c^2 \sin^2\!\! \phi}},\\ %[**errata]
2c^2 \pi m^3 Q & = c^2\int \!\!\! \frac{\sin^2\!\! \phi  d \phi}{(1-c^2 \sin^2\!\! \phi)^{\frac{3}{2}}}= \frac{1}{1-c^2} E(c,\phi)
\begin{aligned}[t]&- F(c,\phi)\\&- \frac{c^2 \sin \phi \cos \phi}{(1-c^2)\sqrt{1-c^2 \sin^2 \!\!\phi}}.\end{aligned}
\end{align*}
on aura donc entre les limites 0 et 360°
\begin{align*}
c^2 \pi m^3 P & = 2 \left[ F(c) - E(c) \right],\\
c^2 \pi m^3 Q & = 2 \Big[ \frac{1}{1-c^2} E(c)-F(c) \Big],
\end{align*}
conformément à la notation des fonctions elliptiques.

\jmpafin

% *** File: 374.png

\jmpapaper{}{}{Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de
Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas;}{Par M.~L. WANTZEL,}{Élève-Ingénieur des Ponts-et-Chaussées.}
\label{art31}

\mysection{I.}

Supposons qu'un problème de Géométrie puisse être résolu par des
intersections de lignes droites et de circonférences de cercle: si l'on
joint les points ainsi obtenus avec les centres des cercles et avec les
points qui déterminent les droites on formera un enchaînement de
triangles rectilignes dont les éléments pourront être calculés par les
formules de la Trigonométrie; d'ailleurs ces formules sont des équations
algébriques qui ne renferment les côtés et les lignes trigonométriques
des angles qu'au premier et au second degré; ainsi l'inconnue
principale du problème s'obtiendra par la résolution d'une série d'équations
du second degré dont les coefficients seront fonctions rationnelles
des données de la question et des racines des équations précédentes.
D'après cela, pour reconnaître si la construction d'un problème
de Géométrie peut s'effectuer avec la règle et le compas, il faut chercher
s'il est possible de faire dépendre les racines de l'équation à laquelle il
conduit de celles d'un système d'équations du second degré composées
comme on vient de l'indiquer. Nous traiterons seulement ici le cas où
l'équation du problème est algébrique.

\mysection{II.}

Considérons la suite d'équations:
\begin{flalign*}
&(A)\quad\left\{
\begin{aligned}
x_1^2{+}Ax_1{+}B=0,\;&x_2^2{+}A_1x_2{+}B_1=0\ldots x_{n-1}^2{+}A_{n-2}x_{n-1}{+}B_{n-2}=0,\\
&x_n^2{+}A_{n-1}x_n{+}B_{n-1}=0,
\end{aligned}
\right.&
\end{flalign*}
dans lesquelles $A$ et $B$ représentent des fonctions rationnelles des
quantités données $p$, $q$, $r$\dots; $A_1$ et $B_1$ des fonctions rationnelles de
$x_1$, $p$, $q$,\dots; et, en général, $A_m$ et $B_m$ des fonctions rationnelles de
$x_m$, $x_{m-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots.

Toute fonction rationnelle de $x_m$ telle que $A_m$ ou $B_m$, prend la forme
\[\dfrac{C_{m-1}x_m+ D_{m-1}}{E_{m-1}x_m+ F_{m-1}}\] si l'on élimine les puissances de $x_m$ supérieures à la première
\marginpage % *** File: 375.png
au moyen de l'équation $x_m^2 + A_{m-1} %[**errata]
x_m + B_{m-1} = 0$, en désignant
par $C_{m-1}$, $D_{m-1}$, $E_{m-1}$, $F_{m-1}$, des fonctions rationnelles de $x_{m-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots;
elle se ramènera ensuite à la forme $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}$ en multipliant
les deux termes de $\dfrac{C_{m-1}x_m+ D_{m-1}}{E_{m-1} x_m+ F_{m-1}}$ par $-E_{m-1}(A_{m-1}+x_m) %[**errata]
+F_{m-1}$.

Multiplions l'une par l'autre les deux valeurs que prend le premier
membre de la dernière des équations (A) lorsqu'on met successivement
à la place de $x_{n-1}$ dans $A_{n-1}$ et $B_{n-1}$ les deux racines de l'équation
précédente: nous aurons un polynome du quatrième degré en $x_n$ dont
les coefficients s'exprimeront en fonction rationnelle de $x_{n-2}$\dots $x_1$,
$p$, $q$,\dots; remplaçons de même successivement dans ce polynome
$x_{n-2}$ par les deux racines de l'équation correspondante, nous obtiendrons
deux résultats dont le produit sera un polynome en $x_n$ de degré
$2^3$, à coefficient rationnel par rapport à $x_{n-3}$\dots $x_1$, $p$, $q$\dots; et, en
continuant de la même manière, nous arriverons à un polynome en $x_n$
de degré $2^n$ dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de
$p$, $q$, $r$\dots. Ce polynome égalé à zéro donnera l'équation finale
$f(x_n) = 0$ ou $f(x) = 0$, qui renferme toutes les solutions de la question.
On peut toujours supposer qu'avant de faire le calcul on a réduit
les équations (A) au plus petit nombre possible. Alors une quelconque
d'entre elles $x_{m+1}^2+ A_{m}x_{m+1}+B_{m}=0$, ne peut pas être satisfaite
par une fonction rationnelle des quantités données et des racines des
équations précédentes. Car, s'il en était ainsi, le résultat de la substitution
serait une fonction rationnelle de $x_m$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots\ qu'on peut
mettre sous la forme $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}$ et l'on aurait $A'_{m-1}x_m+ B'_{m-1}=0$;
on tirerait de cette relation une valeur rationnelle de $x_m$ qui substituée
dans l'équation du second degré en $x_m$ conduirait à un résultat de la
forme $A'_{m-2}x_{m-1}+ B'_{m-2}=0$. En continuant ainsi, on arriverait à
$A'x_1+B'=0$, c'est-à-dire que l'équation $x_1^2+Ax_1+B=0$ aurait
pour racines des fonctions rationnelles de $p$, $q$\dots; le système des équations
(A) pourrait donc être remplacé par deux systèmes de $n - 1$ équations
du second degré, indépendants l'un de l'autre, ce qui est contre la
supposition. Si l'une des relations intermédiaires $A'_{m-2}x_{m-1}+ B'_{m-2}=0$,
par exemple, était satisfaite identiquement, les deux racines de l'équation
$x^2_{m-1}+A_{m-1}x_m+B_{m-1}=0$ seraient des fonctions rationnelles de
$x_{m-1}$\dots $x_1$, pour toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités,
en sorte qu'on pourrait supprimer l'équation en $x_m$ et remplacer la
racine successivement par ses deux valeurs dans les équations suivantes,
\marginpage % *** File: 376.png
ce qui ramènerait encore le système des équations (A) à deux
systèmes de $n - 1$ équations.

\mysection{III.}

Cela posé, l'\emph{équation du degré $2^n$, $f(x) = 0$, qui donne toutes les
solutions d'un problème susceptible d'être résolu au moyen de $n$ équations
du second degré, est nécessairement irréductible}, c'est-à-dire
qu'elle ne peut avoir de racines communes avec une équation de
degré moindre dont les coefficients soient des fonctions rationnelles
des données $p$, $q$\dots.

En effet, supposons qu'une équation $F(x) = 0$, à coefficients rationnels
soit satisfaite par une racine de l'équation $x^2_n+A_{n-1}x_n+B_{n-1}=0$,
en attribuant certaines valeurs convenables aux quantités $x_{n-1}$,
$x_{n-2}$\dots $x_1$. La fonction rationnelle $F(x_n)$ d'une racine de cette dernière
équation peut se ramener à la forme $A'_{n-1}x_n + B'_{n-1}$, en désignant
toujours par $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ des fonctions rationnelles de
$x_{n-1}$\dots $x_1$, $p$, $q$\dots; de même $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ peuvent prendre l'un
et l'autre la forme $A'_{n-2}x_{n-1}+B'_{n-2}$, et ainsi de suite; on arrivera
ainsi à $A'_1x_n +  B'_1$ où $A'_1$ et $B'_1$ peuvent être mis sous la forme $A'x_1
+ B'$ dans laquelle $A'$ et $B'$ représentent des fonctions rationnelles
des données $p$, $q$\dots. Puisque $F(x_n) = 0$ pour une des valeurs de $x_n$,
on aura $A'_{n-1} %[**errata]
x_n+B'_{n-1}=0$, et il faudra que $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ soient nuls
séparément, sans quoi l'équation $x^2_n+A_{n-1}x_n+B_{n-1}=0$ serait satisfaite
pour la valeur $-\dfrac{B'_{n-1}}{A'_{n-1}}$ qui est une fonction rationnelle de
$x_{n-1}$,\dots $x_1$, $p$, $q$\dots, ce qui est impossible; de même, $A'_{n-1}$ et $B'_{n-1}$ %[**errata]
étant nuls, $A'_{n-2}$, et $B'_{n-2}$ le seront aussi et ainsi de suite jusqu'à $A'$
et $B'$ qui seront nuls identiquement, puisqu'ils ne renferment que des
quantités données. Mais alors $A'_1$, et $B'_1$, qui prennent également la
forme $A'x_1 + B'$ quand on met pour $x$, chacune des racines de l'équation
$x^2_1 + Ax_1 + B = 0$, s'annuleront pour ces deux valeurs de $x_1$;
pareillement, les coefficients $A'_2$ et $B'_2$ peuvent être mis sous la forme
$A'_1x_2 + B'_1$ en prenant pour $x_2$ l'une ou l'autre des racines de l'équation
$x^2_2 +A_1x_2 +B_1 = 0$, correspondantes à chacune des valeurs de
$x_1$, et par conséquent ils s'annulleront pour les quatre valeurs de $x_2$ et
pour les deux valeurs de $x_1$ qui résultent de la combinaison des deux
premières équations (A). On démontrera de même que $A'_3$ et $B'_3$ seront
nuls en mettant pour $x_3$ les $2^3$ valeurs tirées des trois premières équations
(A) conjointement avec les valeurs correspondantes de $x_2$ et $x_1$;
\marginpage % *** File: 377.png
et continuant de cette manière on conclura que $F(x_n)$ s'annulera pour
les $2^n$ valeurs de $x_n$ auxquelles conduit le système de toutes les
équations (A) ou pour les $2^n$ racines de $f(x) = 0$. Ainsi une équation
$F(x) = 0$ à coefficients rationnels ne peut admettre une racine de $f(x) = 0$
sans les admettre toutes; donc l'équation $f(x) = 0$ est irréductible.

\mysection{IV.}

Il résulte immédiatement du théorème précédent que tout problème
qui conduit à une équation irréductible dont le degré n'est pas une
puissance de $2$, ne peut être résolu avec la ligne droite et le cercle.
Ainsi \emph{la duplication du cube}, qui dépend de l'équation $x^3 - 2a^3 = 0$
toujours irréductible, ne peut être obtenue par la Géométrie élémentaire.
Le problème \emph{des deux moyennes proportionnelles}, qui conduit
à l'équation $x^3 - a^2b = 0$ est dans le même cas toutes les fois que le
rapport de $b$ à $a$ n'est pas un cube. La \emph{trisection de l'angle} dépend de
l'équation $x^3 -\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}a = 0$; cette équation est irréductible si elle
n'a pas de racine qui soit une fonction rationnelle de $a$ et c'est ce
qui arrive tant que $a$ reste algébrique; ainsi le problème ne peut être
résolu en général avec la règle et le compas. Il nous semble qu'il n'avait
pas encore été démontré rigoureusement que ces problèmes, si
célèbres chez les anciens, ne fussent pas susceptibles d'une solution
par les constructions géométriques auxquelles ils s'attachaient particulièrement.

La division de la circonférence en parties égales peut toujours se
ramener à la résolution de l'équation $x^m - 1= 0$, dans laquelle $m$
est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Lorsque
$m$ est premier, l'équation $\dfrac{x^m-1}{x-1}=0$ du degré $m - 1$ est irréductible,
comme M.~Gauss l'a fait voir dans ses \emph{Disquisitiones arithmeticæ},
section VII; ainsi la division ne peut être effectuée par des constructions
géométriques que si $m - 1 = 2^n$. Quand $m$ est de la forme $a^\alpha$, on
peut prouver, en modifiant légèrement la démonstration de M.~Gauss
que l'équation de degré $(a - 1)a^{\alpha-1}$, obtenue en égalant à zéro le
quotient de $x^{a^\alpha}\! - 1$ par $x^{a^{\alpha-1}}\! - 1$, est irréductible; il faudrait donc
que $(a - 1)a^{\alpha-1}$ fût de la forme $2^n$ en même temps que $a-1$, ce qui
est impossible à moins que $a = 2$. Ainsi, \emph{la division de la circonférence
en N parties ne peut être effectuée avec la règle et le compas
que si les facteurs premiers de N différents de $2$ sont de la forme} $2^n + 1$
\emph{et s'ils entrent seulement à la première puissance dans ce nombre}. Ce
\marginpage % *** File: 378.png
principe est annoncé par M.~Gauss à la fin de son ouvrage, mais il n'en
a pas donné la démonstration.

Si l'on pose $x=k+A'\sqrt[m']{a'}+A''\sqrt[m'']{a''}+$ etc. $m'$, $m''$\dots\ étant des
puissances de 2, et $k$, $A'$, $A''$\dots $a'$, $a''$\dots\ des nombres commensurables,
la valeur de $x$ se construira par la ligne droite et le cercle, en
sorte que $x$ ne peut être racine d'une équation irréductible d'un degré
$m$ qui ne soit pas une puissance de 2. Par exemple, on ne peut avoir,
$x=A\sqrt[m]{a}$, si $(\sqrt[m]{a})^p$ est irrationnel pour $p < m$; on démontrerait
facilement que $x$ ne peut prendre cette valeur lors même que $m$ serait
une puissance de 2. Nous retrouvons ainsi plusieurs cas particuliers
des théorèmes sur les nombres incommensurables que nous
avons établis ailleurs\footnote{%
\emph{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier XXVI.
}.

\mysection{V.}

Supposons qu'un problème ait conduit à une équation de degré
$2^n$, $F(x) = 0$ et qu'on se soit assuré que cette équation est irréductible;
il s'agit de reconnaître si la solution peut s'obtenir au moyen d'une
série d'équations du second degré.

Reprenons les équations (A):
\begin{flalign*}&(A)
\quad\left\{
\begin{aligned}
&x^2_1+Ax_1+B=0,\quad x^2_2+A_1x_2+B_1=0 \ldots,\\
&x^2_{n-1}+A_{n-2}x_{n-1}+B_{n-2}=0, \quad x^2_n + A_{n-1}x_n + B_{n-1}=0.
\end{aligned}\right.&
\end{flalign*}
Il faudra construire l'équation $f(x) = 0$, à coefficients rationnels, qui
donne toutes les valeurs de $x_n$ et l'identifier avec l'équation donnée
$F(x) = 0$. Pour faire ce calcul on remarque que $A_{n-1}$ et $B_{n-1}$ se ramènent
à la forme $a_{n-1}x_{n-1} + a'_{n-1}$ et $b_{n-1}x_{n-1} + b'_{n-1}$ en sorte que
l'élimination de $x_{n-1}$ entre les deux dernières équations (A) se fait
immédiatement, ce qui donne une équation du quatrième degré en $x_n$;
on y remplacera ensuite $a_{n-1}$ par $a''_{n-1}x_{n-2} + a'''_{n-1}$, $a'_{n-1}$ par $a_{n-1}\IV x_{n-2} + a_{n-1}\V $,
$b_{n-1}$ par $b''_{n-1}x_{n-2}+b'''_{n-1}$, $b'_{n-1}$ par $b\IV _{n-1}x_{n-2}+b\V _{n-1}$ et $A_{n-2}$, $B_{n-2}$ par
$a_{n-2}x_{n-2} + a'_{n-2}$, $b_{n-2}x_{n-2} + b'_{n-2}$ puis on éliminera $x_{n-2}$ entre l'équation
du 4\ieme\ degré déjà obtenue et l'équation $x^2_{n-2}+A_{n-3}x_{n-2}+B_{n-3}=0$;
et ainsi de suite. Les derniers termes des séries $a_{n-1}$, $a'_{n-1}$, $a''_{n-1}$\dots,
$b_{n-1}$, $b'_{n-1}$\dots, etc., doivent être des fonctions rationnelles des coefficients
de $F(x) = 0$; si l'on peut leur assigner des valeurs rationnelles
qui satisfassent aux équations de condition obtenues en identifiant, on
reproduira les équations (A) dont le système équivaut à l'équation
\marginpage % *** File: 379.png
$F(x) = 0$; si les conditions ne peuvent être vérifiées en donnant des
valeurs rationnelles aux indéterminées introduites, le problème ne
peut être ramené au second degré.

On peut simplifier ce procédé, en supposant que les racines de chacune
des équations (A) donnent le dernier terme de la suivante; ainsi,
l'on peut prendre $B_{n-1}$ pour l'inconnue de l'avant-dernière équation,
puisque $B_{n-1}= b_{n-1}x_{n-1}+ b'_{n-1}$ d'où $x_{n-1}=\dfrac{B_{n-1}-b'_{n-1}}{b_{n-1}}$; de cette
manière les éliminations se font plus rapidement et l'on introduit
quatre quantités indéterminées dans l'équation du quatrième degré
qui résulte de la première élimination, huit dans l'équation du huitième
degré, etc., en sorte que les conditions obtenues en identifiant,
sont en même nombre que les quantités à déterminer. Mais on écarte
aussi à l'avance le cas où l'une des quantités telle que $b_{n-1}$ serait nulle,
et il faut étudier ce cas séparément.

Soit, par exemple, l'équation $x^4 + px^2 + qx + r = 0$. Prenons de
suite les équations du second degré sous la forme $x_1^2 + Ax_1 + B = 0$,
et $x^2 + (ax_1 + a') x + x_1 = 0$; en éliminant $x_1$ et identifiant, on aura,
\[
2a' - Aa = 0,\quad a'^2 - Aaa' - A + a^2B = p,\quad 2aB - a'A = q,\quad B = r,
\]
d'où
\[
B = r,\quad a= \frac{2q}{4r-A^2},\quad a' = \frac{Aq}{4r-A^2},\quad A^3+pA^2-4rA+q^2-4rp = 0.
\]
Comme $B$, $a$ et $a'$ sont exprimés rationnellement au moyen de $A$, $p$,
$q$, $r$, il faut et il suffit que l'équation du troisième degré en $A$ ait pour
racine une fonction rationnelle des données. La condition est toujours
satisfaite quand $q = 0$, quels que soient $p$ et $r$, car $A = -p$ satisfait
alors à la dernière équation.

En prenant $x_1$ pour dernier terme de la deuxième équation du second
degré, on a exclu le cas où ce terme serait indépendant de la
racine de la première équation; mais en le traitant directement, on ne
trouve aucune solution de la question qui ne soit comprise dans les
équations ci-dessus.

Ainsi, par un calcul plus ou moins long, on pourra toujours s'assurer
si un problème donné est susceptible d'être résolu au moyen
d'une série d'équations du second degré, pourvu qu'on sache reconnaître
si une équation peut être satisfaite par une fonction rationnelle
des données, et si elle est irréductible. Une équation de degré $n$
sera irréductible lorsqu'en cherchant les diviseurs de son premier
\marginpage % *** File: 380.png
membre de degrés 1, 2\dots$\dfrac{n}{2}$, on n'en trouve aucun dont les coefficients
soient fonctions rationnelles des quantités données.

La question peut donc toujours être ramenée à rechercher si une
équation algébrique $F(x)=0$ à une seule inconnue peut avoir pour
racine une fonction de ce genre. Pour cela, il y a plusieurs cas à considérer.
\primo Si les coefficients ne dépendent que de nombres donnés
entiers ou fractionnaires, il suffira d'appliquer la méthode des racines
commensurables. \secundo Il peut arriver que les données représentées par les
lettres $p$, $q$, $r$ soient susceptibles de prendre une infinité de valeurs, sans
que la condition cesse d'être remplie, comme quand elles désignent
plusieurs lignes prises arbitrairement; alors, après avoir ramené l'équation
$F(x)=0$ à une forme telle que ses coefficients soient des fractions
entières de $p$, $q$, $r$\dots, et que celui du premier terme soit l'unité, on
remplacera $x$ par $a_mp^m + %[**errata]
a_{m-1}p^{m-1} + \dotsb + a_0$, et l'on égalera à zéro
les coefficients des différentes puissances dans le résultat; les équations
obtenues en $a_m$, %[**errata]
$a_{m-1}$\dots\ seront traitées comme l'équation en $x$,
c'est-à-dire qu'on y remplacera ces quantités par des fonctions entières
de $q$, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ayant épuisé toutes les lettres on
soit arrivé à des équations numériques qui rentreront dans le premier
cas. \tertio Lorsque les données sont des nombres irrationnels, ils doivent
être racines d'équations algébriques qu'on peut supposer irréductibles;
dans ce cas, si l'on remplace $x$ par $a_mp^m + \dotsb + a_0$ dans $F(x) = 0$,
le premier membre de l'équation en $p$, ainsi obtenue, devra être
divisible par celui de l'équation irréductible dont le nombre $p$ est racine;
en exprimant que cette division se fait exactement, on arrivera
à des équations en $a_m$, $a_{m-1}$\dots, que l'on traitera comme l'équation
$F(x)= 0$, jusqu'à ce que l'on parvienne à des équations numériques.
On doit remarquer que $m$ peut toujours être pris inférieur au degré
de l'équation qui donne $p$.

Ces procédés sont d'une application pénible en général, mais on
peut les simplifier et obtenir des résultats plus précis dans certains cas
très étendus, que nous étudierons spécialement.

\jmpafin

% *** File: 381.png

\jmpapaper{SOLUTION}{}
{D'un problème de Probabilité;}
{Par M.~POISSON.}{}
\label{art32}

Ayant été chargé, cette année, du cours de Calcul des Probabilités
qui se fait à la Faculté des Sciences, j'ai donné, dans ce cours, les
solutions de plusieurs problèmes, parmi lesquelles je citerai la suivante,
à cause des résultats curieux, et que je ne crois pas connus,
auxquels elle conduit.

Trois joueurs $A$, $B$, $C$, jouent, deux à deux, une suite de coups;
chaque nouveau coup est joué par le joueur qui a gagné le coup précédent,
avec celui qui n'y a pas joué: le sort désigne les deux joueurs
qui jouent au premier coup. La partie est finie, quand un des trois
joueurs a gagné consécutivement les deux autres, ou deux coups de
suite; et c'est ce joueur qui a gagné la partie. On demande de
déterminer, pour les trois joueurs, les probabilités de gagner la partie,
d'après les chances qu'ils ont de gagner à chaque coup, et selon que
le sort les a désignés pour jouer ou pour ne pas jouer au premier
coup.

Lorsque $A$ et $B$ jouent l'un contre l'autre, je représente par $\gamma$ la
chance de $A$ pour gagner le coup et, conséquemment, par $1 - \gamma$ celle
de $B$. Lorsque ce sont $C$ et $A$ qui jouent ensemble, je représente de
même par $\beta$ la chance de $C$ et par $1 - \beta$ celle de $A$. Enfin, quand le
coup se joue entre $B$ et $C$, je désigne par $\alpha$ la chance de $B$ et par $1 - \alpha$
celle de $C$.

Je suppose que le premier coup soit joué entre $A$ et $B$, et gagné par
$A$. Il est facile de voir que, $n$ étant un nombre entier quelconque, et
tant que la partie ne sera pas finie, tous les coups dont le rang est
\marginpage % *** File: 382.png
marqué par un nombre de la forme $3n - 2$, seront joués entre $A$
et $B$, et gagnés par $A$; tous ceux dont le rang est marqué par un
nombre de la forme $3n - 1$, seront joués entre $C$ et $A$, et gagnés
par $C$; et tous ceux dont le rang est marqué par un nombre de la
forme $3n$, seront joués entre $B$ et $C$, et gagnés par $B$.

J'appelle $x_{3n-2}$ la probabilité que la partie ne sera pas encore terminée,
au coup dont le rang est $3n - 2$, et $x'_{3n-2}$ la probabilité
qu'elle se terminera précisément à ce coup. Je désigne de même par
$y_{3n-1}$ la probabilité que la partie ne se terminera pas dans les $3n - 1$
premiers coups, et par $y'_{3n-1}$ la probabilité qu'elle finira au dernier
de ces coups. Enfin, soient $z_{3n}$ la probabilité que la partie ne
sera pas terminée dans les $3n$ premiers coups, et $z'_{3n}$ la probabilité
qu'elle finira seulement au coup dont le rang est $3n$.

Ces diverses notations, les rangs des coups auxquels elles répondent,
les joueurs qui jouent à chacun de ces coups, et leurs chances de
gagner, seront faciles à se représenter par ce tableau:
\[\begin{array}{l @{\qquad}|@{\qquad} l @{\qquad}|@{\qquad} l}
3n-2,                     &  3n-1,                   &  3n,\\
x_{3n-2},                 &  y_{3n-1},               &  z_{3n},\\
x'_{3n-2},                &  y'_{3n-1},              &  z'_{3n},\\
A\text{et }B,            &  C\text{et }A,          &  B\text{et }C,\\
\gamma\text{et }1-\gamma,&  \beta\text{et }1-\beta,&  \alpha\text{et }1-\alpha.
\end{array}\]

Les valeurs des quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont données, et peuvent s'étendre
depuis zéro jusqu'à l'unité. Elles seront toutes trois égales à
$\frac{1}{2}$, lorsque les trois joueurs seront d'égale force. Elles pourront être
toutes trois plus grandes que $\frac{1}{2}$: ce cas aura lieu, quand A jouant
contre $B$ sera le plus fort; que $C$ jouant contre $A$ sera aussi le plus
fort; que $B$ jouant contre $C$ sera encore le plus fort, ce qui n'est
point incompatible avec les deux premières suppositions. Concevons,
par exemple, que l'on ait trois urnes $A'$, $B'$, $C'$, contenant des boules
blanches et des boules noires, et dont chacune renferme plus de boules
de la première couleur que de la seconde. Supposons aussi que le jeu
entre $A$ et $B$, consiste à tirer une boule de $C'$, et que $A$ gagne, si cette
\marginpage % *** File: 383.png
boule est blanche; qu'ensuite, le jeu entre $C$ et $A$ consiste à tirer une
boule de $B'$, et que la chance favorable à $C$ soit l'arrivée d'une boule
blanche; et qu'enfin, le jeu entre $B$ et $C$ soit de tirer une boule de $A'$,
qui fera gagner $B$, quand elle sera blanche: dans ce cas, on aura
\[
\gamma >\frac{1}{2},\quad \beta >\frac{1}{2},\quad \alpha >\frac{1}{2}.
\]
Il pourra arriver que l'unité ou zéro soit la valeur de l'une de ces
quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, de deux d'entre elles, ou de toutes trois: le cas
de $\gamma = 1$, $\beta = 1$, $\alpha = 1$, par exemple, sera celui où $A$ sera certain
de gagner $B$, $C$ de gagner $A$, et $B$ de gagner $C$.

Cela posé, pour que la partie ne soit pas finie, au coup dont le rang
est $3n + 1$ ou $3(n + 1) - 2$, joué entre $A$ et $B$, il faut, et il suffit
\primop.~qu'elle ne le soit pas au coup précédent, joué entre $B$ et $C$, et gagné
par $B$; \secundop.~que le coup dont le rang est $3n + 1$ soit gagné par $A$.
La probabilité $x_{3n+1}$ de la partie non terminée à ce coup, sera donc le
produit de la probabilité $\gamma$ qu'il sera gagné par $A$, et de la probabilité
$z_{3n}$ que la partie ne sera pas finie au coup dont le rang est $3n$, de
sorte que l'on aura
\[
x_{3n+1} = \gamma z_{3n}.
\]
On trouvera de même
\[
x'_{3n+1} = (1-\gamma)z_{3n};
\]
car pour que la partie finisse précisément au coup dont le rang est
$3n+1$, il faudra et il suffira qu'elle ne soit pas terminée au coup précédent,
et que le joueur $B$ qui aura gagné celui-ci et dont $1-\gamma$ est la
chance de gagner $A$ au coup dont le rang est $3n+1$, gagne effectivement
ce second coup. Par un raisonnement semblable, appliqué successivement
aux coups dont les rangs sont $3n$ et $3n - 1$, on obtiendra
ces deux autres couples d'équations
\begin{alignat*}{2}
z_{3n}&=\alpha y_{3n-1},      &z'_{3n}  &= (1-\alpha) y_{3n-1},\\
y_{3n-1}&=\beta  x_{3n-2},\quad &y'_{3n-1}&= (1-\beta)  x_{3n-2},
\end{alignat*}
qui se déduisent d'ailleurs du couple précédent, par de simples changements
de lettres.
\marginpage % *** File: 384.png

On tire de ces équations
\[
x_{3n+1} z_{3n} y_{3n-1} = \alpha\beta\gamma z_{3n} y_{3n-1} x_{3n-2};
\]
et en faisant, pour abréger,
\[
\alpha\beta\gamma = k,
\]
il en résulte
\[
x_{3n+1} = kx_{3n-2};
\]
équation aux différences finies, dont l'intégrale se trouve en y mettant
successivement 1, 2, 3,\dots $n - 1$, à la place de $n$, multipliant
membre à membre les $n - 1$ équations qui s'obtiendront de cette
manière, et réduisant; ce qui donne
\[
x_{3n-2} = k^{n-1}x_1.
\]
Le facteur $x_1$ est la constante arbitraire; au premier coup, ou quand
$n = 1$, il est certain que la partie n'est pas terminée; on a donc
$x_{3\ldot 1-2} = x_1 = 1$; et de là, et des équations précédentes, on conclut
ces valeurs
\begin{gather*}
x_{3n-2} = k^{n-1}, \qquad y_{3n-1} = \beta k^{n-1},\qquad  z_{3n} = \alpha\beta k^{n-1},\\
y'_{3n-1} = (1-\beta)k^{n-1}, \quad z'_{3n} = (1-\alpha)\beta k^{n-1},\quad x'_{3n+1} = (1-\gamma)\beta\alpha k^{n-1}.
\end{gather*}

Ces résultats se vérifieront facilement dans les cas extrêmes où l'une
des quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sera zéro ou l'unité. Si, par exemple, elles
sont toutes trois l'unité, les trois probabilités $y'_{3n-1}$, $z'_{3n}$, $x'_{3n+1}$,
seront nulles, et il sera certain que la partie ne finira jamais, ce qui
est évident. Si l'une des fractions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, est zéro, on aura aussi
$k = 0$; ces trois probabilités seront donc nulles, excepté pour $n = 1$;
par conséquent, la partie ne pourra finir qu'au second coup, ou au troisième,
ou au quatrième; les probabilités respectives de ces trois
événements, seront
\[
y'_2 = 1 - \beta,\quad z'_3 = (1-\alpha)\beta,\quad x'_4 = (1-\gamma)\beta\alpha;
\]
et comme leur somme est l'unité, à cause de $\alpha\beta\gamma = 0$, il s'ensuit
que la partie finira certainement à l'un de ces trois coups.
\marginpage % *** File: 385.png
Dans le cas de $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=\frac{1}{2}$, $\gamma=\frac{1}{2}$, où les trois joueurs sont
d'égale force, on a $k=(\frac{1}{2})^3$. Quel que soit le nombre entier $m$,
la probabilité que la partie ne sera pas terminée dans les $m$ premiers
coups, devient donc $(\frac{1}{2})^{m-1}$, d'après les trois premières équations
précédentes; et la probabilité qu'elle finira précisément au $m$\iieme\
coup, devient aussi $(\frac{1}{2})^{m-1}$, d'après les trois dernières.

Dans le cas général, où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont des fractions quelconques, si
l'on représente par $q_{3n-1}$, la probabilité que la partie finira à l'un des $n$
coups dont les rangs répondent aux nombres 2, 5, 8, 11,\dots $3n - 1$;
par $r_{3n}$, la probabilité qu'elle se terminera à l'un des $n$ coups dont
les rangs répondront à 3, 6, 9, 12,\dots $3n$; par $p_{3n+1}$ la probabilité
qu'elle se terminera à l'un des $n$ coups dont les nombres 4, 7, 10,
13,\dots $3n + 1$, marquent les rangs, on aura
\begin{alignat*}{5}
q_{3n-1} &={}&y'_2& +{}&y'_5& +{}&y'_8\: & +{}&y'_{11}& + \dotsb + y'_{3n-1},\\
r_{3n} &={}&z'_3& +{}&z'_6& +{}&z'_9\: & +{}&z'_{12}& + \dotsb + z'_{3n},\\
p_{3n+1} &={}&x'_4& +{}&x'_7& +{}&x'_{10}& +{}&x'_{13}& + \dotsb + x'_{3n+1};
\end{alignat*}
et d'après les formules précédentes, on en conclura
\begin{align*}
q_{3n-1} &= \frac{(1-\beta)(1-k^n)}{1-k},\\
r_{3n} &= \frac{\beta(1-\alpha)(1-k^n)}{1-k},\\
p_{3n+1} &= \frac{\alpha\beta(1-\gamma)(1-k^n)}{1-k}.
\end{align*}

Si nous appelons $s_n$ la probabilité que la partie finira dans les $3n$
premiers coups, à partir du second inclusivement, nous aurons
\[
s_n = q_{3n-1} + r_{3n} + p_{3n+1};
\]
et à cause de
\[
1-\beta+\beta(1-\alpha)+\alpha\beta(1-\gamma)=1-\alpha\beta\gamma=1-k,
\]
il en résultera
\marginpage % *** File: 386.png
en sorte que cette probabilité sera la même, quels que soient les deux
joueurs qui joueront le premier coup, et quel que soit aussi, le joueur
qui le gagnera. Il n'en sera pas de même à l'égard des probabilités que
la partie finira dans les $3n - 1$ ou dans les $3n + 1$ premiers coups, non
compris le premier de tous; probabilités qui se déduiront de $s_n$, en
en retranchant la valeur de $x'_{3n+1}$ ou en y ajoutant celle de $y'_{3n+2}$. Si
l'on exclut le cas où les trois quantités $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sont l'unité, et où l'on
a $k= 1$, on voit que la probabilité que la partie ne se prolongera pas
au-delà d'un nombre de coups donnés, approchera indéfiniment de
l'unité à mesure que ce nombre deviendra plus grand, mais qu'elle ne
se changerait dans la certitude que si ce nombre devenait infini. Dans
le cas des joueurs d'égale force, en désignant par $m$ un nombre entier
quelconque et par $t_m$ la probabilité que la partie finira dans les $m$ premiers
coups à partir du second inclusivement, on aura
\[
t_m = 1 - \Big(\frac{1}{2}\Big)^m;
\]
de sorte qu'il suffira, par exemple, qu'on ait $m = 10$, pour que la
probabilité $1 -t_m$ de l'événement contraire, tombe au-dessous d'un
millième.

Maintenant soient $a$, $b$, $c$, les probabilités que la partie prolongée
à l'infini, s'il le faut sera gagnée respectivement par $A$, $B$, $C$. Pour
que $A$ gagne il est nécessaire et il suffit que la partie se termine à un
coup dont le rang est marqué par un nombre de la forme $3n - 1$;
la valeur de $a$ se déduira donc de celle de $q_{3n-1}$ en y faisant $n = \infty$;
ce qui donne
\[
a = \frac{1-\beta}{1-k},
\]
en excluant le cas où l'on a $k = 1$, et où la partie ne finit jamais. On
verra de même que $b$ et $c$ sont les valeurs de $p_{3n+1}$ et $r_{3n}$ qui répondent
à $n = \infty$; en sorte que l'on a
\[
b = \frac{\alpha\beta(1-\gamma)}{1-k},\quad c = \frac{\beta(1-\alpha)}{1-k}.
\]
Comme il est certain que la partie sera gagnée par un des trois
\marginpage % *** File: 387.png
joueurs, on devra avoir
\[
a + b + c = 1;
\]
ce qui a lieu effectivement.

Chacune de ces fractions $a$, $b$, $c$, multipliée par l'\emph{enjeu}, ou la
somme des trois \emph{mises}, sera l'espérance mathématique de l'un des
joueurs; lequel aura de l'avantage ou du désavantage, selon que ce
produit sera plus grand ou plus petit que sa mise. A une époque quelconque
du jeu, où la partie n'est pas finie, et où $A$ vient de gagner
$B$; si les joueurs conviennent de ne point achever, l'enjeu devra être
partagé entre $A$, $B$, $C$, proportionnellement aux fractions $a$, $b$, $c$.

Il résulte de leurs expressions, que dans le cas même des joueurs
d'égale force, la chance de gagner la partie est inégale pour les joueurs
qui jouent les premiers, et pour celui qui n'entre au jeu qu'au second
coup. En effet, en faisant
\[
\alpha=\frac{1}{2},\quad\beta=\frac{1}{2}, \quad\gamma=\frac{1}{2}, \quad k=\frac{1}{8},
\]
on aura
\[
a=\frac{4}{7},\quad b=\frac{1}{7},\quad c=\frac{2}{7}.
\]
Après le premier coup, le joueur qui l'a gagné a donc droit à $\dfrac{4}{7}$
de l'enjeu, celui qui l'a perdu n'a droit qu'à $\dfrac{1}{7}$, et celui qui n'a pas
joué a droit à $\dfrac{2}{7}$; mais avant que ce coup ne soit joué, les deux
joueurs que le sort a désigné pour le jouer, ont une égale chance de
le gagner; leur probabilité de gagner la partie est donc alors
$\dfrac{1}{2}(a+b)$, ou $\dfrac{5}{14}$, c'est-à-dire qu'elle surpasse de $\dfrac{1}{14}$ la chance $\dfrac{2}{7}$, ou $\dfrac{4}{14}$
du joueur qui n'entre qu'au second coup. Si la mise de chaque joueur
est représentée par $\mu$, et que l'on convienne de ne pas jouer la partie,
après que le sort a désigné les deux joueurs qui devaient la commencer,
chacun de ceux-ci devra prendre $\dfrac{15}{14}$ de $\mu$, sur l'enjeu égal à $3\mu$, et le
troisième joueur $\dfrac{12}{14}$ de $\mu$ seulement; ou autrement dit, les trois joueurs
\marginpage % *** File: 388.png
ayant retiré leurs mises, le troisième devra, en outre, donner $\dfrac{1}{14}$ de
$\mu$ à chacun des deux premiers.

En général, avant que le sort ait désigné les deux joueurs qui doivent
jouer le premier coup, les probabilités de gagner la partie seront
différentes de $a$, $b$, $c$; pour les trois joueurs $A$, $B$, $C$, je les représenterai
respectivement par $f$, $g$, $h$; chacune d'elles dépendra des trois
chances données $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; et il suffira de déterminer la valeur de $f$ en
fonction de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$: les valeurs de $g$ et $h$ s'obtiendront de la même
manière, ou se déduiront de $f$ par de simples permutations.

Il pourra arriver que le premier coup soit joué par $A$ et $B$, par $C$ et
$A$, par $B$ et $C$. Ces trois combinaisons étant également probables, la
probabilité de chacune d'elles sera égale à $\dfrac{1}{3}$; de plus, dans la première
combinaison, la probabilité que le premier coup sera gagné par $A$ aura
$\gamma$ pour valeur, et par $B$, elle sera $1 - \gamma$; dans la seconde, la probabilité
que $C$ gagnera le premier coup sera $\beta$, et la probabilité qu'il sera
gagné par $A$ aura $1-\beta$ pour valeur; dans la dernière, il y aura la probabilité
$\alpha$ que le premier coup sera gagné par $B$, et la probabilité $1 - \alpha$
qu'il le sera par $C$: chacune de ces trois combinaisons donnant
lieu à deux cas différents, il y aura donc six cas possibles, dont les
probabilités respectives seront
\[
\frac{1}{3}\gamma,\quad \frac{1}{3}(1-\gamma),\quad \frac{1}{3}\beta, \quad \frac{1}{3}(1-\beta), \quad \frac{1}{3}\alpha, \quad \frac{1}{3}(1-\alpha).
\]
Or, il s'agira de déterminer successivement, dans chacun de ces six cas,
la probabilité que $A$ gagnera la partie; en multipliant ensuite chaque
probabilité par celle du cas à laquelle elle répond, et faisant la somme
des six produits, on aura la valeur complète de $f$.

Dans le premier cas, où le coup est joué par $A$ et $B$, et gagné
par $A$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera la valeur
précédente de $a$; le premier terme de la valeur de $f$ sera donc
$\dfrac{1}{3}\gamma\alpha$, ou
\[
\frac{\gamma(1-\beta)}{3(1-k)}.
\]
\marginpage % *** File: 389.png
Dans le second cas, où c'est $A$ jouant contre $B$, qui perd le premier
coup, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera la valeur précédente
de $b$, dans laquelle on devra changer $\gamma$ en $1 - \gamma$, $\beta$ en
$1 - \alpha$, $\alpha$ en $1 - \beta$; en multipliant le résultat par $\dfrac{1}{3}(1-\gamma)$, on
aura donc
\[
\frac{k'\gamma}{3(1-k')},
\]
pour le second terme de $f$, où l'on a fait, pour abréger,
\[
(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=k'.
\]

Dans le troisième cas, où le premier coup sera joué par $C$ et $A$,
et gagné par $C$, la probabilité de $A$ pour gagner la partie sera ce que
devient l'expression de $b$, relative au joueur qui perd le premier
coup, lorsqu'on y change $\gamma$ en $\beta$, $\beta$ en $\alpha$, $\alpha$ en $\gamma$; en multipliant
ensuite par $\dfrac{1}{3}\beta$, il en résultera
\[
\frac{k(1-\beta)}{3(1-k)},
\]
pour le troisième terme de $f$.

Dans le quatrième cas, où le premier coup est gagné par $A$ jouant
contre $C$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera l'expression de
$a$, dans laquelle il faudra changer $\gamma$ en $1-\beta$, $\beta$ en $1 - \gamma$, $\alpha$ en $1 - \alpha$:
en multipliant le résultat par $\dfrac{1}{3}(1 - \beta)$, on aura ensuite
\[
\frac{\gamma(1-\beta)}{3(1-k')},
\]
pour le quatrième terme de $f$.

Dans le cinquième cas, où le premier coup est joué par $B$ et $C$, et
gagné par $B$, la probabilité que $A$ gagnera la partie sera ce que devient
l'expression de $c$, relative au joueur qui ne joue pas à ce premier
coup, quand on y change $\gamma$ en $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$, $\alpha$ en $\beta$; en multipliant
le résultant par $\dfrac{1}{3}\alpha$, il vient
\[
\frac{\alpha\gamma(1-\beta)}{3(1-k)},
\]
pour le cinquième terme de $f$.

\marginpage % *** File: 390.png
Enfin, dans le sixième et dernier cas, où le premier coup est gagné
par $C$ jouant contre $B$, la probabilité que $A$ gagnera la partie se déduira
encore de l'expression de $c$, mais en changeant $\gamma$ en $1 - \alpha$, $\beta$ en
$1 - \beta$, $\alpha$ en $1 - \gamma$; ce qui, après avoir multiplié par $\frac{1}{3}(1-\alpha)$,
donne
\[
\frac{\gamma(1-\alpha)(1-\beta)}{3(1-k')},
\]
pour le dernier terme de $f$.

Si l'on fait actuellement la somme de ces six valeurs partielles de
$f$, on aura, pour sa valeur complète,
\[
f=\frac{\gamma(1-\beta)(1+\alpha+\alpha\beta)}{3(1-k)} +
\frac{\gamma k'+\gamma(1-\beta)+\gamma(1-\alpha)(1-\beta)}{3(1-k')}.
\]

La raison des diverses permutations des lettres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, que nous
venons d'indiquer, est facile à saisir en jetant les yeux sur le tableau
présenté plus haut. On verra de même que pour déduire de l'expression
de $f$, celle de $g$, il suffira de changer $\gamma$ en $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$, $\alpha$
en $\beta$, dans $f$; et pour obtenir ensuite la valeur de $A$, il faudra répéter
encore cette permutation tournante dans la valeur de $g$, ou
bien changer tout de suite $\gamma$ en $\beta$, $\beta$ en $\alpha$, $\alpha$ en $\gamma$, dans la valeur
de $f$. De cette manière, nous aurons
\begin{align*}
g=&\frac{\alpha(1-\gamma)(1+\beta+\beta\gamma)}{3(1-k)} +
\frac{\alpha k'+\alpha(1-\gamma)+\alpha(1-\beta)(1-\gamma)}{3(1-k')},\\
h=& \frac{\beta(1-\alpha)(1+\gamma+\gamma\alpha)}{3(1-k)} +
\frac{\beta k' +\beta(1-\alpha)+\beta(1-\gamma)(1-\alpha)}{3(1-k')}.
\end{align*}

Quand les joueurs sont d'égale force, ou qu'on a $\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{2}$,
ces trois probabilités $f$, $g$, $h$, doivent être égales entre elles et à $\frac{1}{3}$;
ce qu'on vérifie aisément. Quelles que soient les chances $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, il
faut qu'on ait
\[
f + g + h = 1,
\]
puisqu'il est certain que la partie sera gagnée par l'un des trois
joueurs, en excluant, toutefois, le cas où l'on aurait $k= 1$, et où
elle ne finirait pas. C'est aussi ce qu'il est aisé de vérifier, en ayant
égard à ce que $k$ et $k'$ représentent.

Si les deux joueurs $B$ et $C$ sont d'égale force, soit lorsqu'ils jouent
\marginpage % *** File: 391.png
l'un contre l'autre, soit quand ils jouent contre $A$, il faudra faire
\[
\alpha = \frac{1}{2},\quad \beta = 1 - \gamma;
\]
la quantité $\gamma$ pourra encore être une fraction quelconque; elle exprimera
la chance de $A$, de gagner chacun des coups où il jouera; et
$A$ sera plus fort ou plus faible que chacun des deux autres joueurs,
selon qu'on aura $\gamma > \frac{1}{2}$ ou $\gamma < \frac{1}{2}$. Pour ces valeurs de $\alpha$ et $\beta$,
on aura, comme cela doit être,
\[
g = h = \frac{1}{2}(1-f);
\]
et la valeur de $f$ se réduira à
\[
f = \frac{8\gamma^2 - 2\gamma^3}{3 (2 - \gamma + \gamma^2)}.
\]
Si la mise est la même pour chacun des trois joueurs, et qu'on
la représente par $\mu$, l'enjeu sera $3\mu$, et l'espérance mathématique de
$A$ aura $3\mu f$ pour valeur. Elle serait $2\mu \gamma$, si $A$ jouait toujours à mise
égale, mais en un seul coup, et contre un seul des deux autres
joueurs; dans le cas des mises égales, le joueur $A$ de force inégale,
doit donc préférer de jouer au jeu que nous considérons, contre les
joueurs $B$ et $C$ de forces égales, ou bien il doit choisir de jouer une
partie simple, contre $B$ ou $C$, selon que la différence $3\mu f - 2\mu \gamma$ est positive
ou négative. Or, d'après la valeur précédente de $f$, on a
\[
3 \mu f - 2 \mu \gamma = \frac{2 \mu \gamma(2 - \gamma)(2\gamma - 1)}{2 - \gamma + \gamma^2};
\]
quantité positive ou négative, selon que $\gamma$ surpasse $\frac{1}{2}$ ou est moindre.
Il s'ensuit donc que le joueur $A$, s'il est le plus fort, ou
si $\gamma$ surpasse $\frac{1}{2}$, augmentera encore son avantage, en choisissant la
première manière de jouer, et que s'il est le plus faible, ou si l'on a
$\gamma < \frac{1}{2}$, il diminuera son désavantage, en choisissant la seconde.

Lorsque les joueurs, au lieu de mettre, une fois pour toutes, une
\marginpage % *** File: 392.png
somme au jeu, conviennent d'y mettre une somme $\mu$ à chaque fois
qu'ils y entrent, de sorte que l'enjeu croisse continuellement avec le
nombre des coups, l'espérance mathématique de chacun d'eux ne
sera plus la même que précédemment, et à force égale, par exemple,
l'avantage qui était tout à l'heure pour les joueurs qui jouent le
premier coup, sera maintenant pour celui qui n'entre qu'au second
coup.

Afin de calculer commodément l'espérance mathématique de chaque
joueur, il faudra la diviser en deux parties: l'une positive, et provenant
des sommes que le joueur pourra recevoir aux différents coups
qui seront joués; l'autre négative, et provenant des sommes qu'il
pourra payer. Pour le joueur $A$ qui gagne le premier coup, je désignerai
par $a'$ la première partie, par $a\subprime$ la seconde, abstraction faite
du signe, et par $\phi$ l'excès de celle-là sur celle-ci. Je représenterai les
quantités analogues par $b'$, $b\subprime$, $\psi$, pour le joueur $B$ qui perd le premier
coup, et par $c'$, $c\subprime$, $\theta$, pour le joueur $C$ qui n'entre qu'au second
coup. De cette manière, on aura
\[
\phi = a' - a\subprime , \quad\psi = b' - b\subprime ,\quad \theta = c' - c\subprime.
\]
Au $m$\iieme\ coup, si la partie n'est pas finie auparavant, l'enjeu sera
égal à $(m + 1)\mu$. Or, d'après ce qu'on a vu précédemment, les probabilités
que la partie sera finie, et gagnée alors par $A$, au second
coup, au cinquième, au huitième, au onzième, etc., seront
\[
(1 - \beta),\quad (1 - \beta)k, \quad (1 - \beta)k^2, \quad (1 - \beta)k^3,\quad \etc;
\]
les gains attachés aux arrivées de ces événements étant donc
\[
3\mu,\quad 6\mu,\quad 9\mu,\quad 12\mu, \quad \etc,
\]
il suit de la règle de l'espérance mathématique, que la valeur complète
de $a'$ sera la somme de ces deux séries multipliées terme à terme
et prolongées jusqu'à l'infini; ce qui donne
\[
a' = 3 \mu (1 - \beta) \sum ik^{i-1};
\]
la somme $\sum$ s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier $i$, depuis
$i = 1$ jusqu'à $i = \infty$. Mais on a
\[
\sum k^i = \frac{k}{1-k};
\]
\marginpage % *** File: 393.png
et en différentiant par rapport à $k$, il vient
\[
\sum ik^{i-1} = \frac{1 }{(1-k)^2};
\]
par conséquent, on aura
\[
a' = \frac{3\mu (1-\beta) }{(1-k)^2}.
\]

Pour $A$ et $B$, il y a la certitude de jouer au premier coup, et pour
$C$, au second. Pour $A$, les probabilités de rentrer ensuite au jeu,
au quatrième coup, au septième, au dixième, au treizième, etc.,
ou, ce qui est la même chose, les probabilités que la partie ne sera
pas terminée au troisième coup, au sixième, au neuvième, au douzième,
etc., seront, comme on l'a trouvé plus haut,
\[
\alpha \beta,\quad \alpha \beta k,\quad \alpha \beta k^2,\quad \alpha \beta k^3,\quad \etc;
\]
la valeur complète de $a\subprime$ sera donc la somme de cette série infinie
de fractions, multipliée par $\mu$, et augmentée de $\mu$ pour la première
mise de $A$; en sorte que l'on aura
\[
a\subprime  = \mu + \frac{\mu \alpha \beta }{1-k}.
\]

La probabilité que la partie se terminera au coup dont le rang est
marqué par un nombre de la forme $3n + 1$, auquel cas elle sera
gagnée par $B$, étant
\[
\alpha \beta (1 - \gamma)k^{n-1},
\]
et l'enjeu que $B$ recevra alors, ayant $3n\mu + 2\mu$ pour valeur, on en
conclut que la valeur complète de $b'$, sera
\[
b' = \mu \alpha \beta (1 - \gamma) (3\sum nk^{n-1} + 2\sum k^{n-1});
\]
les sommes $\sum$ s'étendant depuis n=1 jusqu'à $n=\infty$. Donc, en
ayant égard aux valeurs de ces deux sommes, nous aurons
\[
b' = \frac{3\mu \alpha \beta (1 - \gamma) }{(1 - k)^2} +
\frac{2\mu \alpha \beta (1 - \gamma) }{1-k}.
\]
Par un raisonnement semblable, on trouvera de même
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\[
c' = \frac{3\mu\beta(1-\alpha)}{(1-k)^2}+ \frac{\mu\beta(1-\alpha)}{1-k}.
\]
On obtiendra aussi, sans difficulté,
\[
b\subprime  = \mu + \frac{\mu\beta}{1-k},\quad c\subprime  = \mu + \frac{\mu\alpha\beta\gamma}{1-k};
\]
et de ces diverses valeurs, il résultera finalement
\begin{align*}
\phi &= \frac{3\mu(1-\beta)}{(1-k)^2} - \mu - \frac{\mu\alpha\beta}{1-k},\\
\psi &= \frac{3\mu\alpha\beta(1-\gamma)}{(1-k)^2} + \frac{2\mu\alpha\beta(1-\gamma)}{1-k} - \mu -  \frac{\mu\beta}{1-k},\\
\theta &= \frac{3\mu\beta(1-\alpha)}{(1-k)^2} + \frac{\mu\beta(1-\alpha)}{1-k} - \mu -  \frac{\mu\alpha\beta\gamma}{1-k}.
\end{align*}

Puisque tout l'argent mis successivement au jeu pendant la durée de
la partie, est retiré par le joueur qui l'a gagnée, il s'ensuit que la
somme des espérances mathématiques des trois joueurs doit être nulle;
et en effet, d'après ce que $k$ représente, on a identiquement
\[
\phi+\psi+\theta = 0.
\]

En prenant $\dfrac{1}{2}$ pour chacune des fractions $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, et en faisant
$k = \dfrac{1}{8}$, on a
\[
\phi = \frac{33\mu}{49}, \quad \psi=-\frac{39\mu}{49},\quad \theta=\frac{6\mu}{49},
\]
pour les espérances mathématiques des trois joueurs supposés d'égale
force. Cela signifie, par exemple, qu'avant qu'ils aient rien mis au jeu,
et après que le premier coup a été joué; si l'on convenait de ne pas
continuer la partie, le joueur qui a perdu ce premier coup devrait
payer $\dfrac{39}{49}$ de $\mu$, savoir, $\dfrac{33}{49}$ à celui qui l'a gagné, et $\dfrac{6}{49}$ à celui qui
n'a pas joué. Après que le sort a désigné les deux joueurs qui doivent
jouer le premier coup, et avant que ce coup ne soit joué, chacun d'eux
peut également le gagner; l'espérance mathématique de chacun de ces
joueurs est donc $\dfrac{1}{2}\ldot\dfrac{33\mu}{49}-\dfrac{1}{2}\ldot\dfrac{39\mu}{49}$, ou $-\dfrac{3\mu}{49}$, c'est-à-dire, que si l'on
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convenait de ne pas jouer la partie, chacun d'eux devrait donner
$\dfrac{3}{49}$ de $\mu$ au troisième joueur, tandis que dans le cas que nous avons
d'abord examiné, c'était ce premier joueur qui devait, au contraire,
donner $\dfrac{1}{14}$ de $\mu$ à chacun des deux premiers joueurs. Si la partie n'est
pas terminée au $m$\iieme\ coup, et que l'on convienne de ne pas la continuer,
le joueur qui aura perdu ce coup devra, comme on vient de le
dire, payer $\dfrac{33}{49}$ de $\mu$ à celui qui l'aura gagné, et $\dfrac{6}{49}$ au troisième joueur;
et de plus, l'enjeu qui avait lieu au coup précédent, et qui s'élevait à
$m\mu$, devra être partagé entre ces trois joueurs, proportionnellement
à leurs chances $\dfrac{1}{7}$, $\dfrac{4}{7}$, $\dfrac{2}{7}$, d'achever de gagner la partie; en sorte
qu'au $m$\iieme\ coup, si l'on représente par $\phi'$ l'espérance mathématique
du joueur qui gagne ce coup, par $\psi'$ celle du joueur qui le perd, par $\theta'$
celle du joueur qui n'y joue pas, on aura
\[
\phi' = \frac{(28m+33)\mu}{49}, \quad \psi' = \frac{(7m-39)\mu}{49}, \quad \theta' = \frac{(14m+6)\mu}{49}.
\]
Lorsque $m$ surpassera cinq, la valeur de $\psi'$ sera positive, comme $\phi'$ et
$\theta'$; le joueur qui perdra le $m$\iieme\ coup n'aura rien à payer aux deux
autres; seulement il aura droit à une moindre part dans l'enjeu qui
avait lieu au coup précédent: si, par exemple, on a $m = 6$, l'enjeu
qui avait lieu au cinquième coup sera égal à $6\mu$; sur quoi le joueur
qui gagne le sixième coup devra prendre $\dfrac{201\mu}{49}$, celui qui le perd n'aura
droit qu'à $\dfrac{3\mu}{49}$, et le troisième joueur à $\dfrac{90\mu}{49}$.

\jmpafin

% *** File: 396.png

\jmpapaperl{MÉMOIRE}{}
{Sur diverses manières de généraliser les propriétés des
diamètres conjugués dans les sections coniques.---Nouveaux
théorèmes de Perspective, pour la transformation
des relations métriques des figures.---Principes de Géométrie
plane analogues à ceux de la Perspective.---Manière
de démontrer dans le cône oblique les propriétés
des foyers des sections coniques;}
{Par M.~CHASLES.}{}
\label{art33}

1.~Les propriétés des sections coniques, et celles des surfaces du
second degré, relatives aux diamètres conjugués, peuvent être généralisées
sous plusieurs points de vue. Pour les surfaces, cette généralisation
repose sur quelques principes de Géométrie qu'il nous faudrait
exposer préalablement. Mais pour les coniques la question peut être
traitée, en grande partie du moins, par les seules ressources de la
Géométrie élémentaire. Nous allons donc nous occuper seulement,
dans cet écrit, de la généralisation des propriétés des diamètres conjugués
des coniques.

2.~\emph{Premier mode de généralisation}. Soient $sa$, $sb$ deux demi-diamètres
conjugués d'une conique $c$, on aura
\[
\overline{sa\vphantom{b}}^2 + \overline{sb}^2 = \text{const}.
\]
Concevons un cercle $c'$ concentrique à la conique, et soient $sa'$, $sb'$
ses rayons dirigés suivant les demi-diamètres $sa$, $sb$; on aura
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\[
\frac{\overline{sa\vphantom{b}}^2\hfill}{\overline{sa'}^2 } + \frac{\overline{sb}^2\hfill}{\overline{sb'}^2 }
= \text{const.}
\]

Projetons, par des droites parallèles entre elles, la conique et le
cercle, sur un même plan; on aura deux coniques $C$, $C'$ en projection.
Soient $SA$, $SB$, et $SA'$, $SB'$, les demi-diamètres de ces deux courbes,
correspondants respectivement aux demi-diamètres des deux premières;
on aura
\[
\frac{sa\hfill}{sa'} = \frac{SA\hfill}{SA'},\quad  \frac{sb\hfill}{sb'} = \frac{SB\hfill}{SB'},
\]
et, conséquemment, l'équation
\[
\frac{\overline{SA}^2\hfill}{\overline{SA'}^2} + \frac{\overline{SB}^2\hfill}{\overline{SB'}^2} =\text{const.}
\]

Or $sa$ et $sb$ étant conjugués par rapport à la conique $c$, $SA$ et $SB$
sont conjugués par rapport à la conique $C$, parce que la tangente à la
courbe $c$ au point a est parallèle à $sb$, et que, par conséquent, la tangente
à la courbe $C$, au point $A$, est parallèle à $SB$; ce qui est la condition
pour que $SA$ et $SB$ soient conjugués. L'équation précédente
exprime donc ce théorème:

\emph{Étant données deux coniques dans un plan, la somme des carrés de
deux demi-diamètres conjugués de la première, divisés respectivement
par les carrés des demi-diamètres de la seconde qui leur sont parallèles,
est constante.}

3.~Si la première conique est un cercle, on conclut de ce théorème,
le suivant:

\emph{La somme des valeurs inverses des carrés de deux demi-diamètres
rectangulaires d'une conique est constante.}

4.~\emph{Second mode de généralisation.} Que l'on ait une section conique
$c$ et plusieurs systèmes de ses diamètres conjugués; qu'on fasse la
perspective de cette figure sur un plan; on aura une seconde section
conique $C$, et plusieurs systèmes de deux droites passant toutes par
un même point fixe. Tous ces systèmes de deux droites jouiront de
propriétés analogues à celles des systèmes de deux diamètres conjugués;
\marginpage % *** File: 398.png
mais ces propriétés seront plus générales que celles des diamètres
conjugués, et celles-ci s'en déduiront, comme cas particuliers, si l'on
suppose que le point fixe devienne le centre de la conique $C$.

Soit $I$ la droite qui correspond dans le plan de la conique $C$ à la
droite située à l'infini dans le plan de la conique $c$. Cette droite $I$ est
l'intersection du premier plan par un plan parallèle au second, mené
par le point de l'{\oe}il. Soit $s$ le centre de la conique $c$, et $S$ le point
correspondant dans la conique $C$, c'est-à-dire la perspective du point
$s$. La propriété caractéristique du point $s$, c'est que, étant menées deux
tangentes à la courbe $c$, parallèles entre elles, la droite qui joint les
points de contact passe toujours par le point $s$. Pareillement, la propriété
caractéristique du point $S$, c'est que, \emph{étant menées, par un même
point quelconque de la droite $I$, deux tangentes à la conique $C$, la
droite qui joint les deux points de contact passe toujours par le point} $S$.
Ce qui prouve que \emph{le point $S$ est le pôle de la droite} $I$, pris par rapport
à la conique $C$\footnote{%
On appelle \emph{pôle} d'une droite, par rapport à une conique, le point par où
passent toutes les cordes de contact des angles circonscrits à la conique, qui ont
leurs sommets sur la droite.
}.

La propriété caractéristique de deux diamètres conjugués de la
courbe $c$, c'est que les tangentes à la courbe, menées aux extrémités
d'un des deux diamètres, sont parallèles à l'autre diamètre. On en
conclut que la propriété caractéristique de deux droites correspondantes,
dans le plan de la conique $C$, à deux diamètres conjugués de
la conique $c$, c'est que: \emph{les tangentes à la courbe $C$, aux points où
l'une des deux droites la rencontre, se croisent au point où l'autre
droite rencontre l'axe $I$}. Ce point est précisément le \emph{pôle} de la première
droite. On peut donc dire que \emph{les deux droites sont telles que chacune
d'elles passe par le pôle de l'autre;} ce pôle étant pris par rapport à la
conique $C$. Ces deux droites passent par le point fixe $S$; nous les appellerons
\emph{axes conjugués relatifs au point $S$.}

Ainsi, aux systèmes de deux diamètres conjugués d'une conique,
correspondent, en perspective, des systèmes de deux \emph{axes conjugués}
d'une nouvelle conique, \emph{relatifs} à \emph{un point fixe}. Et la propriété caractéristique
\marginpage % *** File: 399.png
des deux axes de chaque système, c'est que \emph{le pôle de l'un,
pris par rapport à la conique, est situé sur l'autre.}

Ce sont ces systèmes de deux \emph{axes conjugués relatifs à un point}
dont nous allons chercher les propriétés; elles seront la généralisation
de celles des diamètres conjugués.

5.~Nous nous servirons pour cela d'un principe général de la perspective,
dont on n'a pas encore fait usage, et qui sera d'un très utile
secours dans beaucoup d'autres questions. Sa démonstration ne peut
offrir de difficulté; et nous nous bornerons ici à son énoncé:

\textsc{Principe de perspective.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective
l'une de l'autre, le rapport des distances d'un point quelconque
de la première à deux droites fixes de cette figure, est au rapport des
distances du point homologue de la seconde figure aux deux droites
correspondantes à ces droites fixes, dans une raison constante.}

6.~Une droite, dans chacune des deux figures, peut être prise à
l'infini; de là résultent deux corollaires du principe, qui nous seront
utiles; nous allons tout de suite les énoncer, pour ne plus revenir sur
ces propositions préliminaires:

1\ier\ \textsc{Corollaire.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective l'une
de l'autre, la distance d'un point quelconque de la première, à une
droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante
avec le rapport des distances du point homologue de la seconde
figure à deux droites fixes, dont la première correspond à la droite
prise dans le plan de la première figure, et la seconde est l'intersection
du plan de la seconde figure par le plan mené par l'{\oe}il parallèlement
au plan de la première figure.}

7.~2\ieme\ \textsc{Corollaire.} \emph{Quand deux figures planes sont la perspective l'une
de l'autre, si l'on mène dans la première la droite correspondante à
l'infini de la seconde} (c'est-à-dire la droite qui est l'intersection du
plan de la première figure par le plan mené par l'{\oe}il parallèlement à
celui de la seconde), \emph{et dans le plan de la seconde figure la droite
correspondante à l'infini de la première, les distances de deux points
homologues quelconques des deux figures à ces deux droites respectivement,
auront leur produit constant.}

8.~Cela posé, reprenons nos deux coniques $c$, $C$, qui sont la perspective
\marginpage % *** File: 400.png
l'une de l'autre, et considérons dans le plan de la seconde le
point $S$ qui correspond au centre $s$ de la première. La conique $C$ et le
point $S$ étant donnés, il y aura une infinité de coniques $c$, dans l'espace,
qui auront pour perspective la courbe $C$, et dont les centres $s$
correspondront au point $S$. Parmi cette infinité de courbes qu'on peut
concevoir, choisissons-en une qui présente cette circonstance particulière,
que deux diamètres quelconques de cette courbe fassent entre
eux un angle égal à celui des deux droites qui leur correspondent dans
le plan de la courbe $C$, lesquelles droites seront deux \emph{axes conjugués
relatifs au point} $S$. Cette relation particulière entre la courbe $c$ et sa
perspective $C$, peut s'obtenir facilement. Pour cela, que par la polaire
du point $S$, prise par rapport à la courbe $C$, on mène un premier plan
quelconque; puis un second qui divise en deux, également, l'angle que le
premier fera avec le plan de la courbe $S$; et que par le point $S$ on mène
une droite perpendiculaire au second plan; elle rencontrera le premier
en un point $s$ qui sera pris pour le lieu de l'\oe il; un plan quelconque
parallèle au premier, fera dans le cône qui aura le point $s$ pour sommet
et la courbe $C$ pour base, une section qui sera la courbe $c$.

9.~D'après cela, appliquons aux deux courbes $c$, $C$ le principe exprimé
par le premier corollaire, en regardant la courbe $c$ comme la
première figure, et la courbe $C$ comme la seconde.

Menons par les points $s$, $S$, dans les plans des deux courbes, respectivement,
deux droites correspondantes $sq$, $SQ$; soient $a$, $A$ deux
points correspondants quelconques des deux courbes; $aq$, $AQ$ les
perpendiculaires abaissées de ces points sur les deux droites $sq$, $SQ$;
et $AP$ la perpendiculaire abaissée du second sur la polaire du point $S$;
on aura, d'après l'énoncé du premier corollaire,
\[
aq=\lambda \frac{AQ}{AP},
\]
$\lambda$ étant une constante.

Or $aq$ et $AQ$ étant les perpendiculaires abaissées des deux points
$a$, $A$ sur les droites $sq$, $SQ$, on a
\begin{align*}
aq &= as \ldot \sin asq,\\
AQ &= AS \ldot \sin ASQ.
\end{align*}

\marginpage % *** File: 401.png
La droite $sS$, qui passe par le sommet du cône, étant, par hypothèse,
perpendiculaire au plan qui divise en deux également l'angle
des plans des deux courbes $c$, $C$, il s'ensuit que l'angle des deux droites
$sa$, $sq$ est égal à l'angle des deux droites $SA$, $SQ$; de sorte que les
deux équations ci-dessus donnent
\[
\frac{aq}{AQ} = \frac{as}{AS}.
\]

L'équation précédente devient donc
\[
sa=\lambda \ldot\frac{SA}{AP}.
\]

Cette équation résout la question que nous nous proposions; car
elle sert à appliquer aux \emph{axes} de la conique $C$, \emph{relatifs au point} $S$,
les propriétés des \emph{diamètres} de la conique $c$.

Il est important de se rappeler que les angles que font entre eux ces
axes, sont égaux aux angles que font entre eux les diamètres correspondants,
comme nous l'avons dit ci-dessus des angles $asq$, $ASQ$.
Cela servira pour transporter diverses propriétés des \emph{diamètres} d'une
conique, aux \emph{axes relatifs à un point.}

Appliquons cette méthode.

10.~Dans une conique, il existe un système de deux diamètres conjugués
rectangulaires, et ces diamètres sont maximum et minimum
parmi tous les autres; on en conclut que

\emph{Dans une conique, parmi les systèmes de deux axes conjugués $SA$,
$SA'$ relatifs à un point $S$, il en existe un où ces axes sont à angle
droit; pour ces deux axes les rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$ sont, respectivement,
un maximum et un minimum.}

11.~La somme des valeurs inverses des carrés de deux demi-diamètres
rectangulaires est constante; donc

\emph{Pour deux axes $SA$, $SA'$ relatifs à un point, menés à angle droit,
la somme des carrés des deux rapports $\dfrac{AP}{SA}$, $\dfrac{A'P'}{SA'}$, est constante.}

12.~La somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est constante;
donc
\marginpage % *** File: 402.png

\emph{Pour deux axes conjugués $SA$, $SA'$ relatifs à un point $S$, la somme
des carrés des deux rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$, est constante.}

13.~La somme des carrés des projections de deux diamètres
conjugués, sur une droite, est constante; c'est-à-dire que la somme
des carrés de deux demi-diamètres conjugués, multipliés respectivement
par les carrés des cosinus des angles qu'ils font avec une
droite fixe, et constante. On en conclut que, pour deux axes
conjugués $SA$, $SA'$, les carrés des rapports $\dfrac{SA}{AP}$, $\dfrac{SA'}{A'P'}$, multipliés respectivement
par les carrés des cosinus des angles que les deux axes
$SA$, $SA'$ font avec une droite fixe, ont leur somme constante. Ce
théorème peut s'exprimer ainsi:

\emph{La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités
de deux axes conjugués relatifs à un point, sur une droite menée par
ce point, divisés respectivement par les carrés des distances de ces
points à la polaire du point fixe, est constante.}

14.~Que la droite menée par le point fixe, soit parallèle à la polaire
de ce point, le théorème prendra cet énoncé:

\emph{La somme des carrés de deux axes conjugués relatifs à un point,
divisés respectivement par les carrés des segments compris sur ces
axes entre leurs extrémités et la polaire du point, est constante.}

15.~La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des quatre
extrémités de deux diamètres conjugués sur une droite fixe menée arbitrairement,
est constante; on conclut de là, par le principe exprimé
dans le premier corollaire, que

\emph{Dans une conique, deux axes conjugués relatifs à un point rencontrent
la courbe en quatre points qui sont tels que la somme des carrés
de leurs distances à une droite fixe menée arbitrairement, divisés
respectivement par les carrés des distances de ces points à la polaire
du point fixe, est constante.}

16.~Si la droite fixe est prise à l'infini, on fera usage du second corollaire,
et l'on aura ce théorème:

\emph{Dans une conique, deux axes conjugués quelconques relatifs à un
point fixe rencontrent la courbe en quatre points qui jouissent de cette}
\marginpage % *** File: 403.png
\emph{propriété, que la somme des valeurs inverses des carrés de leurs distances
à la polaire du point fixe, est constante.}

17.~On voit par ce qui précède, comment les propriétés des diamètres
conjugués donnent lieu à des propriétés des systèmes de deux
\emph{axes conjugués relatifs à un point}, qui sont la généralisation des
premières.

\Needspace*{3\baselineskip}\begin{center}
\emph{Manière de démontrer les propriétés des foyers dans les
sections coniques.}
\end{center}

18.~La position que nous avons supposée aux deux courbes $c$, $C$
dans l'espace (8), conduit naturellement à la découverte des \emph{foyers}
des coniques, et se prête aussi à la démonstration de leurs propriétés.
Car si l'on suppose que la courbe c soit un cercle, on aura $sa =$ le
rayon, et par conséquent, $\dfrac{SA}{AP} =$ constante; ce qui est une des propriétés
caractéristiques des \emph{foyers.}

Ainsi l'on est conduit naturellement à la considération de ces points
qui jouent un si grand rôle dans la théorie des coniques. Les Anciens,
bien qu'ils aient formé et étudié les coniques dans le cône, ou, comme
ils disaient, \emph{dans le solide}, n'ont traité des foyers que par des considérations
de Géométrie plane, sans dire par quelle voie ils ont été
conduits à la découverte de ces points. Les Modernes, en voulant rechercher
l'origine de ces points dans le cône même, n'ont pris que le
cône droit, ou de révolution; et l'on n'avait pas encore indiqué le
moyen de découvrir ces points dans le cône oblique, ni d'y démontrer
leurs propriétés.

19.~Les considérations précédentes se prêtent avec une grande facilité
à la démonstration de toutes les propriétés des foyers, en les déduisant
de celles du cercle. Nous donnerons ici un seul exemple de
cette méthode.

Qu'autour d'un point fixe $o$, pris dans le plan d'un cercle, on fasse
tourner une transversale qui rencontre la circonférence en deux points
$a$, $a'$; soient $aq$, $a'q'$, $oq''$ les perpendiculaires abaissées des trois points
$a$, $a'$, $o$ sur la polaire du point fixe, on démontre facilement que l'on
\marginpage % *** File: 404.png
a la relation
\begin{align*}
&\frac{1}{aq}\pm\frac{1}{a'q'}=\frac{2}{oq''};
\intertext{c'est-à-dire que}
&\frac{1}{aq}\pm\frac{1}{a'q'} = \text{const.},
\end{align*}
quelle que soit la transversale menée par le point $o$.

On doit prendre le signe $+$ quand ce point est dans l'intérieur du
cercle, et le signe $-$ quand il est au dehors.

Dans la conique $C$, qui est la perspective du cercle, à la transversale
$oaa'$ correspondra une transversale $OAA'$ menée par un point fixe $O$;
au centre du cercle correspondra le foyer de la conique; à la droite
située à l'infini dans le plan du cercle, correspondra la \emph{directrice} relative
à ce foyer. Soient $AP$, $AP'$ les perpendiculaires abaissées des
points $A$, $A'$ sur cette directrice et $AQ$, $A'Q'$ les perpendiculaires
abaissées des mêmes points sur la polaire du point $O$; on aura, d'après
le premier corollaire,
\[
aq=\lambda\frac{AQ}{AP},\quad a'q'=\lambda\frac{A'Q'}{A'P'}.
\]

L'équation ci-dessus devient donc
\[
\frac{AP}{AQ}\pm\frac{A'P'}{A'Q'} = \text{const.}
\]
Elle exprime cette propriété générale des coniques:

\emph{Si autour d'un point fixe, pris dans le plan d'une conique, on fait
tourner une transversale qui rencontre la courbe en deux points, la
somme ou la différence des distances de ces deux points à la directrice
de la conique, divisées respectivement par leurs distances à la polaire
du point fixe, sera constante.}

Ce sera la \emph{somme} si le point fixe est pris dans l'intérieur de la courbe,
et la \emph{différence} s'il est pris au dehors.

20.~Maintenant, en observant que la distance d'un point de la
courbe à la directrice est proportionnelle à la distance de ce point au
foyer, on donnera au théorème cet autre énoncé:

\emph{Si autour d'un point fixe pris dans le plan d'une conique, on fait
tourner une transversale qui la rencontre en deux points; la somme ou}
\marginpage % *** File: 405.png
\emph{la différence des distances de ces deux points au foyer de la courbe,
divisées respectivement par leurs distances à la polaire du point fixe,
sera constante.}

Ce sera la \emph{somme} si le point fixe est pris dans l'intérieur de la courbe,
et la \emph{différence} s'il est pris au dehors.

21.~Si le point fixe est le centre de la courbe, sa polaire est à l'infini,
et le théorème devient la propriété connue du foyer, savoir,
que

\emph{La somme ou la différence des rayons vecteurs menés d'un foyer
d'une conique aux extrémités d'un diamètre est constante.}

C'est la somme dans l'ellipse, et la \emph{différence} dans l'hyperbole.

22.~Nous nous bornerons ici à ce seul exemple, qui suffit pour faire
voir comment on démontrera dans le cône oblique les propriétés des
foyers des sections coniques. On obtiendra de cette manière un assez
grand nombre de propriétés nouvelles, que j'aurai occasion de démontrer
ailleurs.

\begin{center}
\emph{Principes de Géométrie plane analogues à ceux de la
perspective.}
\end{center}

23.~Les principes et les considérations de perspective dont nous nous
sommes servi peuvent se transformer aisément en considérations de
Géométrie plane, et conduire à une autre méthode, différente dans la
forme, quoique la même au fond, pour étudier les propriétés des
sections coniques.

Reprenons les deux courbes $c$, $C$ dans l'espace. Puisque deux droites
quelconques $sa$, $sb$, menées par le point $s$, dans le plan de la première,
font entre elles un angle égal à celui des deux droites correspondantes
$SA$, $SB$ dans le plan de la seconde courbe, on voit que si
sur celles-ci on prend des lignes $SA'$, $SB'$,\dots\ égales aux lignes $sa'$,
$sb'$,\dots, leurs extrémités seront sur une conique $C'$ ayant son centre
en $S$, et qui sera égale à la courbe $c$. Ainsi l'on aura entre cette conique
$C'$ et la conique $C$ la relation
\[
SA'=\lambda\ldot\frac{SA}{AP}.
\]
\marginpage % *** File: 406.png

On conclut de là ce théorème de Géométrie plane:

\emph{Étant pris un point fixe $S$ dans le plan d'une conique, si de ce point
on mène une droite à chaque point $A$ de la courbe, et que, $AP$ étant
la distance de ce point à la polaire du point fixe, on prenne sur $SA$
un segment $SA'$ proportionnel à $\dfrac{SA}{AP}$, le point $A'$ sera sur une section
conique $C'$ qui aura son centre au point fixe.}

Si le point fixe est un foyer de la conique proposée, la nouvelle
courbe sera un cercle.

24.~La conique $C'$ peut être regardée comme la projection de la
courbe $c$ sur le plan de la courbe $C$, cette projection étant faite par des
droites parallèles entre elles, et perpendiculaires au plan qui divise
en deux également l'angle des plans des deux courbes $c$, $C$. Et
quelle que soit la figure tracée dans le plan de la courbe $c$, cette projection
produira une figure parfaitement égale, dans le plan de $C$. Il
suit de là que toutes les relations \emph{descriptives} et \emph{métriques} entre la
courbe $c$ et la courbe $C$ auront lieu entre les deux courbes $C'$ et $C$ situées
dans un même plan.

25.~Les relations descriptives font voir que les deux courbes $C'$ et $C$
sont \emph{homologiques}, suivant l'expression de M.~Poncelet, c'est-à-dire
que \emph{les points correspondants des deux figures concourent en un même
point fixe} (appelé \emph{centre d'homologie}) qui est le point $S$; \emph{et les droites
correspondantes concourent en des points situés tous sur une même
droite} (appelée \emph{axe d'homologie}), qui est ici la droite d'intersection
des plans des deux courbes.

26.~Mais, outre ces relations descriptives, il résulte encore de ce
qui précède diverses relations métriques entre deux figures homologiques,
qui n'ont point encore été données et qui doivent jouer un
rôle important dans cette théorie et dans ses nombreuses applications.
Nous nous bornerons, dans ce moment, à cette simple observation,
parce que nous avons traité ailleurs de cette théorie avec tous les développements
dont elle nous a paru susceptible, dans un travail où elle se
présente comme cas particulier d'une méthode plus générale pour la
transformation des figures, méthode propre à la \emph{généralisation} et à la
\emph{démonstration} des vérités géométriques. Cette méthode s'applique aux
figures à trois dimensions, et nous servira par conséquent à donner
aux propriétés des diamètres des surfaces du second degré la même généralisation
\marginpage % *** File: 407.png
que nous venons de donner aux propriétés des diamètres
des sections coniques. Nous avons voulu simplement montrer, dans le
présent article, qu'avec le seul secours de la Géométrie la plus élémentaire,
on pouvait, sans considérations bien savantes ni théories nouvelles,
parvenir à la même généralisation, du moins pour les coniques.

Nous avons fait usage, pour cela, des seuls principes de la perspective,
méthode facile, avec laquelle on est familiarisé, mais dont on n'a
pas encore tiré, je crois, tous les avantages qu'elle peut procurer,
parce qu'on n'y a considéré, généralement, que les relations \emph{descriptives}
des figures, et nullement les relations \emph{métriques}. Celles-ci cependant
sont plus importantes, plus utiles et plus fécondes, et conduisent
à des résultats plus complets. J'aurai occasion de développer
ailleurs cette idée, et d'en faire l'application à plusieurs résultats des
travaux de Monge et de Carnot, que je regarde comme l'origine et le
fondement des progrès que la Géométrie a faits depuis une trentaine
d'années.

27.~\emph{Troisième mode de généralisation.} Ce troisième genre de généralisation
consiste à substituer aux systèmes de deux demi-diamètres
conjugués d'une conique, des systèmes d'un plus grand nombre de
demi-diamètres, déterminés suivant des conditions communes,
telles que les propriétés connues des systèmes de deux diamètres
conjugués appartiennent aussi à ces systèmes d'un plus grand nombre
de demi-diamètres.

En partant de cette idée de généralisation, nous sommes parvenu à
l'expression commune des systèmes d'un nombre quelconque de demi-diamètres
d'une conique, jouissant de toutes les propriétés des systèmes
de deux demi-diamètres conjugués; ces propriétés mêmes pouvant
être énoncées dans une plus grande généralité. Cette matière,
pour être exposée complétement, exigerait un article assez étendu;
nous y reviendrons ailleurs: nous allons simplement considérer ici les
systèmes de trois demi-diamètres, parce que nous pouvons traiter ce
cas par une méthode particulière, qui n'exige aucunes considérations
préalables.

Nous supposerons que la conique soit une ellipse; et, au lieu de considérer
trois demi-diamètres de cette courbe, nous considérerons les
\marginpage % *** File: 408.png
trois points qui sont les extrémités de ces demi-diamètres. Cela est absolument
la même chose; mais nous pourrons par là énoncer un plus
grand nombre de théorèmes. Ainsi nous allons considérer plusieurs
systèmes de trois points pris d'une certaine manière sur une ellipse.

28.~Concevons une sphère, et trois de ses rayons rectangulaires:
par leurs extrémités, menons un plan qui coupera la sphère suivant
un cercle; concevons le diamètre qui passe par le pôle de ce cercle; si
autour de ce diamètre on fait tourner le système des trois demi-rayons
rectangulaires, il est évident que leurs extrémités se mouvront sur le
cercle, ce qui prouve qu'il y aura une infinité de systèmes de trois
rayons rectangulaires qui s'appuieront sur le cercle passant par les
extrémités des trois premiers rayons.

Maintenant supposons que la sphère étant rapportée à trois axes
coordonnés, à chacun de ses points ayant pour coordonnées $x$, $y$, $z$,
corresponde dans l'espace un point qui ait pour coordonnées, suivant
les mêmes axes respectivement, ces trois premières multipliées par
trois constantes, c'est-à-dire $\lambda x$, $\mu y$, $\nu z$. Ce nouveau point appartiendra
à un ellipsoïde; et l'on reconnaît aisément que, à trois rayons
rectangulaires de la sphère correspondront trois demi-diamètres conjugués
de l'ellipsoïde; et qu'à une section plane de la sphère correspondra
une section plane de l'ellipsoïde.

Il résulte de là, que

\emph{Le plan mené par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués
d'un ellipsoïde coupe cette surface suivant une ellipse $E$, sur laquelle on
peut prendre une infinité d'autres systèmes de trois points qui seront
aussi les extrémités de trois demi-diamètres conjugués.}

29.~Ce sont là les systèmes de trois points que nous allons considérer;
mais il nous faut caractériser et définir les trois points par quelque
propriété prise dans la nature seule de la courbe $E$, sans être obligé de
faire usage d'une surface du second degré. Pour cela, soient $A$, $B$, $C$
les trois points, considérés comme les extrémités de trois demi-diamètres
$OA$, $OB$, $OC$ d'un ellipsoïde; concevons le plan tangent à cette
surface au point $A$; il sera parallèle au plan des deux demi-diamètres
$OB$, $OC$: la trace de ce plan tangent sur celui de la conique $E$, c'est-à-dire
la tangente à cette courbe, sera donc parallèle à la corde $BC$. Il
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suit de là que le diamètre de la courbe qui aboutit au point $A$ passe par
le milieu de la corde $BC$. Pareillement les droites menées du centre de
la courbe aux points $B$, $C$ passent, respectivement, par les milieux
des cordes $AC$, $AB$. On en conclut que \emph{le centre de la courbe est le
centre des moyennes distances des trois points} $A$, $B$, $C$.

Réciproquement, \emph{trois points pris sur la conique, de manière que
leur centre des moyennes distances soit le centre de la courbe, sont les
extrémités de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.} Car l'un de ces
trois points étant pris arbitrairement, les deux autres sont parfaitement
déterminés. Le point $A$, par exemple, étant donné, pour déterminer
les deux autres points $B$, $C$, on mènera par le centre $O'$ de la conique
$E$ le demi-diamètre $O'A$ qu'on prolongera d'une quantité $O'a$ égale à la
moitié de $O'A$, et par le point $a$ on mènera une parallèle à la tangente
à la courbe au point $A$; les intersections de la courbe par cette parallèle
seront les points $B$, $C$.

Ainsi les systèmes de trois points pris sur la conique sont définis par
la condition que \emph{le centre des moyennes distances des trois points de
chaque système est le centre de figure de la courbe.} Nous appellerons
ces trois points, pour abréger, points \emph{conjugués}.

Passons à la démonstration des propriétés des systèmes de trois points
\emph{conjugués}. Il nous suffira, le plus souvent, de rappeler une propriété
de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, pour en conclure immédiatement
la propriété correspondante du système de trois points \emph{conjugués}.

30.~Le tétraèdre formé par trois demi-diamètres conjugués est constant;
donc \emph{l'aire du triangle formé par trois points conjugués est constante.}

31.~Quand on a deux systèmes de demi-diamètres conjugués, le
tétraèdre construit sur un demi-diamètre du premier système et deux
demi-diamètres du second, a le même volume que le tétraèdre construit
sur les trois autres demi-diamètres; donc

\emph{Étant pris deux systèmes de trois points conjugués, l'aire du triangle
formé par un point du premier système et deux points du second, est
égale à l'aire du triangle formé par les trois autres points.}

32.~La somme des carrés de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde
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est constante; or ici le centre de l'ellipsoïde est indéterminé; on
peut donc dire que:

\emph{La somme des carrés des rayons menés d'un point fixe de l'espace
à trois points conjugués est constante.}

Notre démonstration ne s'applique ici qu'à un point pris au dehors
du plan de la courbe, puisqu'un point pris dans son plan ne peut pas
être le centre d'un ellipsoïde ayant pour diamètres conjugués les droites
menées de ce point aux trois points conjugués. Mais du cas général
d'un point pris dans l'espace on conclut la démonstration pour le cas
d'un point pris dans le plan de la courbe. Car soient $A$, $B$, $C$ les trois
points conjugués, et $O$ un point de l'espace, on aura
\[
\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 + \overline{OC}^2 = \text{constante}.
\]

Soit $O''$ la projection du point $O$ sur le plan de la courbe, on aura
\[
\overline{OA}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''A}^2,\quad  \overline{OB}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''B}^2,\quad \overline{OC}^2 = \overline{OO''}^2 + \overline{O''C}^2.
\]
Donc
\[
3\overline{OO''}^2 + \overline{O''A}^2 + \overline{O''B}^2 + \overline{O''C}^2 = \text{constante};
\]
d'où
\[
\overline{O''A}^2 + \overline{O''B}^2 + \overline{O''C}^2 = \text{constante}.
\]
Ainsi le théorème énoncé est général, quelle que soit la position du
point $O$.

33.~La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités
de trois demi-diamètres conjugués sur un plan diamétral, est constante;
qu'on prenne le plan diamétral perpendiculaire au plan de la
conique, on en conclut que

\emph{La somme des carrés des perpendiculaires abaissées de trois points
conjugués d'une ellipse sur une droite fixe menée dans le plan de cette
courbe, est constante.}

34.~La somme des carrés des trois faces au sommet du tétraèdre
formée par trois demi-diamètres conjugués est constante;

On conclut de là, que

\emph{Dans le tétraèdre qui a pour sommet un point fixe de l'espace et}
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\emph{pour base le triangle formé par trois points conjugués quelconques,
la somme des carrés des trois faces au sommet est constante.}

Et comme le triangle qui sert de base au tétraèdre a lui-même son
aire constante, on peut dire que

\emph{La somme des carrés des quatre faces du tétraèdre est constante.}

35.~La somme des carrés des projections des trois faces au sommet
du tétraèdre formé par trois demi-diamètres conjugués, sur un plan
fixe, est constante; on conclut de là et du théorème (30) que

\emph{Le tétraèdre qui a pour sommet un point fixe de l'espace, et pour
base le triangle formé par trois points conjugués, jouit de cette propriété
que la somme des carrés des projections de ses faces sur un plan
fixe est constante.}

36.~Si la projection est faite sur le plan de la figure, on en conclura,
en ayant égard encore au théorème (30), que

\emph{Un point fixe pris dans le plan d'une conique étant le sommet
commun à trois triangles ayant pour bases les trois côtés du triangle
formé par trois points conjugués quelconques, la somme des carrés
des aires de ces trois triangles sera constante.}

37.~Les plans tangents à une surface du second degré, aux extrémités
de trois demi-diamètres conjugués, font sur une droite diamétrale
fixe trois segments dont la somme des valeurs inverses des carrés
est constante.

Supposons que les extrémités des trois demi-diamètres conjugués
soient toujours sur une même section plane de la surface; les trois
plans tangents passeront par un point fixe $S$, qui sera le sommet du
cône circonscrit à la surface suivant cette courbe; ce point $S$, le centre
$O'$ de la courbe et le centre $O$ de la surface sont, comme on sait, en
ligne droite. Supposons que la transversale $OD$, menée par le centre
de la surface, soit parallèle au plan de la courbe; et par le centre $O'$
de cette courbe, menons dans son plan, une seconde transversale $O'D'$
parallèle à cette première; un plan tangent à la surface, en un des
points de la courbe, rencontrera les deux transversales $OD$, $O'D'$ en
deux points $T$, $T'$ qui seront en ligne droite avec le point $S$, puisque
ce plan tangent passe par ce point; il s'ensuit que les deux segments
$OT$, $O'T'$ sont entre eux dans le rapport
$\dfrac{OS}{O'S}$; c'est-à-dire que le segment
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$O'T'$ est au segment $OT$ dans une raison constante, quel que soit
le point de la courbe, par lequel on a mené le plan tangent; on conclut
donc du théorème énoncé ci-dessus, que

\emph{Les tangentes à une conique, menées par trois points conjugués quelconques,
font sur une droite fixe menée par le centre de la courbe, trois
segments dont la somme des valeurs inverses des carrés est constante.}

38.~Concevons deux plans fixes menés par le centre d'une surface du
second degré, et un système quelconque de trois demi-diamètres
conjugués; que de l'extrémité de chaque demi-diamètre on abaisse
des perpendiculaires sur les deux plans, et qu'on fasse leur produit;
la somme des trois produits ainsi faits sera constante, quel que soit le
système des trois demi-diamètres conjugués\footnote{%
J'admets ce théorème comme connu, quoiqu'il n'ait pas encore été donné;
je le démontrerai dans un autre moment, avec quelques autres propriétés nouvelles
des diamètres conjugués.
}.

Supposons que les deux plans fixes soient perpendiculaires au plan
de la courbe sur laquelle s'appuient les trois demi-diamètres conjugués;
on en conclura ce théorème:

\emph{Étant menées dans le plan d'une conique deux droites fixes, et
étant pris sur cette courbe trois points conjugués quelconques, si de
chacun de ces points on abaisse sur les deux droites des perpendiculaires,
et qu'on fasse leur produit, la somme des trois produits ainsi
faits sera constante.}

Si les deux droites fixes se confondent, on a le théorème (33).

Nous n'avons pas besoin de montrer l'analogie qu'il y a entre les
diverses propriétés des systèmes de \emph{trois} points conjugués d'une conique,
que nous venons de démontrer, et les propriétés des systèmes
de \emph{deux} diamètres conjugués: ces analogies sont évidentes.

39.~Les deux modes de généralisation que nous avons appliqués
précédemment aux propriétés des diamètres conjugués, par voie de
projection et de perspective, s'appliquent aussi aux propriétés des
systèmes de trois points conjugués.

Ainsi, par exemple, le théorème (32) donnera le suivant:

\marginpage % *** File: 413.png
\emph{Étant données deux coniques dans un plan, si sur la première on
prend trois points conjugués quelconques, et que du centre, de la
seconde on mène des rayons à ces trois points, la somme des carrés de
ces trois rayons, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres
de la seconde conique compris sur ces rayons, sera constante.}

40.~Si les deux coniques sont concentriques, et que la première soit
un cercle, les trois points conjugués diviseront la circonférence en trois
parties égales, et les trois rayons diviseront l'espace angulaire autour
du centre en trois parties égales; on a donc ce théorème:

\emph{Si par le centre d'une conique on mène trois demi-diamètres divisant
l'espace angulaire en trois parties égales, la somme des valeurs inverses
des carrés de ces trois demi-diamètres sera constante.}

Nous n'insisterons pas davantage sur la généralisation dont les propriétés
des systèmes de trois points conjugués sont susceptibles, parce
que nous reviendrons sur cet objet en traitant d'une manière générale
des propriétés d'un système d'un nombre quelconque de points, pris
d'une certaine manière sur une conique.

41.~\emph{Quatrième mode de généralisation.} Plusieurs des propriétés exprimées
pour les carrés des distances conviennent aux cubes.

Ainsi, la somme des cubes des perpendiculaires abaissées des quatre
extrémités de deux diamètres conjugués sur une droite fixe est constante.

Cette observation s'applique aussi à diverses propriétés des systèmes
de trois points conjugués que nous venons de faire connaître.

Mais je reviendrai dans un autre moment sur cet objet en traitant,
d'une manière générale, des propriétés de certains systèmes de points,
en nombre quelconque, situés sur une section conique, où l'on aura à
considérer non pas seulement les carrés et les cubes des lignes, mais
aussi des puissances plus élevées.

42.~Dans un autre article, nous appliquerons aux propriétés des sections
coniques, relatives à leurs foyers, les quatre modes de généralisation
que nous venons d'appliquer aux propriétés des diamètres
conjugués: nous obtiendrons de cette manière plusieurs théorèmes
nouveaux relatifs aux foyers des sections coniques.

\jmpafin

% *** File: 414.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes
de Mécanique;}
{Par M.~Aug. CAUCHY\footnotemark.}{}
\label{art34}
\footnotetext{Cet article fait partie d'un très long mémoire sur la Mécanique céleste qui
a été présenté à l'Académie de Turin le 11 octobre 1831 et dont on peut voir
un extrait dans le \emph{Bulletin universel des Sciences} de M.~Férussac.
\signit{(\textsc{J. Liouville.})}}

1.~Soient données, entre la variable $t$, $n$ fonctions de $t$ désignées
par $x$, $y$, $z$\dots, et $n$ autres fonctions de $t$ designées par $u$, $v$, $w$\dots,
$2n$ équations différentielles du premier ordre et de la forme
\begin{flalign*}
&(1)\quad\left\{\quad
\begin{alignedat}{3}
\frac{dx}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{du},   &\frac{dy}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{dv},   &\frac{dz}{dt}&\;=\;\frac{dQ}{dw}\ldots,\\
\frac{du}{dt}&=-\frac{dQ}{dx},\quad &\frac{dv}{dt}&=-\frac{dQ}{dy},\quad &\frac{dw}{dt}&=-\frac{dQ}{dz}\ldots,
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
$Q$ représentant une fonction de $x$, $y$, $z$\dots, $u$, $v$, $w$\dots, $t$. On
pourra supposer les inconnues $x$, $y$, $z$\dots, $u$, $v$, $w$\dots, exprimées en
fonction de $t$ et de $2n$ constantes arbitraires $a$, $b$, $c$\dots; et l'on aura,
dans cette hypothèse,
\[
\frac{dQ}{da}=\frac{dQ}{dx}\frac{dx}{da} + \frac{dQ}{dy}\frac{dy}{da}+ \dotsb
+ \frac{dQ}{du}\frac{du}{da} + \dotsb ;
\]
\marginpage % *** File: 415.png
par conséquent
\begin{flalign*}
&(2)\quad\left\{\quad\begin{aligned}
&\frac{dQ}{da}=-\frac{du}{dt}\frac{dx}{da} - \frac{dv}{dt}\frac{dy}{da} -
\dotsb + \frac{dx}{dt}\frac{du}{da} + \dotsb , \\[1ex]
&\text{on trouvera de même} \\[1ex]
&\frac{dQ}{db}=-\frac{du}{dt}\frac{dx}{db} - \frac{dv}{dt}\frac{dy}{db} -
\dotsb + \frac{dx}{dt}\frac{du}{db} + \dotsb ,
\end{aligned}\right.&
\end{flalign*}
Si de la seconde des équations (2), différentiée par rapport à la quantité
$a$, on retranche la première différentiée par rapport à $b$, on
obtiendra la suivante,
\[
\frac{d\ldot\dethoriz{a}{b}}{dt} = 0,\tag{3}
\]
la valeur de $\dethoriz{a}{b}$ étant
\[
\dethoriz{a}{b} = \frac{dx}{da}\frac{du}{db} - \frac{dx}{db}\frac{du}{da} +
\frac{dy}{da}\frac{dv}{db} - \frac{dy}{db}\frac{dv}{da} + \dotsb ,\tag{4}
\]
puis, en intégrant l'équation (3), on trouvera
\[
\dethoriz{a}{b} = \text{constante.}\tag{5}
\]
Donc, les quantités représentées par les symboles $\dethoriz{a}{b}$, $\dethoriz{a}{c}$,\dots
$\dethoriz{b}{c}$,\dots\ seront indépendantes de $t$. Observons d'ailleurs qu'en
vertu de la formule (4), on aura généralement
\[
\dethoriz{a}{a} = 0,\qtext{et} \dethoriz{a}{b} = - \dethoriz{b}{a}.
\]
Soient maintenant
\[
A = a,\quad B = b,\quad C = c,\quad \etc\ldots
\]
les intégrales générales des équations (1), $A$, $B$, $C$,\dots\ désignant des
fonctions déterminées des seules variables $x$, $y$, $z$,\dots\ $u$, $v$, $w$,\dots\ $t$.
\marginpage % *** File: 416.png
Faisons de plus
\[
(A,B) = \frac{dA}{dx}\frac{dB}{du} - \frac{dA}{du}\frac{dB}{dx} +
\frac{dA}{dy}\frac{dB}{dv} - \frac{dA}{dv}\frac{dB}{dy} + \dotsb ,\tag{7}
\]
on aura encore
\[
(A, A) = 0,\quad  (A,B) = - (B,A).
\]
D'ailleurs, si, dans l'équation qui détermine $x$ en fonction de $a$, $b$,
$c$,\dots $t$, on substitue $A$, $B$, $C$,\dots\ au lieu de $a$, $b$, $c$,\dots, on obtiendra
une formule identique, qui, différentiée successivement par
rapport à $x$, $y$, $z$,\dots\ $u$,\dots\ donnera
\[
1 = \frac{dx}{da}\frac{dA}{dx} + \frac{dx}{db}\frac{dB}{dx} + \dotsb ,\quad
0 = \frac{dx}{da}\frac{dA}{dy} + \frac{dx}{db}\frac{dB}{dy} + \dotsb ,\quad 0 = \etc\ldots,\tag{8}
\]
et, si l'on ajoute entre elles les valeurs de $(A, A)$, $(A, B)$, $(A, C)$,\dots{}
respectivement multipliées par $\dfrac{dx}{da}$, $\dfrac{dx}{db}$, $\dfrac{dx}{dc}$,\dots\ on trouvera, en
ayant égard aux formules (8),
\begin{flalign*}
&(9)\quad\left\{\quad
\begin{aligned}
&(A,A)\frac{dx}{da} + (A,B)\frac{dx}{db} + (A,C)\frac{dx}{dc} + \dotsb = -\frac{dA}{du};\\[1ex]
&\text{on trouvera de même},\\[1ex]
&(A,A)\frac{dy}{da} + (A,B)\frac{dy}{db} + (A,C)\frac{dy}{dc} + \dotsb = -\frac{dA}{dv},\\[1ex]
&\qquad\etc\ldots
\end{aligned}\right.&
\end{flalign*}
Pareillement, si l'on ajoute entre elles les valeurs de $(A, A)$, $(A, B)$,
$(A, C)$,\dots\ respectivement multipliées par $\dfrac{du}{da}$, $\dfrac{du}{db}$, $\dfrac{du}{dc}$,\dots\ on
trouvera
\begin{flalign*}
&(10)\quad\left\{\quad
\begin{aligned}
&(A,A)\frac{du}{da} + (A,B)\frac{du}{db} + (A,C)\frac{du}{dc} + \dotsb = \frac{dA}{dx};\\
&\text{on aura de même} \\
&(A,A)\frac{dv}{da} + (A,B)\frac{dv}{db} + (A,C)\frac{dv}{dc} + \dotsb = \frac{dA}{dy}, \\
&\qquad\etc\ldots
\end{aligned}\right.&
\end{flalign*}
\marginpage % *** File: 417.png
D'autre part, si l'on différentie successivement la première des formules
(6) par rapport à chacune des quantités $a$, $b$, $c$,\dots\ en considérant
$x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots\ comme des fonctions de $a$, $b$, $c$,\dots $t$,
on en tirera
\renewcommand\minalignsep{0pt}\begin{flalign*}
&(11)\;\begin{aligned}[t]
&1=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{da} + \frac{dA}{dy}\frac{dy}{da} + \dotsbsmall +
\frac{dA}{du}\frac{du}{da} + \dotsbsmall,\, 0=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{db} +
\dotsbsmall, \, 0=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{dc} + \dotsbsmall,\\
&\etc\end{aligned}&
\end{flalign*}\renewcommand\minalignsep{0pt}
Cela posé, si l'on combine par voie d'addition les formules (9) et (10),
après avoir multiplié respectivement les formules (9) par $-\dfrac{du}{da}$,
$-\dfrac{dv}{da}$, $-\dfrac{dw}{da}$,\dots\ et les formules (10) par
$\dfrac{dx}{da}$, $\dfrac{dy}{da}$, $\dfrac{dz}{da}$,\dots, on trouvera,
en ayant égard à la première des équations (11),
\begin{flalign*}
&(12)\quad\left\{\quad
\begin{alignedat}{4}
&(A, A) \dethoriz{a}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{a}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{a}{c} &&+ \dotsb = 1;\\[1ex]
&\rlap{on aura de même,}\\[1ex]
&(A, A) \dethoriz{b}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{b}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{b}{c} &&+ \dotsb = 0,\\
&(A, A) \dethoriz{c}{a} &&+ (A, B) \dethoriz{c}{b} &&+ (A, C) \dethoriz{c}{c} &&+ \dotsb = 0,\\[1ex]
&\qquad\etc
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
Les équations (12) suffisent pour déterminer les valeurs des quantités
$(A, B)$, $(A, C)$, etc.\dots, quand on connaît celles des quantités constantes
$\dethoriz{a}{b}$, $\dethoriz{a}{c}$,\dots, $\dethoriz{b}{c}$. Des équations semblables détermineront
les valeurs de $(B, A)$, $(B, C)$,\dots\ etc.\dots\ Donc les quantités $(A,B)$,
$(A, C)$,\dots $(B, C)$, etc.\dots\ sont elles-mêmes const\-antes, et ne dépendent
pas de la variable $t$.

Il est bon d'observer que, si, dans les équations (6) différentiées
par rapport à $t$, on substitue les valeurs de $\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$,\dots\ $\dfrac{du}{dt}$,\dots\ tirées
des équations (1), les formules ainsi obtenues, savoir,
\[
0 = \frac{dA}{dx}\frac{dQ}{du} + \frac{dA}{dy}\frac{dQ}{dv} + \dotsb
- \frac{dA}{du}\frac{dQ}{dx} - \dotsb ,\; 0=\frac{dB}{dx}\frac{dQ}{du} + \dotsb
-\frac{dB}{du}\frac{dQ}{dx} - \dotsb ,\tag{13}
\]
\marginpage % *** File: 418.png
auront pour seconds membres des fonctions identiquement nulles de
$x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$. Car, s'il en était autrement, il existerait entre
les valeurs générales de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$, et par conséquent
aussi entre les valeurs initiales de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots\ correspondantes
à $t = 0$, des équations qui ne renfermeraient aucune constante
arbitraire; ce qui est absurde, puisque ces valeurs initiales peuvent
être choisies arbitrairement.

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'intégrer non plus les équations
(1), mais les suivantes:
\begin{align*}\tag{14}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}=&\frac{dQ}{du}+\frac{dR}{du},\quad\frac{dy}{dt}=\frac{dQ}{dv}+\frac{dR}{dv},
\quad \frac{dz}{dt}=\frac{dQ}{dw}+\frac{dR}{dw}, \text{etc\dots},\\
\frac{du}{dt}=&-\frac{dQ}{dx}-\frac{dR}{dx},\quad \frac{dv}{dt}=-\frac{dQ}{dy}-
\frac{dR}{dy}, \quad \frac{dw}{dt}=-\frac{dQ}{dx}-\frac{dR}{dz}, \text{etc\dots},
\end{aligned}\right.
\end{align*}
on pourra supposer encore les valeurs de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots{}
déterminées par les équations (6), pourvu que l'on y considère $a$, $b$, $c$,\dots{}
comme devenant fonctions de $t$. Alors, si, dans la première des équations
(6), différentiée par rapport à $t$, on substitue les valeurs de
$\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$,\dots$\dfrac{du}{dt}$,\dots\ tirées des  équations (14), si d'ailleurs on a égard
à la première des formules (13), qui subsiste, quelles que soient les
valeurs de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$, on trouvera
\[
\frac{da}{dt}=\frac{dA}{dx}\frac{dR}{du}+\frac{dA}{dy}\frac{dR}{dv}+ \dotsb
-\frac{dA}{du}\frac{dR}{dx}- \dotsb ,\tag{15}
\]
Enfin, si, après avoir exprimé $R$ en fonction de $a$, $b$, $c$,\dots $t$, on y
substitue, au lieu de $a$, $b$, $c$,\dots\ les fonctions de $x$, $y$, $z$,\dots $u$, $v$, $w$,\dots $t$
représentées par $A$, $B$, $C$,\dots, on retrouvera identiquement la première
valeur de $R$; et l'on aura, par suite,
\begin{align*}
\frac{dR}{dx}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{dx}+\frac{dR}{db}\frac{dB}{dx}&+ \dotsb ,\;
\frac{dR}{dy}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{dy}+\frac{dR}{db}\frac{dB}{dy}+ \dotsb , \etc\dots, \tag{16} \\
\frac{dR}{du}=\frac{dR}{da}\frac{dA}{du}&+ \dotsb ,\; \etc
\end{align*}
\marginpage % *** File: 419.png
Cela posé, la formule (15) donnera
\begin{flalign*}\tag{17}
&\quad\left\{\quad
\begin{aligned}
&\frac{da}{dt}=(A,B)\frac{dR}{db}+(A,C)\frac{dR}{dc}+ \dotsb ; \text{on trouvera de même}\\
&\frac{db}{dt}=(B,A)\frac{dR}{da}+(B,C)\frac{dR}{dc}+ \dotsb ,\\
&\qquad\text{etc\dots}
\end{aligned} \right.&
\end{flalign*}
Telles sont les équations différentielles qui devront servir à déterminer
$a$, $b$, $c$,\dots\ en fonction de $t$. Les coefficients de
$\dfrac{dR}{da}$, $\dfrac{dR}{db}$, etc.,\dots\ dans ces équations, seront, d'après les remarques
précédemment faites, des fonctions des seules quantités $a$, $b$, $c$,\dots;
et la variable $t$ n'y entrera pas d'une manière explicite.

\begin{center}
\emph{Application à la Mécanique céleste.}
\end{center}

2.~Soient $\gothicM$ la masse du Soleil, $m$, $m'$, $m''$\dots\ les masses des planètes:
prenons pour origine des coordonnées le centre du Soleil, et
soient
\[
x,\; y,\; z,\quad x',\; y',\; z', \ldots
\]
les coordonnées des planètes dans leurs mouvements relatifs autour
de cet astre. En choisissant convenablement l'unité de masse, désignant
par $u$, $v$, $w$ les vitesses de $m$ mesurées parallèlement aux
axes des $x$, $y$, $z$, et faisant pour abréger
\begin{gather*}
M = \gothicM + m,\\
r = (x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2},\quad r'=(x'^2+y'^2+z'^2)^\frac{1}{2},\text{etc}.,\\
\scriptr'=[(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2]^\frac{1}{2},\\
R=\frac{m'(xx' +yy' +zz')}{r'^3} + \dotsb - \frac{m'}{\scriptr'} - \dotsb ,
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 420.png
on trouvera pour les équations différentielles du mouvement de $m$,
\begin{gather*}
\frac{dx}{dt}=u, \qquad\qquad  \frac{dy}{dt}=v,\qquad\qquad  \frac{dz}{dt}=w,\\
\frac{du}{dt}=- \frac{Mx}{r^3}-\frac{dR}{dx},\quad   \frac{dv}{dt}=-\frac{My}{r^3}-\frac{dR}{dy},\quad \frac{dw}{dt}= -\frac{Mz}{r^3}-\frac{dR}{dz}.
\end{gather*}
Pour déduire ces dernières formules des équations (14) du numéro
précédent, il suffira de prendre
\[
Q = \frac{u^2+v^2+w^2}{2}-\frac{M}{r}
\]
et d'admettre que $R$ est fonction seulement de $x$, $y$, $z$, $x'$, $y'$, $z'$,\dots.
Ainsi la théorie générale exposée ci-dessus s'applique sans difficulté
aux équations différentielles du mouvement des planètes.

\jmpafin

% *** File: 421.png

\jmpapaper{}{}
{Sur quelques Propriétés générales des Surfaces gauches;}
{Par M.~CHASLES.}{}
\label{art35}

\textsc{Théorème.} \emph{Tout plan mené par une génératrice d'une surface
gauche touche la surface en un point, et lui est normal en un
autre point;}

\emph{Ces deux points ont entre eux la relation suivante:}

\emph{Le produit de leurs distances à un certain point fixe, situé sur la
génératrice, est constant.}

Tout plan mené par une génératrice coupe la surface suivant une
courbe; et le point où cette courbe rencontre la génératrice est le
\emph{point de contact} du plan et de la surface. Pour déterminer le point
où le plan est \emph{normal} à la surface, il faut mener, par la même génératrice,
un second plan qui soit perpendiculaire au premier, et prendre
le point où ce second plan touchera la surface; ce sera le point où le
premier plan lui sera normal. Nous aurions donc pu énoncer le théorème
de cette manière:

\emph{Étant menés, par une même génératrice d'une surface gauche, deux
plans rectangulaires, les points où ces deux plans touchent la surface
auront entre eux cette relation, que, le produit de leurs distances à
un certain point fixe, situé sur la génératrice, sera constant.}

On peut mener d'une infinité de manières un hyperboloïde à une
nappe tangent à une surface gauche suivant toute l'étendue d'une génératrice;
tout plan mené par la génératrice touchera la surface et
l'hyperboloïde au même point; il suffit donc de démontrer le théorème
pour un hyperboloïde.

Concevons trois systèmes de deux plans rectangulaires menés par
une génératrice $D$ d'un hyperboloïde. Soient $A$, $A'$ les plans du premier
système, $B$, $B'$ ceux du second, et $C$, $C'$ ceux du troisième.
\marginpage % *** File: 422.png
Ces six plans donnent lieu à la relation d'\emph{involution} entre les sinus de
leurs inclinaisons mutuelles; c'est-à-dire qu'on a
\[
\frac{\sin C,\hfill A\ \ldot \sin C,\hfill A'}{\sin C', A\ \ldot \sin C', A'} = \frac{\sin C,\hfill B \ldot \sin C,\hfill B' }{\sin C', B \ldot \sin C', B'}.
\]

Cette équation se vérifie aisément; car les angles qui y entrent sont
égaux, deux à deux. Ainsi, par exemple, l'angle $\widehat{C, A}$ est égal à l'angle
$C', A'$, puisque les deux plans $C'$, $A'$ sont perpendiculaires, respectivement,
aux deux plans $C$, $A$. Il s'ensuit que les facteurs des numérateurs
sont égaux, un à un, aux facteurs des dénominateurs, et qu'ainsi
l'équation est vérifiée.

Cette équation est une de celles qui subsistent quand on y remplace
les sinus des inclinaisons des plans par les segments que ces plans font
sur une transversale quelconque. Soit donc une transversale menée
arbitrairement dans l'espace, et soient $a$, $a'$, $b$, $b'$, $c$, $c'$ les points où
les six plans $A$, $A'$, $B$, $B'$, $C$, $C'$ la rencontrent; on aura entre ces
points la relation
\[
\frac{ca \ldot ca'}{c'a \ldot c'a'} = \frac{cb \ldot cb'}{c'b \ldot c'b'}.
\]

Supposons que la transversale soit une génératrices $D'$ de l'hyperboloïde,
et soient $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$, $\gamma$, $\gamma'$ les points où les six plans sont
tangents à l'hyperboloïde; alors les six droites $\alpha a$, $\alpha' a'$, $\beta b$, $\beta' b'$, $\gamma c$,
$\gamma' c'$ seront six génératrices du second mode de génération de l'hyperboloïde.

Considérons le quadrilatère formé par les quatre génératrices $D$, $D'$,
$\gamma c$, $\gamma' c'$, dont les sommets, pris consécutivement, sont $\gamma$, $c$, $c'$, $\gamma'$.
On sait que pour une génératrice quelconque qui s'appuie en $\mu$ et $m$
sur les deux côtés opposés $\gamma \gamma'$, $cc'$, on a la relation constante
\[
\frac{mc}{mc'} = k \ldot \frac{\mu \gamma}{\mu \gamma'},
\]
où $k$ est une constante\footnote{J'ai démontré ce théorème dans le tome II de la \emph{Correspondance sur l'École
Polytechnique}, p.~446. Depuis il a été reproduit dans plusieurs traités de Géométrie
descriptive.}.
\marginpage % *** File: 423.png

Prenant successivement, pour la génératrice $\mu m$, les quatre droites
$\alpha a$, $\alpha'a'$, $\beta b$, $\beta'b'$, on aura
\begin{alignat*}{2}
&\frac{ac}{ac'} = k \ldot \frac{\alpha \gamma}{\alpha \gamma'},\qquad&& \frac{a'c}{a'c'} = k \ldot\frac{\alpha' \gamma}{\alpha'\gamma'},\\
&\frac{bc}{bc'} = k \ldot \frac{\beta \gamma}{\beta \gamma'},        && \frac{b'c}{b'c'} = k \ldot\frac{\beta'\gamma}{\beta'\gamma'}.
\end{alignat*}

D'après ces relations, l'équation ci-dessus devient celle-ci:
\[
\frac{\gamma \alpha \hfill\ldot\hfill \gamma \alpha' }{\gamma' \alpha \ldot \gamma' \alpha'} = \frac{\gamma \beta \hfill\ldot\hfill \gamma \beta' }{\gamma' \beta \ldot \gamma' \beta'}.
\]
$\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$, $\gamma$, $\gamma'$ sont les points de contact des six plans $A$, $A'$, $B$,
$B'$, $C$, $C'$ avec l'hyperboloïde, et par conséquent avec la surface gauche.
Et si l'on ne considère que les trois plans $A$, $B$, $C$ qui sont menés
arbitrairement par la génératrice $D$, nous dirons que $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont les
points où ils touchent la surface, et $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$ les points où ils lui
sont normaux. L'équation ci-dessus exprime donc une propriété générale
de la surface, relative aux trois plans $A$, $B$, $C$. Cette équation
est celle qu'on appelle \emph{involution de six points}; nous pouvons donc
dire que

\emph{Si l'on mène trois plans quelconques par une génératrice d'une surface\break
gauche, les trois points où ils seront tangents à la surface, et les
trois points où ils lui seront normaux seront six points en involution.}

Maintenant supposons que le plan $C$ soit mené parallèlement à
la génératrice de la surface qui est infiniment voisine de la génératrice
$D$; alors le point de contact du plan $C$ avec la surface sera
à l'infini; ou, en d'autres termes, la courbe d'intersection de la surface
par le plan $C$ ne rencontrera la génératrice $D$ qu'à l'infini,
puisque ce plan rencontre la génératrice infiniment voisine à l'infini.
Ainsi le point $\gamma$ est à l'infini, et l'équation ci-dessus se réduit à
\[
\gamma' \alpha \ldot \gamma' \alpha' = \gamma' \beta \ldot \gamma' \beta'.
\]

Donc le produit des distances des deux points $\alpha$, $\alpha'$ au point $\gamma'$ est
égal au produit des distances des deux points $\beta$, $\beta'$ au même point $\gamma'$.

\emph{Ce qui démontre le théorème énoncé.}

\emph{Observations}. Le point $\gamma'$ est, comme on voit, celui où le plan
mené par la génératrice $D$, parallèlement à la génératrice infiniment
\marginpage % *** File: 424.png
voisine, est \emph{normal} à la surface. Appelons $O$ ce point, au lieu de $\gamma'$.
Ce point $O$ jouit de quelques propriétés géométriques.

Pour déterminer ce point, il faut concevoir le plan mené par la génératrice
$D$ parallèlement à la génératrice infiniment voisine $D'$, et
mener par la droite $D$ un second plan perpendiculaire à ce premier;
puis chercher le point où ce second plan touchera la surface: ce point
de contact sera le point $O$. Or le second plan passera par la droite qui
mesure la plus courte distance des deux génératrices $D$, $D'$. Cette
droite, qui est infiniment petite, est située sur la surface; le point où
elle s'appuie sur la génératrice $D$ est donc le point de contact du second
plan avec la surface. C'est donc le point $O$.

Ainsi, \emph{le point $O$ est le point où la droite qui mesure la plus courte
distance entre la génératrice $D$ et la génératrice infiniment voisine,
s'appuie sur la première}.

Que par tous les points de la génératrice $D$ on mène des plans perpendiculaires
à cette droite, et des tangentes aux courbes d'intersection
de la surface par ces plans; ces tangentes s'appuieront sur la
génératrice infiniment voisine $D'$, et formeront un paraboloïde hyperbolique
tangent à la surface suivant la génératrice $D$.

\emph{Le sommet de ce paraboloïde est le point $O$.}

En effet, ce qui caractérise le sommet d'un paraboloïde, c'est que
le plan tangent en ce point est perpendiculaire aux deux plans \emph{directeurs}
du paraboloïde\footnote{Les plans \emph{directeurs} d'un paraboloïde sont les deux plans auxquels les génératrices
des deux modes de génération du paraboloïde sont respectivement
parallèles.}. Or le premier plan directeur du paraboloïde
est perpendiculaire à la génératrice $D$; le plan tangent en $O$ lui est donc
perpendiculaire. Le second plan directeur est parallèle aux deux génératrices
$D$, $D'$; et, par conséquent, perpendiculaire à la droite qui
mesure la plus courte distance de ces deux génératrices; donc le plan
tangent en $O$, qui passe par cette droite, est perpendiculaire à ce second
plan directeur. Donc \emph{le point $O$ est le sommet du paraboloïde}.

Maintenant supposons que le paraboloïde tourne autour de la génératrice
$D$, et fasse un quant de conversion; ses génératrices qui étaient
perpendiculaires à la droite $D$ lui seront restées perpendiculaires et
\marginpage % *** File: 425.png
seront devenues normales à la surface, puisqu'elles étaient situées auparavant
dans ses plans tangents. On conclut de là que

\emph{Les normales à une surface gauche, menées par les différents points
d'une de ses génératrices, forment un paraboloïde qui a son sommet
au point $O$ déterminé ci-dessus.}

De ces considérations résulte la construction suivante du point $O$:

Qu'en trois points de la génératrice $D$ on mène les normales à la
surface; qu'on cherche une droite qui s'appuie sur ces trois normales,
et qu'on mène la droite qui mesure la plus courte distance entre cette
droite et la génératrice $D$; \emph{le point où cette plus courte distance s'appuiera
sur la génératrice $D$ sera le point $O$}.

Enfin, l'équation
\[
O \alpha \ldot O \alpha' = O \beta \ldot O \beta'
\]
donne un autre moyen pour construire le point $O$; car les points $\alpha$, $\alpha'$,
$\beta$, $\beta'$ étant connus, cette équation fait connaître le point $O$.

Sur chaque génératrice d'une surface gauche il existe un pareil
point $O$, qu'on peut définir aussi comme étant le sommet du paraboloïde
normal à la surface suivant la génératrice. Tous ces points
forment sur la surface une ligne courbe qui jouit de diverses propriétés
que nous examinerons dans un autre article. Nous nous bornerons
à dire ici que, sur un paraboloïde, cette courbe est l'ensemble
de deux paraboles qui ont pour axe commun celui du paraboloïde.

\jmpafin

% *** File: 426.png

\jmpapaperl{TROISIÈME MÉMOIRE}{}
{Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions
en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à
une même équation différentielle du second ordre, contenant
un paramètre variable;}
{Par J. LIOUVILLE\footnotemark.}
{(Présenté à l'Académie des Sciences. --- Août 1837.)}
\label{art36}
\footnotetext{\emph{Voyez} le tome I\ier\ de ce Journal, page 253 et le tome II, page 16 \pdf{art4}.}

\mysection{I.}

1.~Dans ce troisième mémoire, comme dans les deux précédents,
je considère les fonctions $V$ qui satisfont à l'équation différentielle
\[
\tag{1} \frac {d\Big(k \dfrac{dV}{dx}\Big)}{dx} + (gr -l)V = 0,
\]
et aux conditions définies
\begin{alignat*}{2}
\tag{2} \frac{dV}{dx} &- \,hV = 0  \quad&&\text{pour } x = \x,\\
\tag{3} \frac{dV}{dx} &+   HV = 0  \quad&&\text{pour } x = X:
\end{alignat*}
$x$ est une variable réelle qui peut croître depuis x jusqu'à $X$: $h$, $H$
sont deux coefficients positifs, et $g$, $k$, $l$ trois fonctions positives
de $x$. Pour que les équations (1), (2), (3) aient lieu en même
temps, il faut que le paramètre $r$ soit choisi parmi les racines (réelles
et positives) $r_1$, $r_2$, $r_3$,\dots\ d'une certaine équation transcendante
\marginpage % *** File: 427.png
$\varpi(r)=0$. Cela posé, on veut démontrer la convergence et trouver
la somme de la série
\[
\tag{4} \sum\left\{\frac{V {\dint_\x^X} gVf(x)dx}{{\dint_\x^X} gV^2dx}\right\},
\]
dans laquelle le signe $\sum$ s'applique aux valeurs de $r$ dont il vient
d'être question et où $f(x)$ représente une fonction réelle\footnote
{Si la fonction $f(x)$ était imaginaire et de la forme $f_1(x)+\sqrt{-1} f_2(x)$,
on décomposait la série (4) en deux autres séries semblables, relatives aux deux
autres fonctions réelles $f_1(x)$, $f_2(x)$.}
de $x$. Cette fonction $f(x)$ est arbitraire: elle peut changer de forme ou
d'expression analytique dans l'étendue des valeurs de la variable;
mais nous supposerons en général que pour chaque valeur déterminée
de $x$ elle prend une valeur unique et déterminée, et que, de
plus, elle croît infiniment peu lorsque la variable $x$ elle-même subit
un accroissement infiniment petit. J'ai démontré le premier la convergence
de la série (4), dans un mémoire imprimé à la page 16 \pdf{art4} de
ce volume; mais l'analyse dont j'ai fait usage alors, quoique simple
et élégante, n'est pas encore assez générale. En effet, elle exige que
les dérivées premières et secondes des fonctions $g$, $k$, $f(x)$ ne deviennent
jamais infinies lorsque $x$ croît de x à $X$, et que, de plus,
$f(x)$ vérifie les deux conditions suivantes:
\[
\tag{5}\left\{\quad\begin{alignedat}{2}
&\frac{df(x)}{dx}-hf(x) = 0 \quad&&\text{pour } x = \x,\\
&\frac{df(x)}{dx}+Hf(x) = 0 \quad&&\text{pour } x = X.
\end{alignedat}\right.
\]

Je me propose ici de faire disparaître, autant qu'il me sera possible,
ces restrictions diverses, et surtout celles relatives à la fonction
$f(x)$. Il me suffira, pour cela, de modifier un peu la méthode
dont je me suis servi précédemment, ce qui, je dois l'avouer, en altérera
l'élégance. Mais la démonstration nouvelle qui résultera de ce
changement sera aussi rigoureuse que l'ancienne et beaucoup plus
complète. En l'exposant j'admettrai, pour plus de simplicité, que
des deux nombres $h$, $H$ aucun n'est infini.
\marginpage % *** File: 428.png

2.~Il faut d'abord, comme dans mon second mémoire, changer
de variable indépendante et remplacer la fonction $V$ par une autre
fonction $U$. Posons
\[
z = \int_\x^x\sqrt{\frac{g}{k}}\ldot dx,\quad \theta =\frac{1}{\sqrt[4]{gk}},\quad  V=\theta U,\quad  r=\rho^2:
\]
l'équation (1) deviendra
\[
\tag{6} \frac{d^2U}{dz^2} + \rho^2 U = \lambda U,
\]
$\lambda$ représentant la quantité
\[
\frac{1}{\theta\sqrt{gk}} \Big( l\sqrt{\frac{k}{g}}\ldot \theta - \frac{d\sqrt{gk}}{dz}\ldot \frac{d\theta}{dz} - \sqrt{gk}\ldot\frac{d^2\theta}{dz^2}\Big).
\]
Quant aux équations (3), (4), si on leur applique les mêmes transformations,
elles prendront la forme
\begin{alignat*}{2}
\tag{7} &\frac{dU}{dz} - h' U = 0 \quad&&\text{pour }z = 0,\\
\tag{8} &\frac{dU}{dz} + H' U = 0 \quad&&\text{pour }z = Z,
\end{alignat*}
$Z$ étant la valeur de $z$ qui répond à $x = X$ : $h'$, $H'$ désignent
deux constantes différentes de $h$, $H$, et qui ne sont pas assujéties,
comme ces dernières, à la condition d'être positives.

On aura en même temps, par un calcul très simple,
\[
\int_\x^X gV^2 dx = \int_0^Z U^2dz.
\]
En faisant
\[
f(x) \sqrt[4]{gk} = \f(z),
\]
on aura aussi
\[
\int_\x^X gVf(x) dx = \int_0^Z U\f(z)dz.
\]
Représentons par $\theta T$ le terme général de la série (4): cette série sera
\marginpage % *** File: 429.png
exprimée par $\theta\sum T$, et la valeur de $T$ pourra se mettre sous la forme
\[
\tag{9}   T = \frac{U{\dint^Z_0} U\f(z)dz}{{\dint^Z_0} U^2dz},
\]
que nous lui attribuerons désormais exclusivement. Nous considérerons,
dans les numéros qui suivent, les termes de la série $\sum T$ qui répondent
à des valeurs de $\rho$ très grandes, et nous démontrerons la
convergence de cette série, quelle que soit la fonction $f(x)$. Pour
l'exactitude de nos raisonnements, il suffira que la valeur absolue
$\sqrt{\lambda^2}$ de la fonction $\lambda$ soit tellement composée en $z$ que l'intégrale
${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$ ait une valeur finie et puisse être regardée comme équivalente
à la somme de ses éléments. Cette condition est remplie,
dans certains cas, même par une fonction $\lambda$ qui devient infinie pour
une ou plusieurs valeurs de $z$ comprises entre $0$ et $Z$. Quand la convergence
de la série (4) aura été ainsi démontrée, on pourra conclure
de la méthode développée dans mon premier mémoire, que la
somme de cette série est $f(x)$ depuis $ x = \x$ jusqu'à $x = X$. Pour
l'exactitude de l'équation $f(x) = \theta\sum T$, il n'est pas du tout nécessaire
que la fonction $f(x)$ satisfasse aux conditions (5): ces conditions,
que j'ai imposées mal à propos à la fonction $f(x)$ dans
mes deux premiers mémoires, sont inutiles et doivent être absolument
mises de côté.

\mysection{II.}

3.~Désignons, comme dans mon second mémoire, par $\lambda'$, $U'$,
ce que deviennent $\lambda$ et $U$ lorsqu'on y remplace $z$ par $z'$: nous
tirerons de l'équation (6) l'équation nouvelle
\[
\tag{10} U = \cos\rho z + \frac{h'\sin\rho z}{\rho} + \frac{1}{\rho}\int_0^z\lambda' U'\sin\rho (z-z')dz',
\]
qui a été donnée déjà à la page 24 \pdf{p24eq14}
de ce volume. Cette valeur
de $U$ satisfait à la fois à l'équation indéfinie (6) et à la condition définie
(7): elle suppose que l'on ait pris pour unité la valeur arbitraire
de $U$ relative à $z= 0$. On peut s'en servir pour trouver une
limite supérieure de la plus grande valeur absolue que $U$ puisse
\marginpage % *** File: 430.png
prendre lorsque $z$ croît de $0$ à $Z$. Soit en effet $Q$ cette valeur \emph{maxima}.
Si la quantité $\sqrt{\lambda^2}$ est telle que l'intégrale ${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$ puisse être
regardée comme équivalente à la somme de ses éléments, il en
sera de même \emph{à fortiori} de l'intégrale
\[
\int_0^Z\!\lambda'U'\sin\rho(z - z')dz':
\]
la valeur de cette dernière intégrale augmentera donc en remplaçant
$\lambda'$ par $\sqrt{\lambda'^2}$, $U'$ par $Q$, $\sin \rho(z - z')$ par l'unité et $z$ par $Z$: d'un
autre côté, le maximum de $\cos \rho z+\dfrac{h'\sin\rho z}{\rho} $ est $\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}$: donc
le second membre de l'équation (10) est constamment plus petit que
\[
\sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{Q}{\rho}\int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz,
\]
et comme, d'un autre côté, il peut devenir égal à $Q$, cela exige
que l'on ait
\[
Q < \sqrt{1+\Big(\frac{h'}{\rho}\Big)^2} + \frac{Q}{\rho}\int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz.
\]
Ainsi, pour des valeurs de $\rho$ supérieures à ${\dint_0^Z} \sqrt{\lambda^2}\ldot dz$, il vient
\[
Q < \frac{\sqrt{1+\Big(\dfrac{h'}{\rho}\Big)^2}}{1-\dfrac{1}{\rho}{\dint_0^Z} \!\sqrt{\lambda^2}\ldot dz}.
\]
On peut donc trouver une limite indépendante de $\rho$ au-dessous de
laquelle $Q$ et $U$ tomberont toujours, pour des valeurs de $\rho$ de plus
en plus grandes: afin de mieux préciser cette limite, nous dirons
que l'on a par exemple $U < 2$ lorsque le paramètre $\rho$ est suffisamment
grand. Ce théorème a été démontré, mais d'une manière moins
générale, dans mon second mémoire.

\mysection{III.}

4.~En différenciant l'équation (10) par rapport à $z$, on obtient
\marginpage % *** File: 431.png
la valeur de $\dfrac{dU}{dz}$: il est aisé d'en déduire ensuite celle de $\dfrac{dU}{dz} + H'U$
relative $z = Z$, et par conséquent de former, d'après la condition (8),
l'équation dont les valeurs de $\rho$ dépendent. En posant, comme dans
le mémoire déjà cité,
\begin{alignat*}{2}
&P  &&= h' + H' + \int_0^Z \!\lambda'U'\Big(\cos\rho z' - \frac{H'\sin\rho z'}{\rho}\Big)dz',\\
&P' &&= \frac{H'h'}{\rho} + \int_0^Z \!\lambda'U'\Big(\frac{H'\cos\rho z'}{\rho}
+\sin\rho z'\Big)dz',
\end{alignat*}
cette équation sera
\[
\tang\rho Z=\frac{P}{\rho-P'}.\tag{11}
\]

D'après la composition des fonctions $P$ et $P'$, on voit que pour
de grandes valeurs de $\rho$ elles ne peuvent jamais dépasser un certain
maximum absolu indépendant de ce paramètre et facile à calculer :
en se rappelant que l'on a $U < 2$, on trouve en effet
\begin{alignat*}{2}
&P  &&< \sqrt{(h'+H')^2} + 2\sqrt{1+\Big(\frac{H'}{\rho}\Big)^2}\ldot \int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot  dz,\\
&P' &&< \sqrt{\frac{H'^2h}{\rho^2}}+2\sqrt{1+\Big(\frac{H'}{\rho}\Big)^2}\ldot \int_0^Z\!\sqrt{\lambda^2}\ldot  dz,
\end{alignat*}
d'où résulte
\begin{alignat*}{2}
&P  &&< \sqrt{(h'+H')^2} + 2\sqrt{2}\ldot  \int_0^Z\! \sqrt{\lambda^2}\ldot  dz,\\
&P' &&< 1 + 2\sqrt{2}\ldot  \int_0^Z\! \sqrt{\lambda^2}\ldot  dz,
\end{alignat*}
dès que le paramètre $\rho$ a une valeur numérique supérieure à celle des
deux quantités $H'$, $H'h'$: il est inutile d'avertir que dans ces inégalités
les radicaux sont tous pris positivement.

On trouvera de même une limite indépendante de $\rho$ pour les
deux dérivées $\dfrac{dP}{d\rho}$, $\dfrac{dP'}{d\rho}$. On peut conclure de là que pour des valeurs
\marginpage % *** File: 432.png
de $\rho$ très grandes, le second membre de l'équation (11) et sa
dérivée prise par rapport à deviennent de très petits nombres.

5.~Maintenant mettons l'équation (11) sous la forme
\[
\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'} = 0.\tag{12}
\]
Désignons par $n$ un nombre entier très grand et substituons au lieu
de $\rho$ les deux quantités
\[
\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big),\quad
\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big)
\]
dans la fonction
\[
\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'}:
\]
par ces substitutions, le terme $\tang \rho Z$ deviendra successivement
$-1$, $+1$: le second terme au contraire sera très petit. Donc, la
fonction dont il s'agit (fonction qui reste évidemment continue entre
les limites citées) passera du négatif au positif, d'où l'on doit conclure
que entre les limites
\[
\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big),\quad
\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big)
\]
il existe une racine de l'équation (12) ou de l'équation (11). Je dis
de plus qu'il n'y en a qu'une; car, dans le cas contraire, il faudrait
que la dérivée prise par rapport à $\rho$ de la fonction
\[
\tang \rho Z - \frac{P}{\rho-P'}
\]
pût devenir égale à zéro entre ces limites, ce qui n'est pas, puisque
lorsque $\rho Z$ varie depuis $n\pi - \dfrac{\pi}{4}$ jusqu'à $n\pi + \dfrac{\pi}{4}$, la dérivée de
$\tang \rho Z$ est toujours $>Z$, tandis que celle de $\dfrac{P}{\rho-P'}$ est très petite.

Il y a de même une seule racine entre
\[
\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi-\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et}
\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi+\frac{\pi}{4}\Big],
\]
\marginpage % *** File: 433.png
entre
\[
\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi-\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et}
\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi+\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc,
\]
Mais il n'en existe aucune entre
\[
\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big)\qtext{et}
\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi-\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc,
\]
entre
\[
\frac{1}{Z}\Big[(n+1)\pi+\frac{\pi}{4}\Big]\qtext{et}
\frac{1}{Z}\Big[(n+2)\pi-\frac{\pi}{4}\Big],\ \etc,
\]
comme on peut s'en assurer en observant que, pour les valeurs
de $\rho$ comprises dans chacun de ces intervalles, on a $\tang^2 \rho Z > 1$.

6.~La racine $\rho$ comprise entre
\[
\frac{1}{Z}\Big(n\pi-\frac{\pi}{4}\Big)\qtext{et}
\frac{1}{Z}\Big(n\pi+\frac{\pi}{4}\Big)
\]
s'obtient du reste sans difficulté puisque l'équation (11) résolue donne
\[
\rho Z = n\pi + \arctang \frac{P}{\rho - P'}:
\]
en remplaçant $\arctang \dfrac{P}{\rho - P'}$ par $\dfrac{P}{\rho - P'}$ ou par $\dfrac{P}{\rho}$, et ensuite $\rho$ par
$\dfrac{n\pi}{Z}$ dans la fraction $\dfrac{P}{\rho}$, on aura une expression de $\rho$ très approchée. On
voit par là que la valeur de $\rho$ est de la forme
\[
\tag{13}\rho = \frac{n\pi}{Z} + \frac{B_n}{n},
\]
$B_n$ étant une fonction de $n$ dont la valeur absolue restera toujours
inférieure à une certaine limite, indépendante de $n$, que l'on
pourrait assigner.

7.~Les racines qui viennent après celles-là par ordre de grandeur
s'en déduiront en augmentant successivement le nombre $n$ d'une
unité. En les élevant au carré, on obtiendra les valeurs correspondantes
du paramètre $r$: on pourrait même démontrer que la $(n+1)$\iieme\
\marginpage % *** File: 434.png
des racines $r_1$, $r_2$, etc., est précisément exprimée par
\[
\Big(\frac{n \pi }{Z} + \frac{B_n}{n}\Big)^2:
\]
c'est ce que j'ai fait voir à la page 30 \pdf{p30eqrn} de ce volume et ce sur quoi
il est inutile d'insister ici. Il suffit d'observer que la partie principale
des racines $\rho$ fournies par la formule
\[
\rho = \frac{n \pi }{Z } + \frac{B_n }{n}
\]
croît proportionnellement au nombre $n$.

Dans la suite de ce mémoire, nous désignerons par la caractéristique
$\Psi$ (et aussi par $\Psi'$, $\Psi''$, $\Psi'''$,\dots) toute fonction de $n$ qui ne
dépassera jamais un certain maximum absolu $N$: $\dfrac{\beta}{n}$ sera par exemple une
de ces fonctions, d'où il est aisé de conclure que les séries ayant
pour terme général $\dfrac{\Psi}{n\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{\rho^2}$ sont convergentes, puisqu'en remplaçant
$\rho$ par $n\Big(\dfrac{\rho}{n}\Big)$ elles se ramènent à la forme $\sum \Big\{\dfrac{\Psi'}{n^2}\Big\}$.

\mysection{IV.}

8.~Considérons les deux intégrales
\[
\tag{14} \int_0^z \f(z)\sin\rho zdz, \quad  \int_0^z \f(z)\cos\rho zdz,
\]
$\f(z)$ désignant la fonction de $z$ qui se trouve au numérateur de la fraction
(9) ou plus généralement une fonction déterminée de $z$ qui ne devienne
jamais infinie. Je dis que ces deux intégrales, considérées comme
fonctions de $\rho$, sont de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$. Pour établir ce théorème très utile et,
je crois, déjà connu, il suffira de montrer que la valeur de chacune
d'elles est inférieure à
\[
\frac{2(p+q+1)\ldot \f_1}{\rho},
\]
$\f_1$ étant le maximum absolu de $\f(z)$, $p$ le nombre de fois où la
fonction $\f(z)$ change de signe entre les limites 0, $z$, et $q$ le nombre
de fois où (sans changer de signe) elle cesse d'être croissante ou
\marginpage % *** File: 435.png
constante pour devenir décroissante, ou bien cesse au contraire d'être
décroissante ou constante pour devenir croissante.

Or, soient $z'$, $z''$,\dots, $z^{(p+q)}$ les valeurs pour lesquelles s'effectue
ainsi un changement dans l'état de la fonction, en sorte que
de l'une de ces valeurs à la suivante cette fonction ait un signe
invariable et soit toujours croissante ou toujours décroissante, ces
derniers mots n'excluant pas toutefois les cas où elle resterait constante.
Chacune des intégrales (14) se partagera en $(p + q + 1)$ autres
intégrales prises, la première entre les limites 0, $z'$, la seconde
entre les limites $z'$, $z''$,\dots, la dernière entre les limites $z^{(p+q)}$ et $z$.
Désignons par $a$ une quelconque des quantités 0, $z'$, $z''$,\dots, et par $b$
celle qui la suit immédiatement dans l'ordre des indices. Si je prouve
que la valeur numérique de chaque intégrale partielle
\[
M = \int_a^b \f(z)\sin\rho zdz, \quad M' =  \int_a^b \f(z)\cos\rho zdz
\]
est inférieure à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$, il sera prouvé \emph{à fortiori} que les intégrales (14)
sont toutes deux plus petites que $\dfrac{2(p+q+1)\ldot \f_1}{\rho}$, conformément
au théorème énoncé.

Soit $m'$ le nombre entier immédiatement supérieur à $\dfrac{\rho a}{\pi}$,  et
$(m + m')$ le nombre entier immédiatement inférieur à $\dfrac{\rho b}{\pi}$. Depuis
$z = a$ jusqu'à $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, $\f(z) \sin \rho zdz$ conservera toujours
le même signe: pour fixer les idées, admettons que ce soit le
signe $+$: entre les limites $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$, il est clair
que la valeur de $\f(z) \sin \rho zdz$ sera au contraire négative, puis elle
redeviendra positive depuis $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = \dfrac{(m'+2)\pi}{\rho}$ et
ainsi de suite. Partageons l'intégrale $M$ en un certain nombre d'autres
intégrales prises, la première depuis $z = a$ jusqu'à $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$, la seconde
depuis $z = \dfrac{m'\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = \dfrac{(m'+1)\pi}{\rho}$,\dots, la dernière depuis
$z = \dfrac{(m+m')\pi}{\rho}$ jusqu'à $z = b$. Ces diverses intégrales, dont
\marginpage % *** File: 436.png
nous désignerons par $D_0$, $D_1$, $D_2$,\dots, $D_{m-1}$, $D_m$, $D$, les valeurs absolues %[** errata through line 12]
seront alternativement positives et négatives. De plus, si la
valeur absolue de $\f(z)$ est décroissante, il est aisé de voir qu'on aura
\[
D_1 > D_2\ldots > D_{m-1} > D_m > D,
\]
tandis qu'il viendra au contraire
\[
D_m > D_{m-1} \ldots > D_2 > D_1 > D_0,
\]
si la valeur absolue de $\f(z)$ est croissante. Dans le premier cas, l'intégrale
$M$ sera comprise entre $D_0$ et $D_0 - D_1$ et par conséquent sa valeur
numérique sera inférieure au plus grand des deux nombres $D_0$, $D_1$:
dans le second cas, cette valeur numérique sera inférieure au plus
grand des deux nombres $D$, $D_m$. Or, toutes les quantités $D_0$, $D_1$\dots,
$D_m$, $D$ grandissent lorsqu'on remplace $\f(z)$ par son maximum
$\f_1$: de plus $D_0$ et $D$ peuvent grandir encore si, après ce changement,
on remplace $a$ par $\dfrac{(m'-1)\pi}{\rho}$ et $b$ par $\dfrac{(m+m'+1)\pi}{\rho}$. Or, quand
on a effectué ces diverses opérations, ces intégrales deviennent toutes
égales entre elles et à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$
donc auparavant elles étaient $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$: %[** errata]
donc à \emph{fortiori} la valeur numérique de $M$
est $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$. Une démonstration semblable s'appliquera à l'intégrale $M'$.

\mysection{V.}

9.~Il est aisé de trouver à quelle forme on peut réduire l'intégrale
${\dint_0^z} U\f(z)dz$. Puisque l'on a
\[
U = \cos \rho z + \frac{h'\sin \rho z}{\rho} +
\frac{1}{\rho} \int_0^z \lambda'U'\sin\rho(z-z')dz',
\]
ou, ce qui est la même chose,
\begin{align*}
U = \cos \rho z &- \frac{\cos\rho z}{\rho}\int_0^z \lambda U\sin \rho zdz \\
&+ \frac{\sin \rho z}{\rho}\Big(h' + \int_0^z \lambda U\cos \rho zdz\Big),
\end{align*}
l'intégrale en question est composée de trois parties distinctes: la première,
\marginpage % *** File: 437.png
savoir ${\dint_0^z} \f(z) \cos\rho z dz$, est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$, d'après ce qu'on
vient de démontrer. Je vais montrer que les autres sont de la forme
$\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$. En effet l'intégrale double
\[
\int_0^z \f(z)\cos\rho zdz \int_0^z \lambda U\sin \rho zdz,
\]
à l'aide d'une intégration par parties et en posant
\[
\int_0^z \f(z) \cos \rho z dz = \frac{\Psi}{\rho},
\]
devient
\[
\frac{\Psi}{\rho} \int_0^z \sin \rho z dz - \frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda U\Psi \sin \rho z dz:
\]
par suite elle prend la forme $\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$ lorsqu'on la multiplie par $-\dfrac{1}{\rho}$. De
même l'intégrale
\[
\int_0^z \f(z) \sin \rho z dz \Big(h' + \int_0^z \lambda U \cos \rho z dz\Big),
\]
à l'aide d'une intégration par parties et en posant
\[
\int_0^z \f(z) \sin \rho z dz = \frac{\Psi}{\rho},
\]
devient
\[
\frac{\Psi}{\rho}\Big(h' + \int_0^z \lambda U \cos \rho z dz\Big) -
\frac{1}{\rho}\int_0^z \lambda U\Psi \cos \rho z dz:
\]
par suite elle prend la forme $\dfrac{\Psi'}{\rho^2}$ lorsqu'on la multiplie par $\dfrac{1}{\rho}$.

10.~La propriété de l'intégrale ${\dint_0^z} \f(z)U dz$ que nous venons de démontrer
subsiste encore lorsque sa limite supérieure devient égale a
$Z$. On en conclut que le numérateur du terme général $T$ de la série
$\sum T$ est de la forme
\[
\frac{\Psi}{\rho}+\frac{\Psi'}{\rho^2},
\]
la valeur de $\dfrac{\Psi}{\rho}$ étant précisément
\marginpage % *** File: 438.png
\[
\cos \rho z \int_0^Z \f(z)\cos \rho zdz:
\]
quant au dénominateur ${\dint_0^Z} U^2dz$, il est égal à
\[
\int_0^Z \cos^2\rho zdz + \frac{2}{\rho}\int_0^Z \cos \rho z\ldot Rdz
+ \frac{1}{\rho^2}\int_0^Z R^2dz,
\]
$R$ représentant la quantité
\[
h'\sin \rho z + \int_0^z \lambda'U'\sin \rho(z-z')dz'.
\]
Or,
\[
\int_0^Z \cos^2\rho zdz = \frac{Z}{2} + \frac{\sin2\rho Z}{4\rho}:
\]
on voit donc qu'abstraction faite des termes divisés par $\rho$ la valeur
de ${\dint_0^Z} U^2dz$ se réduit à $\dfrac{Z}{2}$. D'après cela on peut écrire
\[
\int_0^Z U^2dz = \frac{Z}{2}\Big(1+\frac{\Psi''}{\rho}\Big)
\]
ce qui donne
\[
T = \Big(\frac{\Psi}{\rho} + \frac{\Psi'}{\rho^2}\Big)\ldot
\frac{2}{Z\Big(1+\dfrac{\Psi''}{\rho}\Big)}.
\]

Mais cette valeur de $T$ peut elle-même se mettre sous la forme,
\[
T=\frac{2\Psi}{\rho Z} + \frac{\Psi''}{\rho^2},
\]
et la série $\sum \dfrac{\Psi''}{\rho^2}$ est convergente. Donc, pour prouver la convergence
de la série $\sum T$, il suffit d'établir celle de la série plus simple
\[
\sum \frac{\Psi}{\rho}\qtext{ou} \sum\cos\rho z\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz
\]
que nous désignerons par $\sum Y$.

11.~La formule
\[
\rho=\frac{n\pi}{Z} + \frac{B_n}{n}
\]
\marginpage % *** File: 439.png
donne
\[
\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z}\cos\frac{zB_n}{n} -
\sin\frac{n\pi z}{Z}\sin\frac{zB_n}{n}.
\]
On a $\sin \dfrac{zB_n}{n}=0$ aux quantités près de la forme $\dfrac{\Psi}{n}$ ou $\dfrac{\Psi}{\rho}$ et
$\cos \dfrac{zB_n}{n}=1$ aux quantités près de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho^2}$. Il est donc permis de
poser
\[
\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z} + \frac{\Psi'}{\rho}
\]
et l'on pourrait écrire aussi
\[
\cos\rho z=\cos\frac{n\pi z}{Z} - \frac{zB_n}{n}\sin\rho z + \frac{\Psi''}{\rho^2}
\]
On a donc d'abord
\[
Y=\Big(\cos\frac{n\pi z}{Z}+\frac{\Psi'}{\rho}\Big)\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz,
\]
valeur qu'il est aisé de réduire à la forme
\[
Y=\cos\frac{n\pi z}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\rho zdz + \frac{\Psi''}{\rho^2},
\]
en se rappelant que l'intégrale ${\dint_0^Z} \f(z)\cos\rho zdz$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$.
En remplaçant $\cos \rho z$ par $\cos\dfrac{n\pi z}{Z} - \dfrac{zB_n}{n}\sin\rho z + \dfrac{\Psi''}{\rho^2}$, et observant
que l'intégrale ${\dint_0^Z} z\f(z)\sin\rho zdz$ est aussi de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$, on a ensuite
\[
Y=\cos\frac{\pi nz}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\frac{n\pi z}{Z}dz +\frac{\Psi\IV }{\rho^2}.
\]
Or la série $\sum\dfrac{\Psi\IV }{\rho^2}$ est convergente, et il en est de même de la série
périodique
\[
\sum\cos\frac{n\pi z}{Z}\int_0^Z \f(z)\cos\frac{n\pi z}{Z}dz
\]
\marginpage % *** File: 440.png
dont les géomètres se sont beaucoup occupés\footnote
{Pour tout ce qui regarde la convergence des séries périodiques, \emph{voyez}
les ouvrages de M.~Cauchy et surtout l'excellent Mémoire de M.~Lejeune Dirichlet
(\emph{Journal de M.~Crelle}, tome~IV, 2\ieme\ cahier).}.
Donc la convergence
de la série $\sum Y$ (et par conséquent de la série $\sum T$) est incontestable.

\mysection{VI.}

11.~Nous avons dit que nous regardions en général la fonction
$f(x)$ comme assujétie à prendre un accroissement infiniment petit
lorsque $x$ croît infiniment peu: cependant la démonstration précédente
de la convergence de la série $\sum T$ est indépendante de cette
restriction: elle ne cesserait pas d'être exacte si, pour une ou
plusieurs valeurs de $x$, la fonction $f(x)$ (qui ne devient jamais
infinie) passait tout-à-coup d'une valeur $A$ à une autre valeur très
différente $B$. Mais pour prouver que la somme $F(x)$ de la série (4)
est égale à $f(x)$ depuis $x = \mathrm x$ jusqu'à $x = X$, il faut exclure le cas
où les valeurs de $f(x)$ peuvent varier brusquement, ou du moins, si
ce cas a lieu, il ne faut pas étendre l'équation $F(x)= f(x)$ aux abscisses
$x$ pour lesquelles l'ordonnée de la courbe représentée par l'équation
$y=f(x)$ devient ainsi discontinue. Bornons-nous donc aux
fonctions $f(x)$ jouissant des propriétés indiquées \no 1. Alors, comme
nous l'avons déjà dit, l'équation $F(x)= f(x)$ se démontrera par la
méthode indiquée dans mon premier Mémoire et subsistera même aux
limites $x = \mathrm x$, $x= X$. Toutefois cela suppose que des deux nombres
$h$, $H$, aucun ne soit infini. Si l'on a par exemple $h=\infty$ l'équation~(2)
deviendra
\begin{align*}
V &= 0 \qtext{pour} x = \mathrm x:
\intertext{on aura donc aussi dans ce cas}
F(x) &= 0 \qtext{pour} x = \mathrm x;
\end{align*}
et l'équation $F(x) =f(x)$ ne pourra subsister à la limite $x= \mathrm x$ que si
la fonction $f(x)$ vérifie la condition $f(x)=0$. De même si $H=\infty$,
l'équation $F(x)=f(x)$ ne pourra subsister à la limite $x= X$ que si
\marginpage % *** File: 441.png
l'on a $f(X)=0$. Au reste ces cas d'exception sont indiqués par notre
démonstration même. En effet pour que l'intégrale
\[
\int_\x^X g[F(x) - f(x)]V_m(x)dx,
\]
dont on fait usage à la page 263 de tome I\ier\ de ce journal, soit égale
à zéro quel que soit l'indice $m$, il est nécessaire que l'on ait en général
$F(x) = f(x)$; mais cette nécessité disparaît pour les valeurs de $x$ qui
donnent $V_m(x) = 0$ quel que soit $m$, puisque, pour ces valeurs, l'élément
$g[F(x)-f(x)]V_m(x)dx$ est nul de lui-même indépendamment
du facteur $F(x) - f(x)$.

\mysection{VII.}

12.~En terminant ce troisième Mémoire, je ne puis m'empêcher de
faire observer combien est directe et générale la méthode dont je me
suis servi pour sommer la série (4). Cette méthode s'applique non seulement
aux fonctions $V$ définies par une équation différentielle du
second ordre, mais encore à une foule de fonctions données par des
équations différentielles d'ordre supérieur. C'est ce que l'on peut
voir par l'exemple simple que j'ai développé dans mon mémoire sur
l'intégration de l'équation $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{d^3u}{dx^3}$\footnote{%
Voyez le dernier cahier du \emph{Journal de l'École Polytechnique.}
}.

Au reste, voici quelques théorèmes que je me contenterai d'énoncer
et dont le lecteur trouvera aisément la démonstration. Ils serviront
à bien montrer la généralité de mes principes quoi qu'ils soient
fort loin d'embrasser tous les cas où ces principes sont applicables. Dans
tout ce qui va suivre, $x$ désignera une variable réelle comprise
entre $\x$ et $X$: $f(x)$, $\phi(x)$, $\Phi(x)$, $V_1$, $V_2$\dots, $V_n$\dots, $U_1$, $U_2$\dots, $U_n$\dots,
seront des fonctions de $x$. Pour éviter tout embarras, je supposerai
que ces fonctions ont, pour chaque valeur de $x$, une valeur réelle
unique et déterminée, et qu'elles croissent infiniment peu lorsque $x$
éprouve un accroissement infiniment petit: toutefois cette condition
de continuité ne sera pas toujours indispensable. Cela posé,

\marginpage % *** File: 442.png
\primop.~Si les fonctions $V_1$, $V_2$,\dots, $U_1$, $U_2$,\dots\ sont telles que, pour
deux indices $m$ et $n$ différents, on ait toujours
\[
\int_\x^X V_mU_ndx=0
\]
et si la série
\[
\sum\left\{\frac{V_n{\dint_\x^X} U_nf(x)dx}{{\dint_\x^X} U_nV_ndx}\right\}
\]
est convergente, la somme $F(x)$ de cette série devra satisfaire à la
condition
\[
\int_\x^X U_n[F(x)-f(x)]dx=0,
\]
l'indice $n$ étant quelconque.

\secundop.~Si donc on désigne par $A_1$, $A_2$,\dots\ des quantités choisies arbitrairement,
mais indépendantes de $x$, et si l'on pose
\[
P = A_1U_1 + A_2U_2 + \etc
\]
on aura aussi
\[
\int_\x^X P[F(x)-f(x)]dx=0.
\]

\tertiop.~Si par une détermination convenable des quantités $A_1$, $A_2$,\dots,
on peut faire en sorte que $P$ change de signe pour des valeurs quelconques
de $x$, données d'avance et ne change de signe que pour celles-là,
on aura $F(x) = f(x)$.

\quartop.~Toutefois si les fonctions $U_1$, $U_2$, etc., s'évanouissent toutes pour
une même valeur de $x$ telle que $x =\alpha$, il pourra arriver que l'équation
$F(x) =f(x)$ cesse d'avoir lieu pour $x=\alpha$. Dans le cas où
l'équation $F(\alpha)=f(\alpha)$ sera ainsi inexacte, la dérivée $F'(\alpha)$ sera nécessairement
infinie.

5\up{o}.~Si la fonction $P$ jouit de la propriété énoncée (\tertiop.) et si l'équation
\[
\int_\x^X \phi(x)U_ndx=0
\]
a lieu quel que soit l'indice $n$, on aura nécessairement $\phi(x)=0$.
\marginpage % *** File: 443.png

6\up{o}.~La propriété énoncée (\tertiop.) appartient à la fonction P quand la
fonction $U_n$ est constamment égale à un polynome entier de degré
$(n - 1)$.

7\up{o}.~Elle a lieu encore dans une foule d'autres cas, et spécialement
quand l'équation
\[
A_1U_1+A_2U_2+ \dotsb +A_nU_n=0
\]
a tout au plus $(n- 1)$ %[** errata]
racines tant égales qu'inégales, quel que soit
l'indice n et quels que soient les coefficients $A_1$, $A_2$,\dots, $A_n$.

8\up{o}.~Si la condition précédente est remplie et si l'équation
\[
\int^X_\x \phi(x)U_ndx=0
\]
a lieu pour toutes les valeurs de $n$ comprises dans la série 1, 2,\dots, $m$,
la fonction $\phi(x)$ changera de signe au moins $m$ fois entre les limites
$x = \x$,  $x = X$.

9\up{o}.~Soit $\varpi(r) = 0$ une équation transcendante, et $r_1$, $r_2$, $r_3$,\dots{}
des racines de cette équation. Admettons que la fonction $\Phi(x, r)$ ne
devienne identiquement nulle pour aucune des racines $r$ de $\varpi(r) = 0$,
tant que $x$ reste indéterminée. Si l'équation
\[
\int^X_\x \Phi(x, r)U_ndx=0,
\]
dans laquelle l'indice $n$ est quelconque, a lieu pour la fonction particulière
$\Phi$ toutes les fois que la racine $r$ est différente de $r_1$, $r_2$, etc.,
et si de plus la fonction $P$ jouit de la propriété énoncée (\tertiop.), je dis
que la racine réelle ou imaginaire dont il s'agit n'existera pas, c'est-à-dire
que l'équation $\varpi(r) = 0$ ne pourra avoir aucune racine, réelle
ou imaginaire, différente de $r_1$, $r_2$, etc.

13.~Il serait aisé, je le répète, de généraliser encore beaucoup ces
théorèmes. Mais nos énoncés deviendraient alors trop vagues. C'est
dans les considérations exposées ci-dessus que rentrent les résultats
obtenus dans les deux notes imprimées page 1 \pdf{art1} et page 107 \pdf{art9}
de ce volume.
Dans la première de ces notes, on se propose de prouver que
l'équation
\[
\int^X_\x x^n \phi(x)dx=0,
\]
\marginpage % *** File: 444.png
quand elle a lieu toutes les fois que $n$ est zéro ou un nombre entier
positif, entraîne la suivante $\phi(x) = 0$. Le moyen que j'ai employé
pour atteindre ce but est, à mon sens, le plus élégant dont on
puisse faire usage. Ici l'on a $U_n = x^{n-1}$: la fonction $P$ est égale à
$A_1 + A_2x + A_3x^2 +$ etc.\ et jouit évidemment de la propriété énoncée
(\tertiop.). On peut donc appliquer le théorème indiqué (5\up{o}), et c'est
ce que j'ai fait. Mais il est bon d'observer que si l'on prenait $A_1 = 1$,
$A_2=\dfrac{y}{1}$, $A_3=\dfrac{y^2}{1\ldot2}$, etc., on aurait
\[
P=1+\frac{yx}{1}+\frac{y^2x^2}{1\ldot2} + \dotsb = e^{yx}:
\]
l'équation
\[
\int_\x^X P\phi(x)=0,
\]
donnerait donc
\[
\int_\x^X e^{yx}\phi(x)=0,
\]
et, à cause de l'indéterminée $y$, on en tirerait $\phi(x) = 0$, ce qu'il
fallait démontrer. Ici se révèle un nouvel artifice qui consiste à introduire
dans $A_1$, $A_2$, etc.\ une indéterminée $y$. On peut rattacher à cet
artifice la méthode dont nous avons fait usage, M.~Sturm et moi,
dans un mémoire encore inédit dont l'extrait se trouve à la page 220 \pdf{art20}
de ce volume.

\jmpafin

% *** File: 445.png

\jmpapaper{NOTE}{}
{Sur une propriété des sections coniques;}
{Par M.~E. PAGÈS.}{}
\label{art37}\Droit

Si, par un point quelconque d'une section conique, on mène les
deux rayons vecteurs et une normale terminée à l'axe des foyers, la
projection de cette normale sur l'un quelconque des deux rayons vecteurs
sera égale au demi-paramètre. Considérons d'abord une ellipse: soient %[** errata et seqq.]
$z$ et $z'$ les deux rayons vecteurs, $n$ la normale, $p$ sa projection sur chacun
des deux rayons vecteurs, $h$ et $k$ les distances du pied de cette
normale aux deux foyers: soient de plus $2a$ le grand axe, $2b$ le petit
axe et $2c$ la distance des foyers, de telle manière que $z+z'=2a$,
$h+k = 2c$, $a^2- c^2=b^2$. On aura, d'après les propriétés des triangles
obliquangles,
\begin{align*}
h^2 &= z^2 + n^2 - 2pz,\\
k^2 &= z'^2 + n^2 - 2pz';
\end{align*}
retranchant ces deux équations membre à membre, il vient
\[
(h+k)(h - k) = (z - z') (z+z'-2p),
\]
ou, ce qui est la même chose,
\[
c(h-k) = (z-z')(a-p).
\]
De cette équation on déduit
\begin{gather*}
c: a - p :: z - z' : h - k.\tag{1}
\end{gather*}
La propriété qu'a la normale de partager l'angle des rayons vecteurs
\marginpage % *** File: 446.png
en deux parties égales, donne la proportion
\[
z : z':: h : k,
\]
on en déduit
\begin{align*}
z + z': h + k &:: z - z' : h - k,
\intertext{ou}
a : c &:: z - z' : h - k.
\end{align*}
Cette proportion combinée avec la proportion (1) donne
\[
c : a - p :: a : c,
\]
d'où
\[
p = \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{b^2}{a} = \text{demi-paramètre.}
\]
Le même mode de démonstration s'applique à l'hyperbole.

Dans le cas de la parabole, l'un des foyers se transportant à l'infini,
le rayon vecteur correspondant devient parallèle à l'axe, et la projection
sur ce rayon est égale à la projection sur l'axe; ce qui explique
pourquoi dans cette courbe la sous-normale est constante.

En rapprochant le théorème que nous avons démontré de la propriété
qu'a le rayon de courbure d'être proportionnel au cube de la
normale, on trouve que le produit
\[
r \cos^3 i = \text{demi-paramètre,}
\]
$r$ et $i$ désignant le rayon de courbure et l'angle qu'il fait avec le
rayon vecteur. De cette formule, on déduit une construction géométrique
du rayon de courbure donnée par M.~Abel Transon dans le
tome premier de ce journal.

\jmpafin

% *** File: 447.png

\jmpapaper{SOLUTION NOUVELLE}{}
{D'un Problème d'Analyse, relatif aux phénomènes
thermo-mécaniques;}
{Par Joseph LIOUVILLE.}
{(Présentée à l'Académie des Sciences le 23 octobre 1837.)}
\label{art38}\Gauche

Ce problème qui consiste à intégrer l'équation
\[
\frac{du}{dt} = \frac{d^2u}{dx^2} - b^2x \int_0^1 x \frac{du}{dt} dx,
\]
de telle manière que l'on ait
\begin{alignat*}{2}
u =\ &&0  &\qtext{pour}  x  = 0,\\
\frac{du}{dx} + hu =\ &&0  &\qtext{pour}  x  = 1,\\
u = f(x)\qtext{pour} t =\ &&0, &\quad\text{depuis}\;\; x  = 0 \;\;\text{jusqu'à}\;\; x = 1,
\end{alignat*}
a été traité déjà de deux manières différentes par M.~Duhamel, dans
son second mémoire sur les Phénomènes thermo-mécaniques\footnote{%
Voyez le \emph{Journal de l'École Polytechnique}.
}.
L'auteur a d'abord fait usage d'une méthode assez compliquée, mais
très ingénieuse, que M.~Poisson a donnée dans ses premières recherches
sur la théorie de la chaleur. Reprenant ensuite la question d'une
autre manière, il a, dans une seconde solution, suivi la méthode si
connue qui consiste à représenter la valeur complète de $u$ par la
somme d'un nombre infini de termes dont chacun satisfait aux trois
\marginpage % *** File: 448.png
premières équations et renferme implicitement une constante arbitraire,
ce qui permet de satisfaire aussi à la condition $u= f(x)$
pour $t=0$. On est ainsi conduit à développer la fonction $f(x)$ en une
série de la forme
\[
f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb
\]
$H_1$, $H_2$,\dots $H_n$,\dots\ étant des constantes, et $V_1$, $V_2$,\dots $V_n$,\dots\ des
fonctions connues de $x$. On détermine $H_n$ en multipliant les deux
membres de l'équation précédente par un facteur convenable et en intégrant
ensuite entre les limites $x=0$, $x=1$, de manière à faire
disparaître tous les coefficients $H_1$, $H_2$,$\ldots$ excepté $H_n$. M.~Duhamel
semble regarder cette détermination de $H_n$ comme offrant la difficulté
principale qu'il avait à vaincre pour résoudre le problème proposé.
Mais il ne s'est occupé ni de démontrer la convergence de la série dans
laquelle $f(x)$ se développe, ni même d'établir d'une manière incontestable
que cette série supposée convergente a pour somme $f(x)$, du
moins entre les limites $x = 0$, $x=1$. J'ai donc cru pouvoir reprendre
ici le problème en son entier, afin d'en donner une solution
tout-à-fait rigoureuse. Cette solution du reste n'est fondée que sur des
principes déjà développés dans d'autres mémoires que j'ai publiés seul
ou en commun avec M.~Sturm: elle servira, je l'espère, à faire reconnaître
la supériorité de nos méthodes.

1.~Soient $b$, $h$ deux constantes, $x$ une variable indépendante comprise
entre zéro et l'unité, $t$ une autre variable comprise entre 0 et
$\infty$, et $f(x)$ une fonction de $x$ qui ne devienne jamais infinie lorsque
$x$ croît depuis 0 jusqu'à 1: par la nature physique du problème que
nous voulons résoudre, la quantité $(h+1)$ est essentiellement positive.
On propose de trouver une fonction $u$ des deux variables $x$, $t$,
qui satisfasse à la fois à l'équation indéfinie
\[
\tag{1}\frac{du}{dt} = \frac{d^2u}{dx^2} - b^2x\int^1_0x \frac{du}{dt} dx
\]
et aux conditions définies
\[
\tag{2}u = 0\qtext{pour} x = 0,
\]
\marginpage % *** File: 449.png
\begin{align*}
\frac{du}{dx} &+  hu = 0\qtext{pour} x = 1,\tag{3}\\
u &= f(x)\qtext{pour} t = 0.\tag{4}
\end{align*}
La fonction $u$ qui vérifie les quatre équations précédentes est tout-à-fait
déterminée, et il s'agit d'en trouver la valeur.

2.~D'après la méthode ordinairement suivie par les géomètres pour
l'intégration des équations différentielles partielles, nous chercherons
d'abord une valeur de $u$ qui satisfasse aux équations (1), (2), (3),
mais non pas à l'équation (4). A cet effet nous poserons
\[
u = V e^{-rt},
\]
$r$ étant un paramètre inconnu, et $V$ une fonction de $x$ que l'on obtiendra
en intégrant l'équation différentielle du second ordre
\[
\frac{d^2 V }{dx^2} + r \Big(V + b^2x \int_0^1 xVdx\Big) = 0,\tag{5} %[** errata]
\]
de manière à satisfaire aux conditions particulières
\begin{align*}
V &= 0\quad \text{pour}\quad x = 0,\tag{6}\\
\frac{dV}{dx} &+ hV = 0\quad \text{pour}\quad x = 1.\tag{7}
\end{align*}
L'intégrale ${\dint_0^1} xVdx$ étant une constante que l'on peut représenter
par $C$, l'équation (5) s'écrira ainsi
\[
\frac{d^2V}{dx^2} + r(V + b^2Cx)=0,
\]
et son intégrale complète sera
\[
V = A \sin(x\sqrt{r}) + B \cos(x\sqrt{r}) - b^2Cx,
\]
$A$ et $B$ désignant deux constantes arbitraires.

La constante $B$ est nulle en vertu de l'équation (6). De plus on doit
avoir
\[
\int_0^1 xVdx = C:
\]
\marginpage % *** File: 450.png
or si l'on développe cette condition et si l'on fait
\[
\alpha = \frac{3b^2 }{b^2 + 3} \ldot \frac{\sin(\sqrt{r}) - \sqrt{r} \cos(\sqrt{r}) }{r},
\]
on trouve
\[
C = \frac{A\alpha}{b^2}.
\]
Quant à la constante $A$ qui reste arbitraire, nous la prendrons égale
à $\dfrac{1}{\sqrt{r}}$. Ayant donc
\[
B = 0,\qquad A = \frac{1}{\sqrt{r}},\qquad C = \frac{\alpha }{b^2\sqrt{r}},
\]
nous en conclurons
\[
V = \frac{\sin (x\sqrt{r}) - \alpha x }{\sqrt{r}}.\tag{8}
\]
Il importe d'observer que cette valeur de $V$ ne devient identiquement
nulle pour aucune valeur déterminée de $r$, tant que $x$ reste indéterminée.
En effet si le paramètre $r$ est différent de zéro, il est impossible
que la fonction transcendante $\sin(x\sqrt{r})$ soit égale à la fonction
algébrique $\alpha x$, et si ce paramètre est nul $\dfrac{\sin (x\sqrt{r})}{\sqrt{r}}$ se réduit à $x$,
$\dfrac{\alpha }{\sqrt{r}}$ se réduit à $\dfrac{b^2 }{b^2 + 3}$, et l'on a $V = \dfrac{3x }{b^2+3}$ quantité qui n'est pas
identiquement nulle.

3.~En différentiant la valeur de $V$ il vient
\[
\frac{dV}{dx} = \cos(x\sqrt{r}) - \frac{\alpha}{\sqrt{r}},
\]
de sorte que, pour $x = 1$, on obtient
\begin{align*}
V &= \frac{\sin(\sqrt{r}) - \alpha}{\sqrt{r}},\\
\frac{dV}{dx} &= \cos(\sqrt{r}) - \frac{\alpha }{\sqrt{r}}.
\end{align*}
\marginpage % *** File: 451.png
En portant ces valeurs dans la formule (7), on aura l'équation à laquelle
le paramètre $r$ doit satisfaire. Cette équation sera
\[
\cos(\sqrt{r}) - \frac{\alpha}{\sqrt{r}} + h \ldot \frac{\sin(\sqrt{r}) - \alpha}{\sqrt{r}} = 0,
\]
ou
\[
\tag{9}  \cos(\sqrt{r}) + \frac{h \sin (\sqrt{r}) }{\sqrt{r}} - \frac{\alpha (h + 1) }{\sqrt{r}} = 0.
\]
Nous représenterons toujours par $\varpi(r)$ on premier membre, en sorte
que l'on aura
\[
\varpi(r)= \frac{dV}{dx} + hV\quad \text{pour}\quad x = 1.
\]
L'équation (9) possède une infinité de racines, toutes réelles, positives
et inégales entre elles. Soient $r_1$, $r_2$,\dots $r_n$,\dots\ ces racines rangées
par ordre de grandeur, $r_1$ étant la plus petite: en faisant dans la
fonction $V$ successivement $r = r_1$, $r = r_2$,\dots $r=r_n$,\dots\ on aura
une suite de fonctions $V_1$, $V_2$,\dots $V_n$,\dots\ dont chacune fournira une
intégrale particulière de l'équation (1). Avant de montrer comment,
en réunissant ces intégrales particulières, on forme la valeur complète
de $u$, nous allons démontrer les propriétés des racines de l'équation
(9) dont nous venons de faire mention.

4.~Je vais prouver d'abord que les racines réelles de l'équation (9)
ne peuvent jamais être négatives. A cet effet je développe $\varpi(r)$ en série
convergente. On a par les formules connues
\begin{align*}
\cos(\sqrt{r})& = 1 -\frac{r}{2} + \frac{r^2 }{2\ldot 3\ldot 4} -\etc,\\
\sin(\sqrt{r}) &= \sqrt{r}\Big(1 - \frac{r}{2\ldot 3} + \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4\ldot 5} -\etc\Big),
\end{align*}
et par suite
\begin{gather*}
\cos(\sqrt{r}) +\frac{h \sin (\sqrt{r})}{\sqrt{r}} = (1 + h) - \frac{r}{2}\Big(1 + \frac{h}{3}\Big) + \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4}\Big (1 + \frac{h}{5}\Big) -\etc,\\
\frac{\alpha (h+1)}{\sqrt{r}} = \frac{3b^2(h+1)}{b^3+3} \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\ldot  \frac{r}{2\ldot 3} + \frac{1}{7}\ldot \frac{r^2}{2\ldot 3\ldot 4\ldot 5} -\etc\Big).
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 452.png
Cela étant, il vient
\begin{align*}
\varpi(r) = (1+h)&-\frac{r}{2}\Big(1+\frac{h}{3}\Big) + \frac{r^2}{2\ldot3\ldot4} \Big(1 + \frac{h}{5}\Big) - \dotsb \\
&- \frac{3b^2(h+1)}{b^2+3}\Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \ldot \frac{r}{2\ldot3} + \frac{1}{7} \ldot \frac{r^2}{2\ldot3\ldot4\ldot5} - \dotsb \Big).
\end{align*}
Si donc il y avait une racine réelle et négative $- R$ de l'équation (9),
les deux séries
\begin{align*}
\multispan{1}{$\displaystyle(1+h) + \frac{R}{2} \Big(1+\frac{h}{3}\Big) + \frac{R^2}{2\ldot3\ldot4} \Big(1+\frac{h}{5}\Big) + \dotsb ,$}\\
\gamma(1+h) + \frac{3\gamma R }{2\ldot3} \Big(\frac{1+h}{5}\Big) + \frac{3\gamma R^2 }{2\ldot3\ldot4\ldot5} \Big(\frac{1+h}{7}\Big) + \dotsb ,
\end{align*}
(dans lesquelles on a représenté par $\gamma$ le rapport $\dfrac{b^2}{b^2+3}$ qui est $< 1$)
seraient égales entre elles, et cela ne se peut puisqu'en les comparant
terme à terme on trouve que chacun des termes de la seconde
série est plus petit que le terme correspondant de la première, du
moins quand le coefficient $h$ est compris (comme on le suppose) entre
$- 1$ et $+ \infty$.

5.~Pour démontrer en second lieu que les racines de l'équation (9)
sont toutes réelles et inégales, il faut s'appuyer sur une formule dont
nous aurons souvent besoin dans la suite.

Désignons par $V'$ ce que devient la valeur (8) de $V$ lorsqu'on y remplace
$r$ par une indéterminée $r'$. La fonction $V'$ satisfera aux équations
(5), (6), et l'on aura
\begin{align*}
\frac{dV^2}{dx^2} + r'(V' &+b^2 x \int_0^1 xV' dx) = 0,\\
V' &= 0\quad \text{pour}\quad x = 0.
\end{align*}
Mais l'équation (7) ne sera satisfaite par cette même fonction que dans
le cas particulier où l'on prendra $r' =$ une des racines de l'équation
(9), ce que l'on ne fera pas d'abord. Maintenant je multiplie par
les facteurs respectifs $V$, $V'$ les deux équations
\marginpage % *** File: 453.png
\begin{alignat*}{3}
r' &(V' &&+ b^2 x \int_0^1 &x V' dx ) &= - \frac{d^2 V' }{dx^2},\\
r  &(V  &&+ b^2 x \int_0^1 &x V  dx)  &= - \frac{d^2 V  }{dx^2},
\end{alignat*}
après quoi je les retranche et j'intègre entre les limites $x =
0$, $x= 1$: en divisant par $(r' - r)$ les deux membres de
l'équation à laquelle ce calcul conduit, et nommant $Q$ la valeur
de $V' \dfrac{dV}{dx} - V \dfrac{dV'}{dx}$ pour $x=1$, j'obtiens
\[
\int_0^1 VV' dx + b^2 \int_0^1 xV dx \int_0^1 xV' dx =
\frac{Q}{r'-r}.
\]
Mais $r$ étant racine de l'équation (9), on a, pour $x=1$,
$\dfrac{dV}{dx} = -hV$; on a aussi $\dfrac{dV'}{dx} + hV' =
\varpi(r')$ et par conséquent $\dfrac{dV'}{dx} = \varpi(r') - hV'$;
la valeur de $Q$ se réduit donc à $- V\varpi(r')$, ce qui donne
\[
\frac{Q}{r' -r} = -\frac{V \varpi(r')}{r' - r} \qtext{pour} x=1.
\]
Supposons actuellement que $r'$ soit racine de l'équation (9), en
sorte que l'on ait $\varpi(r') = 0$: on trouvera
\[
\frac{Q}{r'-r} = 0
\]
si les racines $r$, $r'$ sont inégales, et
\[
Q = -V\frac{d\varpi(r)}{dr} \qtext{pour} x = 1,
\]
si elles sont égales entre elles. Dans le premier cas il viendra
\[
\tag{10}   \int_0^1VV'dx + b^2 \int_0^1 xVdx \int_0^1 xV'dx = 0,
\]
tandis que l'on aura dans le second
\marginpage % *** File: 454.png
\[
\tag{11}   \int_0^1V^2dx +
b^2\Big(\int_0^1xVdx\Big)^2=-\frac{V(1)d\varpi(r)}{dr},
\]
$V(1)$ désignant la valeur de $V$ qui répond à $x = 1$.

D'après un raisonnement connu, la formule (10) prouve que
l'équation (9) n'a pas de racine de la forme
$\lambda+\mu\sqrt{-1}$: en effet si cette racine existait, la
racine conjuguée $\lambda-\mu\sqrt{-1}$ existerait aussi: on
pourrait donc prendre $r=\lambda+\mu\sqrt{-1}$,
$r'=\lambda-\mu\sqrt{-1}$; en posant $r= \lambda+\mu\sqrt{-1}$,
$V$ prendra la forme $M + N\sqrt{-1}$, $M$ et $N$ désignant deux
quantités réelles qui ne peuvent être à la fois identiquement
nulles (tant que $x$ reste indéterminée) puisque la fonction $V$
est en général différente de zéro: il est aisé de voir que l'on
aura de même $V' = M - N\sqrt{-1}$: par suite la formule (10) nous
donnera ce résultat absurde
\[
\int_0^1(M^2 + N^2)dx + b^2\Big(\int_0^1xMdx\Big)^2 +
b^2\Big(\int_0^1xNdx\Big)^2= 0.
\]
Donc il est impossible d'admettre que l'équation (9) ait une
racine de la forme $\lambda+\mu\sqrt{-1}$.

Les racines réelles de cette équation sont d'ailleurs inégales en
vertu de la formule (11), car si la racine $r$ était multiple, la
dérivée $\dfrac{d\varpi(r)}{dr}$ s'évanouirait en même temps que
$\varpi(r)$ et le second membre de l'équation (11) se réduirait à
zéro tandis que le premier est essentiellement positif.

6.~Les racines de l'équation (9) sont donc réelles, positives et
inégales entre elles. Pour se convaincre que le nombre de ces
racines est infini, il suffit de mettre l'équation (9) sous la
forme
\[
\cos(\sqrt{r}) = -\frac{h\sin(\sqrt{r})}{\sqrt{r}} +
\frac{\alpha(h+1)}{\sqrt{r}},
\]
puis de regarder $r$ comme une abscisse variable entre les limites
0, $\infty$, et de construire les deux courbes ayant pour
équations respectives
\[
y = \cos(\sqrt{r}), \quad y = -\frac{h\sin(\sqrt{r})}{\sqrt{r}} +
\frac{\alpha(h+1)}{\sqrt{r}};
\]
\marginpage % *** File: 455.png
ces deux courbes se coupent en un nombre infini de points dont les
abscisses répondent aux racines de l'équation (9).

Pour démontrer analytiquement le même théorème, faisons $r=\rho^2$
l'équation proposée deviendra
\[
\tag{12}  \cos\rho +\frac{h \sin\rho}{\rho} - \frac{\alpha(h+1)}{\rho} = 0;
\]
et il suffira de considérer les valeurs positives de $\rho$. Maintenant
soit $i$ un nombre entier et positif très grand. Si, dans le premier
membre de l'équation (12), nous faisons $\rho = (2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, puis
$\rho = (2i+1)\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4}$, le terme $\cos \rho$ prendra successivement deux
valeurs égales et de signes contraires dont le carré sera $\tfrac{1}{2}$: les autres
termes seront très petits. Donc le premier membre de l'équation (12)
changera de signe en passant d'une de ces substitutions à l'autre, ce
qui exige que l'équation proposée ait une racine comprise entre les
deux limites $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$. Cette racine est du
reste unique; car, dans le cas contraire, il faudrait que la dérivée
prise par rapport à $\rho$ de la fonction
\[
\cos\rho +\frac{h \sin\rho}{\rho} - \frac{\alpha(h+1)}{\rho}
\]
devînt égale à zéro une ou plusieurs fois lorsque $\rho$ croît depuis
$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$ jusqu'à $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$; et cela ne se peut puisque,
dans l'intervalle cité, tous les termes de cette dérivée sont très
petits à l'exception du premier $-\sin \rho$ qui ne change pas de signe et
conserve toujours une valeur numérique supérieure à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

En augmentant $i$ d'une unité, on verra qu'une seconde racine est
comprise entre les limites $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$; une
troisième racine existe de même entre les limites $(2i+5)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$,
$(2i+5)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$, et ainsi de suite. Mais il n'en existe aucune entre
\marginpage % *** File: 456.png
$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ et $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, entre $(2i+3)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ et
$(2i+5)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$, etc., comme on peut s'en convaincre en observant
que, dans chacun de ces intervalles, le terme principal $\cos \rho$ du premier
membre de l'équation (12) ne change jamais de signe et a toujours
une valeur absolue supérieure à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

7.~La racine $\rho$ comprise entre les limites $(2i+1)\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4}$,
$(2i+1)\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{4}$ s'obtient du reste sans difficulté puisque si l'on pose
\[
\alpha(h+1) - h \sin\rho = \f(\rho),\quad \rho = (2i+1)\frac{\pi}{2} + \sigma
\]
l'équation (12), savoir
\[
\cos\rho = \frac{\f(\rho)}{\rho},
\]
devient
\[
\sin(2i+1)\frac{\pi}{2} \sin\sigma = -\frac{\f\Big((2i +1)\dfrac{\pi}{2} + \sigma\Big)}{(2i+1)\dfrac{\pi}{2} + \sigma};
\]
d'où l'on tire à très peu près
\[
\tag{13}\sigma = \frac{h}{i\pi},
\]
valeur d'autant plus approchée que $i$ est plus grand. On pourrait pousser
plus loin l'approximation; mais nous nous contenterons d'observer
que, d'après nos calculs, les racines $\rho$ très grandes sont de la forme
\[
\tag{14}\rho = (2i+1)\frac{\pi}{2} +\frac{B_i}{i},
\]
$i$ désignant un nombre entier qui croît successivement d'une unité.
et $B_i$ une fonction de l'indice $i$ dont la valeur absolue ne dépasse jamais
un certain \emph{maximum} que l'on assignerait facilement. La partie
principale de ces racines croît proportionnellement au nombre $i$, d'où
il est aisé de conclure que toutes les séries dont le terme général est
\marginpage % *** File: 457.png
$\dfrac{\Psi}{\rho^2}$ ou $\dfrac{\Psi}{i\rho}$ sont convergentes, si $\Psi$ désigne une fonction de $\rho$ ou de $i$ qui
ne surpasse jamais un certain \emph{maximum} absolu $L$, indépendant de
l'indice $i$.

8.~Chacune des intégrales particulières
\[
V_1e^{-r_1t},\quad  V_2e^{-r_2t},\ldots\quad V_ne^{-r_nt},\ldots
\]
dans lesquelles $V_n$ désigne ce que devient $V$ lorsqu'on y pose $r = r_n$,
satisfait à la fois aux équations (1), (2), (3). Si donc on désigne par
$H_1$, $H_2$,\dots $H_n$\dots\ des constantes arbitraires et si l'on fait
\[
u = H_1V_1e^{-r_1t} + H_2V_2e^{-r_2t} + \dotsb + H_nV_ne^{-r_nt} + \dotsb ,
\]
cette valeur de $u$ vérifiera aussi les équations (1), (2), (3). Mais pour
qu'elle vérifie la condition (4), il faudra que l'on ait
\[
f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb.
\]
Il s'agit maintenant de savoir si (la fonction $f(x)$ étant quelconque)
on peut, par une détermination convenable des constantes $H_1$, $H_2$,\dots $H_n$\dots\
rendre identique cette dernière équation, du moins pour des
valeurs de $x$ comprises entre 0 et 1.

D'abord, si l'on admet que la fonction $f(x)$ puisse se développer
sous la forme
\[
\tag{15}  f(x) = H_1V_1 + H_2V_2 + \dotsb + H_nV_n + \dotsb ,
\]
il sera facile de former la valeur de $H_n$. On se servira pour cela de la
formule (10) qui peut s'écrire ainsi
\[
\int^1_0V\Big(V' + b^2x\int^1_0 xV'dx\Big)dx = 0.
\]
On a
\[
r'(V' +  b^2x\int^1_0 xV'dx) %[** errata]
= -\frac{d^2V'}{dx^2}= \sqrt{r' }\sin(x\sqrt{r'}):
\]
\marginpage % *** File: 458.png
la formule en question devient donc
\[
\tag{16}\int^1_0 V \sin(x\sqrt{r'})dx = 0.
\]
Maintenant multiplions par $\sin(x\sqrt{r_n})$ les deux membres de l'équation
(15) et intégrons ensuite entre les limites $x = 0$, $x= 1$: il est
aisé de voir qu'en vertu de la formule (16) tous les coefficients $H_1$,
$H_2$,\dots\ disparaîtront excepté celui qui porte l'indice $n$, de sorte qu'il restera simplement
\[
\int^1_0f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx = H_n\int^1_0V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx,
\]
d'où l'on tire
\[
H_n=\frac{{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}.
\]
En adoptant cette valeur de $H_n$, on aura
\[
\tag{17}f(x) = \sum \left\{\frac{V_n{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}\right\},
\]
et par conséquent,
\[
\tag{18} u = \sum \left\{\frac{V_ne^{-r_nt}{\dint^1_0} f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint^1_0} V_n \sin(x\sqrt{r_n})dx}\right\}.
\]

La formule (18) renferme la solution complète du problème que
nous voulions résoudre. Mais elle se déduit de la formule (17) dont
l'exactitude jusqu'ici n'est pas suffisamment démontrée. Nous allons
donc considérer en elle-même la série placée au second membre de la
formule (17). Nous représenterons sa valeur par $F(x)$ et nous prouverons
\primop.~que la série $F(x)$ est convergente, \secundop.~que l'on a $F(x)=f(x)$
pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 1.

\marginpage % *** File: 459.png
9.~Représentons par $T$ le terme général de la série $F(x)$, ou,
autrement dit, posons
\[
T =\frac{(\sin \rho x-\alpha x){\dint^1_0} f(x)\sin\rho x dx}{{\dint^1_0} \sin\rho x(\sin \rho x -\alpha x)dx},
\]
$\rho^2$ étant une quelconque des racines de l'équation (9), et contentons-nous
de considérer les valeurs de $\rho$ très grandes, les seules dont nous
ayons besoin pour constater la convergence de la série $\sum T$: ces valeurs
de $\rho$ sont de la forme
\[
\rho=(2i+1)\frac{\pi}{2}+\frac{B_i}{i},
\]
comme on l'a vu \no 7: $i$ désigne un nombre entier qui croît successivement
d'une unité et $B_i$ une fonction de l'indice $i$ qui ne dépasse jamais
un certain \emph{maximum} absolu indépendant de $i$. Nous désignerons généralement
par les lettres $\Psi$, $\Psi'$, $\Psi''$,\dots\ les fonctions qui jouissent comme $B_i$
de la propriété dont nous venons de parler. Toute série dont le terme général
sera de la forme $\dfrac{\Psi}{i^q}$, $q$ étant un nombre $>1$, sera convergente:
il en résulte qu'on peut au numérateur de la fraction $T$ et à son dénominateur
(dont la valeur très approchée est $\tfrac{1}{2}$) négliger les termes de
la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$, %[** errata]
car ces termes ne produisent dans la série $\sum T$ qu'une
partie de la forme $\sum\dfrac{\Psi'}{i^2}$, et par conséquent ne peuvent en aucune
manière nuire à sa convergence. D'après cela, on peut d'abord
faire abstraction des termes multipliés par $\alpha$, car en remplaçant
$\surd r$ ou $\rho$ par sa valeur, on trouve que $\alpha$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$. De
plus l'intégrale ${\dint^1_0} \sin^2\rho x dx$ étant égale à $\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sin 2\rho}{4\rho}$ se réduit à $\dfrac{1}{2}$
quand, après avoir mis pour $\rho$ sa valeur, on néglige les termes réductibles
à la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$. Ainsi à ces termes près on a
\[
\int^1_0\sin\rho x (\sin\rho x - \alpha x)dx = \frac{1}{2}.
\]
\marginpage % *** File: 460.png
La valeur simplifiée de $T$ est donc
\[
T = 2\sin\rho x \int_0^1 f(x) \sin\rho x dx.
\]
On peut même la simplifier encore en se rappelant que, par un théorème
dont j'ai donné ailleurs la démonstration\footnote{%
\emph{Voyez mon troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties
de fonctions}, etc., page 418 \pdf{art36} du présent volume.
}, l'intégrale ${\dint_0^1} f(x)\sin\rho x dx$
est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{i}$: on peut donc négliger le produit de cette
intégrale par la partie du facteur
\[
\sin\rho x\Big[\text{égal à }\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2} \cos\frac{B_ix}{i} +
\cos\frac{(2i+1)\pi x}{2}\sin\frac{B_ix}{i}\Big]
\]
qui est aussi de la forme $\dfrac{\Psi}{i}$, ou, ce qui revient au même, on peut,
hors du signe $\int$, réduire $\sin\rho x$ à sa partie principale $\sin\dfrac{(2i+1)\pi x}{2}$:
de plus en négligeant sous le signe $\int$ des termes divisés par $i^2$, on
a le droit de remplacer
\[
\sin\rho x\text{par }\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2} + \frac{B_ix}{i}\cos\rho x.
\]
Nous aurons ainsi
\[
T = 2\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}\int_0^1 f(x) \Big(\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}
+ \frac{B_ix}{i}\cos\rho x\Big)dx.
\]
D'après cette valeur de $T$, la sérié $\sum T$ se décompose en deux autres,
savoir
\begin{align*}
2\sum\sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}&\int_0^1 f(x) \sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}dx,\\
2x\sum \frac{B_i}{i} \sin\frac{(2i+1)\pi x}{2}&\int_0^1 f(x) \cos\rho xdx.
\end{align*}
La première de ces deux séries est convergente, comme les géomètres
l'ont démontré depuis long-temps, et pour constater la convergence de
\marginpage % *** File: 461.png
la seconde dont tous les termes sont déjà divisés par $i$, il suffit d'observer
que l'intégrale ${\dint_0^1} f(x) \cos\rho xdx$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{\rho}$ ou $\dfrac{\Psi}{i}$,
conformément à ce que j'ai fait voir dans le mémoire cité plus haut.

10.~Pour prouver que l'on a $F(x) = f(x)$ entre les limites $x = 0$,
$x = 1$, reprenons l'équation
\[
F(x) = \sum \left\{\frac{V_n{\dint_0^1} f(x)\sin(x\sqrt{r_n})dx}{{\dint_0^1} V_n\sin(x\sqrt{r_n})dx} \right\}.
\]
Multiplions par $\sin(x\sqrt{r_n})dx$ les deux membres de cette équation,
et intégrons ensuite entre les limites $x = 0$, $x = 1$. En vertu de la
formule (16) cette intégration fera disparaître tous les termes du second
membre à l'exception d'un seul et donnera
\[
\int_0^1 F(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx = \int_0^1 f(x) \sin(x\sqrt{r_n})dx,
\]
ou bien
\[
\int_0^1 [F(x)-f(x)]\sin(x\sqrt{r_n})dx = 0.
\]
Mais si l'on désigne par $z$ une variable indépendante et si l'on considère
la fraction $\dfrac{\sin(x\sqrt{z})}{\sqrt{z}\varpi(z)}$, qui est fonction de $z$, on s'assure aisément
(tant que $x$ reste comprise entre 0 et 1) que cette fraction est
décomposable en une infinité de fractions simples: par la théorie
connue et en représentant par $\varpi'(r_n)$ la dérivée $\dfrac{d\varpi(r_n)}{dr_n}$, on trouve
\[
\frac{\sin(x\sqrt{z})}{\sqrt{z}\varpi(z)}=\sum\left\{\frac{\sin(x\sqrt{r_n})}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\right\}.
\]
Soit $R$ le terme général de la série placée au second membre de l'équation
que nous venons d'écrire. Nous aurons
\[
R = \frac{\sin(x\sqrt{r})}{(z-r)\sqrt{r}\varpi'(r)},
\]
\marginpage % *** File: 462.png
$r$ désignant une quelconque des racines de l'équation (9). Si l'on se
borne aux racines $r$ très grandes, on a, par la formule du \no 7,
\[
\sqrt{r} = \frac{(2i+1)\pi}{2} + \frac{B_i}{i};
\]
d'où l'on conclut sans difficulté que $R$ est de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$ et que par
conséquent la série $\sum R$ est convergente. Maintenant il vient
\[
\sin(x\sqrt{z}) = \sqrt{z}\varpi(z)\sum\left\{\frac{\sin(x\sqrt{r_n})}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\right\}.
\]
L'intégrale
\[
\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{z})dx
\]
est donc égale à
\[
\sqrt{z}\varpi(z)\sum\Big\{\frac{1}{(z-r_n)\sqrt{r_n}\varpi'(r_n)}\ldot\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{r_n})dx\Big\},
\]
et chacun des termes dont elle se compose est égal à zéro. Ainsi l'on
est conduit à l'équation générale
\[
\int_0^1 [F(x)-f(x)] \sin(x\sqrt{z})dx = 0;
\]
et, à cause de l'indéterminée $z$, celle-ci ne peut subsister qu'autant
que l'on a
\[
[F(x) - f(x)]\sin(x\sqrt{z})dx = 0\qtext{depuis} x = 0\qtext{jusqu'à} x = 1,
\]
ce qui donne généralement
\[
F(x) = f(x)\qtext{depuis} x=0\qtext{jusqu'à} x=1:\tag{20}
\]
toutefois comme le facteur $\sin(x\sqrt{z})$ est nul pour $x = 0$, il pourra
arriver que l'on n'ait pas $F(0) =f(0)$: cette dernière équation dont
le premier membre est toujours nul ne sera vérifiée que si la quantité
$f(0)$ est égale à zéro, ce que nous admettons effectivement.

\marginpage % *** File: 463.png
11.~Pour bien voir comment l'équation (19) entraîne l'équation (20),
il suffit de donner à $\sqrt{z}$ une valeur de la forme $Z \sqrt{-1}$, ce qui
transforme le sinus de $x \sqrt{z}$ en exponentielles. On peut aussi remplacer
$\sin (x \sqrt{z})$ par la série $x\sqrt{z} - \dfrac{x^2z\sqrt{z}}{2\ldot3} +$ etc., et en égalant à
zéro le coefficient de chacune des puissances de l'indéterminée $z$ dans
l'équation (19), on a généralement
\[
\int_0^1 x[F(x) - f(x)]x^{2q} dx = 0,\tag{21}
\]
$q$ étant zéro ou un nombre entier positif. Or, si la fonction
$x[F(x) - f(x)]$ n'est pas identiquement nulle depuis $x=0$ jusqu'à
$x=1$, l'équation (21) ne peut pas subsister à moins que cette
fonction ne change de signe un certain nombre $m$ de fois: sans cela
en effet les éléments de l'intégrale placée au premier membre seraient
tous de même signe et ne pourraient avoir zéro pour somme. Soient
donc $x_1$, $x_2$,\dots$x_m$ les $m$ valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)-f(x)$
change de signe; et représentons par
\[
A + B x^2 + C x^4 + \dotsb + x^{2m}
\]
le développement du produit
\[
(x^2 - x_1^2)(x^2 - x_2^2)\ldots(x^2 - x_m^2).
\]
Si dans l'équation (21) on pose successivement $q=0$, $q=1$,\dots $q=m$,
et si l'on ajoute entre elles toutes les équations ainsi obtenues, après les
avoir multipliées par les facteurs respectifs $A$, $B$, etc., on aura
\[
\int_0^1 x[F(x) - f(x)](x^2 - x_1^2)(x^2 - x_2^2)\ldots(x^2 - x_m^2)dx = 0,
\]
équation absurde, puisque la quantité placée sous le $\int$ ne change
jamais de signe entre les limites de l'intégrale. On est donc obligé de
reconnaître que l'équation (21) donne
\[
x[F(x) - f(x)] = 0\qtext{depuis} x = 0\quad \text{jusqu'à}\quad x= 1.
\]

12.~Il nous reste enfin à montrer que la série placée au second
\marginpage % *** File: 464.png
membre de l'équation (18) est convergente pour toute valeur positive
de $t$. Adoptons les notations du \no 9: le terme général de la série dont
nous parlons sera $Te^{-\rho^2t}$: de plus pour établir la convergence de la
série $\sum Te^{-\rho^2t}$, on pourra, comme on l'a vu ci-dessus dans un cas
semblable, négliger les termes de la forme $\dfrac{\Psi}{i^2}$ et prendre simplement
\[
T = 2 \sin\rho x \int_0^1 f(x) \sin\rho x dx.
\]
La valeur numérique de $T$ qui résulte de l'équation que je viens d'écrire
est plus petite que $2f_1$, $f_1$ étant le \emph{maximum} absolu de $f(x)$.
Par conséquent celle de $Te^{-\rho^2t}$ est inférieure à $2f_1e^{-\rho^2t}$. Or la série
qui a pour terme général $2f_1 e^{-\rho^2t}$ est évidemment convergente
donc \emph{à fortiori} la série $\sum Te^{-\rho^2t}$ est aussi convergente.

\jmpafin

% *** File: 465.png

\jmpapaperl{NOTE}{}
{Sur l'intégration d'un système d'équations différentielles du
second ordre, entre un nombre quelconque de variables,
analogues à celles du mouvement d'un point libre autour
d'un centre fixe, sollicité par une force fonction de la
distance au centre;}
{Par M.~BINET,}
{Professeur au Collège de France.}
\label{art39}

[1] Les équations dont on va s'occuper ici sont de la forme
\[
\frac{d^2u}{dt^2} = \frac{dR}{du},\quad \frac{d^2v}{dt^2} = \frac{dR}{dv},
\quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dR}{dx},\quad \etc:
\]
$u$, $v$, $x$,\dots\ sont les variables principales à déterminer en fonction
de $t$; $R$ est une fonction de la quantité $r= \sqrt{u^2 + v^2 + x^2 + y^2 + \etc}$,
en sorte que $\dfrac{dR}{du} = \dfrac{dR}{dr} \dfrac{u}{r}$,\quad
$\dfrac{dR}{dv} = \dfrac{dR}{dr} \dfrac{v}{r}$, etc.

Lorsque leur nombre ne surpasse pas trois, ces équations se rapportent
au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe, par une
force dont l'expression est $\dfrac{dR}{dr}$, et l'intégration présente peu de difficultés,
ainsi qu'on peut le voir dans plusieurs traités de mécanique
et dans un mémoire récent de M.~Poisson, pages 331 \pdf{p331eqalpha} et 332 du second
volume de ce recueil. Je citerai encore, pour son élégance, la solution
donnée par M.~Gabrio Piola, dans un mémoire sur la Mécanique analytique
couronné en 1824 par l'Académie de Turin. Pour le cas de
trois variables, afin d'achever l'intégration, on a recours ordinairement
\marginpage % *** File: 466.png
à des considérations géométriques. Je suis loin de blâmer l'emploi
de ces considérations dans des questions de Mécanique, qui ne
sont en grande partie que des problèmes de Géométrie: les résultats
obtenus y trouvent souvent une interprétation naturelle et simple,
et l'analyse y puise, par fois, des ressources précieuses. Mais dès que
le nombre des variables principales est au-dessus de trois, l'analyste
ne peut plus guère compter sur les secours de la Géométrie proprement
dite. Il convient alors qu'il se crée une marche purement algébrique.
Celle que nous allons suivre pour intégrer les équations dont
il s'agit conduit à ce résultat remarquable que, quel que soit le nombre
des variables, leurs expressions ne dépendent que d'une seule fonction
différentielle de la variable $r$ à intégrer, pour chaque forme assignée
à la fonction $R$. D'autres voies peuvent fournir le même résultat;
mais elles m'ont paru présenter une assez grande complication, lorsque
le nombre des variables est supérieur à trois.

[2]. Considérons donc les $n$ équations différentielles du second
ordre de la forme
\[
\frac{d^2u}{dt^2} = \frac{dR}{dr} \frac{u}{r},\quad
\frac{d^2v}{dt^2} = \frac{dR}{dr} \frac{v}{r},\quad \etc,\tag{1}
\]
entre les $n$ quantités $u$, $v$, $x$, $y$, etc.\ et la variable $t$.

En les combinant deux à deux, on formera, par l'élimination de
$\dfrac{dR}{dr}$, des équations telles que
\[
\frac{vd^2u - ud^2v}{dt^2} = 0,\quad \frac{xd^2u - ud^2x}{dt^2} = 0,\quad \etc
\]
d'où l'on tire les intégrales premières, en nombre $n\ldot\dfrac{n-1}{2}$,
\begin{alignat*}{2}
&vu' - uv' &&= \text{constante},\\
&xu' - ux' &&= \text{const.},\\
&xv' - vx' &&= \text{const.},\\
&\etc:
\end{alignat*}
selon la notation ordinaire, nous avons désigné, pour abréger,
\marginpage % *** File: 467.png
dans ces formules, par $u'$, $v'$, $x'$, etc.\ les quantités
différentielles $\dfrac{du}{dt}$, $\dfrac{dv}{dt}$, etc.

La somme des carrés de ces équations donnera
\[
\tag{2}  (vu' - uv')^2 + (xu'- ux')^2 +  \etc + (xv'-
vx')^2 +  \etc = A^2,
\]
$A^2$ représentant une constante positive. En vertu d'un théorème
d'algèbre, on sait que cette somme de carrés peut être mise sous
la forme
\[
(u^2+v^2+x^2+ \etc)(u'^2+v'^2+x'^2+ \etc)-(uu'+vv'+xx'+ \etc)^2 = A^2.
\]

En multipliant respectivement par $du$, $dv$, $dx$\dots, les équations
proposées et les ajoutant, le premier membre du $\dfrac{dud^2u +
dvd^2v + \etc}{dt^2}$ sera la différentielle de
$\dfrac{u'^2 + v'^2 + x'^2 + y'^2 + \etc }{2}$, et le
second membre sera aussi la différentielle $\dfrac{dR}{dr}dr = dR$; on
aura donc en intégrant, et prenant $B$ pour une constante
arbitraire,
\[
u'^2 + v'^2 + x'^2 + y'^2 + \etc = 2(R + B).
\]
Substituant dans le premier membre de l'équation (2), cette
valeur, et pour $u^2 + v^2 + \etc$ la quantité $r^2$,
on en déduira
\begin{gather*}
(uu' + vv' + xx' +   \etc)^2 = 2r^2(R + B) - A^2; \\
\tag*{mais}    uu' + vv' +  \etc = rr' =  r\frac{dr}{dt}; \\
\tag*{partant}   r^2 \frac{dr^2 }{dt^2} = 2r^2 (R + B) -  A^2;
\end{gather*}
d'où l'on tire
\[
\tag{3}     dt = \frac{rdr }{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}.
\]
De la même équation l'on déduit encore
\[
\frac{dr^2}{dt^2} = 2R + 2B - \frac{A^2}{r^2};
\]
\marginpage % *** File: 468.png
étant différentiée, et divisée par $2dr$, elle devient
\[
\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dR}{dr} + \frac{A^2}{r^3}.
\]
On peut à l'aide de cette formule éliminer $\dfrac{dR}{dr}$ de la
première des équations (1); elle donnera, après avoir été
multipliée par $r$,
\[
\frac{rd^2u}{dt^2} - \frac{ud^2r}{dt^2} + \frac{A^2}{r^2} \ldot
\frac{u}{r} = 0;
\]
mais
\[
rd^2u - ud^2r = d[rdu - udr] = d\Big[
r^2d\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big].
\]
Cette équation pourra donc être mise sous la forme
\[
\frac{d}{dt}\Big[\frac{r^2d}{dt}\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big] +
\frac{A^2}{r^2}\frac{u}{r} = 0;
\]
ou bien, en la multipliant par $\dfrac{r^2}{A^2}$,
\[
\frac{r^2d}{Adt}
\Big[\frac{r^2d}{Adt}\Big(\frac{u}{r}\Big)\Big] +
\frac{u}{r} = 0.
\]
Elle deviendra plus simple en y employant une variable auxiliaire
$\phi$, telle que
\[
\tag{4} d\phi = \frac{Adt}{r^2} =
\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}};
\]
car elle se change en celle-ci:
\[
\frac{d\,d(u:r) }{d\phi\hfill d\phi\hfill} + \frac{u}{r} = 0,
\]
dans laquelle $\dfrac{u}{r}$ peut être considéré comme une variable
principale à déterminer en fonction de $\phi$. On aura de la
même manière
\[
\frac{d^2(v:r)}{d\phi^2} + \frac{v}{r} = 0,\quad
\frac{d^2(x:r)}{d\phi^2} + \frac{x}{r} = 0, \;\etc
\]

\marginpage % *** File: 469.png
[3]. Ces équations s'intègrent séparément, et en désignant par
$g$, $h$, $g\subprime$, $h\subprime$, $g\subdprime$, $h\subdprime$,\dots\ des constantes arbitraires en nombre  $2n$,
on aura
\begin{flalign*}
&\text{(5)}\quad\left\{\quad\begin{alignedat}{3}
&\frac{u}{r}  = g          &&\cos \phi + h          &&\sin \phi,\\
&\frac{v}{r}  = g\subprime    &&\cos \phi + h\subprime    &&\sin \phi,\\
&\frac{x}{r}  = g\subdprime \!&&\cos \phi + h\subdprime \!&&\sin \phi,\\
&\etc
\end{alignedat}\right.&
\end{flalign*}
De l'équation (3), on tire par l'intégration
\[
\tag{6}
t + \alpha = \int \frac{r  dr} {\sqrt{2r^2 (R + B) - A^2}}.
\]
Le second membre étant une fonction de $r$, on aura par cette équation
la valeur de $r$  en fonction de $t+\alpha$.  L'intégration de la formule (4)
donnera
\[
\tag{7}
\phi + \beta =  \int \frac{A dr} {r \sqrt{2r (R+B) - A^2}}  ,
\]
au moyen de laquelle on obtiendra $\phi$ en fonction de $r$, et par suite en
fonction de  $t+\alpha$. Ayant ainsi $r$  et $\phi$  en fonctions de  $t+\alpha$, les
équations (5) donneront les valeurs des $n$ variables  $u$, $v$, $x$, $y$,\dots\
en fonctions de $t+\alpha$, de $\beta$, de $A$, $B$, et des $2n$ constantes,
$g$, $g\subprime$, $g\subdprime$,\dots\ $h$, $h\subprime$, $h\subdprime$\dots; c'est-à-dire que dans ces expressions
il entrera  $2n+4$ arbitraires. On doit en conclure qu'il existe entre
ces quantités plusieurs relations, car le problème n'admet que $2n$ arbitraires.

[4]. En premier lieu, on voit que la constante $\beta$ ne fera que modifier
les arbitraires $g$, $h$, $g\subprime$, $h\subprime$, etc., et que par suite on peut
n'y avoir aucun égard en la traitant comme déjà comprise dans
ces arbitraires. Ainsi le nombre des constantes ne doit plus compter
que pour $2n+3$.  De l'équation $r^2 = u^2 + v^2 + x^2 + y^2 + \etc$,
on tire $1 = \dfrac{u^2}{r^2} + \dfrac{v^2}{r^2} + \dfrac{x^2}{r^2} + \etc$; substituant les valeurs du $\dfrac{u}{r}$,
$\dfrac{v}{r}$, etc., données par les équations (5), et représentant
$g^2 + g\subprime ^2 + g\subdprime ^2 + \etc$
\marginpage % *** File: 470.png
par $\sum g^2$, $gh + g\subprime  h\subprime  + \etc$, par $\sum gh$, etc., on aura
\[
1 = \cos^2\phi \sum g^2 + \sin^2\phi\sum h^2 + 2\sin\phi\cos\phi \sum gh.
\]
Cette équation devant avoir lieu pour toute valeur de $\phi$, elle entraîne
les trois suivantes:
\[
\tag{8}    1 = \sum g^2, \quad 1 = \sum h^2, \quad 0 = \sum gh.
\]
Ces égalités limitent les $2n + 3$ arbitraires qui entrent dans les
expressions de $u$, $v$, $x$, $y$\dots\ en fonctions de la variable $t$, à $2n$
constantes indépendantes.

Pour satisfaire à ces conditions, on pourra donner aux arbitraires
$g$, $g\subprime$, $g\subdprime$, etc., $h$, $h\subprime$, $h\subdprime$ etc., une forme particulière que nous
allons indiquer pour le cas de quatre variables $u$, $v$, $x$, $y$: cet
exemple suffira pour faire comprendre un mode de composition qui
s'étend à un nombre quelconque de quantités $g$, $h$, etc., etc.
Nous poserons donc
\begin{align*}
g = \cos\gamma,\quad g\subprime  = \sin\gamma \cos\gamma\subprime ,\quad &  g\subdprime \,= \sin\gamma \sin\gamma\subprime  \cos \gamma\subdprime ,\\
& g_{\prime\prime\prime} = \sin\gamma \sin\gamma\subprime  \sin\gamma\subdprime :
\end{align*}
quels que soient les angles $\gamma$, $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$ qui, sont en nombre $4- 1 = 3$,
on a manifestement
\[
g^2 + g^2\subprime  + g^2\subdprime  + g^2_{\prime\prime\prime} = 1.
\]
On posera aussi
\begin{align*}
h = \cos\eta,\quad h\subprime  = \sin\eta \cos\eta\subprime ,\quad & h\subdprime \, = \sin\eta \sin\eta\subprime  \cos\eta\subdprime , \\
&h_{\prime\prime\prime} = \sin\eta \sin\eta\subprime  \sin\eta\subdprime ,
\end{align*}
et les trois nouvelles arbitraires $\eta$, $\eta\subprime$, $\eta\subdprime$ donneront identiquement
aussi $\sum h^2 = 1$; il ne restera plus qu'à satisfaire à l'égalité $\sum gh = 0$,
ou bien à l'équation,
\begin{align*}
0 = \cos\gamma \cos\eta +\sin\gamma \sin\eta \cos\gamma\subprime  \cos\eta\subprime  &+ \sin\gamma \sin\eta \sin\gamma\subprime  \sin\eta\subprime  \cos\gamma\subdprime  \cos\eta\subdprime \\
&+ \sin\gamma \sin\eta \sin\gamma\subprime  \sin\eta\subprime  \sin\gamma\subdprime
\sin\eta\subdprime ,
\end{align*}
laquelle déterminera un des angles, par exemple $\gamma$, au moyen des
cinq autres $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$, $\eta$, $\eta\subprime$, $\eta\subdprime$.

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Si le nombre des constantes $g$, $g\subprime$,\dots\ eût été cinq, on les eût composées
ainsi avec quatre arbitraires $\gamma$, $\gamma\subprime$, $\gamma\subdprime$, $\gamma_{\prime\prime\prime}$:
\begin{align*}
g=\cos\gamma,\; g\subprime =\sin\gamma\cos\gamma\subprime ,\;
g\subdprime = \sin\gamma\sin\gamma\subprime \cos\gamma\subdprime ,\;
&g_{\prime\prime\prime}= \sin\gamma\sin\gamma\subprime \sin\gamma\subdprime \cos\gamma_{\prime\prime\prime},\\
&g_{\text{\tiny IV}}= \sin\gamma\sin\gamma\subprime \sin\gamma\subdprime \sin\gamma_{\prime\prime\prime},
\end{align*}
et de même pour $h$, $h\subprime$, etc. Cette manière de satisfaire à une équation
de la forme $\sum g^2 = 1$ a quelque analogie avec la formule que
M.~Poisson a donnée dans sa \emph{Théorie de la Chaleur}, page 38.
Les $2n$ quantités $g$, $g\subprime$,\dots\ $h$, $h\subprime$,\dots\ seront donc exprimées au
moyen de $2n - 2$ arbitraires, liées entre elles par une équation,
qui réduit le nombre des constantes indépendantes à $2n - 3$; les
constantes $\alpha$, $A$, $B$ complètent le nombre $2n$.

[5]. Nous avons fait voir que l'intégration des équations proposées
entre les variables $u$, $v$, $x$,\dots\ dépend des deux intégrales
\begin{align*}
t+\alpha&= \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}},\tag{6}\\
\phi+\beta&= \int\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}.\tag{7}
\end{align*}
Ces deux fonctions, qui semblent indépendantes, peuvent néanmoins
être ramenées à une origine commune. En effet, soit $S$ une fonction
de $r$ telle que
\[
S = \int\frac{dr}{r}\sqrt{2r^2(R+B)-A^2},
\]
il est évident que l'on aura par des différentiations partielles:
\[
t+\alpha=\frac{dS}{dB},\quad \phi+\beta=-\frac{dS}{dA}.\tag{9}
\]

[6]. Les formules que nous venons d'exposer montrent que les
variables $u$, $v$, $x$\dots\ fournies par des équations de la forme
\[
\frac{d^2u}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{u}{r},\quad \frac{d^2v}{dt^2}=\frac{dR}{dr}\frac{v}{r},\quad \etc,
\]
ne dépendent que de la détermination de la seule intégrale $S$, et de
\marginpage % *** File: 472.png
ses deux différentielles relatives à $A$ et à $B$. Ces différentiations, le
plus communément, s'effectueront sans difficultés et sans introduire
de transcendantes supérieures à celles dont $S$ sera composé: nous
disons \emph{le plus communément}, car il y a des cas où cet énoncé ne sera
pas exact, et où le calcul de la différentielle d'une fonction introduira
des fonctions d'un ordre de difficulté ou de complication autre que
celui des fonctions différentiées.

Des recherches sur la théorie de la variation des arbitraires dans les
questions de Mécanique, appliquées au problème d'un point attiré
vers un centre fixe par une force $\dfrac{dR}{dr}$, m'avaient conduit aux équations
(9) pour le cas de trois variables $u$, $v$, $x$ seulement. Mais il me
fut facile d'y reconnaître un corollaire d'une proposition générale
énoncée par M.~Jacobi, et relative à l'intégration des deux équations
du mouvement d'un point qui doit demeurer dans un plan. Ce résultat
reçoit ici une extension de généralité notable, en ce qu'il s'applique
à un nombre quelconque d'équations différentielles du second
ordre de la forme particulière dont nous nous occupons.

[7]. Nous avons trouvé ci-dessus que l'équation $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{dr}\ldot\dfrac{u}{r}$ se
transforme en $\dfrac{r^2}{A}\dfrac{d}{dt} \Big[\dfrac{r^2d (u:r)}{Adt}\Big]+\dfrac{u}{r}=0$, par cela seul qu'il existe
entre $r$ et $t$ la relation $t + \alpha = {\dint} \dfrac{r  dr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}$,  c'est-à-dire
que $r$ est une fonction de $t + \alpha$ déterminée par cette équation (6);
et qu'en employant la variable auxiliaire $\phi$ de la formule (7), la même
équation devient
\[
\frac{d^2 (u:r)}{d \phi^2}+ \frac{u}{r}=0,
\]
dont l'intégrale est
\[
u = r [g \cos \phi + h \sin \phi].
\]
Il en résulte que cette dernière équation doit être considérée comme
l'intégrale générale de l'équation $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{dr}\dfrac{u}{r}$ dans laquelle la quantité
$\dfrac{dR}{rdr}$ sera une fonction donnée de $t + \alpha$, $A$ et $B$. Alors $g$ et $h$ seront
\marginpage % *** File: 473.png
les deux constantes arbitraires exigées par l'ordre de l'équation.

Afin de donner un exemple, nous supposerons $R = \dfrac{m}{r}$ et l'équation
à intégrer sera $\dfrac{d^2u}{dt^2} + \dfrac{mu}{r^3} = 0$, $r$ étant donnée en fonction de $t$ par l'équation
$t + \alpha = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2r^2\Big(\dfrac{m}{r}+B\Big)-A^2}}$. Pour rentrer dans des formules
usuelles, nous écrirons $B = -\dfrac{m}{a}$, et $A^2 = ma(1 - e^2)$;
l'équation d'où dépend $r$ sera alors $t + \alpha = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{\dfrac{m}{a}[a^2e^2-(a-r)^2]}}$. On
posera ici, à l'ordinaire,
\[
a - r = ea \cos\psi,\qtext{ou} r = a(1 - e \cos\psi),
\]
$\psi$ étant une nouvelle quantité auxiliaire, connue des géomètres sous
le nom d'\emph{anomalie excentrique}, dans la théorie du mouvement elliptique;
de là il suit que
\[
t + \alpha =\int\frac{a^\frac{3}{2}}{\sqrt{m}}d\psi(1-e\cos\psi),\qtext{ou}
\psi-e\sin\psi=(t+\alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}};
\]
équation dont on devra tirer la valeur de $\psi$ pour la substituer dans
celles de $r$, et de $\phi$ exprimée en $r$. Mais
\[
d\phi=\frac{A}{r^2}\ldot dt=\frac{\sqrt{ma(1-e^2)}a^\frac32 d\psi(1-e\cos\psi)}{\surd{m}\ldot a^2(1-e\cos\psi)^2}=\frac{\sqrt{1-e^2}\ldot d\psi}{1-e\cos\psi};
\]
il s'ensuit que $\tang\dfrac{\phi}{2} = \sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}\ldot\tang\dfrac{\psi}{2}$, en négligeant la constante
que l'intégration aurait pu introduire. D'après cette formule,
on aura
\begin{align*}
\cos\phi &= \frac{\cos\psi - e}{1-e\cos\psi} = \frac{a(\cos\psi-e)}{r},\\
\sin\phi &= \frac{\sin\psi\sqrt{1-e^2}}{1-e\cos\psi} = \frac{a\sin\psi\sqrt{1-e^2}}{r}.
\end{align*}
\marginpage % *** File: 474.png
L'intégrale de l'équation proposée étant
\[
u = r(g \cos \phi + h \sin \phi),
\]
pourra encore être écrite ainsi:
\[
u = ag(\cos \psi - e) + ah \sin \psi \sqrt{1-e^2};
\]
où l'on n'a plus qu'à remplacer $\psi$ par sa valeur en $t$. Celte substitution
exigerait la résolution de l'équation
\[
\psi - e \sin \psi = (t + \alpha) \sqrt{\frac{m}{a^3}},
\]
que l'on ne peut obtenir que par la voie des séries et sous de certaines
conditions limitatives de la grandeur de $e$. Néanmoins on obtiendra
l'intégrale ou la relation cherchée entre $t$ et la fonction $u$,
de la manière suivante. Remplaçons d'abord les constantes $g$ et $h$
par deux nouvelles arbitraires $\gamma$, $\eta$ telles que $ag = \gamma \cos \eta$,
$ah\sqrt{1-e^2} = \gamma \sin \eta$; et par suite, nous pourrons écrire ainsi
l'équation entre $\psi$ et $u$,
\[
\cos (\psi - \eta) = e \cos \eta + \frac{u}{\gamma}.
\]
De celle-ci on tire
\[
\psi = \eta + \arc\Big(\cos = \frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big).
\]
Cette valeur de $\psi$ mise dans l'équation en $\psi$ et $t$ lui donne cette
autre forme
\begin{align*}
(t + \alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}} = \eta + \arc\Big(\cos = \frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big)
- e \sin \eta\Big(\frac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big)\\
-e \cos \eta \sqrt{1-\Big(\frac{u}{\gamma}+e \cos \eta\Big)^2}.
\end{align*}
De cette égalité il sera facile de faire disparaître la fonction
$\arc\Big(\cos = \dfrac{u}{\gamma} + e \cos \eta\Big)$ en l'isolant dans un seul membre, puis en
prenant les cosinus des deux membres: ce résultat sera l'intégrale générale
\marginpage % *** File: 475.png
de l'équation différentielle du second ordre $\dfrac{d^2u}{dt^2} + \dfrac{mu}{r} = 0$,
$r$ étant une fonction de $t$ donnée par les formules
\[
r = a(1 - e \cos\psi),\quad \psi - e \sin\psi = (t + \alpha)\sqrt{\frac{m}{a^3}},
\]
dont on doit éliminer la quantité auxiliaire $\psi$: les constantes $\gamma$ et $\eta$
seront les deux arbitraires de l'intégration.

[8]. Nous venons de trouver l'intégrale de l'équation linéaire du
second ordre $\dfrac{d^2u}{dt^2} = \dfrac{dR}{dr}\ldot\dfrac{u}{r}$, où $r$ représente une fonction de $t$ dépendante
de la résolution de l'équation
\[
t+\alpha = \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2(R+B)-A^2}}:\tag{6}
\]
dans cette dernière formule la quantité $A^2$ semble devoir être essentiellement
positive pour que $\psi$ ne soit pas imaginaire. L'équation différentielle
s'intègre néanmoins, mais avec quelques modifications
dans la forme des résultats, lorsque la formule (6) est remplacée
par la suivante où l'on supprime $B$ qui peut être compris dans $R$,
\[
t+\alpha = \int\frac{rdr}{\sqrt{2r^2R+A^2}}.\tag{$6'$}
\]
En effet, de celle-ci, on tire
\[
\frac{dr^2}{dt^2} = 2R+\frac{A^2}{r^2};
\]
par la différentiation, et après avoir divisé par $2dr$, on aura
\[
\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dR}{dr}-\frac{A^2}{r^3}.
\]
En éliminant $\dfrac{dR}{dr}$ de l'équation proposée, à l'aide de la précédente,
elle deviendra
\[
r\frac{d^2u}{dt^2}-u\frac{d^2r}{dt^2}-\frac{A^2}{r^2}\ldot\frac{u}{r}=0,
\]
\marginpage % *** File: 476.png
à laquelle on donnera, comme ci-dessus (\ ), la forme
\[
\frac{r^2}{A^2}\ldot \frac{d}{dt}\Big[ \frac{r^2d}{dt} \Big(\frac{u}{r}\Big) \Big]-\frac{u}{r}=0;
\]
\begin{flalign*}
&\text{ou bien, en posant encore}\quad d\phi_1 = \frac{Adt}{r^2}=\frac{Adr}{r\sqrt{2r^2R+A^2}}; &\\
&\text{l'équation se change en}\quad \frac {dd(u:r)}{d\phi^2_1}-\frac{u}{r}=0;
\end{flalign*}
alors elle a pour intégrale
\[
\frac{u}{r}=ge^{\phi_1}+he^{-\phi_1},
\]
$g$ et $h$ étant deux arbitraires, $e$ la base hyperbolique; et la quantité
auxiliaire $\phi_1$ étant donnée par l'égalité
\[
\phi_1=\int\frac{Adr}{r \sqrt{2r^2R+A^2}}.
\]
On serait arrivé au même résultat en passant du réel a l'imaginaire
dans les formules du cas que nous avons traité en premier lieu, et où
$A^2$\ avait le signe $-$ sous le radical: il aurait fallu pour cela remplacer,
dans les formules, $r$ par $r\sqrt[4]{-1}$, $R$ par $R\sqrt{-1}$, $\phi$ par $\phi \sqrt{-1}$,
et enfin changer $\sin(\phi \sqrt{-1})$ et $\cos(\phi \sqrt{-1})$ en exponentielles
réelles.

On ne connaît qu'un petit nombre d'équations différentielles du
second ordre intégrables. J'ai cru devoir appeler l'attention des géomètres
sur l'équation linéaire $\dfrac{d^2u}{dt^2}=\dfrac{dR}{rdr}u$, où $r$ dépend de $t$ selon la
formule $t = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2r^2R+A^2}}$, parce que cette classe est fort étendue, $R$
étant une fonction indéterminée de $r$: elle comprend l'équation linéaire
à coefficient constant.

\jmpafin

% *** File: 477.png

\jmpapaper{SOLUTION}{}
{D'un Problème de Probabilité, relatif au Jeu de rencontre;}
{Par E. CATALAN,}
{Ancien élève de l'École Polytechnique.}
\label{art40}\Droit

1.~\emph{Une urne contient m boules marquées $a$, $b$, $c$, $d$,\dots, que l'on
tire toutes successivement, pour les remettre ensuite. Quelle est la
probabilité que, dans deux tirages consécutifs, $n$ boules sortiront
dans le même ordre}?

Supposons que l'on fasse le premier tirage, et qu'à mesure que les
boules sortent de l'urne, on écrive leurs noms sur une même ligne;
supposons aussi que la même chose ait lieu pour le second tirage,
et que la seconde ligne soit écrite au-dessous de la première. On obtiendra
de la sorte, deux suites composées chacune de $m$ lettres, et
qui seront par exemple:

\begin{flalign*}
&&\begin{array}{l@{\ }p{6em}*{8}{@{\ }c}}
1\ier  & \text{tirage}\dotfill & g, & a, & h, & l, & i, & c, & e, & d,\ldots \\
2\ieme & \text{tirage}\dotfill & i, & l, & h, & g, & b, & d, & e, & f,\ldots
\end{array}&&
\begin{array}{l@{}}
(1) \\
(2)
\end{array}
\end{flalign*}

J'appellerai \emph{correspondance} la rencontre, au même rang, de deux
lettres semblables: ainsi, les lettres $h$, $e$ forment deux correspondances.

La question revient alors à celle-ci:

\emph{Quelle est la probabilité qu'en écrivant au hasard les suites {\rm(1)} et
{\rm(2)}, composées des mêmes lettres, on obtiendra $n$ correspondances}?

Écrivons arbitrairement la première ligne; puis, pour former la
seconde, commençons par faire correspondre $n$ lettres; nous devrons
ensuite écrire les autres $m-n$ lettres, de manière qu'elles ne présentent
\marginpage % *** File: 478.png
aucune correspondance: je désigne pour un instant par $X_{m-n}$ le nombre
de solutions dont cette question est susceptible.

Nous aurons alors, pour $n$ correspondances \emph{désignées}, $X_{m-n}$ systèmes.
Et comme les $n$ lettres, au lieu d'êtres désignées, sont quelconques,
le nombre $X_{m-n}$ doit être multiplié par le nombre des combinaisons
de $m$ lettres, prises $n$ à $n$; quantité que je désignerai par
$C_{m,n}$.

Ainsi, pour un arrangement quelconque des lettres de la première
ligne, il y en a $C_{m,n}\times X_{m-n}$ des lettres de la seconde, pour lesquels
$n$ lettres correspondent. De plus, les lettres de la première ligne
pouvant être disposées d'autant de manières que l'indique le nombre
des permutations de $m$ lettres, prises toutes ensemble, il s'ensuit que
le nombre des chances favorables à l'événement demandé, est
\begin{gather*}
P_m\ldot C_{m,n}\ldot X_{m-n}.          \tag{3}
\end{gather*}
Le nombre total des chances est évidemment $(P_m)^2$: donc la probabilité
cherchée a pour expression
\begin{gather*}
p = \frac{C_{m,n}\ldot  X_{m-n}}{P_m};               \tag{4}
\end{gather*}
ou bien, en mettant pour $C_{m,n}$ et $P_m$ leurs valeurs connues,
\begin{gather*}
p = \frac{X_{m-n}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n\ldot 1\ldot 2\ldot 3\ldots (m-n)}\ldot                  \tag{5}
\end{gather*}

2.~Déterminons $X_{m-n}$.

En remplaçant $m - n$ par $\mu$, la question peut être posée de cette
manière:

\emph{Les} $\mu$  \emph{lettres $a$, $b$, $c$, $d$,\dots $h$, $i$ étant écrites sur une même ligne,
trouver de combien de manières l'on peut former une seconde ligne de
ces mêmes lettres, avec la condition qu'aucune d'elles n'occupe le
même rang dans ces deux lignes}.

Cette quantité sera désignée par $X_\mu$.

Supposons cette opération déjà effectuée pour les $\mu - 1$ lettres
$a$, $b$, $c$,\dots $h$; et considérons l'un quelconque de ces systèmes:
\begin{gather*}
\left.\begin{array}{l@{\ }p{5em}*{3}{l@{\ }}}
1\iere & \text{ligne}\dotfill & a, & b, & c,\ldots h, \\
2\ieme & \text{ligne}\dotfill & g, & d, & a,\ldots e.
\end{array}\right\}\tag{6}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 479.png
Apportons la $\mu$\ie\ lettre $i$ à la fin de chaque ligne; puis, dans la seconde,
changeons successivement chacune des $\mu - 1$ lettres qui y
entrent, en $i$, et réciproquement.

Il est visible que nous obtiendrons de la sorte, $\mu - 1$ systèmes,
qui feront partie des $X_\mu$ systèmes demandés.

Considérons encore deux lignes de $\mu - 1$ lettres, parmi lesquelles il
y ait 1 correspondance; par exemple:
\begin{gather*}
\left.\begin{array}{l@{\ }p{5em}*{4}{l@{\ }}}
1\iere & \text{ligne}\dotfill & a, & b, & c, & d,\ldots h, \\
2\ieme & \text{ligne}\dotfill & a, & f, & d, & b,\ldots e.
\end{array}\right\}\tag{7}
\end{gather*}

Écrivons la $\mu$\ie\ lettre $i$ à la fin de chaque ligne; puis, dans la seconde,
changeons $i$ en $a$; nous aurons encore un des arrangements
cherchés. Nous pourrons faire la même chose pour chacune des $\mu - 1$
lettres $a$, $b$, $c$,\dots $h$; et comme, pour une lettre qui correspond, il
en reste $\mu - 2$, que l'on peut intervertir d'autant de manières que
l'indique $X_{\mu-2}$, il s'ensuit que
\begin{gather*}
X_\mu = (\mu - 1)(X_{\mu-1} + X_{\mu-2}).\tag{8}
\end{gather*}
Il est évident que $X_1 = 0$, et $X_2 = 1$. On a ensuite $X_3= 2\ldot 1 = 2$,
$X_4 = 3(2+1) = 9$, $X_5 = 4(9+2) = 44$, etc.

On voit donc que la suite des termes $X_1$, $X_2$, $X_3$,\dots $X_{\mu-2}$, $X_{\mu-1}$,
$X_\mu$,\dots\ forme une série dans laquelle \emph{un terme quelconque est égal à
la somme des deux précédents, multipliée par le rang du terme qui
précède celui que l'on cherche}.

3.~On peut transformer la formule (8) en une autre plus simple:

D'abord, pour la symétrie du calcul, posons $X_0 = 1$: cette valeur
satisfait à la loi générale, car alors $X_2 = 1(X_1 + X_0)$.

Ensuite, en changeant dans la formule ci-dessus, $\mu$ en $\mu-2$,
$\mu-4$,\dots\ et supposant $\mu$ \emph{pair}, nous aurons
\begin{align*}\tag{9}
\left. \begin{aligned}
X_\mu &= (\mu - 1)(X_{\mu-1} + X_{\mu-2}),\\
X_{\mu-2} &= (\mu - 3)(X_{\mu-3} + X_{\mu-4}),\\
\multispan2\quad\leaderfill\\
X_4 &= 3(X_3 + X_2),\\
X_2 &= 1(X_1 + 1).
\end{aligned}
\quad\right\}
\end{align*}
\marginpage % *** File: 480.png
La somme de toutes ces équations est
\begin{gather*}
X_\mu=(\mu-1)X_{\mu-1} + (\mu-2)X_{\mu-2} + \dotsb + 3X_3 + 2X_2 + 1X_1 + 1.\tag{10}
\end{gather*}
Changeant $\mu$ en $(\mu - 1)$, nous aurons, $(\mu - 1)$ étant \emph{impair},
\begin{gather*}
X_{\mu-1} = (\mu - 2)X_{\mu-1} + \dotsb + 3X_3 + 2X_2 + 1X_1;\tag{11}
\end{gather*}
d'où
\[
X_\mu = \mu X_{\mu-1} + 1.
\]
$\mu$ étant \emph{impair}, nous obtiendrions de même
\[
X_\mu = \mu X_{\mu-1} - 1.
\]

La formule générale est donc
\begin{gather*}
X_\mu = \mu X_{\mu-1} \pm  1,\tag{12}
\end{gather*}
en prenant le signe supérieur si $\mu$ est pair.

On voit donc, que, \emph{pour obtenir un terme quelconque, il suffit de
multiplier son rang par le terme précédent, et d'ajouter ou de retrancher
l'unité}.

La valeur de $X_\mu$ croît très rapidement avec $\mu$: on a $X_1 = 0$,
$X_2=1$, $X_3=2$, $X_4=9$, $X_5=44$, $X_6=265$, $X_7=1854$, $X_8=14\,833$,
$X_9=133\,496$, $X_{10}=1\,334\,961$, $X_{11}=14\,684\,570$, $X_{12}=176\,214\,841$,
$X_{13}=2\,290\,792\,932$, $X_{14}=32\,071\,101\,049$, $X_{15}=481\,066\,515\,734$, etc.

4.~Déterminons le terme général $X_\mu$, seulement en fonction de $\mu$.

En changeant dans l'équation (12), $\mu$ en $\mu-1$, $\mu-2$,\dots\ nous
obtiendrons les $\mu + 1$ équations,
\begin{align*}\tag{13}
\left. \begin{aligned}
&\begin{alignedat}{2}
&X_\mu &&= \mu X_{\mu-1} \pm  1,\\
&X_{\mu-1} &&= (\mu - 1)X_{\mu-2} \mp 1,\\
&X_{\mu-2} &&= (\mu - 2)X_{\mu-3} \pm  1,\\
\multispan4\leaderfill\\
\end{alignedat}&\\
&\begin{aligned}
X_3 &= 3X_2 - 1,\\
X_2 &= 2X_1 + 1,\\
X_1 &= 1X_0 - 1,\\
X_0 &= 1.
\end{aligned}&
\end{aligned}
\quad\right\}
\end{align*}
\marginpage % *** File: 481.png

Multipliant alors la 2\ieme\ équation par $\mu$, la 3\ieme\ par $\mu(\mu-1)$, etc.;
il vient, en ajoutant les produits:
\begin{align*}\tag{14}
\left.\begin{aligned}
X_\mu=\pm 1\mp\mu\pm \mu(\mu-1)\mp\mu(\mu-1)(\mu-2)\pm  \ldots&\\
-\mu(\mu-1)\ldots3\ldot 2+\mu(\mu-1)\ldots3\ldot 2\ldot 1&
\end{aligned}
\quad\right\}
\end{align*}
Donc $X_\mu$ \emph{est égal à la différence entre le nombre des permutations de
$\mu$ lettres prises en nombre pair, et celui des permutations de ces
mêmes lettres prises en nombre impair}.

5.~La valeur de $X_\mu$ peut se mettre sous la forme
\begin{gather*}
X_\mu = 1. 2. 3\ldots(\mu-1)\mu\Big[1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1. 2}-
\frac{1}{1. 2. 3}+\dotsb\pm \frac{1}{1. 2. 3\dots(\mu-1)\mu}\Big].\tag{15}
\end{gather*}

La série entre parenthèses a une analogie remarquable avec le développement
de la base des logarithmes népériens: on sait que ce développement
a pour valeur la limite de $\Big(1 + \dfrac{1}{n}\Big)^n$. De même, la série
ci-dessus a pour valeur la somme des $\mu + 1$ premiers termes du développement
de  $\Big(1 - \dfrac{1}{n}\Big)^n$, après qu'on y a fait $n$ infini.

En négligeant les puissances supérieures à la première, on a
$\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}} = 1 - \dfrac{1}{n}$: il s'ensuit qu'en désignant à l'ordinaire par $e$ la base
des logarithmes népériens, la série ci-dessus est le développement de
$\dfrac{1}{e}$, limité aux $\mu + 1$ premiers termes. C'est ce qui devient évident si
l'on prend la relation
\begin{gather*}
e^x=1+\dfrac{x}{1}+\dfrac{x^2}{1\ldot 2}+\dfrac{x^3}{1\ldot 2\ldot 3}+ \dotsb \tag{16}
\end{gather*}
et si l'on y pose $x = -1$.

Il s'ensuit aussi que la valeur \emph{limite} de $X_\mu$ est
\begin{gather*}
\frac{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4\ldots(\mu-1)\mu}{e}.\tag{17}
\end{gather*}
Comme la série (15) est très convergente, la valeur (17) est très approchée,
\marginpage % *** File: 482.png
dès que $\mu$ dépasse une certaine limite, qui n'est pas élevée.
En faisant le calcul, on trouve que, pour $\mu > 13$,
\begin{gather*}
\frac{1}{e} = 0{,}367\,879\,441\,19\ldots\tag{18}
\end{gather*}
Donc aussi, pour $\mu > 13$,
\begin{gather*}
X_\mu = 0{,}367\,879\,441\,19 \times 1\ldot 2\ldot 3\ldots(\mu-1)\mu.\tag{19}
\end{gather*}
Enfin, si l'on met pour le produit des $\mu$ premiers nombres naturels,
sa valeur approchée, on aura, à fort peu près,
\begin{gather*}
X_\mu= \frac{\mu^\mu\sqrt{2\pi\mu}}{e^{\mu+1}}\Big(
1+\frac{1}{12\mu}+\frac{1}{288\mu^2}+ \dotsb \Big)\tag{20}
\end{gather*}

5.~Revenant au problème qui fait l'objet de cette note, nous aurons,
en remplaçant $X_{m-n}$ par sa valeur, dans la formule (5),
\begin{gather*}
p = \frac{1}{1. 2. 3\ldots(n-1)n}\Big[
1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1. 2}-\dotsb\pm \frac{1}{1. 2. 3\ldots(m-n-1)(m-n)}\Big],\tag{21}
\end{gather*}
pour l'expression exacte de la probabilité. Lorsque $m-n$ dépasse 13,
la valeur très approchée est
\begin{gather*}
p = \frac{0{,}367\,879\,441\,19}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(n-1)n}.\tag{22}
\end{gather*}
Prenons pour exemple $m = 20$, $n = 5$, $m - n = 15$; les formules
(21) ou (22) donnent également
\[
p = 0{,}003\,065\,662.
\]

6.~Cherchons la probabilité que, dans les deux tirages, aucune
lettre ne sortira au même rang. Posant $n = 0$ dans la formule (21), il
vient pour la probabilité demandée,
\begin{gather*}
p'=1-\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}- \dotsb \pm \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-1)m}.\tag{23}
\end{gather*}
Et si $m$ est infini,
\begin{gather*}
p' = \frac{1}{e}\tag{24}
\end{gather*}
\marginpage % *** File: 483.png
Telle est la probabilité que, dans deux séries des mêmes événements
\label{err483}indépendants les uns des autres, et en nombre infini, aucun événement
n'arrivera dans le même ordre.

Si de l'unité nous retranchons $p'$, nous obtiendrons, pour la probabilité
\emph{d'au moins} une correspondance dans les deux tirages successifs,
\begin{gather*}
p'' = \frac{e-1}{e}.       \tag{25}
\end{gather*}
Cette probabilité est celle du \emph{jeu de rencontre}, qui consiste en
ceci:

Deux joueurs ont chacun un jeu de cartes, complet; chacun d'eux
tire successivement une carte de son jeu, jusqu'à ce que la même carte
sorte en même temps, des deux côtés. L'un des joueurs parie qu'il y
aura \emph{rencontre}; l'autre parie le contraire. En supposant le nombre
des cartes infini, il est clair que la probabilité du premier est $p''$, et
celle du second, $p'$.

On a
\[
p'' = 0{,}632\ldots \quad p' = 0{,}368\ldots;
\]
et comme ces valeurs sont fort approchées lorsque $m$ est plus grand
que 13, il s'ensuit qu'on peut les regarder comme exactes, même pour
un jeu de 32 cartes\footnote{%
Le problème dont je m'occupe ici, m'avait été proposé, il y a plus de deux
ans, à l'École Polytechnique. Ce n'est qu'après en avoir envoyé la solution à
M.~Liouville, que j'ai appris qu'Euler s'était occupé du problème des rencontres,
qui est, comme on le voit, un cas très particulier du mien.

On trouvera la solution d'Euler dans les \emph{Mémoires de l'Académie de Berlin},
année 1751. On pourra consulter aussi le \emph{Calcul des Probabilités} de Laplace,
p.~217, et le tome XII \emph{des Annales de Mathématiques}. Je n'ai eu connaissance
de tout cela que depuis peu de temps.}

7.~Le problème (1) présente une circonstance assez remarquable:
la valeur (22) ne contient en dénominateur que la variable $n$. Quant
au numérateur, on vient de voir qu'aussitôt que $m-n$ dépasse 13,
il reste, à fort peu près, constant. Donc aussi, la probabilité demandée
est, presque rigoureusement, indépendante du nombre de boules que
\marginpage % *** File: 484.png
contient l'urne: elle dépend seulement de la quantité de boules qui
doivent sortir aux mêmes rangs, dans les deux tirages.

8.~Dans la formule (22), faisons varier $n$ de 0 à $m$, et ajoutons
tous les résultats: la somme est évidemment l'unité, qui est le symbole
de la certitude. Donc
\begin{gather*}
1 = \sum_0^m \dfrac{1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\ldot 2}- \dotsb \pm
\dfrac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-n)}}{1\ldot 2\ldot 3\ldots n}.\tag{26}
\end{gather*}
Cette équation peut se mettre sous la forme
\begin{align*}
1 = 1\Big(1+&\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots m}\Big)\\
&-\frac{1}{1}\Big(1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldots(m-1)}\Big)\\
&+\frac{1}{1\ldot 2}\Big(1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\ldot 2}+ \dotsb +\frac{1}{1\ldot 2\ldots(m-2)}\Big)- \dotsb \\
&\mp\frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldot 4\ldots(m-1)}\Big(1+\frac11\Big)\pm \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3\ldots(m-1)m}.
\end{align*}
Multipliant les deux membres par $1\ldot 2\ldot 3\ldots(m - 1)m$, elle devient
\begin{align*}
\multispan2{$1. 2. 3\dotsbsmall(m-1)m = [1+m+m(m-1)+\dotsbsmall+m(m-1)(m-2)\dotsbsmall 3. 2. 1]$}\\
&\multispan1{$-\dfrac{m}{1}[1+(m-1)+(m-1)(m-2)+\dotsbsmall+(m-1)(m-2)\dotsbsmall 3. 2. 1]$}\\
&+\dfrac{m}{1}\dfrac{m-1}{2}[1+(m-2)+(m-2)(m-3)+\dotsbsmall+(m-2)(m-3)\dotsbsmall 3. 2. 1]\\
&\multispan1\leaderfill\hspace{5.5em}\\
\hspace{2.0em}&\mp\dfrac{m}{1}\dfrac{m-1}{2}\dotsbsmall\dfrac{2}{m-1} [1 + 1] \pm  1.\tag{27} % 2.7 = 6.03136
\end{align*}
Si l'on représente par $S_n$ la somme des nombres de permutations de
$n$ lettres, prises 0 à 0, 1 à 1, 2 à 2,$\ldots n$ à $n$, cette équation peut
se mettre sous la forme
\begin{gather*}
1. 2. 3\dots(m-1)m = S_m - C_{m,1}.  S_{m-1} + C_{m,2}.  S_{m-2} -
\dotsb\mp C_{m,1}.  S_1 \pm  1.\tag{28}
\end{gather*}
L'équation (27) exprime un théorème sur les nombres, l'équation (28)
un théorème sur les combinaisons.

9.~Je supposerai maintenant qu'au lieu d'extraire toutes les boules
\marginpage % *** File: 485.png
de l'urne, on n'en tire qu'un nombre $t$. Le problème 1 se change en
cet autre, plus général:

\emph{Quelle est la probabilité que, dans deux tirages consécutifs d'une
urne contenant $m$ boules marquées $a$, $b$, $c$,\dots $h$, $i$, dont il en sort
$t$ à chaque tirage, $n$ lettres sortiront dans le même ordre?}

En suivant la même marche que précédemment, l'on voit que,
après avoir fait correspondre $n$ lettres dans un système de deux lignes,
il reste à placer dans chacune d'elles, $t - n$ autres lettres, prises
parmi les $m - n$ restantes; et cela, avec la condition qu'il ne se présente
plus aucune correspondance. Supposons pour un instant que
cette opération a été effectuée de toutes les manières possibles, et
désignons par $Y_{m-n,t-n}$ le nombre des systèmes ainsi obtenus.

Actuellement, les $n$ lettres correspondantes pouvant être quelconques,
et pouvant occuper $t$ places, il s'ensuit que le nombre ci-dessus
doit être multiplié par $C_{m,n}\ldot P_{t,n}$. Les chances favorables à l'événement
demandé sont donc en nombre $C_{m,n}\ldot P_{t,n}\ldot Y_{m-n,t-n}$. Le nombre des
chances possibles est $(P_{m,t})^2$. La probabilité cherchée a donc pour
expression
\begin{gather*}
p = \frac{C_{m,n}\ldot P_{t,n}\ldot Y_{m-n,t-n}}{(P_{m,t})^2}.\tag{29}
\end{gather*}

10.~Déterminons $Y_{m-n,t-n}$.

En remplaçant $m - n$ par $\mu$ et $t - n$ par $\alpha$, la question revient à
ceci:

\emph{De combien de manières peut-on former deux lignes composées de
$\alpha$ lettres, prises parmi $\mu$ lettres données, avec la condition qu'aucune
lettre n'occupe le même rang dans les deux lignes?} Ce nombre sera
représenté par $Y_{\mu,\alpha}$.

Soient les $\mu$ lettres $a$, $b$, $c$, $d$\dots $g$, $h$. Considérons l'un quelconque
des systèmes de deux lignes formées seulement de $\alpha - 1$ lettres,
système qui n'a aucune correspondance, et qui sera, pour fixer les
idées:
\begin{gather*}
\begin{array}[b]{*{6}{c@{\ }}}
a, &f, &i, &b &\ldots &e,\\
g, &i, &a, &h &\ldots &d.
\end{array}\tag{30}
\end{gather*}
A la fin de chacune de ces deux lignes, apportons l'une quelconque
des $\mu - (\alpha - 1)$ lettres qui n'y entrent pas: par exemple, $g$ pour la
\marginpage % *** File: 486.png
première, et $c$ pour la seconde. Nous aurons alors deux lignes de $\alpha$
lettres; savoir
\begin{gather*}
\begin{array}[b]{*{7}{c@{\ }}}
a, & f, & i, & b & \dots & e, & g,\\
g, & i, & a, & h & \dots & d, & c.
\end{array}
\tag{31}
\end{gather*}
Il est visible que ce système sera l'un de ceux demandés, sauf le cas
où les deux lettres introduites seraient semblables: nous reviendrons
sur cette circonstance.

En n'en tenant pas compte, nous voyons que, pour un système de
$(\alpha - 1)$ lettres, nous en obtenons $(\mu - \alpha + 1)^2$ de $\alpha$ lettres. Et
comme le nombre des systèmes de $\alpha - 1$ lettres est représenté par
$Y_{\mu, \alpha-1}$, celui des systèmes de $\alpha$ lettres le sera par $(\mu - \alpha + 1)^2\ldot Y_{\mu, \alpha-1}$,
dont il faut actuellement retrancher le nombre des systèmes composés
de lignes terminées par une même lettre.

Or, si nous avons placé une même lettre a à la fin de deux lignes
de $\alpha - 1$ lettres, c'est parce qu'elle n'y entrait pas encore: ces deux
lignes peuvent donc être considérées comme composant l'un des
systèmes de $\alpha - 1$ lettres, prises seulement parmi les $\mu - 1$ autres
lettres $b$, $c$, $d$,\dots $h$. Donc, parmi les systèmes obtenus tout-à-l'heure,
il y en a $Y_{\mu-1, \alpha-1}$ terminés par $a$, $a$, autant par $b$, $b$, etc.; en tout,
$\mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1}$ systèmes à rejeter. Nous avons donc
\begin{gather*}
Y_{\mu, \alpha} = (\mu - \alpha + 1)^2 Y_{\mu, \alpha-1} - \mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1}.\tag{32}
\end{gather*}

11.~Avant d'aller plus loin, remarquons que, pour la symétrie des
calculs, on peut supposer $Y_{\mu, 0} = Y_{\mu-1, 0 }= 1$: car alors, en faisant
$\alpha = 1$ dans la formule, il vient
\[
Y_{\mu, 1} = \mu^2 - \mu =\mu(\mu - 1).
\]
Il est évident en effet que, si chaque ligne ne contient qu'une lettre,
le nombre des systèmes est égal au nombre des permutations de $\mu$
lettres, prises 2 à 2.

Maintenant, changeons $\alpha$ en $\alpha - 1$, $\alpha - 2$,\dots\ 3, 2, 1, nous
obtiendrons les $\alpha$ équations
\marginpage % *** File: 487.png
\begin{align*}\tag{33}\left.
\begin{aligned}
Y_{\mu,\alpha} &= (\mu - \alpha + 1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-1} - \mu\ldot Y_{\mu-1, \alpha-1},\\
Y_{\mu,\alpha-1} &= (\mu-\alpha + 2)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-2} - \mu \ldot Y_{\mu-1, \alpha-2},\\
Y_{\mu,\alpha-2} &= (\mu -\alpha + 3)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-3} - \mu \ldot Y_{\mu-1,\alpha-3},\\
\multispan{2}{\quad\leaderfill\quad}\\
Y_{\mu,2} &= (\mu - 1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha} - \mu \ldot Y_{\mu-1, 1},\\
Y_{\mu,1} &= \mu^2\ldot 1 - \mu \ldot 1.
\end{aligned}
\quad\right\}
\end{align*}
Multiplions la seconde équation par $(\mu - \alpha + 1)^2$, la troisième par
$(\mu - \alpha + 1)^2 \ldot (\mu - \alpha + 2)^2$, etc., puis ajoutons. Il vient
\begin{align*}\tag{34}\left.
\begin{aligned}
Y_{\mu,\alpha} =(\mu\ldot\mu-1\ldot\mu-2\ldots\mu-\alpha+1)^2-\mu\ldot[Y_{\mu-1,\alpha-1}\\
+(\mu-\alpha+1)^2 Y_{\mu-1,\alpha-2} + (\mu-\alpha+1)^2 (\mu-\alpha+2)^2 Y_{\mu-1,\alpha-3}\\
+ \dotsb + (\mu-\alpha+1)^2 \ldot(\mu-\alpha+2)^2 \ldots (\mu - 1)^2]
\end{aligned}
\quad\right\}\quad
\end{align*}
Cette équation aux différences finies, est plus compliquée que l'équation
(32); mais elle va nous conduire facilement à l'expression générale
de $Y_{\mu, \alpha}$.

Pour cela, posons successivement $\alpha = 1$, 2, 3, \dots\ dans cette
équation, et dans celle que l'on en déduit en changeant $\mu$ en $\mu - 1$;
nous obtiendrons:\label{err487}
\begin{flalign*}
&\text{pour\ }    \alpha=1, &Y_{\mu,1}   &= \mu^2-\mu,\quad Y_{\mu,1} = \mu(\mu-1)&\hspace{1em}\\
&                           &            &\qquad\text{et}\quad Y_{\mu-1, 1} = (\mu-1)[(\mu-1)-1], \\
&\phantom{pour\ } \alpha=2, &Y_{\mu,2}   &= \mu^2(\mu-1)^2 - \mu[(\mu-1)^2 - (\mu-1) + (\mu-1)^2]\\
&                           &            &= \mu^2 (\mu-1)^2 - \mu[2(\mu-1)^2 - (\mu-1)]\\
&\multispan{1}{\hfill ou}   &Y_{\mu,2}   &=\mu (\mu-1) [\mu (\mu-1) - 2(\mu-1) + 1],\\
&                  &\llap{$Y_{\mu-1,2}$} &= (\mu-1)(\mu-2)[(\mu-1)(\mu-2) - 2(\mu-2) +1],\\
&\phantom{pour\ } \alpha=3, &Y_{\mu,3}   &= \mu^2(\mu-1)^2(\mu-2)^2 - \mu[(\mu-1)^2(\mu-2)^2\\
&                           &            &-2(\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-1)(\mu-2) + (\mu-1)^2(\mu-2)^2\\
&                           &            &- (\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-2)^2(\mu-1)^2]\\
&                           &            &= \!\begin{aligned}[t]\mu^2 (\mu&-1)^2(\mu-2)^2 - \mu[3(\mu-1)^2(\mu-2)^2\\
&- 3(\mu-1)(\mu-2)^2 + (\mu-1)(\mu-2)]\end{aligned}\\
&    &\llap{$Y_{\mu-1,3}$} &= \!\begin{aligned}[t]\mu(\mu-1)(\mu-2)[\mu(\mu-1)(\mu-2) &- 3(\mu-1)(\mu-2)\\
&+ 3(\mu-2) - 1],\end{aligned}\\
&\phantom{pour\ } \alpha=4, & Y_{\mu, 4} &= \mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3)[\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3)\\
&                           &            &- 4(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3) + 6(\mu-2)(\mu-3) - 4(\mu-3) + 1].\\
&                           &\etc
\end{flalign*}
\marginpage % *** File: 488.png
La loi est actuellement évidente, et nous sommes en droit de poser,
\emph{sauf vérification}
\begin{gather*}
\left.\begin{aligned}
Y_{\mu, \alpha} = \mu \ldot (\mu - 1) \ldots (\mu &- \alpha +1)\Big[\mu \ldot (\mu-1) \ldots (\mu - \alpha + 1) \\
- \frac{\alpha }{1}(\mu-1)(\mu-2) \ldots (\mu &- \alpha + 1) + \frac{\alpha}{1} \ldot \frac{\alpha - 1 }{2} \ldot (\mu-2) \ldots (\mu - \alpha + 1) \\
&- \dotsb \pm \frac{\alpha}{1} (\mu - \alpha + 1) \mp 1\Big].
\end{aligned}\right\}   \tag{35}
\end{gather*}
En employant les mêmes relations que ci-dessus, cette formule peut
se mettre sous la forme plus simple
\begin{gather*}
\left.\begin{aligned}
Y_{\mu, \alpha} = P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha} &- C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-1} + C_{\alpha, 2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2}\\
&- \dotsb \pm C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+1, 1} \mp 1].
\end{aligned}\quad\right\}\tag{36}
\end{gather*}

L'intégrale de l'équation (32) ayant été obtenue par voie d'induction,
il est essentiel de la vérifier. Pour cela, changeons d'abord $\alpha$
en $\alpha - 1$ dans (36), puis $\mu$ en $\mu - 1$ et $\alpha$ en $\alpha - 1$; nous aurons
\begin{gather*}
\begin{aligned}Y_{\mu, \alpha-1} = P_{\mu, \alpha-1} [P_{\mu, \alpha-1} &- C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-2} + C_{\alpha-1, 2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-3}\\
&- \dotsb \mp C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+2, 1} \pm 1],\end{aligned}\\
\begin{aligned}Y_{\mu-1, \alpha-1} = P_{\mu-1, \alpha-1} [P_{\mu-1, \alpha-1} &- C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} + C_{\alpha-1, 2} \ldot P_{\mu-3, \alpha-3}\\
&- \dotsb \pm C_{\alpha-1, 1} \ldot P_{\mu-\alpha+1, 1} \mp 1].\end{aligned}
\end{gather*}
Multiplions la première de ces deux équations par $(\mu - \alpha + 1)^2$,
puis retranchons-en la seconde multipliée par $\mu$, En remarquant que
l'on a en général, $P_{m,n} = (m - n + 1)\ldot P_{m,n-1}$ et $P_{m,n} = m\ldot P_{m-1,n-1}$,
nous obtiendrons d'abord
\begin{align*}
(\mu-\alpha+1)^2 \ldot Y_{\mu,\alpha-1} - \mu \ldot Y_{\mu-1, \alpha-1} = P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha} - (C_{\alpha-1, 1 }+ 1) P_{\mu-1, \alpha-1}\\
+ (C_{\alpha-1, 2} + C_{\alpha-1,1}) \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} - \dotsb \pm (1 + C_{\alpha-1,1}) P_{\mu- \alpha+1, 1} \mp 1].
\end{align*}
\marginpage % *** File: 489.png
Mais l'on sait aussi que $C_{m,p} + C_{m, p-1} = C_{m+1,p}$: donc le second
membre devient
\[
= P_{\mu, \alpha} [P_{\mu, \alpha }- C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu-1, \alpha-1} + C_{\alpha,2} \ldot P_{\mu-2, \alpha-2} - \dotsb \pm C_{\alpha, 1} \ldot P_{\mu - \alpha+1, 1} \mp 1]:
\]
expression identique avec celle que nous avons trouvée pour $Y_{\mu, \alpha}$.

12.~Si dans la formule (35), nous posons $\mu - \alpha = \delta$, le développement
deviendra
\[
\left.\begin{aligned}
Y_{\mu, \alpha} = [\mu(\mu{-}1)(\mu{-}2)\ldots(\delta{+}1)]^2 \Big[1 - \frac{1}{1}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big) + \frac{1}{1. 2}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big)\\
\begin{aligned}&- \dotsb \pm \frac{1}{1. 2. 3\ldots(\alpha{-}1)} \Big(1- \frac{\delta}{\mu}\Big) \Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big) \dotsb \Big(1 - \frac{\delta}{\delta{+}2}\Big)\\
&\mp \frac{1}{1. 2. 3\dotsb(\alpha{-}1)\alpha} \Big(1- \frac{\delta}{\mu}\Big) \Big(1 - \frac{\delta}{\mu{-}1}\Big) \dotsb \Big(1 - \frac{\delta}{\delta{+}1}\Big)\Big].\end{aligned}
\end{aligned}\;\right\}\]
Comparant cette expression avec la formule (15), on voit que si $\alpha = \mu$,
\begin{gather*}
Y_{\mu,\mu} = 1\ldot 2\ldot 3 \ldots (\mu-1)\ldot\mu\ldot X_\mu, \tag{38}
\end{gather*}
ce qui est d'ailleurs évident.

La série entre parenthèse est très convergente: car ses termes décroissent
plus rapidement que ceux du développement de $e^{-1}$. Si $\alpha$,
$\mu$ et $\delta$ sont de grands nombres, on pourra remplacer ce développement
par celui-ci:
\begin{gather*}
1- \frac{1}{1}\Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big) + \frac{1}{1\ldot 2} \Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big)^2 - \frac{1}{1\ldot 2\ldot 3} \Big(1 - \frac{\delta}{\mu}\Big)^3 + \dotsb \tag{38}
\end{gather*}
qui a pour valeur $e^{-\big(1-\tfrac{\delta}{\mu}\big)}  = \dfrac{1}{e^{\tfrac{\alpha}{\mu}}}$.

Il serait peut-être assez difficile de déterminer \emph{à priori} le degré d'approximation
que l'on pourra obtenir, attendu que plus on avance
dans les séries (37) et (38), et plus les termes du même ordre différent.
Dans les cas où la série (38) pourra être employée avec avantage,
on aura donc pour valeur approchée de $Y_{\mu, \alpha}$,
\begin{gather*}
Y'_{\mu,\alpha} = \frac{[\mu (\mu-1) (\mu-2) \ldots (\mu - \alpha +1)]^2 }{e^{\tfrac{\alpha}{\mu}}}, \tag{39}
\end{gather*}

\marginpage % *** File: 490.png
13.~En mettant dans la formule (29), les valeurs des lettres qui y
entrent, il vient
\begin{align*}\tag{40}\left.
\begin{aligned}
p &= \frac{t(t-1)(t-2)\ldots(t-n+1)}{1\ldot2\ldot3\ldots n\times m(m-1)\ldots(m-n+1)}
\Big[1-\frac11\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big.\\
&\qquad\Big.+\frac{1}{1\ldot2}\Big(1-\frac{\delta}{\mu}\Big)\Big(1-\frac{\delta}{\mu-1}\Big)
- \dotsb \Big].
\end{aligned}
\quad\right\}\quad
\end{align*}
ou bien
\begin{align*}\tag{41}\left.
\begin{aligned}
\label{err490}p = \frac{t(t-1)(t-2)\ldots(t-n+1)}{1\ldot2\ldot3\ldots n\times m(m-1)\ldots(m-n+1)}
\Big(1-\frac11\frac{t-n}{m-n}\Big.\\
\Big.+\frac{1}{1\ldot2}\ldot\frac{t-n}{m-n}\ldot\frac{t-n-1}{m-n-1}- \dotsb.\Big)
\end{aligned}
\quad\right\}
\end{align*}
La série entre parenthèses a $\alpha + 1 = t - n + 1$ termes: le dernier a
pour expression
\begin{multline*}
\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots(t-n)}\ldot\frac{t-n}{m-n}\ldot\frac{t-n-1}{m-n-1}\ldots\frac{1}{m-t+1}\\
=\frac{1}{(m-n)(m-n-1)\ldots(m-t+1)}.
\end{multline*}

14.~Si l'on suppose $t = n$, la probabilité devient
\begin{gather*}
p'=\frac{1}{m(m-1)\ldots(m-n+1)}.\tag{42}
\end{gather*}
Il est évident en effet, que si toutes les lettres que l'on tire de l'urne
doivent sortir dans le même ordre aux deux tirages, la probabilité a
pour expression $\dfrac{P_{m,n}}{(P_{m,n})^2}$.

Enfin, si nous supposons $n=0$, la valeur de $p$ devient
\begin{align*}
\frac{1}{m(m-1)\ldots(t+1)}\Big[1-\frac11\frac{t}{m}+\frac{1}{1\ldot2}
\frac{t}{m}\ldot\frac{t-1}{m-1}- \dotsb \pm\frac{1}{1\ldot2\ldot3\ldots t}
\frac{t}{m}\ldot\frac{t-1}{m-1}\\
\ldots\frac{2}{m-t+2}\ldot\frac{1}{m-t+1}\Big].
\end{align*}

C'est la probabilité du \emph{jeu de rencontre}, en supposant que l'on
arrête ce jeu au $t$\iieme\ coup.

\jmpafin

% *** File: 491.png

\jmpapaper{}{}
{Sur la Formule de Taylor;}
{Par J. LIOUVILLE.}{}
\label{art41}

Soit $f(x)$ une fonction réelle de $x$, dont nous représenterons par
$f'(x)$, $f''(x)$, etc.\ les dérivées successives. La formule de Taylor
consiste, comme on sait, dans l'équation
\[
f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)+R,
\]
dans laquelle $R$ désigne le reste de la série. Lagrange a trouvé pour ce
reste l'expression suivante:
\[
R = \frac{y^{n+1}}{1\ldot 2\ldots{n+1}}f^{n+1}(x+\theta y),
\]
où $\theta$ est un certain nombre positif, plus petit que l'unité. Et il s'en
est servi pour démontrer (en excluant le cas particulier où $f^n(x)=0$),
que, pour des valeurs de $y$ suffisamment petites, la valeur numérique
de $R$ devient inférieure à celle du terme $\dfrac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)$ auquel on
s'arrête.

Ce théorème, très utile dans le calcul différentiel, peut subsister
encore lors même que la dérivée de l'ordre $(n + 1)$ devient infinie;
et il y a, je crois, quelque inconvénient à introduire cette dérivée
dans les calculs. Mais il est aisé d'en éviter l'emploi. En effet, au
lieu de
\[
f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^{n-1}}{1\ldot 2\ldots(n-1)}f^{n-1}(x)
+\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x+\theta y),
\]
\marginpage % *** File: 492.png
on peut évidemment poser
\[
f(x+y) = f(x) + \frac{y}{1}f'(x)+ \dotsb +\frac{y^{n-1}}{1\ldot 2\ldots(n-1)}f^{n-1}(x)
+\frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x) + R,
\]
pourvu que l'on prenne cette fois
\[
R = \frac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}\left[f^n(x+\theta y) - f^n(x)\right].
\]
Le rapport de $R$ à $\dfrac{y^n}{1\ldot 2\ldots n}f^n(x)$ se trouvant maintenant égal à
\[
\frac{f^n(x+\theta y)-f^n(x)}{f^n(x)},
\]
on comprend sans peine dans quels cas, pour de très petites valeurs
de $y$, ce rapport demeure $< 1$. Cela a lieu par exemple lorsque la
fonction $f^n(x)$ est continue pour la valeur actuelle de $x$; et même
il est visible qu'alors on rendra le rapport dont nous parlons infiniment
petit, en attribuant à $y$ une valeur infiniment petite.

\begin{center}
FIN DU TOME DEUXIÈME.
\end{center}
\newpage % *** File: 493.png
\mysection{ERRATA.}
\label{art42}

\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} These errata have all been corrected in this edition. Page and line numbers
refer to the original printed copy.\normalsize

\noindent\begin{tabular}{@{}r@{\;}r@{}l}
Page 16,& ligne 12,& \emph{~au lieu de} l'équation, \emph{lisez} à l'équation\\
21,&        3,& \emph{~au lieu de} $(x - \text{x})$, \emph{lisez} $(x - \text{x})^{2n}$\\
32,&       11,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{f(x)}{dx}$, \emph{lisez} $\dfrac{df(x)}{dx}$\\
65,&       24,& \emph{~au lieu de} $y$, \emph{lisez} $u$\\
70,&       21,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{dp}{dp}$, \emph{lisez} $dp$\\
72,&        5,& \emph{~au lieu de} $e^y$, \emph{lisez} $e^x$\\
79,&       16,& \emph{~au lieu de} $(u - \log\lambda$, \emph{lisez} $(u - \log \lambda)$\\
95,&       13\phantom{,}& et 15, \emph{au lieu de} $\phi(x,\theta)$, \emph{en dénominateur}, \emph{lisez} $\phi(x,\mu+\theta)$\\
107,&       15,& \emph{~au lieu de} n'étant plus de degré $(n - 1)$, \emph{lisez} n'étant plus\\
&&                   \quad que de degré $(n - 1)$\\
121,&        8,& \emph{~au lieu de} devra être perpendiculaire à la, \emph{lisez} devra\\
&&                     \quad rencontrer la\\
122,&       27,&\: \emph{après ce mot } l'autre \emph{ajoutez}: la normale commune en $a$\\
&&               \quad aux deux dents se confond aussi sensiblement, dans le\\
&&              \quad même cas, avec $am$ et $Aa$\\
122,&       29,& \emph{~au lieu de} dans l'hypothèse que $z$, \emph{lisez} dans l'hypothèse\\
&&                 \quad que la normale commune\\
132,&        5,& \emph{~au lieu de} $x_1 - n_0$, \emph{lisez} $x_1 - x_0$\\
136,& \emph{L}&\emph{a dernière ligne doit être écrite comme ceci}: \\
&&                ~${\dint_{-1}^{+1}} X_0X_3\,dx=0$,\quad ${\dint_{-1}^{+1}} X_1X_3\,dx=0,\quad {\dint_{-1}^{+1}} X_2X_3\,dx=0$\\
139,&       6,& \emph{~au lieu de} $(x^2-1)^2$, \emph{lisez} $(x^2-1)^n$\\
146,&      14,& \emph{~au lieu de} haberi, \emph{lisez} habere\\
256,&       1&\: en remont., \emph{au lieu de} $a^\frac{p-1}{d}$\!\!\!, \emph{en dénominateur lisez} $a^\frac{p-1}{d} \!{-} 1$\\
260,&       8& \phantom{\:\,en remont.,\: }\emph{au lieu de} $-a_2x_1^{m-1}$, \emph{lisez} $-a^2a_1^{m-1}$\\
261,&       4&\: en remont. \label{errerr261}\\
&&                \qquad     \emph{au lieu de} $A_{g+1} \equiv (-1)^hA_g$, \emph{lisez} $A_{g+1} \equiv (-1)^hA_{m-g}$\\
262,&       5&\: et 6 en remont.\ \emph{au lieu de} $A$, \emph{lisez} $A_1$\\
262,&       6&\: en remont. \emph{au lieu de} $y^{m(kh-k)}$, \emph{lisez} $y^{m(kh-h)}$\\
265,&      15& \phantom{en remont.,\: }\emph{après} $P+Q =\Pi\equiv0 \moddot{p.}$, \emph{ajoutez} quand\\
&&                \qquad\qquad\qquad       $h$ sera pair\\
\end{tabular}

\newpage % *** File: 494.png
\noindent\begin{tabular}{@{}l@{\ }l@{\ }l@{\ }r@{\ }l@{\ }l}
Page\ &268,& ligne &1& en remont. &\emph{au lieu de} $N'_{k-1}$, \emph{lisez} $N_{k-1}$\\
&272,&      &12&            &\emph{au lieu de} $+B$, \emph{lisez} $-B$\\
&273,&      & 1& en remont. &\emph{au lieu de} $2N'_k$, \emph{lisez} $2N_k$\\
&273,&      & 6& en remont. &\emph{au lieu de} $-h$, \emph{lisez} $+h$\\
&274,&      & 4&            &\emph{au lieu de} de deux, \emph{lisez} des deux\\
&282,&      & 1&            &\emph{au lieu de} $A \equiv -3-3Q$, \emph{lisez} $A\equiv -3 -Q$\\
&282,&      & 7&            &\emph{au lieu de} $D''\equiv 1+Q$, \emph{lisez} $D'' \equiv 1 - Q$\\
&283,&      & 2& et 3 en rem. &\emph{au lieu de} $\nu$, lisez $v$\\
&285,&      & 3&            &\emph{au lieu de} $D'''$, \emph{lisez} $B'''$\\
&286,&      &19&            &\emph{au lieu de} $10+56u+64u^2$, \emph{lisez} $6u+4u^2$ \\
&    &      &  &            &\quad(V. le § suivant)\\
&291,&      & 4& en remont. &\emph{au lieu de} $+_{m-1}$, \emph{lisez} $+y_{m-1}$\\
&317.&\multispan{4}{\ \parbox[t]{28em}{Cette page est la première du cahier de septembre. Les sept feuilles
qui composent ce cahier sont les feuilles 41, 42,\dots 47 et non pas
42, 43,\ldots 48 comme on l'a imprimé mal à propos: de plus, il y a
un grand nombre de fautes dans la pagination. En indiquant les
corrections relatives au Mémoire de M.~Poisson, nous citerons toujours
les n\up{os} que les pages devraient porter, mais en ayant soin
d'ajouter entre parenthèses ceux qu'on leur a donnés par erreur.}} \\
Pages &\multispan{5}{\parbox[t]{31em}{323 (331), 324, 330 (338): \emph{dans les équations} (7), (8), (9), (13), \emph{le signe}\\
\hspace*{12em}           \emph{de $t$ doit être changé.}}}\\
& \multispan{5}{%
\begin{minipage}[t]{31em}
\begin{tabular}{@{\hspace*{-0.7em}}l@{\ }l@{}r@{\ }l}
330 (338),& ligne   & 4, & \emph{~au lieu de} $\dfrac{d\beta}{de}, \dfrac{d\gamma}{de}$, \emph{lisez} $\dfrac{d\beta}{dh}, \dfrac{d\gamma}{dh}$\\
330 (338),&         & 5, & \emph{~au lieu de} $\dfrac{d\beta}{dh}, \dfrac{d\gamma}{dh}$, \emph{lisez} $\dfrac{d\beta}{de}, \dfrac{d\gamma}{de}$\\
333,      &         &14, &\emph{~au lieu de} $t-1 = -{\dint}\dfrac{rdr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$, \emph{lisez}\\
&         &    &    $t+1 = {\dint}\dfrac{rdr}{\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$\\
333,      &         &15, &\emph{~au lieu de} $v-l = {\dint}\dfrac{dr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$, \emph{lisez}\\
&         &    &    $v-l = {\dint}\dfrac{edr}{r\sqrt{2Rr^2+2hr^2-e^2}}$\\
\end{tabular}
\end{minipage}}\\
&335,&      & 7, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $-t+\epsilon$, \emph{lisez} $t+\epsilon$\hfill}\\
&346,&      &17, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $dD$, \emph{lisez} $d[n,i]$\hfill}\\
&348,&      & 5, &en remont., &\emph{au lieu de} $A_{\;,1}$ \emph{lisez} $A_{1,1}$\\
&349,&      & 3, &en remont., &\emph{au lieu de} $n$, \emph{lisez} $u$\\
&351,&      & 5, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $2\Big(\dfrac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2$, \emph{lisez} $\Big(\dfrac{dU}{dA_{1,3}}\Big)^2$\hfill}\\
&361,&      &11, &\multispan{2}{\emph{au lieu de} $A_{2,3} = -A_{3,2}$, \emph{lisez} $A_{2,3} = A_{3,2} = -Bb$\hfill}\\
&361,&      & 4, &en remont. &\emph{au lieu de} $\gamma$, \emph{lisez} $\nu$
\end{tabular}

\newpage % *** File: 495.png
\noindent\begin{tabular}{@{}r@{\;}r@{}l}
Page 362,& lignes 1,&2,3 en remont., \emph{au lieu de} $\gamma$, \emph{lisez} $\nu$\\
362,& 6,&\: au coefficient de $u$, ajoutez $-b^2(A^2+C^2)$\\
363,& 12,&\: \emph{au lieu de} $-a_{1,2}(\ldots)$, \emph{lisez} $-a_{3,2}(\ldots)$\\
363,& 2,&\ en remont., \emph{au lieu de} :$\nu(L'' \cos\phi\ldots):V$, \emph{lisez}\\
&&               :$\nu(L'' \cos\phi\ldots):\nu$\\
364,& 13,&14,15, \emph{au lieu de} $EX$, $EY$, $EZ$, \emph{lisez} $\displaystyle E\!\int\! X,\ E\!\int\! Y,\ E\!\int\! Z$\\
364,& 1,&\: en remont., \emph{au lieu de} $=-$, \emph{lisez} $=+$\\
364,& 2,&\: en remont., \emph{au lieu de} $-\sin\phi \cos^2\phi$, \emph{lisez} $-\sin\phi \cos\phi$\\
365,&  10,&\qquad\qquad \emph{effacez} $\dfrac{1}{p}$\\
365,&  10\phantom{,}&\, et 11, \emph{au lieu de} ${\dint}$, \emph{lisez} $c^2{\dint}$\\
367,&        1,& \emph{~au lieu de} $a_{m-1}$, \emph{lisez} $A_{m-1}$\\
367,&       4,& \emph{~au lieu de} $D_m$, \emph{lisez} $x_m$\\
368,&       23,& \emph{~au lieu de} $A'_{-1}$, \emph{lisez} $A'_{n-1}$\\
372,&        14,& \emph{~au lieu de} $-$ \emph{lisez} $+$\\
372,&        16,& \emph{~au lieu de} $a^m$, \emph{lisez} $a_m$\\
428,&       1,&4,6, \emph{au lieu de} $D_m$, \emph{lisez} $D_{m-1}$\\
428,&       1,&4,6,11,12, \emph{au lieu de} $D_{m+1}$, \emph{lisez} $D_n$\\
428,&      16,& \emph{~après ces mots} et à $\dfrac{2\f_1}{\rho}$, \emph{ajoutez} donc auparavant elles\\
&&                   étaient $< \dfrac{2\f_1}{\rho}$\\\label{errerr428}
435,&       7,& \emph{~au lieu de} $(in-1)$, \emph{lisez} $(n - 1)$\\
437,&et 438, \emph{a}&\!\emph{u lieu de} paramètre, \emph{lisez partout} demi-paramètre\\
441,&       12,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{d^2V}{dx^2} \quad (V+b^2x {\dint_{r0}^1} xV\, dx)$, lisez\\
&&                       $\dfrac{d^2V}{dx^2}+r(V+b^2x {\dint_0^1} xV\, dx)$\\
449,& ligne der&nière, \emph{au lieu de} $V'+b^2x{\dint_0^1} xV'\, dx$, \emph{lisez}\\
&&                            $r'(V'+b^2x{\dint_0^1} xV'\, dx)$\\
451,& ligne 17,& \emph{~au lieu de} $\dfrac{\Psi}{^2}$, \emph{lisez} $\dfrac{\Psi}{i^2}$
\end{tabular}

\begin{center}
FIN DU DEUXIÈME VOLUME.
\end{center}

\newpage % *** File: 496.png
%%[Blank Page]

\begin{center}\textsc{Typographical Errors corrected in Project Gutenberg edition}\end{center}

\scriptsize \noindent \textsc{Transcriber's Note:} These errors have all been corrected in this edition. Page numbers
refer to the PDF pages.\normalsize

Page \pageref{err015}.~Equation for $\dfrac{1}{N}A_b$: subscript $b$ not printed.

Page \pageref{err018}.~Expressions following ``écrire la série ainsi qu'il suit'', end of last numerator on second line,
term $[n-(p-b+q)]$ was printed as $[n-(p-b+-1)]$.

Page \pageref{err022}.~First $\Big( \dfrac{d^{2}\Omega}{dpdq} \Big)^2$, squared sign not printed.

Page \pageref{err040}.~Expression following ``cette même quantité'' $V \dfrac{df(x)}{dx}$ printed as $V \dfrac{f\;(x)}{dx}$.

Page \pageref{err042}.~``de la forme $f(x) + \sqrt{-1}\ldot F(x)$'' -- the root sign is printed too long,
like $\sqrt{-1\ldot F(}x)$.

Page \pageref{err059}.~Equation following ``A cet effet, nous l'écrirons sous la forme''
$\dfrac{(m^2+n^2)^2}{(m^2-n^2)^2}$ printed $\dfrac{(m^2+n^2)^2}{(m^2+n^2)^2}$.

Page \pageref{err090}.~``d'autres exponentielles monomes'' corrects typo ``expronentielles''.

Page \pageref{err101}.~Second equation after ``En posant, pour abreger''
$A\beta + B\beta_1 + \dotsb + C\beta_i = P$ printed as $A\beta + B\beta_1 + \dotsb + B\beta_i = P$.

Page \pageref{err104}.~``à cause de$ \dfrac{{dy}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$'' printed $\dfrac{{dx}}{{ydx}} = \dfrac{\alpha }{x}$
(see ``Mais l'équation'' on Page \pageref{nonerr103}.

Page \pageref{err105}.~Equation $\phi (x,i) = \dfrac{\phi (x,i_0)}{i_0 ^m }\ldot i^m$ the final ${}\ldot i^m$ is missing
(compare $e^{mu}$ in the next equation).

Page \pageref{err113}.~``$x$ et $z$ sont deux variables comprises entre $-1$ et $+1$'' printed as ``$y$ et $z$'',
there is no $y$ at this point and it seems clear from the following discussion that $x$ must be meant.

Page \pageref{err120}.~``la vitesse angulaire de la roue'' corrects typo ``augulaire''.

Page \pageref{err145}.~``pour $x =1$.  En d'autres termes si l'on pose'' the ``${}=1$'' was not printed.

Page \pageref{err146}.~Equation after ``ne peut être que de la forme'', limits on the first integral were missing.

Page \pageref{err151}.~``Les lignes de courbures de Monge'' corrects typo ``coubures''.

Page \pageref{err153}.~``l'on peut ajouter à celles du contact'' corrects typo ``conctact''; and so also
in ``le contact de l'ellipsoïde ne saurait être élevé''.

Page \pageref{err155}.~Heading ``PREMIÈRE PARTIE.'': typo ``PRMIÈRE''.

Page \pageref{err164}.~``ou $(\mu, \nu, \rho)$,'': $\nu$ not printed.

Page \pageref{err168}.~Second line after ``on trouve'' $p^2 = -\dfrac{1}{2\mu}p'$: $\mu$ not printed.

Page \pageref{err179}.~``des surfaces de révolution des deux autres systèmes'' corrects typo ``antres''.

Page \pageref{err180}.~``des longueurs finies'' corrects typo ``longuenrs''.

Page \pageref{err180b}.~``des hyperboloïdes à une et à deux nappes'' corrects typo ``napes''.

Page \pageref{err184}.~First line after ``en sorte que l'on doit poser'', second group,
$\dfrac{d\mu}{dx}\ldot\dfrac{d\nu} {dx}$ printed as $\dfrac{d\nu}{dy}\ldot\dfrac{d\nu} {dy}$.

Page \pageref{err186}.~penultimate line in (16), $\dfrac{d\sqrt{\mu^2-c^2}}{d\epsilon}$ printed as $\dfrac{d\sqrt{\mu^2-c^2}}{d\xi}$.

Page \pageref{err188}.~Second equation in (17)\emph{bis} $\dfrac{d^2Y}{d\eta^2} + \dotsb $ printed as $\dfrac{d^2Y}{d\eta^2} =\ldots$.

Page \pageref{err190}.~In § XXVI. ``d'équations aux différences ordinaires'' last word printed ``or-naires'' on line break.

Page \pageref{err195}.~After ``d'où l'on conclut'' last term $-\dfrac{a^2}{3}\dint_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta}}$
printed $-\dfrac{a^2}{3}-\dint_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\dfrac{a\theta}{\sqrt{1-\alpha^2\sin^2\theta}}$.

Page \pageref{err198}.~``le parabole de osculateur'' corrects typo ``parabolo''.

Page \pageref{err211}.~Equation (V) term $\beta S' \Delta y_i$ subscript ${}_i$ missing.

Ibid.~``représentées par $\Delta^2 y_1$,'' superscript ${}^2$ missing.

Page \pageref{err235}.~Second equation in (5) $\dfrac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-a)\sqrt{c} -2c}$ printed as\\ $\dfrac{\pi\sqrt{c}}{p(p^2-x)\sqrt{c} -2c}$.

Page \pageref{err235a}.~``se réduira à $u^4 - 8u = 0$'': $u^6 - 8u = 0$ in original.

Page \pageref{err235b}.~Equation after ``déduirait de la formule connue'' $\dfrac{\pi}{n\sin\dfrac{m\pi}{n}}$ printed as $\dfrac{\pi}{n\sin\dfrac{mx}{n}}$.

Page \pageref{err239}.~After ``laquelle résultera des équations successives'' second equation
$y^1_2 = y^1_1 + f(x^1_1, y^1_1)\Delta^1 x,$
printed
$y^1_2 = y^1_1 + f(x_r, y^1_1)\Delta^1 x,$.

Page \pageref{err240}.~Equation after ``on aura évidemment'' the final $x_{r+1}$ printed $x_{r-1}$.

Page \pageref{err246}.~Equation after ``on aura pour l'erreur totale sur $y_n$''\\
$\delta y_n < \dfrac{\Delta x^2}{4} \Big[\dfrac{A''}{3}\ldots$ printed
$\delta y\ \ < \dfrac{\Delta x^2}{4} \Big[\dfrac{A''}{8}\ldots$.

Page \pageref{err247}.~After ``dans l'intérieur du rectangle, par''; $Q,\ A_1''\ldots$ primes on $A_1''$ not visible. In the
next equation $A_2''$ was printed for $A_1''$.

Page \pageref{err251}.~After ``on peut donc poser'' the end of the numerator $[1+e^{Q \Delta x}(Q+AT) \Delta x]^{n}-1$ appear as $\ldots \Delta x-1]^{n}$

Page \pageref{err258}.~After ``Prenons donc un nombre'', first equation the B is not printed.

Page \pageref{err259}.~After ``Dans cette formule identique'', first equation first term $\dfrac{a}{K-A}$ printed as $-\dfrac{a\hfill}{KA}$.

Page \pageref{err267}.~In \tertiop.~and 5\up{o}.~``les racines de \dots\ $x^h$'' was printed $x^m$.
In \quartop. $\rho^{(h-1)m+2}$ was printed $\rho^{(m-2)m+2}$.

Page \pageref{err270}.~Term $\dfrac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{2h}$ printed as $\dfrac{A_{m-1}A_{m-2}}{A_1A_2} a^{(m-3)h} b^{h}$.

Page \pageref{err271}.~Equation (5) second line $b^{2h}$ printed as $a^{2h}$.

Page \pageref{err274}.~Equation after ``si l'on prend d'abord la congruence'' the 0 is not printed.

Page \pageref{err275}.~$y^2_1 + y^2_2 + \dotsb + y^2_f \equiv n(z^2_1 + z^2_2  + \dotsb z^2_i) \moddot{p}$ printed
$z^2_1 + z^2_1  + \dotsb $

Pages \pageref{err277}, \pageref{err283}, \pageref{err288b}.~``la congruence (4)\dots'' printed ``la congruence (3)\dots''.

Page \pageref{err281}.~``\emph{Deuxième cas}. $p = 4q+1$'' The $p$ is printed $P$. So also in ``\emph{Troisième cas}. $p=4q-1$''
on page \pageref{err282a}.

Page \pageref{err282}.~First term $N'_k$ only the $N$ is printed.

Page \pageref{err286}.~``Soit $L^2+27M^2=4p$, où $L$ et $M$ sont positifs'' printed $4^2+27M^2=4p$.

Page \pageref{err287}.~In footnote:
\begin{flalign*}
&\qquad\primop. \;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)^2=16p^2.&\\
&\qquad\secundop. \;(LL'+27MM')^2+27(LM'-L'M)^2=16p^2.&\\
&\qquad\tertiop. \;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p(M'^2-M^2).&
\end{flalign*}
were printed
\begin{flalign*}
&\qquad\primop. \;(LL'-27MM')^2+27(LM'+L'M)=16p^2.&\\
&\qquad\secundop. \;(LL'+27MM')+27(LM'-L'M)=16p^2.&\\
&\qquad\tertiop. \;(LM'+L'M)(LM'-L'M)=4p^2(M'^2-M^2).&
\end{flalign*}

Page \pageref{err287b}.~In \textsc{Théoreme.} $L^2+27M^2=4p$ printed $L^2+27M=4p$.

Page \pageref{err288}.~In Section VII heading $a_1x_1^4+a_2x_2^4$ printed $a_1x^4+a_2^2x_2^4$.

Page \pageref{err288b}.~after ``qui devient ici''
\[-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A_2}{A_1}b^ha^h\Big) +a^3h + \frac{A_3}{A_1}a^{2h}b^h +
\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}.\]
printed as
\[-S_2\equiv a^h+\Big(a^{2h}+\frac{A}{A_1}b^ha^h\Big) +a^3h + \frac{A_3}{A}a^{2h}b^h +
\frac{A_3}{A_1}a^hb^{2h}\moddot{p}.\]

Page \pageref{err289}.~The entries $y^4_1-a^2y^4_2\equiv a^2, \; C''$ and $y^4_1-a^2y^4_2\equiv a^3, \; D''$ were printed as $y^2_1\ldots$.

Page \pageref{err293}.~Equations (36), third line $A''+B'''= 2(p+1)$ RHS printed $Q(p+1)$

Page \pageref{err295}.~$A_m = ((m-1)h + 1)\ldots mh$ printed as $A_{mh} = (m-1)(h + 1)\ldots mh$.

Page \pageref{err295b}.~Section VIII. heading, $A_k x_k^m$ printed as $A_k^m x_k^m$.

Page \pageref{err296}.~Expression for $y_2$ final term $R^{\rho^{(k-1)m+2}}$ printed as $R^{\rho^{(k-1)m-1}}$.

Page \pageref{err298}.~Before (41) $b = c \ldots = g = 0$ printed $b = c \ldots = y = 0$.

Page \pageref{err298a}.~Before (42) $a = f + \dfrac{m}{2}$ printed $a = f + \dfrac{a}{2}$.

Page \pageref{err299}.~Expression for $pN_1$ term $y_2(1 + my_2)$ printed $y_2(1 + my_1)$.

Page \pageref{err303}.~In paragraph ``Il est facile de vérifier\dots''
$(m + 1) (n + 1) - 1$
printed
$(m + 1) (n - 1) - 1$.

Page \pageref{err313}.~Line after ``satisfont à la condition que les coefficients différentiels''
$\dfrac{d^2z}{dy^2}$ printed as $\dfrac{d^2x}{dy^2}$.

Page \pageref{err318}.~``ce qui n'est pas possible'' printed ``pas pas'' over line break.

Page \pageref{err330}.~Expression after ``en retranchant \dots'', term $dx\delta x'-dx'\delta x$ printed as $dx\delta x'-dx\delta x$.

Page \pageref{err331}.~Equation afer ``Mais, en vertu'' the term $dz'\delta z$ was printed $\delta z'\delta z$.

Page \pageref{err331b}.~Equation before (7), $+ t\delta h$ printed as $- t\delta h$, corrected in line with errata to equation (7) etc.

Page \pageref{err334}.~In ``la formule $Xd\phi+Yd\psi + Zd\theta + \etc$'', second term printed $Vd\psi$.

Page \pageref{err335}.~After ``en effet\dots'' $\delta V =\int (Xd\ldot\delta\phi +Yd\ldot\delta\psi +Zd\ldot\delta\theta +\etc)$
printed  $\delta V =\int (Xd\ldot\phi +Yd\ldot\delta\psi +Zd\ldot\delta z +\etc)$

Page \pageref{err341}.~``La troisième se réduira'': typo ``troiisème''.

Page \pageref{err343}.~First equation after ``on aura donc'' $\dfrac{df}{dy'}\dfrac{dy'}{dx}$
printed $\dfrac{df}{dy'}\dfrac{dy'}{y}$.

Page \pageref{err348}.~In the lists headed $U_1$ and $U_2$ the $U_1$ and $U_2$ were interchanged.

Page \pageref{err353}.~After ``on trouvera pareillement'' $\dfrac{t_i}{t_g}$ printed $\dfrac{t_g}{t_i}$.

Page \pageref{err354}.~``on trouvera $\dfrac{dD}{dA_{i,g}}=(-1)^{i+g}\dethoriz{i}{g}$''
printed $\dfrac{dD}{dA}$.

Page \pageref{err355}.~Equation (25):\\
\qquad 4th line $2A_{1,2}A_{1,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)$ printed $2A_{1,2}A_{2,4}A_{2,4}(A_{3,3}-u)$.\\
\qquad 6th line $A^2_{1,3}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u)$ printed $A^2_{1,4}(A_{2,2} - u) (A_{4,4} - u)$.

Page \pageref{err356}.~Equation (26):\\
\qquad start of 3rd line $-{}A^2_{2,n}(A_{1,1}-u)$ printed $-{}A^2_{2,n}(A_{1,4}-u)$.\\
\qquad 4th line last term $(A_{n-2,n-2}-u)$ printed $(A_{n-2,n-1}-u)$.

Page \pageref{err365}.~Equation for $\tint y_1y_2dm$ last term $A_{3,3}a_{3,2}$ printed $A_{3,3}a_{3,3}$.

Page \pageref{err367}.~Equation for $a^2_{3,1}$, $(A_{2,2}-U_1)$ printed $(U_{2,2}-U_1)$.

Page \pageref{err371}.~$x_3 =a_{3,1}y_1\ldots$ printed $x_3 =a_{0,1}y_1\ldots$.

Page \pageref{err371a}.~After ``se réduisent à'', term $(L'\cos\phi+M'\sin\phi+N')$ printed $(L\cos\phi+M'\sin\phi+N')$.

Page \pageref{err483}.~``indépendants les uns des autres'' typo ``Ies uns''.

Page \pageref{err487}.~$Y_{\mu,3}$, second line at end, $(\mu-1)^2(\mu-2)^2$ final $^2$ not printed; fifth line, final $]$ not printed.
$Y_{\mu-1,3}$ subscripts not printed.

Page \pageref{err490}.~Equation (41) numerator starting $t(t-1)(t-2)$ printed $t(t-2)(t-2)$.

Page \pageref{errerr261}.~Errata, page 261, $(-1)^hA_{m-g}$ the $g$ is not printed.

Page \pageref{errerr428}.~Errata, page 428, $\dfrac{2\f_1}{\rho}$ printed $\dfrac{2f_1}{\rho}$ (twice).

\newpage
\small
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{Roman}
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et
Appliquées Tome II: 1837, by Various

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     and discontinue all use of and all access to other copies of
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- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
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     of receipt of the work.

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1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
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both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
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works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
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LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
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written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
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the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
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providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
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interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
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trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et   %
% Appliquées Tome II: 1837, by Various                                    %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES ***%
%                                                                         %
% ***** This file should be named 31295-t.tex or 31295-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/1/2/9/31295/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration
@ControlwordReplace = (
  ['\x',"x"],
  ['\f',"f"],
  ['\d',"d"],
  ['\etc',"etc."]
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\pdf',1,0,'',''],
  ['\\Needspace\\*',1,0,'',''],
  ['\\pngcent',1,0,'','',1,0,'',''],
  ['\\tabentry',1,1,'','',1,0,'','',1,0,'',''],
  ['\\jmpapaper',1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n"],
  ['\\jmpapaperl',1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n",1,1,'',"\n"]
);

###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.12.9)  16 FEB 2010 09:46
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**31295-t.tex
(./31295-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo
File: bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
/tex/generic/babel/lgrenc.def
File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen105
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count91
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count92
\leftroot@=\count93
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count94
\DOTSCASE@=\count95
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count96
\c@MaxMatrixCols=\count97
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\c@parentequation=\count98
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\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen114
\Gin@req@width=\dimen115
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/needspace.sty
Package: needspace 2003/02/18 v1.3a reserve vertical space
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/rotating/rotating.sty
Package: rotating 1997/09/26, v2.13 Rotation package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
)
\c@r@tfl@t=\count104
\rot@float@box=\box28
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/yfonts/yfonts.sty
Package: yfonts 2003/01/08 v1.3 (WaS)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fundus/calligra.sty
Package: calligra 1996/07/18 v1.8 LaTeX package calligra
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks22
\verbatim@line=\toks23
\verbatim@in@stream=\read1
)
\c@originalpage=\count105
\Zw=\count106
\symupletters=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `upletters' in version `bold'
(Font)                  T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 181.
(./31295-t.aux)
\openout1 = `31295-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 245.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 245.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LY/yfrak/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LYG/ygoth/m/n on input line 245.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 245.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 245.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count107
\scratchdimen=\dimen116
\scratchbox=\box29
\nofMPsegments=\count108
\nofMParguments=\count109
\everyMPshowfont=\toks24
\MPscratchCnt=\count110
\MPscratchDim=\dimen117
\MPnumerator=\count111
\everyMPtoPDFconversion=\toks25
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 250.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) [1


{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 387.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 387.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] 
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.7551pt>
File: images/img001.png Graphic file (type png)
<use images/img001.png> [42 <./images/img001.png (PNG copy)>]
File: images/img001.png Graphic file (type png)
<use images/img001.png> [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] 
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Package frenchb.ldf Warning: Degrees would look better in TS1-encoding: 
(frenchb.ldf)                add \usepackage{textcomp} to the preamble. 
(frenchb.ldf)                Degrees used on input line 5165.

[97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110
] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]
[124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [
137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [1
50] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [16
3] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176
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[190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [
203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [2
16] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [22
9] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242
] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255]
[256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [
269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [2
82] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [29
5] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308
] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318]
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/calligra/m/n' will be
(Font)              scaled to size 21.99997pt on input line 17095.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/calligra/m/n' will be
(Font)              scaled to size 15.39998pt on input line 17095.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/calligra/m/n' will be
(Font)              scaled to size 10.99998pt on input line 17095.
[319] [320] [321]
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/calligra/m/n' will be
(Font)              scaled to size 17.59998pt on input line 17190.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/calligra/m/n' will be
(Font)              scaled to size 13.19998pt on input line 17190.
[322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [
335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [3
48] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [36
1] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374
] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [
8] (./31295-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk10.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
needspace.sty    2003/02/18 v1.3a reserve vertical space
rotating.sty    1997/09/26, v2.13 Rotation package
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
  yfonts.sty    2003/01/08 v1.3 (WaS)
calligra.sty    1996/07/18 v1.8 LaTeX package calligra
verbatim.sty    2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
supp-pdf.tex
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/img001.png
images/img001.png
 ***********


LaTeX Font Warning: Size substitutions with differences
(Font)              up to 5.0pt have occurred.

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 3304 strings out of 94074
 39600 string characters out of 1165153
 106468 words of memory out of 1500000
 6497 multiletter control sequences out of 10000+50000
 37607 words of font info for 85 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,21n,24p,258b,293s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
 </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/public/calligra/callig15.880pk>{/us
r/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-texliv
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sky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></u
sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texli
ve/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues
ky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/
share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm
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onts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super
/sfbi0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0900.pfb></usr/
share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/ty
pe1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/
sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/s
hare/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/typ
e1/public/cm-super/sfcc0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/s
fcc0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/sh
are/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type
1/public/cm-super/sfrm0500.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sf
rm0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/sha
re/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1
/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfr
m1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/shar
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public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm
2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm2488.pfb></usr/share
/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
ublic/cm-super/sfti0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0
800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/cm-super/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc06
00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc0900.pfb></usr/share/t
exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1000.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t
ype1/public/gothic/ygoth.pfb>
Output written on 31295-t.pdf (390 pages, 1983837 bytes).
PDF statistics:
 1475 PDF objects out of 1728 (max. 8388607)
 0 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 18 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

